Introduzione

Le funzioni di variabile complessa possono essere introdotte o come funzioni analitiche, ossia localmente esprimibili come somma di una serie di potenze, o come funzioni olomorfe definite come funzioni derivabili in senso complesso in ogni punto. Introdurremo ora la funzione esponenziale e quindi anche le funzioni trigonometriche con entrambi tali metodi; in modo analogo, ma un pò più elaborato, verranno introdotte più avanti le funzioni ellittiche.

L’esponenziale come funzione analitica. Per z ∈ ℂ poniamo:

exp(z) = ∑_{n≥0} \frac{z^{n}}{n!}

Tale serie converge assolutamente per ogni z ∈ ℂ ed uniformemente su ogni compatto di ℂ; quindi exp è ben definita e continua e viene detta funzione esponenziale; essa soddisfa la relazione fondamentale seguente: per a, b ∈ ℂ

exp(a + b) = exp(a) · exp(b)

Tale relazione si verifica direttamente mostrando che i termini che si ottengono eseguendo il prodotto delle serie che esprimono il secondo membro possono essere raggruppati (utilizzando la formula binomiale) in modo da fornire la serie che dà il primo membro. Ciò è corretto perchè si tratta di serie assolutamente convegenti (v. l’appendice sulla sommazione delle serie). Si ha evidentemente exp(0) = 1 e quindi exp(z) · exp(−z) = 1; se ne deduce che exp è in effetti una applicazione del gruppo additivo ℂ dei numeri complessi nel gruppo moltiplicativo ℂ^{∗} dei numeri complessi non nulli e la relazione di sopra asserisce che essa è un omomorfismo di gruppi.

Osservando che la serie data è a coefficienti reali si ottiene anche la seguente relazione: per a ∈ ℂ

exp(z̄) = \overline{exp(z)}

Ne segue che se z è reale anche exp(z) lo è e che se z è puramente immaginario, e quindi z̄ = −z, allora exp(z) moltiplicato per il proprio coniugato dà 1 ossia esso è un numero complesso di modulo 1.

Notazione: si pone e = exp(1); esso è un numero reale maggiore di uno che viene detto numero di Nepero. La funzione esponenziale viene spesso indicata con la notazione exp(z) = e^{z}.

Si sono così ottenuti omomorfismi (continui) di gruppi:

ℝ ∋ t ↦ e^{t} ∈ ℝ^{∗}

e

ℝ ∋ t ↦ e^{it} ∈ S^{1}

ove ℝ^{∗} = ℝ − {0} è il gruppo moltiplicativo dei numeri reali non nulli ed S^{1} è il gruppo moltiplicativo dei numeri complessi di modulo uno. Per studiare le proprietà che tali omomorfismi devono necessariamente avere utilizzeremo il fatto che S^{1} è una sottovarietà differenziabile di dimensione uno in ℂ, che è compatta e connessa (ad esempio perchè immagine di ℂ^{∗} per l’applicazione continua z ↦ z/|z|) e che tali omomorfismi non sono costanti. Faremo uso anche dei seguenti principi generali:

- ogni sottogruppo H di un gruppo topologico G che abbia punti interni è aperto e chiuso in G. Infatti essendo le traslazioni di G in se degli omeomorfismi, se H ha un punto interno tutti i suoi punti saranno interni e quindi esso è aperto; il complementare sarà anch’esso aperto perchè unione di classi laterali ciascuna delle quali essendo ottenuta da H per traslazione è aperta.

- ogni applicazione continua localmente iniettiva tra varietà topologiche di dimensione uno è aperta. Infatti basterà dimostrare che essa è localmente aperta; utilizzando carte locali siamo ricondotti a considerare l’enunciato per funzioni continue tra intervalli in ℝ e la dimostrazione si fa allora usando semplici argomenti di connessione. Essendo ℝ connesso, l’immagine di t ↦ e^{t} deve essere la componente connessa di ℝ^{∗} che contiene 1; quindi tale omomorfismo è surgettivo sui reali positivi. Esso deve essere anche iniettivo perchè se T ≠ 0 fosse nel suo nucleo, esso sarebbe fattorizzabile tramite ℝ → ℝ/(ℤ T) ed avrebbe quindi immagine compatta. Si è così trovato che l’esponenziale induce un isomorfismo tra il gruppo additivo dei reali ed il gruppo moltiplicativo dei reali positivi. Analogamente t ↦ e^{it} dovrà essere surgettivo su S^{1}. Il suo nucleo deve essere un sottogruppo proprio chiuso; non può essere il gruppo nullo perchè altrimenti si avrebbe un isomorfismo che essendo una applicazione iniettiva tra varietà di dimensione uno sarebbe aperto e quindi un omeomorfismo; ciò non è possibile perché S^{1} è compatto mentre ℝ non lo è. Quindi tale nucleo consiste dei multipli di un numero reale positivo; la metà di questo viene chiamato pi greco ed indicato con π. Segue da tutto ciò che si ha una successione esatta:

0 → ℤ →^{j} ℂ →^{exp} ℂ^{∗} → 0

ove j è l’inclusione definita da j(n) = 2πin.

