Università degli Studi di Pisa- Corso di laurea in Matematica PROVA SCRITTA DI INTEGRAZIONE

del 3 Luglio 2009

Nome e Cognome: Matricola:

1. Sia φ : \overline{B} → lR^{3} la parametrizzazione di una superficie S = φ(\overline{B}) dove B = {(x, y) ∈ lR^{2} : x^{2} + y^{2} < 1}. Fissato P ∈ lR^{3} si dimostri che

(i) esiste Q ∈ S tale che ∥P − Q∥ = dist(P, S) := inf_{Q′∈S} ∥P − Q′∥;

(ii) se Q ∈ φ(B) il vettore P − Q è ortogonale al piano tangente ad S in Q.

2. Calcolare ∫_{V} (x^{2} + y^{2}) dx dy dz dove

V = {(x, y, z) ∈ lR^{3} : 1 ≤ x^{2} + y^{2} + z^{2} e x, y, z ∈ [−2, 2]}

3. Data la forma differenziale w(x, y) = \frac{2y^{2} + x}{x^{2} + 4y^{4}} dx + \frac{4y(2y^{2} − x)}{x^{2} + 4y^{4}}dy si

determini

a) una primitiva sull’insieme A = {(x, y) ∈ lR^{2} : x < 0};

b) il valore di ∫_{γ} w dove γ(t) = (cos^{3}(t), sin^{3}(t)) t ∈ [0, π];

c) se la forma è esatta sul suo dominio.

4. Data F : lR^{2} → lR definita da

F (x, y) = e^{x^{2} sin(y)} + arctan (y + x^{2} + 1) − 1.

dimostrare che l’equazione F (x, y) = π/4 definisce implicitamente in un intorno di (0, 0) una funzione continua y = f(x) che ha un punto stazionario in x = 0. Dire se x = 0 è un punto di massimo o minimo relativo per f.