Università degli Studi di Pisa- Corso di laurea in Matematica PROVA SCRITTA DI CALCOLO DIFFERENZIALE

del 12 Giugno 2009

Nome e Cognome: Matricola:

1. Sia f : lR^{n} → lR definita da:

f(x_{1}, …, x_{n}) = x_{1}x_{2} … x_{n}e^{−(x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}−...+n^{2}x_{n}^{2})}.

Determinare i punti stazionari e stabilire se si tratta di punti di massimo e/o minimo locale o assoluto.

2. Dato il seguente il problema di Cauchy al variare di α ≥ 0

\begin{cases}y′ = y^{2} − yx \\ y(0) = α \end{cases}

- stabilire che per ogni α ≥ 0 l’intervallo di esistenza della soluzione massimale contiene (−∞, 0];

- studiare qualitativamente la soluzione per α > 0, studiandone l’intervallo di esistenza della soluzione massimale e tracciandone un grafico qualitativo.

3. Sia f : lR^{2} → lR definita da:

f(x, y) = (y − x^{2})(y − 2x^{2}).

Dimostrare che f ristretta a qualunque retta per l’origine ha un minimo locale in (0,0). Dire poi se (0,0) è un minimo locale per la funzione data.