Le componenti di e^{it} per t ∈ ℝ sono per definizione le funzioni coseno e seno indicate rispettivamente cos e sin. Per t ∈ R si ha quindi:

e^{it} = cos(t) + i sin(t)

Dalla serie di potenze che definisce la funzione esponenziale si ottengono immediatamente gli sviluppi in serie di potenze delle funzioni seno e coseno.

Fissato z_{0} ∈ ℂ si ha per h ∈ ℂ:

e^{z_{0}+h} − e^{z_{0}} = e^{z_{0}}(e^{h} − 1)

essendo e^{h} − 1 = h+ termini del secondo ordine, si ottiene che l’esponenziale ha per differenziale primo nel punto z_{0} la moltiplicazione (complessa) per e^{z_{0}}. Tale differenziale primo è quindi fattorizzabile con l’esponenziale e con l’applicazione che ad un numero complesso a associa la applicazione h → ah considerata come applicazione ℝ−lineare di ℂ in se. Ne segue che l’esponenziale è C^{∞}. Alternativamente l’espressione trovata per il differenziale dell’esponenziale dice che le funzioni reali e^{t} , cos(t) e sin(t) hanno per derivate rispettivamente le funzioni e^{t} , − sin(t) e cos(t) e che quindi sono tutte differenziabili infinite volte.

Essendo e^{x+iy} = e^{x}(cos(y) + i sin(y)) se ne deduce anche la infinita differenziabilità dell’esponenziale.

Introduzione dell’esponenziale tramite inversione di un integrale Consideriamo la 1−forma olomorfa ω = dz/z su ℂ^{∗}. Detto ϕ : (X, x_{0}) → (ℂ^{∗}, 1) il rivestimento universale, siano ω̃ = ϕ^{∗}(ω) e f : X → ℂ la primitiva di ω̃ con f(x_{0}) = 0. Tale f è un rivestimento e quindi un biolomorfismo. Infatti f è un omeomorfismo locale perché il suo differenziale è in ogni punto non nullo. Se h : Ω → ℂ è una primitiva di ω su un aperto di ℂ^{∗} e λ ∈ ℂ^{∗}, allora h̄(z) = h(λz) è una primitiva di ω su Ω̄ = (1/λ) · Ω; da ciò si deduce nel modo solito che per f vale il sollevamento dei cammini e quindi è effettivamente un rivestimento. Quindi il rivestimento universale di ℂ^{∗} può essere identificato con ℂ e descritto come l’inversione dell’integrale ∫ dz/z.

Ne risulta che ℂ^{∗} è descrivibile come quoziente di ℂ modulo il sottogruppo Γ dei periodi di ω; questo deve essere un sottogruppo discreto e non può essere il gruppo nullo perché ℂ^{∗} non è omeomorfo a ℂ (non è semplicemente connesso) e non può avere rango due perché ℂ^{∗} non è compatto. Quindi Γ ha rango uno. Verifichiamo che Γ è fatta di numeri puramente immaginari. Infatti:

ω = dz/z = (z̄ · dz)/(z̄ · z) = α + iβ

ove α = (xdx+ydy)/(x^{2} +y^{2}) e β = (xdy −ydx)/(x^{2} +y^{2}) sono 1−forme chiuse reali su ℝ^{2} − {0}. Se F : ℝ^{+} → ℝ è una primitiva di ω su ℝ^{+} (essa esiste perché ℝ^{+} è semplicemente connesso), allora (1/2)F (x^{2} + y^{2}) è una primitiva di α che quindi è esatta. Ne segue che i periodi di ω sono i periodi di β moltiplicati per l’unità immaginaria. Risulta così univocamente determinato un generatore T di Γ avente parte reale nulla e parte immaginaria positiva; si introduce quindi la costante reale positiva π ponendo T = 2πi.

