Funzioni di più variabili complesse

Serie di potenze Indicheremo con ℂ[[Z_{1}, …, Z_{n}]] l’anello delle serie formali S(Z) = ∑_{I∈ℕ^{n}} a_{I}Z^{I}. L’insieme degli z ∈ ℂ^{n} per cui S(z) converge (ossia sommabile nel senso specificato nell’appendice) è detto insieme di convergenza e la parte interna di questo dominio di convergenza della serie. L’anello ℂ{z_{1}, ..., z_{n}} costituito dalle serie formali aventi dominio di convergenza non vuoto, viene detto anello delle serie convergenti.

Per \underline{z} ∈ ℂ^{n} ed r = (r_{1}, …, r_{n}) ∈]0, +∞[^{n} il policilindro di centro \underline{z} e raggio r è l’insieme P (\underline{z}; r) = \{z ∈ ℂ^{n} : |z_{i} −\underline{z}_{i}| < r_{i} per i = 1, …, n\}. La sua chiusura è chiamata policilindro chiuso ed indicata con P̄(\underline{z}; r). Se z, w ∈ ℂ^{n} il policilindro di centro z passante per w è P̄(z; r) ove r ha per componenti i valori assoluti delle componenti di z − w. I seguenti fatti si dimostrano come nel caso di una variabile:

Lemma 1 (lemma di Abel) Il dominio di convergenza di una serie di potenze ∑ a_{I}Z^{I} è la parte interna dell’insieme degli z ∈ ℂ^{n} per i quali {a_{I}z^{I} I ∈ ℕ^{n}} è limitato

Corollario 2 Se z è nel dominio di convergenza della serie di potenze ∑ a_{I}Z^{I} allora questa è totalmente sommabile sul policilindro di centro 0 passante per z (ossia esiste una serie a termini positivi convergente che la maggiora per ogni z in tale insieme). In particolare (vedi gli usuali teoremi di analisi) la sua somma è una funzione continua su tale policilindro.

Un dominio D in ℝ^{n} è un sottoinsieme che sia aperto e connesso; è detto stellato ripetto ad un x ∈ D se per ogni altro y ∈ D si ha [x, y] ⊂ D: esso è quindi convesso se è stellato rispetto ad ogni suo punto. Nel caso di domini in ℂ^{n} invece dei domini stellati è più conveniente introdurre la nozione di dominio di Reinhart completo di centro un punto z: un aperto D contenente z e che contenga per ogni altro w ∈ D il policilindro di centro z passante per w.

Corollario 3 Il dominio di convergenza di una serie di potenze su ℂ^{n} è un dominio di Reinhart completo di centro 0

Nota. Indicheremo nel seguito come la nozione di convessità debba essere reinterpretata nella teoria di più variabili complesse in quella abbastanza sofisticata di ”convessità olomorfa”.

Nel caso n = 1 il dominio di convergenza è un disco (eventualmente di raggio nullo o infinito) perché in tal caso i policilindri (=dischi) sono totalmente ordinati dall’inclusione. Per n ≥ 2 ciò non è più vero. Comunque il dominio di convergenza non può essere una arbitraria unione di policilindri. Esso deve infatti possedere la seguente importante proprietà: Def. Diremo che un aperto Ω ⊂ ℂ^{n} è logaritmicamente convesso se risulta convesso in ℝ^{n} l’insieme costituito dalle n−uple (log |z_{1}|, ..., log |z_{n}|) ove (z_{1}, ..., z_{n}) appartiene ad Ω ed ha tutte le componenti non nulle.

Proposizione 4 Il dominio di convergenza di una serie di potenze è un dominio di Reinhart di centro 0 che è logaritmicamente convesso Dim. Sia ∑ a_{I}z^{I} ∈ ℂ{z_{1}, ..., z_{n}} sommabile nei punti z, w ∈ ℂ^{n}. Allora le quantità a_{I}z^{I} , a_{J}w^{J} per I, J ∈ ℕ^{n} sono limitate da una costante M ∈ ℝ^{+}. Per 0 ≤ λ ≤ 1 maggioriamo i termini della data serie nel punto t = z^{λ}w^{1−λ}:

|a_{I}t^{I}| = |a_{I}^{λ}z^{λ}I| · |a_{I}^{1−λ}w^{(1−λ)I}| ≤ M^{λ} · M^{1−λ} = M

La dimostrazione è allora conclusa dal lemma di Abel.

Funzioni analitiche Siano Ω ⊂ ℂ^{n} un aperto e f : Ω → ℂ una funzione. Diremo che f è analitica se essa è sviluppabile in serie di potenze all’intorno di ogni punto di Ω. Intendiamo con ciò che per ogni \underline{z} ∈ Ω esistono r = (r_{1}, …, r_{n}) ∈]0, +∞[^{n} ed una serie di potenze ∑_{I∈ℕ^{n}} a_{I}Z^{I} tali che il policilindro P (\underline{z}; r) sia contenuto in Ω e per z ∈ P (\underline{z}, r) la serie ∑_{I∈ℕ^{n}} a_{n}(z − \underline{z})^{n} sia sommabile ed abbia somma f(z).

Teorema 5 Sia ∑ a_{I}Z^{I} una serie convergente sul policilindro P; allora la sua somma f su P è una funzione analitica su P.

Dim. Si deve mostrare che f è sviluppabile in serie di potenze in ogni punto z di P. Dimostreremo non solo che tale sviluppo esiste ma anche che esso converge su ogni policilindro di centro z che sia contenuto in P.

Sia R = (R_{1}, …, R_{n}) il raggio di P e consideriamo il policilindro Q di centro z e raggio r = (r_{1}, …, r_{n}) ove R_{i} = |z_{i}| + r_{i} per i = 1, …, n. Per h = (h_{1}, …, h_{n}) ∈ P (0, r) consideriamo la serie ∑ a_{I}(z + h)^{I} ; da essa, svolgendo le potenze binomiali, si trova una serie di potenze nelle 2n variabili z_{1}, …, z_{n}, h_{1}, …, h_{n}. Se quest’ultima è sommabile, allora la somma può essere calcolata sommando prima per ogni potenza di h tutti i termini in cui essa compare e successivamente la serie di potenze nelle h che ne risulta e avremo così ottenuto il risultato voluto. Che effettivamente tale serie sia sommabile si dimostra mostrando che essa è assolutamente convergente nel modo che segue: la serie di partenza sarà sommabile anche nel punto (|z_{1}| + |h_{1}|, …, |z_{n}| + |h_{n}|). Se nella serie ∑ |a_{I}|(|z| + |h|)^{I} si svolgono le potenze, si ottiene una serie a termini non negativi, la cui sommabilità equivale all’essere le somme parziali limitate e ciò è evidentemente vero perché ∑ |a_{I}|(|z| + |h|)^{I} è sommabile.

Con considerazioni analoghe si verifica che la somma di una serie di potenze è differenziabile in senso complesso e che il suo differenziale ha per componenti (che sono le sue derivate complesse) le serie di potenze ottenute derivando formalmente la serie data. Ne segue che ogni funzione analitica è C^{∞} e che il suo differenziale è ℂ−lineare; essa è quindi una funzione olomorfa.

La formula di Cauchy Essa si deduce dalla conoscenza di quella in una variabile nel seguente modo. Sia P = P (z_{0}, r) un policilindro di centro z_{0} ∈ ℂ^{n} ove r = (r_{1}, …, r_{n}) con r_{i} ∈]0, ∞[ per i = 1, …, n. Chiameremo frontiera fine di P la varietà differenziabile Ṗ = {z ∈ ℂ^{n} : |z_{i}| = r_{i}, i = 1 …, n}, dotata della orientazione prodotto delle orientazioni naturali delle 1-sfere di cui è prodotto.

Supponiamo che f sia olomorfa su un aperto Ω contenente la chiusura del policilindro P.

Teorema 6 Per w ∈ P si ha

f(w) = \frac{1}{(2πi)^{n}} ∫Ṗ \frac{f(z)}{(z_{1} − w_{1}) ⋯ (z_{n} − w_{n})}dz_{1} ∧ ⋯ ∧ dz_{n}

Dim. Si applica n volte la formula di Cauchy in una variabile.

Corollario 7 Sia f olomorfa su un policilindro P. Allora essa è su P la somma di una serie di potenze il cui dominio di convergenza contiene P.

