Università degli Studi di Pisa- Corso di laurea in Matematica PROVA SCRITTA DI INTEGRAZIONE

del 12 Giugno 2009

Nome e Cognome: Matricola:

1. Sia f : lR^{3} → lR definita da f(x, y, z) = xy + 2z e sia

A = {(x, y, z) ∈ lR^{3} : x + y + z = 0 e x^{2} + y^{2} + z^{2} = 24 }.

Dire se f ammette massimo e minimo su A ed in caso affermativo calcolarli.

2. Sia γ : [a, b] → lR^{n} una curva continua rettificabile. Indicata con B(P, r) una generica palla chiusa di centro P ∈ lR^{n} e raggio r > 0 si ponga

L(δ) := inf{∑_{i=0}^{+∞} r_{i} con γ([a, b]) ⊆ ∪_{i∈lN}B(P_{i}, r_{i}) e 0 ≤ r_{i} < δ}.

Dimostrare che esiste M > 0 tale che per ogni δ > 0 si ha L(δ) ≤ M.

3. Data w(x, y) = \frac{2x − 3y}{x^{2} + 9y^{2}} dx + \frac{3x + 18y}{x^{2} + 9y^{2}} dy stabilire

a) se w è chiusa sul suo dominio;

b) il valore di ∫_{γ} w dove γ è l’ovale definito dall’equazione x^{8} +y^{8} = 1 percorso una volta in senso antiorario.

4. Con la notazione dell’esercizio 2 in lR^{3}, ponendo B la palla chiusa di centro l’origine e raggio 1, si calcolino per ogni P ∈ ∂B e per ogni r ∈ (0, 1),

(i) il volume di B ∩ B(P, r);

(ii) lim_{r→0+} \frac{V ol(B ∩ B(P, r))}{r^{3}}.