Appendice 1: rivestimenti

Per semplicità restringeremo la trattazione a spazi topologici particolarmente semplici che ora introdurremo (gran parte dei risultati descritti valgono per spazi topologici molto più generali di questi ma in realtà noi saremo interessati solo al caso di varietà). Il cono su uno spazio topologico T è lo spazio topologico C(T) con punto base v (detto il suo vertice) dato dall’unione disgiunta di T × [0, 1] con lo spazio di un punto {v} identificando tutto T × {1} con v. In quel che segue ogni spazio topologico sarà supposto di tale tipo. Osservazione: si può dimostrare (utilizzando la teoria delle ”stratificazioni”) che ogni insieme definito dall’annullarsi di funzioni analitiche in un aperto di ℝ^{n} (più eventualmente un numero finito di disuguaglianze analitiche) verifica tali condizioni.

Diremo che uno spazio X è ”buono” di dimensione n ≥ −1 se n = −1 ed X è vuoto; per n ≥ 0 se è di Hausdorff , a base numerabile ed per ogni suo punto x esistono un suo intorno U ed uno spazio compatto T buono di dimensione inferiore ad n tali che (U, x) sia omeomorfo a (C(T), v). Una applicazione ϕ : X → Y tra spazi topologici è detta localmente invertibile od anche un omeomorfismo locale se ogni x ∈ X ha un intorno aperto U tale che ϕ(U) sia aperto in Y e ϕ induca un omeomorfismo tra U e ϕ(U). Ad esempio una applicazione differenziabile tra varietà che in ogni punto di X abbia per differenziale un isomorfismo è localmente invertibile. Sia ϕ : X → Y una applicazione fissata; se f : Z → X e g : Z → Y sono due applicazioni diremo che f è un sollevamento di g od anche che g è l’ombra di f (tramite ϕ) se g = ϕ ∘ f.

Proposizione 1 (Unicità dei sollevamenti) Sia ϕ : X → Y localmente invertibile e siano f, g : Z → X due applicazioni continue. Se esse hanno la stessa ombra, allora l’insieme dei punti di X ove concidono è aperto e chiuso.

Proposizione 2 (Teorema di monodromia) Sia ϕ : X → Y localmente invertibile. Una applicazione F : Z × [0, 1] → X è continua se e solo se lo sono: la sua ombra G = ϕ ∘ F, la sua restrizione a Z × {0} e le sue restrizioni agli {z} × [0, 1] per z ∈ Z

Dim. Sia z ∈ Z fissato; per ogni t ∈ [0, 1] sia U_{t} un intorno aperto di F (z, t) in X tale che V_{t} = ϕ(U_{t}) sia aperto ed omeomorfo ad U_{t} tramite ϕ. Per continuità di G e compattezza di {z}×[0, 1] esistono un intorno A di z in Z ed una succesione 0 = t_{0} < t_{1} < ... < t_{n} = 1 tali che per i = 1, ..n , G(A × [t_{i−1}, t_{i}]) ⊂ V_{s_{i}} con s_{i} ∈ [t_{i−1}, t_{i}]; per la continuità di F su Z × {0}, possiamo anche supporre che sia F (A × {0}) ⊂ U_{s_{1}}. E’ ora chiaro che, componendo la G con le inverse delle ϕ : U_{t} → V_{t} si possa costruire un sollevamento continuo H di G su A × [0, 1] che coincida con F su A × {0}; per ogni z′ ∈ A, le applicazioni di {z′} × [0, 1] in X indotte da F e da H sono continue hanno la stessa ombra e concidono in (z′, 0) e quindi per la proposizione precedente sono la stessa applicazione. Abbiamo così mostrato che F coincide localmente con una applicazione continua ed è quindi continua.

Diremo che ϕ : X → Y verifica il sollevamento dei cammini se per ogni a ∈ X ogni cammino continuo che inizia in ϕ(a) ha un sollevamento continuo che inizia in a. Diremo che ϕ : X → Y è un rivestimento se X ed Y sono connessi (non vuoti), ϕ è localmente invertibile e verifica il sollevamento dei cammini.

Corollario 3 Sia ϕ : (X, x_{0}) → (Y, y_{0}) un rivestimento tra spazi con punto base. Allora ϕ_{∗} : π_{1}(X, x_{0}) → π_{1}(Y, y_{0}) è iniettiva. La sua immagine viene detta il ”sottogruppo associato” al rivestimento.

Dim. Siano α un cammino chiuso in X di origine x_{0} e G una omotopia tra ϕ∘α. Per il teorema di monodromia, tale G si solleva in una omotopia tra α ed un cammino che solleva quello costante in y_{0} che sarà necessariamente il cammino costante in x_{0}.

Siano ϕ : X → Y un rivestimento ed α : [0, 1] → Y un cammino continuo che inizia in a e termina in b. Per x ∈ ϕ^{−1}(a) indichiamo con α̂(x) il punto finale del sollevamento di α che inizia in x. Si ha:

Proposizione 4 L’applicazione α̂ : ϕ^{−1}(a) → ϕ^{−1}b è biunivoca. Inolte α̂ = β̂ se β è un cammino da a a b che è omotopo ad α a estremi fissi (esiste cioè una famiglia (α_{s})_{s∈[0,1]} di cammini continui da a a b che è continua nel senso che lo è (s, t) ↦ α_{s}(t) ed è tale che α_{0} = α e α_{1} = β).

Dim. La prima asserzione discende dall’unicità dei sollevamenti, la seconda dal teorema di monodromia.

In particolare considerando il caso in cui a = b = y_{0} sia un punto base di Y, si ottiene un omomorfismo α ↦ α̂ di π_{1}(Y, y_{0}) nel gruppo delle permutazioni della fibra ϕ^{−1}(y_{0}). Sia x_{0} un punto base per X con ϕ(x_{0}) = y_{0}.

Proposizione 5 Il gruppo del rivestimento ϕ è costituito precisamente dagli α ∈ π_{1}(Y, y_{0}) tali che α̂(x_{0}) = x_{0}

Siano ϕ : (X, x_{0}) → (Y, y_{0}) un rivestimento e f : (Z, z_{0}) → (Y, y_{0}) continua.