Dim. Analoga a quella per una variabile: si sviluppa utilizzando la serie geometrica l’integrando e si scambia l’ordine tra integrazione e somma della serie.

Abbiamo così dimostrato che anche nel caso di più variabili la nozione di funzione analitica coincide con quella di funzione olomorfa.

La seguente applicazione dei risultati trovati, può apparire singolare e di fatto mette in evidenzia alcune particolarità delle funzioni di più variabili complesse, che saranno ottenute per altra via nel paragrafo successivo:

Corollario 8 Siano a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2} interi positivi con a_{1}b_{2}−a_{2}b_{1} ≠ 0 e sia Ω ⊂ ℂ^{2} l’unione di Ω_{1} = {(z, w) |z^{a_{1}}w^{b_{1}}| < 1} con Ω_{2} = {(z, w) : |z^{a_{2}}w^{b_{2}}| < 1}. Ogni funzione olomorfa f su Ω è restrizione di una funzione olomorfa su tutto ℂ^{2}

Dim. Per i = 1, 2, l’insieme H_{i} costituito dai (log |z|, log |w|) per (z, w) ∈ Ω_{i} è la parte del quadrante positivo di ℝ^{2} definita da a_{i}x + b_{i}y < 0. Lo sviluppo di Taylor di f nell’origine deve convergere nei punti di Ω; siccome il dominio di convergenza di tale sviluppo è logaritmicamente convesso e l’inviluppo convesso di H_{1} ∪ H_{2} è tutto ℝ^{2}, se ne deduce che tale dominio è tutto ℂ^{2}.

Condizioni di olomorfia In una variabile se f è olomorfa la 1-forma f(z)dz è chiusa. L’analogo in n variabili è che se f è olomorfa, diciamo su un aperto Ω ⊂ ℂ^{n}, allora la n-forma f(z)dz_{1} ∧ ⋯ ∧ dz_{n} è chiusa su Ω. Ciò si verifica facilmente utilizzando come base delle 1−forme differenziali a valori complessi su ℂ^{n} le dz_{α} = dx_{α} + idy_{α} e le dz̄_{α} = dx_{α} − idy_{α}; conseguentemente una base delle r−forme sarà data dalle dz_{i_{1}} ∧ ... ∧ dz_{i_{p}} ∧ dz̄_{j_{1}} ∧ ... ∧ dz̄_{i_{q}} per p + q = r. Come nel caso di una variabile si introducono poi gli operatori:

\frac{∂}{∂z_{α}} = \frac{1}{2}(\frac{∂}{∂x_{α}} − i\frac{∂}{∂y_{α}}) \frac{∂}{∂z̄_{α}} = \frac{1}{2}(\frac{∂}{∂x_{α}} + i\frac{∂}{∂y_{α}})

Evidentemente le dz_{α} , dz̄_{β} sono forme chiuse. Se f è una funzione differenziabile, si pone:

∂f = \frac{∂f}{∂z_{1}} dz_{1} + ... + \frac{∂f}{∂z_{n}} dz_{n}  ¯∂f = \frac{∂f}{∂z̄_{1}} d̄z_{1} + .. + \frac{∂f}{∂z̄_{n}} d̄z_{n}

Con tali notazioni si ha: df = ∂f + ¯∂f e la condizione di olomorfia di f diviene ¯∂f = 0. Di conseguenza si ha:

d(fdz_{1} ∧ ... ∧ dz_{n}) = (∑_{1}^{n}(\frac{∂f}{∂z̄_{α}} dz̄_{α})) ∧ dz_{1} ∧ ... ∧ dz_{n}

e quindi f è olomorfa se e solo se fdz_{1} ∧ ... ∧ dz_{n} è chiusa. Nota. L’introduzione degli operatori differenziali ∂, ¯∂ la cui somma è l’operatore di differenzazione esterna può essere descritta in termini di algebra lineare nel modo seguente. Siano V, W spazi vettoriali complessi. L’insieme Hom(V, W) delle applicazioni ℂ−lineari di V in W può essere pensato come sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale complesso Hom_{ℝ}(V, W) costituito dalle applicazioni ℝ−lineari di V in W. Quest’ultimo contiene (come sottospazio complesso) anche lo spazio \overline{Hom}(V, W) costituito dalle applicazioni ϕ : V → W che sono ℝ−lineari e tali che ϕ(iv) = −iϕ(v) per v ∈ V (che sono dette antilineari). E’ facile verificare che Hom_{ℝ}(V, W) è somma diretta (su ℂ) di questi due sottospazi: ossia che ogni applicazione R−lineare di V in W si esprime in modo unico come somma di una applicazione ℂ−lineare, che possiamo chiamare la sua parte olomorfa, con una antilineare, la sua parte antiolomorfa. Così ∂ e ¯∂ sono risp. la parte olomorfa e quella antiolomorfa del differenziale reale d. Una applicazione differenziabile (reale) f : X → Y tra varietà complesse è quindi olomorfa se e solo se ¯∂f = 0; utilizzando coordinate locali olomorfe su X, Y e trascrivendo la condizione ¯∂f = 0 in termini delle derivate reali delle parti reali ed immaginarie delle componenti di f, si ottengono delle relazioni dette equazioni di Cauchy-Riemann.

Un teorema di Hartogs Supponiamo di avere una f olomorfa su un aperto Ω contenente l’insieme H costituito dagli z ∈ ℂ^{n} per cui o |z_{1}| ≤ a_{1} e z_{i} = 0 per i = 2, …, n oppure |z_{1}| = a_{1} e z_{i} ≤ a_{i} per i = 2, …, n ove a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{+^{n}}. Allora detto P il policilindro di raggio a, la formula

F (w) = \frac{1}{(2πi)^{n}} ∫Ṗ \frac{f(z)}{(z_{1} − w_{1}) ⋯ (z_{n} − w_{n})}dz_{1} ∧ ⋯ ∧ dz_{n}

definisce una funzione olomorfa su P che estende la f: infatti per w vicino ad H, si può integrare sulla frontiera fine di un policilindro di raggio (a_{1}, ϵ, …, ϵ) con ϵ sufficientemente piccolo, perchè questo è bordante a Ṗ (si usa la formula di Stokes) e questo dà la f all’interno di tale policilindro.

Le considerazioni precedenti dimostrano essenzialmente che una funzione olomorfa all’intorno dei bordi di una famiglia di dischi, se è estendibile ad almeno uno di tali dischi allora è estendibile a tutti. Precisamente:

Proposizione 9 Siano P ⊂ ℂ^{n} un policilindro aperto, S la sua frontiera fine ed f una funzione olomorfa su un intorno aperto U di S tale che:

- U ∩ P è connesso

- esiste z ∈ P tale che U contiene l’intersezione di P con una delle rette per z che sono parallele agli assi. Allora f è restrizione di una funzione olomorfa F su tutto U ∪ P

Corollario 10 Sia n ≥ 2. Ogni funzione olomorfa su un aperto connesso di ℂ^{n} avente complementare compatto è estendibile olomorficamente su tutto ℂ^{n}.

Il fascio delle funzioni olomorfe e domini di Riemann Sia X una varietà complessa di dimensione n. Consideriamo le terne (U, f, z) ove U ⊂ X è un aperto, f è olomorfa su U e z ∈ U; diremo equivalenti (U_{1}, f_{1}, z_{1}) e (U_{2}, f_{2}, z_{2}) se z_{1} = z_{2} = z ed esiste un intorno U di z per cui U ⊂ U_{1} ∩ U_{2} ed f_{1}|_{U} = f_{2}|_{U}. L’insieme quoziente di tale relazione è il fascio delle funzioni olomorfe su X e sarà indicato con O(X) e con ϕ l’applicazione che alla classe di(U, f, z) associa z. Gli elementi di ϕ^{−1}(z) per z ∈ X sono detti germi di funzioni olomorfe su X in z e costituiscono un anello che sarà indicato con O_{z}(X); se X = ℂ^{n} e z = 0 esso sarà indicato con O(n). Siccome le funzioni olomorfe coincidono con le funzioni analitiche, si ha un isomorfismo naturale O(n) ≅ ℂ{z_{1}, ..., z_{n}}. Introduciamo una topologia su O(X) in modo analogo a quanto fatto nel caso di una variabile: dato U aperto in X ed f olomorfa su U, sia B(U, f) l’insieme delle classi delle terne (U, f, z) per z ∈ U; al variare di (U, f) i B(U, f) costituiscono una base per una topologia su O(X) per la quale ϕ diviene un omeomorfismo locale. Per il teorema di Poincaré-Volterra quindi ogni componente connessa di O(X) è a base numerabile ed è quindi dotata di una struttura di varietà complessa univocamente determinata dal rendere ϕ un biolomorfismo locale. Viene detto dominio di Riemann su X ogni terna (Y, π, F) ove Y è una varietà complessa, π : Y → X è olomorfa localmente invertibile ed F : Y → ℂ è olomorfa. Tale nozione può essere estesa al caso che π non sia localmente invertibile ma richiedendo che Y abbia la stessa dimensione di X e sia olomorfa a fibre discrete: si parla allora di domini di Riemann ramificati. Si può anche considerare il caso in cui F è meromorfa, nozione però che nel caso di più variabili è più delicata di quella in una variabile: esse saranno definite più avanti. Un dominio è detto completo se non è ”restrizione propria” di alcun altro dominio. Tutti i domini di Riemann completi sono ottenibili, come in una variabile, per ”prolungamento analitico” nel modo che segue: sia f una funzione olomorfa definita su un aperto connesso U di X e si prenda per Y la componente connessa di O(X) che contiene B(U, f), per π la restrizione di ϕ : O(X) → X e per F il ”prolungamento” di f.

