Università degli Studi di Pisa- Corso di laurea in Matematica PROVA SCRITTA DI CALCOLO DIFFERENZIALE

del 16 Settembre 2009

Nome e Cognome: Matricola:

1. Determinare estremi superiore ed inferiore ed eventuali massimi e minimi locali della funzione

f(x, y) = 2 + y^{5}(x − arctan y)^{4}.

2. Dato il seguente il problema di Cauchy

\begin{cases}y′ = 8y − y^{4} \\ y(0) = α \end{cases}

studiarne qualitativamente, al variare di α ∈ lR la soluzione massimale, determinando per quali α l’intervallo massimale di esistenza è tutto lR.

3. Sia U(x) = (u(x), v(x))^{t} la soluzione di U′(t) = AU(t) + B(t) con B(t) = (1, t) ed U(0) = (0, 0), dove la matrice A è data da

A = ( \begin{matrix}2 & 2 \\ 0 & α \end{matrix} )

con α ∈ lR \ {0}. Si determini α tale che lim_{t→+∞} v(t)/t = 1.

Al variare di α si calcoli inoltre la matrice exp (A^{−1}t).