Università degli Studi di Pisa- Corso di laurea in Matematica PROVA SCRITTA DI CALCOLO DIFFERENZIALE

del 3 Luglio 2009

Nome e Cognome: Matricola:

1. Data f : lR^{2} → lR definita da:

f(x, y) = 2(x^{4} + y^{4} + 1) − (x + y)^{2}

determinarne i punti stazionari e stabilire se si tratta di punti di massimo e/o minimo locale chiarendo in caso affermativo se sono anche assoluti.

2. Dato il seguente il problema di Cauchy

\begin{cases}y′ = (y^{2} − 6y + 8)^{3} \\ y(0) = α \end{cases}

studiarne qualitativamente, al variare di α ∈ lR la soluzione massimale su x ≥ 0, determinandone l’intervallo massimale di esistenza e tracciandone un grafico approssimativo.

3. Calcolare lo sviluppo in serie di Fourier reale della funzione e^{2x+1} su [−π.π] stabilendone le proprieta’ di convergenza puntuale, uniforme e/o totale.