Università degli Studi di Pisa- Corso di laurea in Matematica PROVA SCRITTA DI INTEGRAZIONE

del 16 Settembre 2009

Nome e Cognome: Matricola:

1. Dire per quali funzioni u(x, y) ∈ C^{1}(lR^{2} \{(0, 0)}) la forma differenziale

w(x, y) = u(x, y)dx + \frac{y^{3}}{x^{2} + y^{4}} dy

è esatta in lR^{2} \ {(0, 0)} e calcolarne una primitiva.

2. Dire intorno a quali punti di lR^{2} il sistema

\begin{matrix}x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 \\ x^{2} + y^{2} = x. \end{matrix}

definisce (localmente) una curva regolare.

Calcolare poi il massimo e minimo della funzione distanza dal punto (0, 1, 0) sull’insieme dei punti che risolvono il sistema sopra.

3. Si calcoli la misura dell’intersezione dell’asteroide pieno A di equazione A = {(x, y) ∈ lR^{2} : x^{2/3} +y^{2/3} ≤ 1} ed il rombo di centro (1, 0) e vertici (0, 0), (1, 2), (2, 0), (1, −2).