Proprietà locali delle funzioni olomorfe L’anello O = O_{x}(X) dei germi di funzioni olomorfe in un punto x di una varietà complessa X è isomorfo all’anello ℂ{z_{1}, ..., z_{n}} delle serie convergenti, la scelta di un tale isomorfismo essendo equivalente alla scelta di un sistema di coordinate su X di centro il punto x. Esso è un anello locale ossia possiede un solo ideale massimale 𝔪: quello costituito dai germi nulli in x; ciò segue dal fatto che ogni elemento di O non nullo in x è una unità ossia possiede un inverso moltiplicativo. Dal teorema di inversione locale si deduce che f_{1}, ..., f_{n} ∈ 𝔪 costituicono un sistema di generatori di tale ideale, se e solo se essi costituiscono un sistema di coordinate di centro il punto. Per p ∈ ℕ^{+}, l’ideale 𝔪^{p} è costituito dai germi ”nulli di ordine” p, ossia tali che lo sviluppo in serie contiene solo termini di grado almeno p ed hanno quindi nulle tutte le derivate di ordine inferiore a p (rispetto ad un qualsiasi sistema di coordinate). Si ha inoltre che l’intersezione di tutti gli 𝔪^{p} è l’ideale nullo; possiamo quindi definire una applicazione ordine o : O → ℕ ∪ {∞} assegnando ad un germe non nullo f ∈ O il massimo intero o(f) per cui f ∈ 𝔪^{o(f)} e definendo poi o(0) = ∞. Si ha:

o(f · g) = o(f) + o(g) e o(f + g) ≥ min{o(f) , o(g)} ed evidentemente gli elementi di ordine zero sono il complementare di 𝔪 ossia il gruppo moltiplicativo O^{∗} degli elementi invertibili.

L’anello O è un dominio di integrità (cioè privo di divisori di zero); come in ogni dominio di integrità le questioni di divisibilità sono trattate con la seguente terminologia: per f, g non nulli in O diremo che fdivide g se esiste h ∈ O tale che f · h = g e scriveremo allora f|g; questa è una relazione riflessiva e transitiva, quindi un semiordinamento su O − {0} in cui riterremo equivalenti, diremo associati, due elementi f, g se f|g e g|f il che accade se e solo se f e g differiscono solo per moltiplicazione di un elemento invertibile. Diremo che f ∈ O − {0} è irriducibile se non è invertibile ed è diviso solo da unità e da elementi a lui associati. E’ evidente che ogni elemento di ordine 1 è irriducibile e che ogni f è esprimibile come un prodotto di al più o(f) irriducibili. Diremo primi tra loro due (o più) elementi che abbiano come unici divisori comuni solo le unità.

Siccome O non ha divisori di zero, possiamo considerare il suo corpo dei quozienti che indicheremo con M ed in cui O si immerge come sottoanello; i suoi elementi sono detti i germi di funzioni meromorfe: diversamente dal caso di una variabile, essi non possono essere interpretati come applicazioni continue a valori in ℂ∪{∞} = ℙ^{1} (ad esempio se z_{1}, z_{2} sono le coordinate in ℂ^{2}, il rapporto z_{1}/z_{2} ha un valore ”indeterminato” nell’origine perché sulla retta di equazione z_{1} = mz_{2} tale rapporto è m); quindi gli elementi di M sono per il momento da considerarsi solo ”formalmente” come coppie (f, g) con g non identicamente nulla ed in cui f, g) = (f′, g′) se e solo se fg′ = f′g. Indichiamo con M^{∗} il gruppo moltiplicativo M − {0}. Il gruppo quoziente M^{∗}/O^{∗} detto gruppo dei divisori (locali) sarà indicato con D e con D^{+} indicheremo il semigruppo dei divisori positivi ossia le classi di equivalenza date da elementi di O − {0}; l’immagine di f ∈ M in D sarà indicata con (f). Il semigruppo D^{+} induce un semiordinamento su D che proviene da quello su M^{∗} che estende quello su O − {0}, ossia f|g se e solo se f · h = g per h ∈ O. Infine diremo irriducibili i divisori di elementi irriducibili in O − {0}.

Le definizioni date sono di carattere generale e proprio perció del tutto elementare. Per determinare proprietà specifiche di divisibilità ed interpretare geometricamente le nozioni di funzione meromorfa e di divisore da un punto di vista globale, stabiliremo nel prossimo paragrafo un risultato di fondamentale importanza.

Il teorema di preparazione di Weierstrass

Notazioni: λ = (λ_{1}, ..., λ_{p}) ∈ ℂ^{p} , z = (z_{1}, ..., z_{n}) ∈ ℂ^{n} , w ∈ ℂ e sia P (w, λ) = w^{p} + λ_{1}w^{p−1} + ... + λ_{p} il polinomio generale di grado p.

Proposizione 11 (Divisione per il polinomio generale) Sia f ∈ ℂ{w, z}. Esistono Q ∈ ℂ{w, z, λ} e h_{1}(z, λ), ..., h_{p}(z, λ) tali che posto R = h_{1}w^{p−1} + ... + h_{p} si abbia:

f(w, z) = Q(w, z, λ)P (w, λ) + R(w, z, λ)

(divisione per P con resto R)

Dim. Scelto un disco D di centro l’origine nel piano delle w che sia sufficientemente piccolo la formula di Cauchy dà:

f(w, z) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f(ξ, z)}{ξ − w}dξ

Si ha la relazione:

\frac{P (ξ, λ) − P (w, λ)}{ξ − w} = Δ(w, ξ, λ)

ove Δ è un polinomio di grado p − 1 in w. Da essa si ottiene la relazione:

\frac{1}{ξ − w} = \frac{P (w, λ)}{P (ξ, λ)(ξ − w)} + \frac{Δ(w, ξ, λ)}{P (ξ, λ)}

Sostituendo nella formula di Cauchy si ottiene:

f(w, λ) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f(ξ, λ)P (w, λ)}{P (ξ, λ)(ξ − w)}dξ + \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f(ξ, λ)Δ(w, ξ, λ)}{P (ξ, λ)}dξ

che dà la relazione cercata.

Corollario 12 (teorema di divisione) Siano f ∈ ℂ{w, z} e h_{1}(z), ..., h_{p}(z) ∈ ℂ{z}. Esistono allora Q(w, z), R(w, z) ∈ ℂ{w, z} univocamente determinati dalla condizione:

f(w, z) = Q(w, z)(w^{p} + h_{1}(z)w^{p−1} + ... + h_{0}(z)) + R(w, z)

Dim. Si sostituiscano nella proposizione precedente i λ_{i} con le h_{i}(z)

Def. Diremo che f(w, z) ∈ ℂ{w, z} è p−regolare in w se f(w, 0) ha uno zero d’ordine p in 0.