Proposizione 6 Esiste un sollevamento f̃ : (Z, z_{0}) → (Y, y_{0}) se e solo se f_{∗}(π_{1}(Z, z_{0}) è contenuto nel sottogruppo del rivestimento ϕ

Dim. Se esiste f̃ allora ϕ_{∗} ∘f̃_{∗} = f_{∗} e quindi f_{∗} ha immagine nel sottogruppo del rivestimento. Mostriamo il viceversa: per z ∈ Z si scelga un cammino γ da z_{0} a z e si definisca f̃(z) come il punto finale del sollevamento di f ∘γ che inizia in x_{0}. Tale definizione è ben posta perché se partiamo da un altro cammino δ da z_{0} a z, allora δ^{−1} ∗γ, è un cammino chiuso in (Z, z_{0}) e quindi la sua immagine in (Y, y_{0}) dà un elemento del sottogruppo del rivestimento, ossia si solleva in (X, x_{0}) ad un cammino chiuso: da ciò si deduce che f_{∗} traforma γ e δ in cammini i cui sollevamenti terminano nello stesso punto. La continuità della f così costruita si dimostra osservando che scelto un arco γ per uno z ∈ Z, gli archi per i punti in un intorno contrattile U di z si possono scegliere componendo γ con un arco in U; se U è sufficientemente piccolo, la sua immagine in Y è contenuta in un aperto che è omeomorfo (tramite ϕ) ad un aperto di X e quindi la f̃ è localmente ottenuta componendo f con l’inversa di tale omeomorfismo.

Siano ϕ : (X, x)to(Y, y) e ϕ′ : (X′, x′) → (Y′, y′) due rivestimenti; chiameremo morfismo di ϕ in ϕ′ ogni coppia di applicazioni continue σ : (X, x) → (X, x)′ e τ : (Y, y) → (Y′, y′) per cui sia commutativo il diagramma:

(X, x) ⟶^{σ} (X′, x′)
ϕ↓  ↓^{ϕ′}
(Y, y) ⟶^{τ} (Y′, y′)

Se (σ, τ) , (σ′, τ′) sono due morfismi di ϕ in ϕ′ ed è τ = τ′, allora σ e σ′ sono entrambi sollevamenti di τ ∘ ϕ e coincidendo nel punto base coincidono dappertutto. Quindi dati due rivestimenti ϕ : (X, x) → (Y, y) e ϕ′ : (X′, x′) → (Y, y) dello stesso spazio, esiste al più un morfismo di ϕ in ϕ′ che sia l’identità su Y. Per quanto visto esso esiste se e solo se il sottogruppo associato a ϕ è contenuto in quello contenuto in ϕ′. In particolare due rivestimenti di uno spazio con punto base aventi stesso gruppo associato sono identificabili; esiste cioè al più un rivestimento (X, x) di uno spazio (Y, y) il cui sottogruppo asociato sia un dato sottogruppo H ⊂ π_{1}(Y, y) ed in tal caso si ha π_{1}(X, x) ≅ H.

Esistenza di rivestimenti. Mostreremo ora che ogni sottogruppo H ⊂ π_{1}(Y, y) è associato ad un rivestimento di (Y, y). Cominciamo col dimostrare l’esistenza di un rivestimento con gruppo fondamentale banale, che sarà detto il rivestimento universale. Costruzione: consideriamo la relazione di equivalenza sull’insieme dei cammini continui α : [0, 1] → y che iniziano in y definita da α_{0} ∼ α_{1} se e solo se terminano in uno stesso punto y′ e fanno parte di una famiglia continua di cammini (α_{t})_{t∈[0,1]} che vanno da y ad y′. Indichiamo con X lo spazio quoziente associato e siano x ∈ X la classe del cammino costante in y e ϕ : X → Y l’applicazione ottenuta associando ad ogni cammino il suo punto finale. Introdurremo ora una topologia su X per la quale ϕ è un rivestimento e π_{1}(X, x) è banale. La topologia verrà introdotta specificando una famiglia di sottoinsiemi che sono base di una topologia per X: se α : [0, 1] → Y è un cammino continuo che inizia in y ed U è un aperto contrattile contenente α(1), indichiamo con B(U, α) l’insieme delle classi di cammini α′ della forma α′ = β ∗ α ove β è un cammino continuo in U che inizia ove termina α. E’ evidente che la famiglia dei B(U, α) è base di una topologia su X per la quale ϕ è continua ed aperta. Inoltre ϕ induce una applicazione biunivoca tra B(U, α) ed U, cosicchè ϕ è un omeomorfismo locale. Mostriamo che ϕ verifica il sollevamento dei cammini: se α : [0, 1] → Y è un cammino continuo, consideriamo per s ∈ [0, 1] il cammino α_{s} definito da α_{s}(t) = α(st); se β è un cammino in Y da y al punto finale di α un sollevamento di α che inizia nella classe di β è dato da [0, 1] ∋ s ↦ classe di α_{s} ∗ β. Resta da verificare che π_{1}(X, x) è banale: per quanto visto avanti è sufficiente mostrare che ogni cammino chiuso α in (Y, y) il cui sollevamento in (X, x) è chiuso è banale in π_{1}(Y, y); ciò accade perché come appena visto il sollevamento è dato dalle classi degli α_{s} ove α_{s}(t) = α(ts) e questo ha come punto finale la classe di α_{1} = α. Ciò dimostra l’esistenza del rivestimento universale. Per costruire un rivestimento di (Y, y) con associato un qualsiasi sottogruppo H di π_{1}(Y, y) si ripete quanto fatto sopra nel caso che H sia ridotto alla sola identità, cambiando solo la relazione di equivalenza iniziale che definisce X: precisamente poniamo che due cammini α_{0} e α_{1} di inizio y sono equivalenti se e solo se terminano nello stesso punto y′ ed iniltre esiste un cammino chiuso β la cui classe stà in H tale che α_{0} sia deformabile con continuità in α_{1} ∗ β tramite una famiglia continua di cammini da y ad y′.

Appendice 2: sottogruppi discreti in uno spazio vettoriale Caso reale. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione finita. Un sottogruppo Γ ⊂ ℝ^{n} è detto discreto se non possiede alcun punto di accumulazione in V; ciò accade se e solo se esiste un aperto U in V tale che U ∩ Γ = {0} (infatti se Γ è discreto, 0 non è di accumulazione, quindi tale U esiste; viceversa se a ∈ V è di accumulazione per Γ, esiste una successione (a_{n})_{n∈ℕ} in Γ − {a} con lim a_{n} = a ed allora la successione a′_{n} = a_{n+1} − a_{n} mostra che anche 0 è di accumulazione e quindi un tale U non esiste).

