Università degli Studi di Pisa- Corso di laurea in Matematica PROVA SCRITTA DI INTEGRAZIONE

del 23 Luglio 2009

Nome e Cognome: Matricola:

1. Sia S l’insieme delle soluzioni (x, y, u, v) ∈ lR^{4} del seguente sistema

ue^{v} + x − cos(y) = 2
x cos(v) + u^{2}v − arcsin(y) = 1.

Dimostrare che in un intorno del punto P = (1, 0, 2, 0) le componenti (u, v) dei punti in S possono essere espresse come funzioni C^{∞} delle

variabili (x, y) e calcolare \frac{∂u}{∂x}(1, 0), \frac{∂v}{∂x}(1, 0).

2. Dato l’insieme C definito da

C = {(x, y, z) ∈ lR^{3} : x^{2} + 4y^{2} + z^{2} − 2yz ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1 e x ≥ 0}

(i) si dimostri che C è misurabile e se ne calcoli la misura;

(ii) si determinino, qualora esistano, massimi e minimi su C della funzione f(x, y, z) = x^{2}yz.

3. Sia T il toro 2-dimensionale in lR^{3} ottenuto ruotando la circonferenza di equazione x^{2}−8x+z^{2}+15 = 0, y = 0 intorno all’asse z. Si determini l’insieme dei punti P di lR^{3} tali che dist(P, T ) = 2, specificando se esso coincide con il sostegno di una superficie.

4. Si risolva, anche in forma implicita, il seguente problema di Cauchy

\begin{cases}y′ = \frac{1 − x^{2}y}{x^{3} − yx^{2}} \\ y(−1) = 2. \end{cases}