Proposizione 13 (Teorema di preparazione) Sia f(w, z) ∈ ℂ{w, z} una serie p−regolare rispetto a w. Allora esistono u_{1}(z), ..., u_{p}(z) ∈ ℂ{z} e Q(w, z) ∈ ℂ{w, z} con u_{1}(0) = ... = u_{p}(0) = 0 , Q(0, 0) ≠ 0 tali che

f(w, z) = Q(w, z)(w^{p} + u_{1}(z)w^{p−1} + ... + u_{p}(z))

Dim. Dividendo per il polinomio generale si ha:

(∗) f(w, z) = Q_{1}(w, z, λ)P (w, λ) + R(w, z, λ)

Ponendo in tale eguaglianza w = 0 e λ = 0 si ottiene

f(w, 0) = Q_{1}(w, 0, 0)w^{p} + h_{1}(0, 0)w^{p−1} + ... + h_{p}(0, 0)

Essendo f p−regolare rispetto a w, tale relazione assicura che Q_{1}(0, 0, 0) ≠ 0 e che h_{1}(0, 0) = ... = h_{p}(0, 0) = 0. La dimostrazione verrà completata mostrando che la matrice ∂h_{i}/∂λ_{j}(0, 0) è invertibile; infatti allora nella (∗) si potranno sostituire alle λ_{j} delle funzioni u_{j}(z) olomorfe e nulle all’origine in modo da ottenere l’enunciato. Si procede così : deriviamo la relazione (∗) rispetto a λ_{i} e si calcoli per z = 0, λ = 0; si ottiene:

0 = w^{p−i}Q(w, 0, 0) + w^{p} \frac{∂Q}{∂λ_{i}} (w, 0, 0) + ∑_{j=1}^{p} \frac{∂h_{j}}{∂λ_{i}} (0, 0)w^{p−j}

Confrontando in tali relazioni gli ordini di infinitesimo in w prima per i < j e poi per i = j si trova che le ∂h_{j}/∂λ_{i} sono nulle per i < j e non nulle per i = j.

Nota. Il teorema di divisione generale (e di conseguenza anche quello di preparazione) rimane valido nel caso di funzioni differenziabili. La dimostrazione si fa estendendo la funzione f : ℝ × ℝ^{p} ad una f̃: ℂ × ℂ^{p}; la rappresentazione integrale generalizzata di Cauchy dà allora:

f̃(w, z) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f̃(ξ, z)}{ξ − w}dξ + \frac{1}{2πi} ∫_{D} \frac{f̃(ξ, z)}{ξ − w}dξ ∧ dξ̄

Utilizzando la relazione polinomiale usata nel caso analitico, entrambi i membri di destra forniscono delle espressioni che se differenziabili verificano quanto richiesto dall’enunciato. Non vi è nessum problema per il primo di essi ma il secondo essendo un integrale improprio, non dipenderà a priori in modo differenziabile dai parametri. Si può però dimostrare, scegliendo opportunamente l’estenzione f̃ anche alle variabili λ_{i} di modo che essa sia ”formalmente olomorfa” sul dominio di f e sul luogo di zeri di P, tale differenziabilità. Nel caso analitico si può dimostrare per entrambe le precedenti proposizioni l’unicità delle espressioni asserite negli enunciati. Ciò si può dimostrare esaminando il numero degli zeri nella variabile w; ad esempio se fosse

0 = Q(w, z, λ)P (w, λ) + h_{1}(z, λ)w^{p−1} + ... + h_{p}(z, λ)

fissati z, λ (opportunamente piccoli), il primo addendo ha almeno p zeri (quelli di P); la somma degli altri, essendo un polinomio di grado inferiore a p ed avendo almeno p zeri dovrà essere identicamente nullo, ossia le h_{i} devono essere nulle. Allora necessariamente anche Q dovrà essere identicamente nullo.

Nota. Gli stessi enunciati, come le conseguenze che tratteremo nel prossimo paragrafo, sono validi sostituendo a ℂ un corpo valutato completo od anche per l’anello K[[T_{1}, ..., T_{n}]] delle serie formali su un corpo qualsiasi; in tali casi la dimostrazione del teorema di preparazione non può utilizzare la formula di Cauchy e deve quindi essere fatta in modo completamente diverso: ciò può essere fatto col metodo cosiddetto di Cauchy, mostrando che le serie incognite, sono ottenibili risolvendo il sistema algebrico ottenuto scrivendo le relazioni richieste e poi, nel caso di un corpo valutato completo, che tali soluzioni sono di fatto convergenti se i dati di partenza lo sono (vedi ad esempio il ”Commutative Algebra” di Zariski e Samuel).

Fattorialità e noetherianità di O

Proposizione 14 Gli anelli O(n) sono domini a fattorizzazione unica. Ossia sono domini di integrità ogni cui elemento non nullo è un prodotto di un numero finito di irriducibili e tale decomposizione è essenzialmente unica, cioè lo è a meno dell’ordine dei fattori ed alla sostituzione di questi con associati. Ciò può anche essere espresso dicendo che D è liberamente generato su ℤ dai divisori irriducibili

Dim. Sappiamo già che ogni elemento di O è prodotto di un numero finito di irriducibili; basterà quindi mostrare che per f, g, h ∈ O ed f irriducibile, se f|gh allora f|g o f|h. Scegliamo un sistema di coordinate (ossia un isomorfismo di O con ℂ{z_{1}, ..., z_{n}}) nel quale gh è p−regolare rispetto a z_{n} ad esempio con p = o(gh): se non lo fosse in uno prefissato, si consideri il polinomio omogeneo somma dei termini di grado p della serie gh e si scelga un nuovo sistema con asse z_{n} una retta ove H non è identicamente nullo; anche f sarà allora regolare rispetto a z_{n}. Per il teorerma di Weierstrass possiamo supporre quindi, a meno di elementi invertibili, che f, g, h appartengano all’anello ℂ{z_{1}, ..., z_{n−1}}[z_{n}] dei polinomi in z_{n} a coefficienti nelle serie convergenti in z_{1}, ..., z_{n−1}. Evidentemente f sarà irriducibile anche in tale anello. Si conclude quindi osservando che per ipotesi di induzione possiamo supporre che O(n − 1) sia fattoriale, quindi lo è anche l’anello dei polinomi O(n − 1)[z_{n}] e che quindi f deve dividere g oppure h già in tale anello.

Proposizione 15 Gli anelli O(n) sono noetheriani

Dim. Siano I un ideale in O(n) ed f un suo elemento non nullo. Scegliamo un isomorfismo O(n) ≅ ℂ{z_{1}, ..., z_{n}} nel quale f sia regolare rispetto a z_{n} e sia I′ = I ∩ ℂ{z_{1}, ..., z_{n−1}}[z_{n}]. Per ipotesi di induzione, O(n − 1) è noetheriano, quindi anche O(n − 1)[z_{n}] lo è per il teorema della base di Hilbert: esiste quindi un sistema finito di generatori f_{1}, ..., f_{r} di I′. Mostriamo che f, f_{1}, ..., f_{r} generano I. Infatti se g ∈ I, per il teorema di divisione si ha g = Qf +R con R un polinomio in z_{n} a coefficienti in O(n − 1) e quindi certamente R ∈ I′; esprimendo R come combinazione delle f_{1}, ..., f_{r} la relazione precedente dà g come combinazione di f, f_{1}, ..., f_{r}.