Esercizio. Siano Γ ⊂ V un sottogruppo discreto e ϕ : V → V/Γ la proiezione. Esiste una ed una sola struttura di varietà differenziabile su V/Γ per la quale f : V/Γ → ℝ è differenziabile se e solo se lo è f ∘ ϕ : V → ℝ. Per tale struttura quindi, le funzioni differenziabili su V/Γ sono identificabili alle funzioni differenziabili su V che siano Γ-periodiche (ossia le f tali che f(x + γ) = f(x) per ogni x ∈ V e γ ∈ Γ) e ϕ è un rivestimento (differenziabile)

Nota. Con la stessa fatica si dimostra questo fatto nel caso che V sia un gruppo di Lie (cioè una varietà differenziabile con una struttura di gruppo in cui le operazioni ”moltiplicazione” ed ”inversione” siano differenziabili) e Γ sia un suo sottogruppo discreto; come quoziente V/Γ in tal caso si considera quello indotto dalla relazione : x, y ∈ V sono equivalenti se e solo se esiste γ ∈ Γ per cui y = γ · x.

Proposizione 7 Sia Γ ⊂ V un sottogruppo discreto. Esistono allora e_{1}, ..., e_{p} linearmente indipendenti in V (quindi parte di una sua base) che generano Γ (come gruppo). In particolare Γ ≅ ℤ^{p} è un gruppo libero abeliano di rango p con 0 ≤ p ≤ dim(V) ed il quoziente è isomorfo (come varietà e come gruppo, ossia come gruppo di Lie) al prodotto (S^{1})^{p} × ℝ^{n−p} ove S^{1} è il gruppo moltiplicativo dei numeri complessi di modulo 1

Dim. Scegliamo una identificazione di V con ℝ^{n} e scelto e un elemento di Γ − {0} avente distanza minima da 0 sia L la retta per 0 ed e. E’ chiaro che Γ ∩ L è generato da e: se in L vi fossero elementi di Γ non multipli di e ve ne sarebbero anche nel segmento ]0, e[ contraddicendo la minimalità di e. Consideriamo V′ = V/L e sia Γ′ l’immagine di Γ in V/L. Mostreremo ora che Γ′v è discreto in V′, dopo di che la proposizione sarà dimostrabile ragionando per induzione su dim(V). Infatti supponiamo per assurdo che esista una successione (x_{n})_{n∈ℕ} in Γ − L la cui immagine in V′ sia convergente a 0 e poniamo x_{n} = a_{n} + b_{n} con a_{n} ∈ L e b_{n} nell’ortogonale ad L in V; si avrà quindi che b_{n} converge a zero in V; si può inoltre supporre che a_{n} sia limitata in V: basta osservare che essendo e un generatore dello spazio vettoriale L, sottraendo eventualmente ad x_{n} un multiplo intero di e si ottiene una successione (x′_{n})_{n∈ℕ} che dà un a_{n} la cui norma è inferiore a quella di e. Allora una sottosuccessione di (x′_{n})_{n∈ℕ} convergerà in V , necessariamente ad un elemento di Γ∩L ed essendo Γ discreto, dovremmo avere x′_{n} ∈ Γ per n abbastanza alto e ciò non è per come è stata scelta la successione.

Chiameremo reticolo una coppia (V, Γ) in cui V è uno spazio vettoriale di dimensione finita su ℝ e Γ un suo sottogruppo discreto avente rango dim(V). Per quanto visto vi è essenzialmente un solo reticolo per ogni data dimensione.

Caso complesso. Vediamo ora come sono fatti i sottogruppi discreti Γ in uno spazio vettoriale complesso restringendoci per ora al caso che V abbia dimensione 1. Essendo dim_{ℝ}(V) = 2 si ha che un sottogruppo discreto Γ può avere rango 0 , 1 o 2. Il caso 0 è banale. Nel caso che Γ sia generato da un elemento ω ≠ 0, esso rappresenta una base di V su ℂ e quindi, a meno di isomorfismi complessi, (V, Γ) è isomorfo a (ℂ, ℤ). Così la proiezione V → V/Γ è interpretabile come l’applicazione ℂ ∋ z ↦ exp(2πz) ∈ ℂ^{∗} = ℂ − {0}. Supponiamo ora che Γ sia generato da due elementi ω_{1}, ω_{2} linearmente indipendenti su ℝ, ossia tali che τ = ω_{1}/ω_{2} non sia reale; potremo supporre anche, scambiando eventualmente ω_{1} con ω_{2} che τ abbia parte immaginaria positiva ossia appartenga al semipiano di Poincaré H = {z = x + iy : y > 0}. Scegliendo ω_{2} come base di V questo si identifica a ℂ ed il sottogruppo Γ si trasforma in quello generato da 1 e τ. Sotto quali condizioni su τ, τ′ ∈ H si ha che il gruppo generato da 1 e τ coincide con quello generato da 1 e τ′ ? Ciò accade se e solo se le due basi del gruppo libero Γ da loro generato sono riferite da una matrice intera invertibile di ordine due; essa dovrà quindi avere determinante 1 o −1 ma siccome essi danno la stessa orientazione (quella canonica di ℂ) esso dovrà essere 1. In definitiva quindi se e solo se esistono a, b, c, d interi tali che τ′ = \frac{aτ+b}{cτ+c}. Ciò definisce una azione del gruppo Sl_{2}(ℤ) delle matrici quadrate intere a determinante 1 sul semipiano di Poincaré H. Tale azione non è effettiva ma lo è dividendo Sl_{2}(ℤ) per il sottogruppo dato dall’identità e dal suo opposto; il quoziente, che verrà esaminato in seguito, descrive classifica quindi i tori complessi di dimensione uno.

Appendice 3: risultante di due polinomi.

Siano A un anello commutativo e T una indeterminata su esso. Per n ∈ ℕ indicheremo con A_{n} il sotto-A−modulo di A[T] costituito dai polinomi di grado strettamente inferiore ad n.

Siano fissati P, Q ∈ A[T] aventi gradi rispettivamente m ed n e si consideri l’applicazione lineare ϕ : A_{n} × A_{m} → A_{n+m} che manda (F, G) in P F + QG. Il Risultante di P, Q è il determinante della matrice che esprime ϕ nelle basi: ((1, 0), ..., (T^{n−1}, 0), (0, 1), ..., (T^{m−1})) di A_{n} × A_{m} e (1, ..., T^{n+m−1}) di A_{n+m} e verrà indicato con Ris(P, Q).

