ESERCIZI:

1. Studiare la seguente funzione

φ(x, y) = \frac{1 + x − y}{\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}} nell′insieme \{(x, y) ∈ R^{2}; x^{2} + y^{2} ≤ 4\}

In particolare, determinare i punti stazionari e massimi e minimi locali e globali.

2. Si consideri il campo vettoriale F ∈ C^{1}(R^{2} \ {0}; R^{2}) definito da

F (x, y) = (\frac{x − y}{x^{2} + y^{2}} , \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}} ).

(a) Si dica se F è conservativo.

(b) Si calcoli ∫_{γ} F dove γ(t) = (1 + cos t, 1 + sin t), t ∈ [0, 2π].

3. Sia f(x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}. Mostrare che f ∈ C^{2}(R^{3} \ \{0\}; R); calcolare il gradiente e la matrice hessiana di f. Si calcoli il determinante della matrice hessiana nel punto (1, 0, 0).

4. Sia u ∈ C^{2}(R^{n} \ {0}; R) definita da u(x) = |x|^{α}. Si calcoli Δu.