Funzioni meromorfe Sia X un aperto connesso in ℂ^{n} o più in generale una varietà complessa connessa di dimensione n. L’anello H(X) delle funzioni olomorfe su X è un dominio di integrità di cui possiamo considerare il corpo (formalmente costruito) delle frazioni. A differenza del caso n = 1 nel quale tali frazioni possono essere interpretabili come applicazioni olomorfe a valori in ℂ ∪ {∞} = ℙ^{1}, se n ≥ 2 ciò non è possibile: ad esempio come già osservato, per n = 2 la frazione z_{2}/z_{1} può essere interpretata come funzione su ℂ^{2} − {0} che vale ∞ nei punti con z_{2} = 0 e z_{1} ≠ 0 ma nel punto (0, 0) non le può essere attribuito nessun valore naturale: infatti in ogni intorno di (0, 0) essa assume tutti i valori possibili. Oltre a questa difficoltà, anche per n = 1 l’anello O(X) può essere troppo piccolo per poter fornire tutte le ”applicazioni” in ℙ^{1}, come accade ad esempio se X è compatta nel qual caso le uniche funzioni olomorfe globali sono quelle costanti. Per queste ragioni la definizione di funzione meromorfa dovrà essere data in una forma più elaborata. Per x ∈ X sia M_{x} il corpo dei quozienti dell’anello O_{x} dei germi di funzioni olomorfe su X in x. Una funzione meromorfa su X è il dato per ogni x ∈ X di un elemento f_{x} ∈ M_{x} in modo che sia soddisfatta la seguente ”condizione di compatibilità”: per ogni x_{0} ∈ X esistono un suo intorno aperto connesso U e due funzioni olomorfe g, h su U di cui h non identicamente nulla, tali che per ogni x ∈ U i germi g_{x}, h_{x} da esse indotti in O_{x} verifichino la relazione f_{x} = g_{x}/h_{x}. Un modo (peraltro generale) per individuare un tale oggetto è in seguente: sia dato un ricoprimento aperto U = (U_{i})_{i∈I} di X e per ogni i ∈ I siano fissate due funzioni olomorfe g_{i}, h_{i} su U_{i} di cui la seconda non identicamente nulla su alcuna componente connessa di U_{i} e supponiamo che per ogni i, j ∈ I tali che U_{i} ∩ U_{j} ≠ ∅ si abia g_{i}h_{j} = g_{j}h_{i}; allora per ogni fissato x ∈ X, il quoziente formale f_{x} dei germi in x di g_{i}, h_{i} non dipende dal particolare U_{i} contenente x e l’insieme di questi dà un sistema ”compatibile” ossia una funzione meromorfa su X. L’insieme delle funzioni meromorfe su X ha una struttura naturale di corpo che contiene il corpo dei quozienti di O(X). In certi casi (ad esempio se X è un aperto convesso di ℂ^{n} o una sottovarietà chiusa in ℂ^{n}) si può dimostrare che tali due corpi coincidono; questo tipo di questioni sono di solito abbastanza complicate da trattare.

Ipersuperfici e divisori Sia X una varietà complessa di dimensione n. Un sottoisieme C ⊂ X sarà detto una ipersuperficie complessa se ogni x ∈ X ha un intorno aperto connesso U ed una funzione olomorfa f : U → ℂ non identicamente nulla tali che C ∩ U = {x ∈ U : f(x) = 0}. Una ipersuperficie è detta irriducibile se non è esprimibile come unione di due ipersuperfici strettamente contenute in essa. Una scrittura formale ∑ n_{C}C ove i C sono ipersuperficie irriducibili di X e gli n_{C} sono in ℤ sarà detta un divisore di X se tale somma è localmente finita nel senso seguente: per ogni compatto K di X l’insieme delle ipersuperficie C che intersecano K e per le quali n_{C} ≠ 0 è finito. L’insieme D(X) dei divisori di X ha una struttura ovvia di gruppo abeliano; chiamando non negativi i divisori aventi tutti i coefficienti n_{C} non negativi, si ottiene su D(X) un semiordinamento che lo rende un reticolo: per ogni coppia di divisori esistono il minimo dei maggioranti ed il massimo dei minoranti comuni. Mostreremo adesso come associare ad ogni f ∈ M^{∗} = M − {0} un elemento (f) ∈ D(X) detto il suo divisore ottenedo così un omomorfismo del gruppo moltiplicativo delle funzioni meromorfe non nulle nel gruppo dei divisori; tale (f) sarà unicamente espimibile come differenza di (f)_{0}−(f)_{∞} di divisori non negativi primi tra loro ossia con massimo minorante 0, che saranno interpretabili come ”luoghi” di zero e di infinito della f, i coefficienti interi di tali divisori essendo gli analoghi dell’ordine di zero o di polo per funzioni di una variabile. Per fare ciò avremo bisogno della seguente:

Proposizione 16 Siano g, h funzioni olomorfe su un aperto U di ℂ^{n}; l’insieme degli x ∈ U nei quali g, h inducono germi primi tra loro costituiscono un sottoinsieme aperto

Dim. Localmente possiamo utilizzare coordinate (w, z) ∈ ℂ × ℂ^{n−1} tali che g(w, z) = w^{p} + a_{1}(z)w^{p−1} + ... + a_{p}(z) ed h(w, z) = w^{q} + b_{1}(z)w^{q−1} + ... + b_{q}(z) siano polinomi monici in w a coefficienti germi olomorfi in z_{1}, ..., z_{n−1} . Tale relazione sarà valida in un prodotto tra un disco D per la variabile w per un policilindro P per le z. Sia R(z) il risultante di g, h considerati come polinomi in w a coefficienti funzioni olomorfe su P; il germe di R in 0 è quindi il risultante di g, h come elementi di ℂ{z}[w]. Se in un (w_{1}, z_{1}) ∈ D × P le funzioni g, h avessero un fattore primo comune, allora R sarebbe nulla in un intorno di z_{1} e quindi identicamente nulla su tutto P contraddicendo il fatto che R non lo è all’intorno di 0 essendo g, h prime tra loro nell’origine.

Altri teoremi di estenzione Una funzione continua su un aperto Ω ⊂ ℂ ed olomorfa fuori dell’intersezione X di Ω con una retta (reale) di ℂ è necessariamente olomorfa su tutto Ω; infatti per il teorema di Morera basta mostrare che la forma f(z)dz ha integrale nullo sul bordo di ogni rettangolo contenuto in Ω; più in generale ciò si può dimostrare nel caso che X sia una curva differenziabile in Ω. Ciò si generalizza al caso di più variabili:

Proposizione 17 Siano Ω ⊂ ℂ^{n} un aperto ed X una sua sottovarietà differenziabile reale di dimensione 2n − 1. Ogni f : Ω → ℂ continua che sia olomorfa su Ω − X è olomorfa su tutto Ω

Dim. Basta mostrare che f è localmente olomorfa in ogni x ∈ Ω che supporremo essere l’origine. Modulo un cambiamento lineare di coordinate, possiamo supporre che gli assi coordinati siano tutti trasversali ad X: infatti detto H l’iperpiano reale tangente ad X in 0, la sua intersezione L con iH è un iperpiano complesso di ℂ^{n} e sarà sufficiente scegliere una base complessa di ℂ^{n} fatta di elementi non appartenenti ad L. Allora un policilindro P sufficientemente piccolo, sarà fatto di dischi paralleli agli assi coordinati tutti trasversali ad X ed aventi quindi per intersezione con esso una curva differenziabile. Siccome la proposizione è vera in una variabile, si ha che f è olomorfa olomorfa separatamente in ogni variabile. Resta solo da osservare che una funzione f che sia olomorfa separatamente in ogni variabile e che sia localmente continua è di fatto olomorfa: infatti se Q è un policilindro aperto con chiusura entro Ω, la funzione (1/2πi)^{n} ∫Q̇ (f(ζ)/(ζ_{1}−z_{1})...(ζ_{n}−z_{n}))dζ_{1}·..·ζ_{n} è olomorfa su Q; per la continuità di f tale integrale coincide con un integrale iterato di Cauchy nelle singole variabili che per l’ipotesi di olomorfia sulle singole variabili da il valore della f.

In una variabile il teorema di estenzione di Riemann assicura che se X è un sottoinsieme discreto in un aperto Ω ⊂ ℂ ogni funzione olomorfa su Ω − X che sia limitata è prolungabile olomorficamente a tutto Ω. Anzi abbiamo visto che ciò accade anche se X è supposto semplicemente avere ”lunghezza lineare” nulla come ad esempio l’usuale insieme di Cantor in [0, 1]. Nel caso di più variabili tratteremo per semplicità solo l’analogo del caso che X sia discreto.