Si verifica con facili considerazioni sulla matrice suddetta che Ris(P, Q) è esprimibile come un polinomio di grado (al più) n + m nei coefficienti di P e Q e più precisamente come un polinomio omogeneo di grado n nei coefficienti di P e omogeneo di grado m in quelli di Q. Evidentemente Ris(P, Q) dipende funtorialmente dall’anello A nel senso che se σ : A → A′ è un omomorfismo di anelli, il risultante dei polinomi ottenuti da P trasformando i coefficienti con σ è ottenuto dal risultante dei polinomi di partenza trasformandolo con σ (o se si preferisce le espressioni dei risultanti di tali polinomi sono ottenute una dall’altra trasformando i coefficienti con σ).

Si noti che Ris(P, Q) è un elemento di A e non un vero polinomio. Quel che si intende dire sopra e nel seguito nel considerarlo un polinomio è di considerare all’inizio i coefficienti di P, Q come generici e specializzarli solo alla fine.

Ciò può essere precisato così : supponiamo che P = p_{0}T^{M} + ... + p_{m} e Q = q_{0}T^{n}+...+q_{n}; sostituiamo le p_{i}, q_{j} con indeterminate P_{i}, Q_{j} su A ottenendo polinomi P̃, Q̃ in A[.., P_{i}, .., Q_{j}, ..]. Il risultante di P̃, Q̃ è allora davvero un polinomio nelle indeterminate introdotte ed il risultante di P, Q sarà ottenuto da esso per sostituzione dei veri coefficienti di P, Q.

Due elementi P, Q ∈ A[T] sono detti primi tra loro se ogni elemento di A[T] può essere scritto nella forma P F + QG con F, G ∈ A[T]; se A è un corpo, ciò accade se e solo se P e Q sono multipli di uno stesso polinomio di grado positivo o equivalentemente se hanno una radice comune nella chiusura algebrica del corpo (si utilizzi l’algoritmo euclideo). Evidentemente Ris(P, Q) è invertibile in A se e solo se ϕ è un isomorfismo. In tal caso P, Q sono primi tra loro: infatti esistono F, G ∈ A[T] tali che P F + QG = 1 ed allora ogni H ∈ A[T] può essere scritto P (F H) + Q(GH). Viceversa si ha:

Proposizione 8 Supponiamo che in almeno uno tra P e Q il coefficiente di grado massimo sia invertibile in A. Allora P, Q sono primi tra loro se e solo se il loro risultante è un elemento invertibile in A ossia ϕ è un isomorfismo

Dim. Infatti supponiamo ad esempio che P abbia coefficiente di grado massimo invertibile. Ogni polinomio di A[T] può allora essere diviso per P con l’usuale algoritmo di divisione dei polinomi ottenendo per resto un polinomio di grado inferiore a quello di P. Sia H ∈ A_{n+m}; se P, Q sono primi tra loro si avrà H = P F +QG con F, G ∈ A[T]. Dalla divisione di G per P si ha G = G′P +G′′ ove G′′ ∈ A_{m}. Si ha quindi:

H = P (F + G′Q) + QG′′

si noti ora che P (F + G′Q) = H − QG′′ ha grado al più m + n − 1 ed avendo P il coefficiente di grado massimo invertibile ciò assicura che F + G′Q ∈ A_{n}. Si è quindi dimostrato che ϕ : A_{n} × A_{m} → A_{n+m} è surgettiva. Che essa sia un isomorfismo si deduce dal seguente:

Lemma 9 Sia M un modulo libero finito sull’anello A. Ogni endomorfismo ϕ di M che sia surgettivo è un isomorfismo

Dim. Sia (e_{1}, ..., e_{n}) un sistema libero di generatori di M. Per ipotesi e_{i} = ϕ(x_{i}) per qualche x_{i} ∈ M , i = 1, ..., n. Sia ψ l’endomorfismo di M che applica ogni e_{i} in x_{i}. Allora ϕ ∘ ψ è un endomorfismo che fissa gli e_{i} ed è quindi l’identità. Ne segue che 1 = det(ϕ ∘ ψ) = det(ϕ) · det(ψ) e quindi che ϕ è un isomorfismo perché ha determinante invertibile.

Nota Nella proposizione precedente il fatto che almeno uno dei coefficienti di grado massimo di P , Q sia invertibile è essenziale: ad esempio per A = ℤ i polinomi P (T) = 3T + 1 e Q(T) = 3 sono primi tra loro ma il loro risultante non è invertibile.

Siano P (w, z) = a_{0}(z)w^{p}+...+a_{p}(z) e Q(w, x) = b_{0}(z)w^{q} +...+b_{q}(z) polinomi in w, z a coefficienti in un corpo k avente chiusura algebrica k̄ e siano X , Y i luoghi di zeri di P, Q in k̄^{2}. Identificando l’anello k[w, z] con l’anello k[z][w] dei polinomi in w a coefficienti polinomi in z, il risultante R(P, Q) = R è un elemento di k[z] = A. Per ζ ∈ k consideriamo l’omomorfismo σ : A ∋ f(z) ↦ f(ζ) ∈ k = A′. Come visto sopra il risultante dei trasformati P^{σ}, Q^{σ} di P, Q per σ si ottiene calcolando R in ζ; quindi gli zeri di R sono precisamente gli ζ ∈ k tali che P (ζ, w) e Q(ζ, w) hanno una radice in comune in k̄, oppure entrambi i coefficienti di grado massimo di P , Q (come elementi di A[w]) si annullano in ζ (in tal caso P e Q hanno una ”radice comune all’infinito”: quello dell’asse w ). Quindi se R non è identicamente nullo l’insieme X ∩ Y è finito. Esaminiamo il caso in cui R è identicamente nullo. Immergiamo A = k[z] nel suo corpo dei quozienti A′ = k(z). Il risultante di P, Q sarà ancora identicamente nullo; essendo A′ un corpo, ne segue che P, Q hanno un fattore comune di grado positivo in A′[w]; Eliminando i denominatori e ricordando che k[z, w] è a fattorizzazione unica si ottiene che essi hanno un fattore comune anche in k[z][w]; ne segue che X ∩ Y è infinito. Sia ora P (w, z) un polinomio ogni cui fattore primo abbia molteplicità uno e dipenda effettivamente da w (ossia non appartenga a k[z]). Allora P e ∂P/∂w sono privi di fattori comuni; infatti se R fosse un fattore primo ad essi comune, si avrebbe P = R · H, ∂P/∂w = ∂R/∂w · H + R · ∂H/∂w ed R non potendo dividere ∂R per questioni di grado dividerebbe H e quindi R sarebbe un fattore di molteplicità almeno due.

