Università degli Studi di Pisa- Corso di laurea in Matematica PROVA SCRITTA DI CALCOLO DIFFERENZIALE

del 2 Febbraio 2009

Nome e Cognome: Matricola:

1. Sia

F (x, y) = (3x − x^{3})(3y − y^{3}).

Determinare i punti stazionari e stabilire se si tratta di punti di massimo e/o minimo locale.

2. Dato il problema di Cauchy

\begin{cases}y′ = \frac{1}{y^{2} − |x|} \\ y(α) = β \end{cases}

- determinare l’intervallo di esistenza della soluzione massimale per α = 0 , β = 1 e tracciarne un grafico qualitativo;

- dimostrare che se α = 1, −1 < β < 1 − \sqrt{2} , allora la soluzione massimale è definita soltanto in un intervallo finito.

3. Calcolare la soluzione u(x, t) : [−π, π] × [0, +∞) che risolve

\begin{cases}\frac{∂}{∂t}u(x, t) = 2\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} u(x, t) + |x| \\ u(−π, t) = u(π, t) & t ≥ 0 \\ \frac{∂}{∂x}u(−π, t) = \frac{∂}{∂x}u(π, t) & t ≥ 0 \\ u(x, 0) = 1 & x ∈ [−π, π]. \end{cases}