Proposizione 18 Siano Ω ⊂ ℂ^{n} un aperto ed X una sua sottovarietà differenziabile reale (chiusa) di dimensione 2n − 2. Allora ogni funzione olomorfa f su Ω − X che sia limitata è estendibile olomorficamente a tutto Ω

Dim. Il problema essendo locale possiamo supporre che X contenga l’origine e dimostrare che allora f ha una estenzione olomorfa all’intorno di essa. Sia H lo spazio tangente ad X in 0: esso è un sottospazio vettoriale reale di dimensione 2n − 2. Possiamo supporre che esista una retta complessa L che intersechi H solo in 0 , ossia che sia un suo supplementare dal punto di vista reale. Infatti se H è un sottospazio complesso ciò è chiaro. Altrimenti H ≠ iH e quindi H + iH essendo un sottospazio complesso che contiene strettamente H dovrà coincidere con tutto ℂ^{n}. In tal caso esisteranno u, v ∈ H tali che iu , iv generino su ℝ un supplementare reale di H. Il vettore u + iv genera una retta complessa come richiesto: infatti per a, b ∈ ℝ si ha (a + ib)(u + iv) = au − bv + i(av + bu) che appartyiene ad H solo se a = b = 0. Usiamo coordinate in ℂ^{n} in cui L è l’asse z_{n}. Sia D un disco di centro 0 nell’asse z_{n} contenuto in Ω che incontri X solo in 0 e sia P un policilidro ottenuto prendendo i dischi paralleli a D in ℂ^{n} abbastanza vicini a lui di modo che la sua frontiera fine Ṗ sia disgiunta da X. Consideriamo la funzione F (z) = (1/2πi)^{n} ∫Ṗ (f(z)/(ζ_{1}−ζ)·..·(ζ_{n}−z_{n}))dζ_{1}·..·ζ_{n} è olomorfa all’interno di P; essa coincide con la f su tutti i dischi paralleli a D che incontrano X in un insieme discreto (tra cui D e quelli abbastanza vicini: potremmo supporre tutti) perche la proposizione è vera in una variabile e ciò conclude la dimostrazione.

Oss. Vedremo tra poco che nella la proposizione precedente può essere talvolta eliminata l’ipotesi che f sia limitata: ad esempio ogni funzione olomorfa su un aperto Ω ⊂ ℂ^{2} a cui siano tolti i punti a coordinate entrambe reali è prolungabile olomorficamente a tutto Ω.

Il risultato seguente ha significato solo per n ≥ 2 variabili:

Proposizione 19 Siano Ω ⊂ ℂ^{n} un aperto ed X una sua sottovarietà differenziabile reale di dimensione 2n − 3. Allora ogni funzione olomorfa su Ω − X è prolungabile olomorficamente a tutto Ω

Dim. Analoga a quella della proposizione precedente, osservando che nelle ipotesi fatte, per ogni x ∈ X passa almeno un disco complesso 1−dimensionale tra i cui paralleli comunque vicini ve ne sono di disgiunti da X; si applica quindi il ”principio” di Hartogs: basta prendere un disco contenuto nel traslato di una retta complessa L che incontri lo spazio tangente ad X e ragionare in termini reali rappresentando X localmente come un grafico.

Condizioni al bordo per convessità reale ed olomorfa Un aperto Ω ⊂ R^{n} è detto a frontiera differenziabile se per ogni x_{0} ∈ ∂Ω esistono un suo intorno aperto U ed una funzione differenziabile ϕ : U → ℝ che sia negativa su U ∩Ω , nulla su U ∩∂Ω e tale che il suo ”gradiente” ▽ϕ(x_{0}) (ossia il vettore colonna le cui componenti sono le derivate parziali di ϕ calcolate in x_{0}) abbia norma 1; ogni tale ϕ sarà detta una equazione locale per la frontiera di Ω in x_{0}.

Proposizione 20 Siano ϕ, ψ equazioni locali per ∂Ω in x_{0}. Esiste una funzione differenziabile ρ definita in un intorno di x_{0} tale che ψ = ρϕ e ρ(x_{0}) = 1.

la dimostrazione è un facile corollario del seguente lemma di divisione:

Lemma 21 Siano ϕ, ψ funzioni differenziabili reali su un aperto U di ℝ^{n} tali che per ogni x ∈ U con ϕ(x) = 0 sia ψ(x) = 0 e dϕ(x) ≠ 0. Esiste una funzione differenziabile ρ : U → ℝ tale che ψ = ρϕ

Dim.(del lemma) La questione essendo locale si può supporre, modulo un cambiamento di coordinate, che U sia una palla di centro l’origine e che ϕ = x_{1} sia la prima coordinata di ℝ^{n}. Consideriamo per x ∈ U la funzione G : [0, 1] → ℝ definita da G(t) = ψ(tx_{1}, x_{2}, ..., x_{n}). Si ha:

ψ(x) = G(1) − G(0) = ∫_{0}^{1} G′(t)dt = x_{1} ∫_{0}^{1} \frac{∂ψ}{∂x_{1}} (tx_{1}, x_{2}, ..., x_{n})dt

Resta solo da osservare che per un teorema di derivazione sotto segno di integrale il fattore integrale nel secondo membro è differenziabile su U. Dim. (della proposizione) per il precedente lemma si ha ψ = ρϕ e quindi ▽ψ = ϕ▽ρ + ρ▽ϕ. Essendo ϕ(x_{0}) = 0 e ||▽ψ(x_{0})|| = ▽ϕ(x_{0})|| = 1 si ottiene che |ρ(x_{0})| = 1; d’altra parte non può essere ρ(x_{0}) = −1 perché ϕ, ψ assumono valori di segno concorde vicino ad x_{0} e quindi deve essere ρ(x_{0}) = 1.

Sia ϕ una equazione locale per ∂Ω in x_{0}; ad essa possiamo associare una forma quadratica Q(ϕ; x_{0}) sullo spazio tangente T = T (∂Ω)_{x_{0}} alla varietà differenziabile ∂Ω in x_{0}: la restrizione a T della forma quadratica indotta su ℝ^{n} dalla matrice simmetrica (\frac{∂^{2}ϕ}{∂x_{i}x_{j}} (x_{0}))_{ij}.

Proposizione 22 Q(ϕ; x_{0}) non dipende dalla particolare equazione ϕ, ma solo da Ω e da x_{0}. Essa sarà detta la forma hessiana di ∂Ω in x_{0} e verrà indicata con H(∂Ω, x_{0})

Dim. Siano ϕ, ψ equazioni locali per ∂Ω in x_{0}; per la precedente proposizione esiste ρ differenziabile con ψ = ρϕ e ρ(x_{0}) = 1. Con un calcolo diretto si verifica che, essendo ϕ(x_{0}) = 0, la matrice delle derivate seconde di ψ è data dalla somma della matrice delle derivate seconde di ϕ più le matrici ▽ϕ ·^{t}▽ρ e ▽ρ ·^{t}▽ϕ. Entrambe le forme quadratiche associate a queste due ultime matrici sono nulle su T, che è l’insieme dei v ∈ ℝ^{n} tali che ^{t}▽ϕ · v = 0.

Mostreremo adesso come la segnatura di H(∂Ω, x_{0}) sia collegata con le proprietà di convessità/concavità locale di Ω in x_{0}. Def. Siano Ω ⊂ ℝ^{n} un apero ed X ⊂ ℝ^{n} una varietà differenziabile passante per il punto x_{0} ∈ ∂Ω; diremo che X è localmente esterna (risp. localmente interna) ad Ω in x_{0} se esiste un intorno U di x_{0} in ℝ^{n} tale che X ∩ U − {x_{0}} è contenuto in Ω (risp. contenuto nell’interno del complementare di Ω).

Proposizione 23 Siano Ω ⊂ ℝ^{n} un aperto a frontiera differenziabile, x_{0} ∈ ∂Ω e sia p_{+} l’indice di positività di H = H(∂Ω, x_{0}), ossia la massima dimensione dei sottospazi di T sui quali la forma è definita positiva (siccome su T è fissato un prodotto scalare definito positivo, quello indotto da ℝ^{n}, l’indice di positività coincide con il numero, tenuto conto delle molteplicità, dei suoi autovalori positivi). Allora esiste un sottospazio affine H di dimensione p_{+} passante per x_{0} ed ivi localmente esterno ad Ω. Analoga proprietà per l’indice p_{−} di negatività. In particolare se H è non degenere (non ha autovalori nulli), allora p_{+} è la massima dimensione di sottospazio affine per x_{0} localmente esterno ad ω

Dim. Si scelga un sottospazio vettoriale H′ di dimensione p_{+} sul quale H è definita positiva. Allora su H = x_{0} + H′ la funzione ϕ si annulla col suo differenziale primo ed i suoi termini di secondo grado sono una forma definita positiva; quindi ϕ ha in x_{0} un minimo locale stretto ed è quindi strettamente positiva fuori di x_{0}.

