ESERCIZI: (seconda serie)

1. Calcolare i seguenti integrali di volume:

∫∫∫_{B_{r}} x dx dy dz; ∫∫∫_{B_{r}} xy dx dy dz; ∫∫∫_{B_{r}} x^{2} dx dy dz

dove B_{r} = {(x, y, z) ∈ R^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ r^{2}}.

2. ^{∗} Mostrare che, se f ∈ C^{2}(R^{3}; R) e f(0, 0, 0) = 0 allora

lim_{r→0} \frac{1}{r^{5}} ∫∫∫_{B_{r}} f(x, y, z) dx dy dz = cΔf(0, 0, 0),

dove c > 0 è una costante, B_{r} è come sopra e Δ è il laplaciano.

[Sugg: Si utilizzi la formula di Taylor per ricondurre il problema in questione al caso in cui f è un polinomio di secondo grado in tre variabili; si usino poi i risultati dell’esercizio precedente]

3. Scrivere esplicitamente la matrice e^{tA} nel caso in cui

A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )

[Sugg: puo’ essere utile considerare che A è la matrice del sistema lineare del prim’ordine associato all’equazione u′′ + u = 0.]

4. Si determinino le soluzioni dell’equazione lineare del terz’ordine

u′′′ − 3u′′ + 3u′ − u = t + e^{t}.