Quanto precede mostra che se P ∈ ℂ[w, z] è un polinomio ridotto ossia privo di fattori multipli, la ”curva” {P = 0} in ℂ^{2} è, tranne che in un numero finito di punti, localmente il grafico di una funzione olomorfa w(z).

Appendice 4 : orientazione di varietà complesse

Su uno spazio vettoriale V di dimensione finita n, l’insieme delle basi è un aperto (in V^{n}) costituito da due componenti connesse; orientare V significa scegliere una di tali componenti i cui elementi sono allora detti basi positive. Tale scelta sarà spesso fatta indicando una particolare base da chiamarsi positiva: quelle nella stessa componente connessa saranno precisamente quelle ottenute da lei con una matrice a determinante positivo. Sia V uno spazio vettoriale complesso: ad ogni sua base e_{1}, ..., e_{n} su ℂ associamo la 2n−pla (e_{1}, ie_{1}, e_{2}, ie_{2}, ..., e_{n}, ie_{n}); è facile verificare che questa è una base di V come spazio vettoriale su ℝ; l’orientazione che questa dà a V, non dipende dalla base scelta di V su ℂ; ciò può essere dimostrato osservando che le basi di V su ℂ sono un aperto connesso (complementare in V^{n} ≡ (ℂ^{n})^{n} del luogo di zeri della funzione polinomiale determinante) e quindi l’applicazione (continua) da {bsi su ℂ} a { basi su ℝ} ha immagine in una sola delle due componenti connesse. Si può anche verificare con un calcolo diretto che il cambiamento di base tra le associate reali è positivo. L’orientazione così ottenuta per la struttura reale di uno spazio vettoriale complesso viene detta canonica; ciò permette di avere una struttura canonicamente orientata su ogni varietà complessa, quando considerata come varietà differenziabile (od analitica) reale ed è di fondamentale importanza per lo studio topologico di queste. Ad esempio per ogni applicazione olomorfa tra varietà complesse, in ogni punto regolare il differenziale sarà un isomorfismo ”positivamente orientato” tra gli spazi tangenti delle due; od anche, definendo la molteplicità di intersezione tra due sottospazi analitici complessi di dimensioni pure p, q in una varietà di dimensione p + q in un punto ove la loro intersezione sia isolata, si otterrà comunque un numero strettamente positivo.

Appendice 5: quozienti di superficie di Riemann

Un teorema fondamentale per lo studio delle superficie di Riemann è quello detto di uniformizzazione il quale asserisce che le uniche superficie di Riemann che siano semplicemente connesse sono : il piano complesso ℂ, il semipiano di Poincaré ℍ e la sfera di Riemann detta anche la retta proiettiva ℙ^{1}(ℂ). Ogni altra superficie di Riemann è quindi ottenibile da una di esse quozientando per un gruppo ”discreto” di suoi automorfismi privi di punti fissi. Esaminiamo dapprima ℙ^{1}; esso ”‘e” l’insieme delle rette per l’origine in ℂ^{2} o più generalmente in uno spazio vettoriale V di dimensione due su ℂ; il gruppo Gl(V) degli automorfismi complessi di V agisce quindi su ℙ^{1}, il nucleo di tale azione essendo il sottogruppo delle omotetie isomorfo a ℂ^{∗}. Che non vi siano altri automorfismi (olomorfi) di ℙ^{1} si deduce facilmente osservando che ogni applicazione olomorfa di ℙ^{1} in se è data dal rapporto di due polinomi (”è” una funzione meromorfa) necessariamente di grado 1 se essa è inettiva. Per introdurre una topologia su Aut(ℙ^{1}), ci possiamo ridurre agli automorfismi di V aventi determinante 1 (se V = ℂ^{2} alle matrici 2 × 2 a coefficienti complessi e determinante 1) ma dobbiamo ancora dividere per il gruppo costituito dall’identità e dalla simmetria rispetto all’origine: questo non ha supplementari in Gl(V) e quindi per dotare Aut(ℙ^{1}) di una struttura di gruppo topologico dobbiamo utilizzare in ogni caso la nozione di topologia quoziente. La nozione di sottogruppo discreto che ne deriva (un sottogruppo che sia discreto per tale topologia) non è adeguato (lo è invece per ℂ e ℍ) nel senso che non assicura che il quoziente abbia una struttura topologica ragionevole; per questo occorrerebbe invece introdurre la nozione di gruppo propriamente dicontinuo di automorfismi di cui però non dicuteremo: infatti nessun automorfismo di ℙ^{1} è privo di punti fissi (ogni automorfismo lineare complesso ha qualche autovalore e quindi ha qualche retta invariante): ne segue che l’unica superficie di Riemann che ha per rivestimento ℙ^{1} è ℙ^{1} stesso. Esaminiamo ora Aut(ℂ) : ogni omeomorfismo di ℂ in se stesso si estende ad un omeomorfismo di ℙ^{1} in se; per il teorema di estenzione di Riemann ne segue che Aut(ℂ) è costituito dagli elementi di Aut(ℙ^{1}) aventi ∞ come punto fisso, quindi dagli elementi del tipo z ↦ az + b con a, b ∈ ℂ ed a ≠ 0. Un tale automorfismo è privo di punti fissi (o è l’identità) se e solo se a = 1 ossia se è una traslazione. I gruppi discreti di traslazioni sono quelli di rango 0, 1 o 2; ne segue che le superfici di Riemann aventi ℂ come rivestimento sono ℂ , ℂ^{∗} ed i tori complessi (vedi appendice). Tutte le altre superficie di Riemann avranno per rivestimento universale ℍ di cui ora determineremo gli automorfismi. Asserzione: ogni automorfismo di ℍ è estendibile ad un automorfismo di ℙ^{1} e quindi Aut(ℍ) coincide col gruppo G di Aut(ℙ^{1}) indotti dagli automorfismi lineari di ℂ^{2} aventi coefficienti reali e determinante 1. Infatti intanto G è transitivo su ℍ (si utilizzino traslazioni reali ed omotetie reali, entrambe in G). Basta allora mostrare che l’asserzione è vera per gli automorfismi che possiedono un punto fisso. Si noti che z ↦ (z − i)/(z + i) definisce un automorfismo di ℙ^{1} che trasforma ℍ nell’aperto 𝕌 dei numeri complessi aventi modulo inferiore ad 1. Ciò mostra non solo che ℍ ed 𝕌 sono isomorfe come superficie di Riemann, ma anche che un automorfismo dell’una si estende ad uno di ℙ^{1} se e solo se accade lo stesso per il suo omologo nell’altra. Possiamo quindi studiare tale estendibilità per un automorfismo ϕ di 𝕌 con ϕ(0) =). Il lemma di Schwarz dice che allora ϕ(z) = λz per qualche λ ∈ ℂ di modulo 1 che è evidentemente estendibile ad un automorfismo di ℙ^{1}.