E’ abbastanza facile dedurre da quanto precede il seguente criterio per la covessità globale di ω:

Proposizione 24 Sia Ω ⊂ ℝ^{n} un aperto a frontiera differenziabile. Se Ω è connesso e ∂Ω ha la forma hessiana definita positiva in ogni punto, allora Ω è convesso

Dim. Siano x_{0}, x_{1} in Ω; si scelga un cammino differenziabile Γ : [0, 1] → Ω che va da x_{0}ad x_{1} e sia t_{0} il minimo t ∈ [0, 1] per cui il segmento [x_{0}, γ(t)] non è contenuto in ω. Allora tale segmento è tangente a ∂Ω in un suo punto interno x e la forma H(∂Ω, x) è nulla sul vettore γ(t) − x_{0}: ciò contraddice l’ipotesi di positività dell’hessiano, quindi ogni tale segmento deve essere contenuto in Ω.

Le considerazioni appena esposte possono essere pensate come uno studio delle mutue posizioni tra un aperto Ω ed i vari sottospazi affini di ℝ^{n} passanti per un punto del bordo di Ω o equivalentemente, lo studio delle funzioni affini su ℝ^{n} vicino ad un punto del bordo. Cercheremo ora di dare una idea di come nel caso di aperti Ω ⊂ ℂ^{n}, sostituendo ai sottospazi affini le sottovarietà complesse, si possa costruire una teoria, detta della convessità olomorfa , che in qualche modo somiglia alla precedente, essendo comunque abbastanza più complicata, specialmente per quanto riguarda la caratterizzazione di proprietà globali mediante proprietà locali; di fatto questa teoria, studia il comportamento delle funzioni olomorfe vicino ai punti del bordo di un aperto Ω di ℂ^{n}. Sia quindi Ω ⊂ ℂ^{n} un aperto a frontiera differenziabile e sia ϕ una equazione locale per ∂Ω in un suo punto x_{0}. Lo spazio tangente T = T (∂Ω)_{x_{0}} è un iperpiano reale in ℂ^{n}; è facile vedere che esso contiene un solo iperpiano complesso e precisamente H = T ∩ iT. Consideriamo la martice M costituita dalle derivate seconde ∂^{2}ϕ/∂z_{α}∂z̄_{β} calcolate in x_{0}, essendo

\frac{∂}{∂z_{α}} = \frac{1}{2}(\frac{∂}{∂x_{α}} − \frac{∂}{∂y_{α}}) \frac{∂}{∂z̄_{α}} = \frac{1}{2}(\frac{∂}{∂x_{α}} + \frac{∂}{∂y_{α}})

le ”derivate complesse” formalmente definite per ogni funzione C^{∞}. Essendo la ϕ reale, la matrice M è hermitiana e definisce quindi una forma quadratica hermitiana su ℂ^{n}: la restrizione di questa all’iperpiano complesso H sarà detta forma di Levi di ∂Ω in x_{0} e sarà indicata con L(∂Ω, x_{0}); essa è precisamente (vedi appendice sulla struttura reale di uno spazio vettoriale complesso) la parte hermitiana della forma hessiana ritretta ad H, per cui anche essa è indipendente dalla equazione ϕ utilizzata per calcolarla. La seguente proposizione è l’analogo complesso di una precedente proposizione per il caso reale

Proposizione 25 Siano Ω ⊂ ℂ^{n} un aperto a frontiera differenziabile e p_{+} l’ indice di positività della forma di Levi L di ∂Ω in un punto x del suo bordo. Esiste allora una sottovarietà complessa di dimensione p_{+} passante per x ed ivi localmente esterna ad ω. Analoga proprietà per l’indice p_{−} di negatività. In particolare se L è non degenere, allora p_{+} è la massima dimensione di sottovarietà complesse per x localmente esterne ad ω e p_{−} la massima di quelle interne

Dim. Utilizziamo coordinate w, z_{1}, ..., z_{m} di centro x per le quali T sia lo spazio delle variabili Im(w), z_{1}, ..., z_{m}; allora ∂Ω sarà localmente definita da una funzione differenziabile Re(w) = h(Im(w), z_{1}, ..., z_{m}) e una equazione locale per ∂Ω sarà h(Im(w), z_{1}, ..., z_{m})−Re(w). Lo spazio tangente complesso H è in tal caso quello delle variabili z_{1}, ..., z_{m}. Sia (v. appendice) L + Re(Q) la decomposizione dell’hessiano di h in una componente hermitiana L (che è la forma di Levi per ∂Ω nell’origine) ed una componente ”olomorfa” (parte reale di una forma quadratica Q su ℂ). Si consideri la varietà complessa X definita da w = Q(z_{1}, ..., z_{m}). La ϕ ristretta ad X, letta nei parametri z_{1}, ..., z_{m} è una funzione nulla in 0 assieme al differenziale primo e la cui forma hessiana coincide con la sua parte hermitiana ossia con la forma di Levi; essa è quindi positiva su ogni sottospazio delle variabili z_{1}, ..., z_{m} ove la forma di Levi è definita positiva.

Alcune altre proprietà di estenzione Sia Ω un aperto di ℂ^{n}. Diremo che un chiuso X ⊂ Ω ha codimensione analitica almeno 1 se per ogni x ∈ Ω esiste una funzione olomorfa h : U → ℂ su un intorno aperto connesso U di x che sia nulla su X ∩ U e non identicamente nulla su U. Diremo che X ha codimensione analitica almeno 2 se per ogni x ∈ X esistono due funzioni olomorfe h_{1}, h_{2} : U → ℂ su un intorno U di x che siano nulle su X ∩ U e prime tra loro in x. Diremo che X è trasverso alla struttura complessa se per ogni x ∈ X esiste una funzione differenziabile reale h : U → ℂ su un intorno aperto U di x avente in x un differenziale dh(x) : ℂ^{n} → ℂ surgettivo e non ℂ−lineare; in altre parole se X è localmente contenuto in una varietà differenziabile reale di dimensione 2n − 2 il cui spazio tangente in x non sia un sottospazio vettoriale complesso.

Proposizione 26 Sia X un chiuso di codimensione almeno 2 in un aperto Ω di ℂ^{n}. Ogni funzione olomorfa f : Ω − X → ℂ è estendibile olomorficamente su tutto Ω

Dim. Localmente possiamo supporre che h_{1}, h_{2} siano polinomi monici in una variabile w a coefficienti funzioni olomorfe in z = (z_{1}, ..., z_{n−1}). Sia R(z) il loro risultante che per ipotesi è non identicamente nullo. Allora un disco D di centro l’origine nella variabile w che incontri Y = {h_{1} = h_{2} = 0} solo in 0, ha dischi paralleli arbitrariamente vicini che sono disgiunti da Y e quindi da X. Si applica il principio di Hartogs.

Proposizione 27 Sia X un chiuso di codimensione almeno 1 in un aperto Ω di ℂ^{n}. Ogni funzione f : Ω → ℂ che sia continua ed olomorfa fuori di X è olomorfa su tutto Ω

Dim. Localmente possiamo supporre che la funzione olomorfa h annullantesi su X sia ridotta ossia ogni suo fattore primo abbia molteplicità 1 ed inoltre che sia un polinomio monico in una variabile w a coefficienti funzioni olomorfe in altre variabili z = (z_{1}, ..., z_{n−1}). Sia R(z) il suo discriminante ossia il risultante tra lei e la sua derivata rispetto a w. Nei punti (w, z) con R(z) ≠ 0 il luogo di zeri di h è una ipersuperficie liscia, quindi la f si estende per il teorema di Riemann. L’estenzione ai punti che rimangono è assicurata dalla proposizione precedente, perchè h ed R (considerata come funzione anche di w) sono prime tra loro.

Proposizione 28 Sia X un chiuso in un aperto Ω ⊂ ℂ^{n} trasverso alla struttura complessa. Ogni funzione olomorfa su Ω − X è estendibile olomorficamente a tutto Ω

Dim. A lezione è stato esaminato solo il caso particolare in cui Ω = ℂ^{2} ed X = ℝ^{2}. La dimostrazione utilizza al solito il principio di Hartogs per cui è sufficiente trovare una varietà complessa di dimensione 1 passante per un x ∈ X (che supporremo essere l’origine) tra le cui parallele arbitrariamente vicine ve ne siano di disgiunte da X. Una di queste è definita da iz_{2} = z_{1}^{2}; infatti essa incontra ℝ^{2} solo nell’origine e le sue ”parallele” iz_{2} = z_{1}^{2} + ϵ con ϵ > 0 non incontrano ℝ^{2}. Nel caso generale si dimostra l’esistenza di una ipersuperficie reale contenente X e la cui forma di Levi ha almeno un autovalore negativo.

