Università degli Studi di Pisa- Corso di laurea in Matematica PROVA SCRITTA DI CALCOLO DIFFERENZIALE

del 8 Gennaio 2009

Nome e Cognome: Matricola:

1. Sia F (x, y) = \frac{e^{x}e^{y} − ln(x + y + 1)}{2 − cos(xy)}.

a) Calcolare lo sviluppo di Taylor di ordine 2 di F in (0, 0).

b) Calcolare estremi superiore ed inferiore di F sul suo dominio, stabilendo se si tratta di massimi e/o minimi assoluti.

c) Verificare che (0, 0) è un punto stazionario e stabilire se si tratta di un punto di massimo e/o minimo locale.

d) Determinare i punti stazionari di F su {(x, y) | y > x}.

2. Dato il problema di Cauchy

\begin{cases}y′ = ln(y^{2} + x^{2}) \\ y(0) = α \end{cases}

- determinare l’intervallo di esistenza della soluzione massimale per α = 1 e tracciarne un grafico qualitativo;

- studiare qualitativamente la soluzione per α ≠ 0 generico;

- dire se le soluzioni massimali di y′ = ln(y^{2} + x^{2}) definite su tutto lR ammettono asintoti a ±∞;

- dire se esiste una soluzione massimale di y′ = ln(y^{2} + x^{2}) tale che

lim_{x→0+} y(x) = 0.

3. Sia U(x) = (u(x), v(x))^{t} la soluzione di U′ = AU con U(0) = (β, 1) dove la matrice A è data da

A = ( \begin{matrix}0 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} );

determinare β ∈ lR tale che lim_{x→+∞} u(x) = 0.