Nota L’asserzione precedente può essere dimostrata anche utilizzando il principio forte di riflessione di Schwarz che verrà illustrato più avanti.

Si dimostra elementarmente che esiste una ed una sola (a meno di omotetie) struttura metrica su ℍ per la quale gli automorfismi analitici sono le isometrie che conservano l’orientazione. Con tale metrica esso diviene un modello della geometria iperbolica: le rette sono le intersezioni di ℍ con le circonferenze aventi centro sull’asse reale e raggio positivo includendo tra esse anche le rette parallele all’asse immaginario (pensato come circonferenze con centro all’infinito). Le riflessioni rispetto a tali rette sono date dalle inversioni circolari e queste generano, come nel caso euclideo, il gruppo di tutte le isometrie orientate oppure no. La disparità tra i due tipi di rette scompare interpretando tutto proiettivamentecome segue. Si consideri sullo spazio vettoriale V ≃ ℂ^{2} una forma quadratica A hermitiana non degenere indefinita. Ad essa è associata una involuzione s_{A} sull’insieme delle rette per l’origine (ossia ℙ^{1}): quella che associa ad una retta la sua ortogonale rispetto ad A; i punti fissi di s_{A} sono le rette sulle quali A diviene nulla che viene interpretata come una circonferenza C_{A} in ℙ^{1}. Inoltre s_{A} scambia l’insieme delle rette sulle quali A è definita positiva (detto l’interno di C_{A} con quelle dove è definita negativa (l’esterno di C_{A}). Fissata una tale A_{0} si considerino tutte le A per le quali l’interno Ω di s_{A_{0}} è invariante; queste corrispondono circonferenze ortogonali a quella definita da A_{0} e le s_{A} associate sono le riflessioni rispetto alle rette della geometria iperbolica di Ω. Per questa via si possono riconoscere gli enunciati della geometria iperbolica come relativi alla struttura lineare di V. Così come i quozienti di ℂ modulo un sottogruppo di traslazioni discreto Γ di rango due si può pensare come un parallelogramma i cui lati sono identificati a coppie da traslazioni che generano tale gruppo ottenendo i tori complessi di dimensione uno, nello stesso modo ogni superficie di Riemann X di genere maggiore di uno, si può rappresentare come un poligono convesso nel piano iperbolico, i cui lati siano identificati a coppie da traslazioni iperboliche che generano un sottogruppo Γ discreto e senza punti fissi isomorfo al gruppo fondamentale di X (vedi ad es. Siegel ”Topics in complex function theory).

Appendice 6: topologie su spazi di funzioni olomorfe

Sia X una superficie di Riemann. Indichiamo con C^{0}(X) lo spzio delle funzioni continue f : X → ℂ e con H(X) il sottospazio di quelle che sono olomorfe. Introduciamo su C^{0}(X) una topologia detta della convergenza uniforme sui compatti che lo rende spazio vettoriale topologico del tipo ”Frechet” che è una sorta di ”quasi” di Banach. Precisamente uno spazio di Frechet è uno spazio vettoriale topologico V la cui topologia possa essere introdotta così : esiste una famiglia numerabile di seminorme (|| ||_{n})_{n∈ℕ} (ossia aventi tutte le proprietà di una norma, salvo il fatto che possono essere nulle su un sottospazio vettoriale non nullo) tali che per v ∈ V se ||v||_{n} = 0 per ogni n ∈ ℕ allora x = 0. Ad ogni tale seminorma || ||_{n} è associata la ”pseudodistanza” d_{n}(u, v) = ||u − v||_{n} che può essere normalizzata ponendo δ_{n} = d_{n}/(1 + d_{n}) (essa è ancora una pseudodistanza che definisce in X la stessa topologia di d_{n} ed anche le stesse successioni di Cauchy); Si introduce quindi su V una distanza ponendo:

d(u, v) = ∑_{n∈ℕ} 2^{−n}δ_{n}(u, v)

Con tale distanza V diviene uno spazio vettoriale topologico (ossia le operazioni di somma e prodotto per gli scalari sono continue); in tale topologia, una successione (v_{i})_{i∈I} converge v se e solo se per ogni n ∈ ℕ si ha lim_{i∈I} ||v_{i} −v||_{n} = 0. Se V è completo rispetto a tale d, esso è detto uno spazio di Frechet.

Osserviamo che come spesso per gli spazi di Banach nessuna specifica norma ma solo la topologia da essa indotta è ritenuta rilevante, lo stesso accade per gli spazi di Frechet.

Nel caso di C^{0}(X) le seminorme possono prendersi così : per K ⊂ X compatto poniamo ||f||_{K} = sup_{x∈K}|f(x)|; basterà allora scegliere una famiglia numerabile di compatti K di X le cui parte interne ricoprano X.

Proposizione 10 H(X) è chiuso in C^{0}(X) ed è quindi uno spazio di Frechet

Dim. Come famiglia di compatti di X si possono prendere dischi chiusi D in carte locali per X; se le f_{n} sono funziono olomorfe su X convergenti uniformemente ad una f continua, esse sono rappresentabili in D mediante la formula di Cauchy (sul bordo di un disco un pò più grande): ne segue che anche f è rappresentabile in tal modo ed è quindi olomorfa.

Nello spazio H(X) vale la seguente caratterizzazione dei sottoinsiemi compatti, che formuliamo in modo analogo a quella valida per gli spazi euclidei ℝ^{n}. Diremo che un sottoinsieme L di uno spazio vettoriale topologico V è limitato se per ogni intorno U di 0 in V esiste un numero reale positivo r tale che L ⊂ rU.