Appendice 7: principio di riflessione di Schwarz

Teorema 29 (forma debole del principio di riflessione)

Sia Ω un aperto di ℂ che sia simmetrico rispetto all’asse reale e poniamo Ω_{+}{z ∈ Ω : Im(z) ≥ 0}. Se f : Ω_{+} → ℂ è una funzione continua, olomorfa all’interno di Ω_{+} e reale nei punti non interni, allora F : Ω → ℂ definita da F (z) = f(z) se z ∈ Ω_{+}, altrimenti F (z) = \overline{f(z̄)}, è una funzione olomorfa

Dim. Si verifica facilmente che è nullo l’integrale di F (z)dz sul bordo di un qualsiasi rettangolo con i lati paralleli agli assi che sia contenuto in Ω; quindi F (z)dz è chiusa e per il teorema di Morera F è olomorfa.

Questo ”principio di prolungamento” di funzioni olomorfe può essere generalizzato nei seguenti due modi:

1. sia ancora Ω ⊂ ℂ un aperto simmetrico rispetto all’asse reale e poniamo Ω^{+} = Ω∩ℍ; se f : Ω^{+} → ℂ è olomorfa e tale che la sua parte immaginaria abbia limite (uniformemente) nullo per Im(z) → 0, allora la funzione f è estendibile ad una funzione olomorfa F : Ω → ℂ che verifica la relazione F (z̄) = \overline{F (z)}. La dimostrazione è un corollario della seguente proposizione, che è l’estenzione alle funzioni armoniche del precedente principio di riflessione:

Proposizione 30 Siano Ω , Ω_{+} come nella precedente proposizione e sia u : Ω_{+} → ℝ una funzione continua armonica nei punti interni e nulla su quelli che non lo sono (ossia su Ω ∩ ℝ). Allora la funzione U : Ω → ℝ definita da U(z) = u(z) se z ∈ Ω_{+}, altrimenti U(z) = −u(z̄), è arminica su tutto Ω

Dim. Per mostrare che U è armonica, basta mostrare che essa ha la proprietà della media in ogni punto di Ω (v. ad esempio il testo di H.Cartan). Basterà verificare che ciò accade nei punti di Ω appartenenti all’asse reale perché altrove sappiamo già che essa è armonica; in tali punti essa si annulla ed occorre quindi mostrare che U ha media nulla sul bordo di ogni disco contenuto in Ω ed avente centro sull’asse reale: ciò è evidente perché U cambia segno passando da z a z̄.

2. Sia ϕ : [−1, 1] → ℂ una applicazione analitica reale iniettiva con derivata non nulla; la sua immagine γ viene detta un arco analitico semplice. Esiste un intorno aperto U di [−1, 1] simmetrico rispetto all’asse reale ed una applicazione olomorfa iniettiva Φ : U → ℂ che estende ϕ. Sia V l’aperto immagine di Φ : se w ∈ V proviene da z ∈ U, chiameremo simmetrico di w rispetto a γ il punto S_{γ}(w) ∈ V immagine di z̄ secondo Φ. Questa simmetria non dipende dalla particolare ϕ scelta per parametrizzare γ perché due qualsiasi di esse sono riferite localmente da serie analitiche a coefficienti reali che commutano quindi con l’operazione di coniugio; essa è quindi intrinsecamente associata all’arco γ. Si noti che S_{γ} è una applicazione antiolomorfa nel senso che essa è differenziabile C^{∞} nel senso reale con differenziale antilineare su ℂ; ciò equivale a dire che essa è localmente la somma di una serie di potenze in z̄ od anche che la sua coniugata \overline{S_{γ}} è olomorfa.

Più in generale chiamiamiamo riflessione su una superficie di Riemann X una applicazione S : X → X che sia antiolomorfa ed involutoria (cioè coincide con la propria inversa). L’insieme γ dei punti fissi di S, se non vuoto, è allora una sottovarietà analitica chiusa di dimensione 1 di X (si utilizzi il fatto che S(z̄) è un isomofismo olomorfo) ed anzi corrisponde, modulo un cambiamento di coordinata locale, all’usuale coniugio di ℂ. Ciò consente di poter riformulare il principio di riflessione per aperti su superficie di Riemann che abbiano bordo analitico reale.

Appendice 8: algebra lineare reale su spazi vettoriali complessi

Orientazioni Ogni spazio vettoriale complesso V è in particolare uno spazio vettoriale reale. Ad ogni base e_{1}, ..., e_{n} di V su ℂ associamo la base e_{1}, ie_{1}, ..., e_{n}, ie_{n} di V su ℝ; ciò corrisponde ad associare ad ogni sistema di coordinate complesse z_{1}, ..., z_{n} su V il sistema di coordinate reali x_{1}, y_{1}, ..., x_{n}, y_{n} ove è z_{α} = x_{α} + iy_{α}. Consideriamo il gruppo Gl(n, ℂ) delle matrici invertibili di ordine n a coefficienti complessi; esso è il complementare in ℂ^{n^{2}} del luogo di zeri della funzione determinante ed è quindi un aperto connesso. L’identificazione che abbiamo fissato tra ℂ^{n} e ℝ^{2n} induce un omomorfismo (continuo) Gl(ℂ, n) → Gl(ℝ, 2n) che ha quindi immagine connessa; siccome questa contiene l’identità, è tutta contenuta nel sottogruppo Gl^{+}(ℝ, 2n) delle matrici reali a determinante positivo. Ne segue che tutte le basi e_{1}, ie_{1}, ..., e_{n}, ie_{n} di V su ℝ, ottenute da basi e_{1}, ..., e_{n} di V su ℂ, danno a ℂ^{n} la stessa orientazione in quanto spazio reale.

Applicazioni lineari Siano V, W spazi vettoriali complessi; una applicazione f : V → W è detta ℂ−antilineare se è ℝ−lineare ed inoltre è f(iv) = −if(v) per ogni v ∈ V. Se f : V → W è ℝ-lineare, le applicazioni v ↦ 1/2(f(v) − if(iv)) e 1/2(f(v) + if(iv)) hanno per somma f e sono rispettivamente ℂ−lineare e ℂ−antilineare: esse verranno dette rispettivamente la parte olomorfa e quella antiolomorfa di f. Ciò mostra che Hom_{ℂ}(V, W) è la somma diretta del sottospazio delle applicazioni ℂ−lineari con quello delle ℂ−antilineari. Se f : V → W è il differenziale dF (x) di una applicazione F : X → Y differenziabile (in senso reale) tra varietà complesse in un punto x ∈ X, la sua parte olomorfa viene indicata con ∂F (x) e quella antiolomorfa con ¯∂F (x). In termini di derivate rispetto a sistemi di coordinate su X , Y, le componenti di ∂F e di ¯∂F sono le derivate formalmente definite da

\frac{∂F}{∂z_{α}} = \frac{1}{2}(\frac{∂F}{∂x_{α}} − i\frac{∂F}{∂y_{α}} ) \frac{∂F}{∂z̄_{α}} = \frac{1}{2}(\frac{∂F}{∂x_{α}} + i\frac{∂F}{∂y_{α}} )

La condizione che F sia olomorfa è così esprimibile col sistema di equazioni ∂F/∂z̄_{α} = 0 che sono dette equazioni di Cauchy-Riemann.

Polinomi di secondo grado Sia f : V → ℝ un polinomio (reale) di secondo grado su uno spazio vettoriale complesso V; ossia f(v) = b(v, v) è la contrazione di una (unica) forma ℝ−bilineare simmetrica b : V × V → ℝ, chiamata anche forma quadratica. Poniamo:

A(f)(v) = \frac{1}{2}(f(v) + f(iv)) B(f)(v) = \frac{1}{2}(f(v) − f(iv))

La A è una forma quadratica i−invariante e la B una i−antiinvariante ossia per v ∈ V si ha A(iv) = A(v) e B(iv) = −B(v) esse sono dette rispettivamente la parte hermitiana e la parte olomorfa della forma quadratica reale f. Questa nomenclatura è giustificata dal fatto elementarmente verificabile che le contrazioni di forme hermitiane su V coincidono con le forme quadratiche reali che sono i−invarianti mentre le forme quadratiche reali che sono i−antiinvarianti sono precisamente le parti reali di forme quadratiche complesse su V. Abbiamo così verificato che ogni forma quadratica reale su uno spazio vettoriale complesso si scrive in uno ed un sol modo come somma tra una forma hermitiana e la parte reale di una forma quadratica complessa.