La Matematica nell’800: opere internazionali e studi pisani.

Il XIX secolo, così come per le altre scienze, ha rappresentato un momento fondamentale per lo sviluppo della Matematica.

In questo periodo nascono e si sviluppano in Italia la prime Scuole per l’Ingegneria, anche grazie al contributo di matematici come L.Cremona. Il ruolo “sociale” dei matematici subisce una radicale trasformazione, il modo di fare ricerca cambia e nuove teorie vengono alla ribalta, ponendo molti dei fondamenti che hanno portato allo sviluppo della moderna Matematica.

L’Analisi, la Geometria, ma anche l’Algebra e la Logica, oltre ad essere strumenti indispensabili per le nuove tecnologie, si sviluppano in modo autonomo, raggiungendo risultati e ponendo problemi impensabili fino alla fine del ‘700.

D’altro canto, negli anni successivi all’unità d’Italia, molti matematici contribuiscono con entusiasmo al tentativo di creare una cultura scientifica nazionale all’altezza degli altri paesi europei (della Francia e della Germania in primo luogo) ed emerge con chiarezza la necessità di organizzare le teorie al fine di ottenere una chiara esposizione didattica. Betti, Bianchi e Cremona, membri del Consiglio Superiore della Pubblica Istruzione, introducono in questi anni l’insegnamento della geometria proiettiva negli istituti tecnici e insistono per l’adozione degli “Elementi di Euclide” per l’insegnamento medio.

In questi anni la città di Pisa, attraverso figure come Betti, Bianchi, Dini, si afferma a livello mondiale come uno dei principali centri della ricerca matematica.

I libri qui esposti sono da leggere tenendo conto proprio dello spirito del tempo, in cui da un lato si ponevano le basi per un insegnamento efficace e fruttifero dei fondamenti della scienza, e dall’altro si aveva particolare riguardo per gli sviluppi delle nuove teorie. Essi sono ai giorni d’oggi di particolare interesse poiché mostrano chiaramente il consolidarsi della “scuola pisana “ di matematica. Molti di questi testi sono stati tradotti in varie lingue e hanno avuto una larga diffusione in tutti gli ambienti accademici europei.

Per quanto riguarda la Logica, di particolare rilievo è il trattato di Burali-Forti. Il volume appare come un manuale dalla rapida consultazione. E’ sorprendente invece che vi siano esposti i contenuti fondamentali della Logica di Boole e gli elementi della teoria di Peano, apparsi solamente pochi anni prima. Di fondamentale importanza è l’introduzione di simboli logici, usati per costruire un linguaggio formale utilizzabile in un calcolo logico adatto per tutte le teorie matematiche. Questi simboli e questo approccio formale è stato adottato in seguito da tutti i matematici moderni.

L’Analisi Matematica è ben rappresentata in questa collana dai trattati di Dini e di Sturm.

L’opera di Dini giunge a coronamento dei suoi studi sui fondamenti dell’analisi e delle sue ricerche sulle funzioni di una o più variabili reali, che lo hanno reso uno degli esponenti di punta dell’analisi di fine ‘800. Nel trattato di Dini i principali concetti dell'analisi, a cominciare da quello di numero reale che solo tre anni prima aveva visto la prima sistemazione rigorosa per opera di Dedekind, di Cantor e di Meray, vengono esposti col massimo rigore e nella più grande generalità. Il testo di Dini resterà un classico per molti anni, e sarà tradotto in tedesco nel 1892.

Il Corso di Analisi Matematica di Sturm è di grande chiarezza e di sorprendente modernità nella disposizione e nella presentazione degli argomenti; esso presenta inoltre una considerevole ricchezza di applicazioni geometriche del calcolo differenziale, utili, in particolare, per le applicazioni alla Meccanica.

I libri di geometria che appaiono in questa mostra rappresentano alcune delle tappe fondamentali dell’evoluzione del pensiero “geometrico” del mondo occidentale. Partendo dagli Elementi di Euclide e dai fondamenti di geometria descrittiva di Monge, passando per la geometria analitica esposta nel volume di Salmon e la geometria differenziale di Bianchi e Darboux, si arriva ai primi sviluppi della teoria degli invarianti e alla teoria di Riemann degli integrali abeliani.

L’opera più antica tra quelle qui esposte in edizione originale è un trattatello di trigonometria sferica e di geodesia di Joann. Theoph. Frider. Bohnenberger, “De computandis dimensionibus trigonometricis in superficie terrae sphaeroidica institutis”, 1824, nel quale sono considerate le correzioni da adottare quando si esegue una triangolazione fra tre punti ABC della Terra per tener conto del fatto che il triangolo ABC non è piano e neppure propriamente sferico, ma appartiene alla superficie di un ellissoide di rotazione schiacciato ai poli, quale appunto si può con buona approssimazione considerare il nostro pianeta. Alcune triangolazioni eseguite sul territorio bavarese o su altre parti della Germania, i cui risultati sono riportati nel trattato, lasciano sorpresi per la loro grande precisione.