Proposizione 11 Un sottoinsieme L ⊂ H(X) è compatto se e solo se è chiuso e limitato

Dim. E’ ovvio che ogni compatto deve essere chiuso e limitato. Dimostriamo l’altra implicazione. L’ipotesi che L è limitato equivale alla seguente: per ogni compatto K ⊂ X esiste M ∈ ℝ tale che |f(x)| ≤ M per ogni f ∈ L ed x ∈ K (la famiglia L è ”equilimitata” su K). Sia (f_{n}) una successione di elementi di L; dobbiamo mostrare che essa ha una sottosuccessione convergente uniformemente su ogni compatto K di X. Sia E un sottoinsieme numerabile e denso in X; per ogni z ∈ E ogni successione in L, ha una sottosuccessione convergente in esso: per il procedimento diagonale possiamo supporre quindi che la successione data converga in ogni punto di E. Mostreremo adesso che essa è allora una successione di Cauchy su ogni compatto K di X. Sarà sufficiente esaminare il caso che K sia un disco chiuso contenuto in una carta su X; sia D un altro disco chiuso in tale carta contenente D′ al suo interno. Asserzione: esiste H > 0 tale che per z, z′ ∈ D′ ed f ∈ L si ha |f(z) − f(z′)| ≤ H|z − z′|. Infatti f è rappresentabile nei punti di D′ mediante l’integrale di Cauchy eseguito sul bordo di D; la maggiorazione si fa allora in termini della maggiorazione di |f| su tale bordo e del quadrato della distanza di D′ da tale bordo.

Dato ϵ > 0 siano δ > 0 tale che δH < ϵ/3 ed E′ ⊂ E finito tale che ogni punto di D′ disti da E′ meno di δ. Esiste n_{0} intero tale che per z′ ∈ E′ ed n, m ≥ n_{0} sia |f_{n}(z′) − f_{m}(z′)| < ϵ/3. Per z ∈ D′, scelto z′ ∈ E′ con |z − z′| < δ si ha che per n, m ≥ n_{0}:

|f_{n}(z) − f_{m}(z)| ≤ |f_{n}(z) − f_{n}(z′)| + |f_{n}(z′) − f_{m}(z′)| + |f_{m}(z′) − f_{m}(z)| < ϵ

Se Ω ⊂ ℂ è un aperto indichiamo con L^{2}(Ω) il sottospazio di H(Ω) costituito dalle funzioni f per cui ||f||_{Ω}^{2} = ∫_{Ω} |f|^{2} dxdy è finito. Per f, g ∈ L^{2}(Ω) poniamo < f, g >= ∫_{Ω} fḡ dxdy.

Lemma 12 Sia K ⊂ K un compatto e sia d > 0 tale che per z ∈ K ogni z′ ∈ ℂ con |z − z′| < d appartiene ad Ω. Per ogni f ∈ L^{2}(Ω) si ha:

sup_{K}|f|^{2} ≤ \frac{1}{πd^{2}} ||f||_{Ω}^{2}

Dim. Se z_{0} ∈ K allora il disco D di centro z_{0} e raggio d è contenuto in Ω. Per semplicità di notazione supponiamo z_{0} = 0. Per z ∈ D si ha f(z) = ∑_{n≤0} a_{n}z^{n} e tale serie è uniformemente convergente su D per cui si ha:

∫_{D} ff̄dxdy = ∑_{n,m} a_{n}ā_{m}z^{n}z̄^{m} dxdy

osservato che è ∫_{D} z^{n}z̄^{m} dxdy = 0 se n ≠ m si ottiene :

||f||_{Ω}^{2} ≥ ∫_{D} ff̄ dxdy = ∑_{n≥0} ∫_{D} |a_{n}|^{2}|z|^{2n} dxdy ≥

∫_{D} |a_{0}|^{2}dxdy = πd^{2}|a_{0}|^{2} = πd^{2}|(0)|^{2}

Come corollario otteniamo:

Proposizione 13 Per Ω ⊂ ℂ aperto lo spazio L^{2}(Ω) è uno spazio di Hilbert per il prodotto scalare sopra definito. Inoltre l’inclusione di L^{2}(Ω) in H(Ω) è continua e compatta (ossia trasforma insiemi limitati in insiemi relativamente compatti

Appendice 7: sommazione di serie

Sia f : X → ℂ una funzione. Per Δ ⊂ X finito, ∑_{Δ} f è definito come la somma degli f(x) per x ∈ Δ. Diremo che f è sommabile su X se esiste L ∈ ℂ tale che per ogni ϵ > 0 esiste Δ_{0} ⊂ X finito tale che per ogni sottoinsieme finito Δ_{0} ⊂ Δ ⊂ X si abbia | ∑_{Δ} f − L| < ϵ. Tale L, che ovviamente è univocamente determinato nel caso che esista, verrà detto somma di f su X e scriveremo ∑_{X} f = L.

Esercizio f : X → ℂ è sommabile su X se e solo se |f| lo è. Questo enunciato è più facilmente dimostrabile per funzioni a valori reali. Rimane comunque valido per funzioni a valori in ℝ^{n} ma è falso se i valori sono presi in uno spazio di Hilbert di dimensione infinita. Infatti ad esempio se (e_{n})_{n∈ℕ} è un sistema ortonormale in uno spazio di Hilbert, la serie ∑_{1}^{n}(e_{n}/n) è convergente nel senso sopra definito ma non è assolutamente convergente.

In modo analogo a quello seguito nel caso delle successioni reali si dimostra che una f : X → ℂ è sommabile se e solo se è di Cauchy nel senso seguente: per ogni ϵ > 0 esiste Δ_{0} ⊂ X finito tale che per ogni sottoinsieme finito Δ di X con Δ ∩ Δ_{0} = ∅ si abbia | ∑_{Δ} f| < ϵ.

Proposizione 14 Siano f : X → ℂ sommabile e (X_{i})_{i∈I} una partizione di X. Allora per ogni i ∈ I la funzione f|_{X_{i}} è sommabile su X_{i} e detta L_{i} la sua somma la funzione i → L_{i} è sommabile su I e si ha ∑_{X} f = ∑_{I} L_{i}.

La dimostrazione, del tutto ovvia come quella della proposizione che segue, è lasciata per esercizio.