Gli “Elementi di Euclide”, a cura di E. Betti e F.Brioschi, opera studiata da innumerevoli generazioni di studenti da più di 2000 anni, può essere considerata il più antico fondamento della scienza occidentale. I Curatori, entrambi matematici di rilievo, hanno seguito, sia pure con modifiche ed aggiunte, l’antica e fedele edizione del 1690 ad opera di Vincenzo Viviani. Particolarmente interessante è la loro introduzione, in cui tra le altre cose, si sottolinea come l’inimitabile modello di logica e di chiarezza lasciatoci dai Greci negli Elementi sia stato pressoché abbandonato nelle nostre scuole e come al rigore del ragionamento sia stato sostituito il “meccanismo del processo aritmetico”. Ragionamenti, questi, ancora oggi degni di discussione.

Un’opera di grande importanza storica, la cui prima edizione è ancora più antica (1794), ma che è qui esposta in una traduzione italiana del 1840 redatta sulla 13ma edizione francese, è rappresentata dagli “Elementi di Geometria” di A.M. Legendre. In questa esposizione didattica di Geometria elementare l’autore, importante matematico vissuto a cavallo dei secoli XVIII e XIX, ripresenta la geometria euclidea in una forma “moderna”, basata su di un numero minimo di postulati e talora semplificata, o almeno resa più intuitiva, nelle dimostrazioni. Ma proprio questa operazione culturale a fine didattico rappresenterà (anche per l’ampia divulgazione del testo) l’inizio di una profonda revisione dei fondamenti della matematica intera. Il V Postulato di Euclide (che in forma equivalente può essere letto : “In un piano, per un punto fuori di una retta si può condurre una e una sola parallela a una retta data”) era secondo Legendre un teorema riconducibile agli altri postulati della geometria. Il suo tentativo fu radicalmente criticato da N.I. Lobacevskij, che ne dimostrò sostanzialmente l’infondatezza e ciò segnò, da un lato, il ritorno ad una lettura rigorosamente tradizionale e quasi filologica degli “Elementi di Euclide” e dall’altro l’inizio di quella rivoluzione concettuale che porterà alle geometrie non euclidee e, nel secolo successivo, alla teoria della relatività.

Il trattato di geometria descrittiva di Monge ha il grande merito di reintrodurre la geometria “pura” come uno degli aspetti fondamentali della scienza, (invasa da pratiche computazionistiche) e di contribuire a quella formazione culturale che ha portato alle moderne teorie di geometria, tra le quali compare per la prima volta nel ‘800 la geometria differenziale, vista inizialmente come applicazione dell’analisi alla geometria, ma poi sviluppatasi in modo autonomo.

Nella seconda metà del secolo, grazie alle opere di Darboux e Bianchi si arriva ad una sistemazione organica della geometria differenziale. Nei loro trattati vi si trovano le basi necessarie per lo sviluppo delle teorie di Ricci e Levi Civita, diventate poi fondamentali per la relatività generale.

Il lavoro di Darboux sulla teoria generale delle superfici qui esposto, oltre ad essere un classico testo di riferimento per gli studi sulle superfici, è da considerarsi un punto di riferimento per la teoria geometrica delle equazioni differenziali alle derivate parziali.

Bianchi, allievo di Betti e Dini, comincia una carriera di insegnamento a Pisa che dura ininterrotta fino alla morte. I suoi numerosi trattati trovano origine nei corsi tenuti all’Università di Pisa, ed i contenuti che emergono, come ad esempio la teoria delle equazioni secondo Galois, qui esposto, sono spesso di grande attualità.

Infine, di grande rilievo è la presenza in questa collana delle opere di Riemann, uno dei più grandi matematici di tutti i tempi. Nelle opere qui esposte sono contenuti i germi della geometria differenziale moderna, della teoria delle funzioni analitiche, ma soprattutto vi sono contenute le idee innovative che hanno portato alla nascita della topologia algebrica e al grande sviluppo della geometria algebrica.

La teoria delle funzioni di variabile complessa introdotta dal matematico tedesco, partendo dallo studio di alcune proprietà locali delle funzioni, ha il grande pregio di prescindere dalla descrizione esplicita delle stesse funzioni per arrivare a capirne le proprietà “globali”. In essa compaiono per la prima volta nuovi concetti puramente geometrici ed in particolare vi si trova l’idea fondamentale di “superficie di Riemann” , di grandissima attualità e importanza fino ai giorni d’oggi (la moderna “teoria delle stringhe “ ad esempio si basa, tra le altre cose, sullo studio delle superficie di Riemann).

La sua teoria delle funzioni abeliane riesce a fornire una grande sintesi dei numerosi aspetti che legano queste funzioni (ad esempio il genere di una superficie, il concetto di funzione meromorfa ed il modernissimo problema dei “moduli”), e vi sono introdotti gli aspetti fondamentali che hanno caratterizzato la geometria birazionale del XX secolo.