Proposizione 15 Siano f : X → ℂ e g : Y → ℂ sommabili. Allora:

X × Y ∋ (x, y) ↦ f(x)g(y) ∈ ℂ

è una funzione sommabile che sarà indicata con f × g. Si ha inoltre:

∑_{X×Y} (f × g) = (∑_{X} f)(∑_{Y} g)

Nel caso di serie di funzioni, ossia se si ha una applicazione f : X × T → ℂ ove t ∈ T è considerato come parametro, si introduce in modo evidente la nozione di sommabilità uniforme. Un caso speciale in cui ciò avviene è il caso in cui esiste una funzione sommabile g : I → [0, +∞[ che maggiora la f nel senso che |f(x, t)| ≤ g(x) per ogni x ∈ X e t ∈ T; diremo in tal caso che f (o la serie ∑_{i∈I} f(i)) è totalmente sommabile. Il caso delle serie di potenze rientra in questo schema: si prende X = ℕ^{n} e, utilizzando notazioni multiindice, si fissa una costante a_{I} ∈ ℂ per ogni I ∈ ℕ^{n}. Per ogni z ∈ ℂ^{n} si ha una funzione ℕ^{n} ∋ I → a_{I}z^{I} ∈ ℂ: l’insieme degli z ∈ ℂ per i quali essa è sommabile sarà detto l’insieme di convergenza della serie ∑_{I∈ℕ^{n}} a_{I}Z^{I} e la parte interna di questo il dominio di convergenza della serie.

Indicheremo con ℂ[[Z_{1}, …, Z_{n}]] l’anello delle serie formali ∑_{I∈ℕ^{n}} a_{I}Z^{I} e con ℂ{Z_{1}, …, Z_{n}} il sottoanello costituito dalle serie con dominio di convergenza non vuoto (quanto precede mostra che si tratta effettivamente di un sottoanello). Per \underline{z} ∈ ℂ^{n} ed r = (r_{1}, …, r_{n}) ∈]0, +∞[^{n} il policilindro di centro \underline{z} e raggio r è l’insieme P (\underline{z}; r) = \{z ∈ ℂ^{n} : |z_{i} − \underline{z}_{i}| < r_{i} per i = 1, …, n\}. La sua chiusura è chiamata policilindro chiuso ed indicata con P̄(\underline{z}; r).

Lemma 16 Se la serie di potenze ∑ a_{I}Z^{I} è sommabile per z = (z_{1}, …, z_{n}), allora essa è totalmente sommabile sul policilindro P̄(0, r) ove r = (|z_{1}|, …, |z_{n}|). In particolare (vedi gli usuali teoremi di analisi) la sua somma è una funzione continua su tale policilindro.

Corollario 17 Il dominio di convergenza di una serie di potenze su ℂ^{n} è una unione di policilindri.

Nel caso n = 1 il dominio di convergenza è un disco (eventualmente di raggio nullo o infinito) perché in tal caso i policilindri (=dischi) sono totalmente ordinati dall’inclusione. Per n ≥ 2 ciò non è più vero. Comunque il dominio di convergenza non può essere una arbitraria unione di policilindri. Esso deve infatti possedere la seguente importante proprietà: Def: diremo che un aperto Ω ⊂ ℂ^{n} è logaritmicamente convesso se risulta convesso in ℝ^{n} l’insieme costituito dalle n−uple (log |z_{1}|, ..., log |z_{n}|) per (z_{1}, ..., z_{n}) che appartiene ad Ω ed ha tutte le componenti non nulle.

Proposizione 18 Il dominio di convergenza di una serie di potenze è un aperto logaritmicamente convesso

Dim. Sia ∑ a_{I}z^{I} ∈ ℂ{z_{1}, ..., z_{n}} convergente nei punti z, w ∈ ℂ^{n}. Allora le quantità a_{I}z^{I} , a_{J}w^{J} per I, J ∈ ℕ^{n} sono limitate da una costante M ∈ ℝ^{+}. Per 0 ≤ λ ≤ 1 maggioriamo i termini della data serie nel punto t = z^{λ}w^{1−λ}:

|a_{I}t^{λ}| = |a_{I}^{λ}z^{λ}| · |a_{I}^{1−λ}w^{1−λ}| ≤ M^{λ} · M^{1−λ} = M

La dimostrazione è allora conclusa dal seguente:

Lemma 19 Il dominio di convergenza di una serie di potenze ∑ a_{I}z^{I} è la parte interna dell’insieme degli z ∈ ℂ^{n} per cui {a_{I}z^{I} : I ∈ ℕ^{n}} è limitato

Dim. Utilizzando la convergenza della serie geometrica, come per una variabile, si verifica che se gli a_{I}z^{I} sono equilimitati, la serie converge assolutamente in ogni z̄ ∈ ℂ^{n} tale che |z̄_{i}| < |z_{i}| per i = 1, ..., n.

Nota. Senza fare ricorso all’integrale di Cauchy, si possono ottenere molti risultati sulle funzioni analitiche operando come segue, ove del corpo complesso utilzziamo solo che è un corpo valutato completo. Ad esempio mostriamo che la funzione somma di una serie di potenze è analitica sul suo dominio di convergenza D nel senso che essa è sviluppabile in serie di potenze all’intorno di ogni z ∈ D. Sia r il vettore avente per componenti i valori assoluti delle componenti di z; per quanto visto, r è interno al dominio di convergenza della serie ∑ |a_{I}|z^{I} e quindi esiste h ∈ ℂ^{n} a componenti tutte positive tali che z + h ∈ D. La convergenza della serie ∑ |a_{I}|(r + h)^{I} equivale alla convergenza della serie ottenuta sviluppando con la formula binomiale tutti i monomi e raggruppando quindi i termini in modo da ottenere una serie di potanze nelle componenti di h per quanto visto precedentemente e perché si tratta di serie a termini positivi. Si ottengono così maggiorazioni che mostrano la convergenza delle serie che esprimono i coefficienti della serie ottenuta da ∑ a_{I}(z + z′)^{I} come serie di potenze nelle componenti di z′ ed anche che questa ha dominio di convergenza non vuoto. Nello stesso modo si dimostra data una serie di potenze con dominio di convergenza non nullo, le serie da questa ottenute per derivazione formale, non solo convergono in tale dominio ma forniscono anche i limiti dei rapporti incrementali corrispondenti. Questi ed analoghi risultati saranno comunque ottenuti nel seguito utilizzando la formula integrale di Cauchy.