Evidentemente questo modo di introdurre la funzione esponenziale è concettualmente più complicato dell’altro. Inoltre lo schema sin qui descritto introduce una struttura di gruppo su ℂ^{∗} (come quoziente di ℂ) ma non precisa che questa coincide proprio con quella già esistente (la moltiplicazione tra numeri complessi non nulli). Questo metodo ha comunque alcuni pregi. Anzitutto non utilizza alcun tipo di calcolo; inoltre assicura che su ℂ^{∗} c’è una struttura di gruppo, quella di quoziente di ℂ modulo il sottogruppo dei periodi della forma ω, indipendentemente dal fatto che già una tale struttura (il prodotto tra numeri complessi) fosse presente. Vedremo nel seguito come analoghi ragionamenti permettano talvolta di determinare la forma di una superficie di Riemann (varietà complessa connessa di dimensione uno) a partire dalla conoscenza di forme differenziali su essa.

Funzioni olomorfe

La teoria di più variabili complesse sarà trattata più avanti; ne anticipiamo qui alcune definizioni e propietà elementari che utilizzeremo nel caso di una variabile (essenzialmente il teorema di inversione locale). Notazioni. Le variabili in ℂ^{n} saranno di solito indicate z_{1}, …, z_{n} ove, esplicitando le parti reali ed immaginarie, scriveremo z_{α} = x_{α} + iy_{α} per 1 ≤ α ≤ n; l’identificazione di ℂ^{n} con ℝ^{2n} che utilizzeremo sarà quella indotta da (z_{1}, …, z_{n}) → (x_{1}, y_{1}, …, x_{n}, y_{n}). In termini intrinseci, se V è uno spazio vettoriale su ℂ di dimensione finita, ad ogni base (e_{1}, …, e_{n}) di V su ℂ associeremo la base di V su ℝ data da (e_{1}, ie_{1}, …, e_{n}, ie_{n}).

Siano Ω ⊂ ℂ^{n} un aperto e f : Ω → ℂ^{m} una applicazione; essa può quindi essere considerata come una applicazione di un aperto di ℝ^{2n} in ℝ^{2m} e nel caso sia differenziabile in un punto p ∈ Ω, il suo differenziale df(p) sarà una applicazione ℝ-lineare di ℂ^{n} in ℂ^{m}. Diremo che f è olomorfa se :

- f è differenziabile (infinite volte) in senso reale

- per ogni p ∈ Ω , df(p) : ℂ^{n} → ℂ^{m} è ℂ-lineare.

Esempi di applicazioni olomorfe:

1. Una applicazione polinomiale P di ℂ^{n} in ℂ^{m}; infatti detta J(z) la matrice a m righe ed n colonne costituita dalle derivate formali delle componenti polinomiali di P , per z, h ∈ ℂ^{n} un semplice calcolo dà l’eguaglianza:

P (z + h) = P (z) + J(z)[h] + R(z, h)[h]

ove R(z, h) è un polinomio di secondo grado nelle h (a coefficienti polinomi nelle z ed h). Da ciò si deduce che tale applicazione è differenziabile nel punto z e che il suo differenziale è dP (z)[h] = J(z)[h]; ne segue anche che P è differenziabile infinite volte; infatti l’applicazione dP : Ω → Hom_{ℝ}(ℂ^{n}, ℂ^{m}) è fattorizzata da z → J(z) di ℂ^{n} in ℂ^{nm} = Hom_{ℂ}(ℂ^{n}, ℂ^{m}) che per ipotesi di induzione (ad esempio sul grado delle componenti) possiamo supporre differenziabile infinite volte, seguita dall’inclusione in Hom_{ℝ}(ℂ^{n}, ℂ^{m}) che è lineare e quindi anch’essa differenziabile infinite volte.

2. Una applicazione ℂ^{n} ⊃ Ω →^{f} ℂ^{m} è olomorfa se e solo se le sue componenti lo sono; inoltre la composizione di applicazioni olomorfe è olomorfa. Osservando quindi che somma e prodotto sono applicazioni polinomiali di ℂ^{n} × ℂ^{n} → ℂ, si ottiene che per Ω aperto in ℂ^{n}, l’insieme O(Ω) delle funzioni olomorfe su Ω a valori in ℂ è chiuso rispetto a somma e prodotto e costituisce così un annello (un algebra su ℂ perché contiene le costanti). Dimostrando (facilmente come in 1.) che z → 1/z definisce una funzione olomorfa su ℂ − {0}, si deduce anche che se f, g ∈ O(Ω) e g è priva di zeri in Ω, allora f/g è olomorfa su Ω.

3. Il teorema di inversione locale. Sia f : Ω → ℂ^{n} olomorfa ove Ω è un aperto in ℂ^{n} contenente 0; se df(0) è un isomorfismo di ℂ^{n} in se, allora f è localmente invertibile come applicazione olomorfa. Infatti, per l’ordinario teorema di inversione locale, f sarà localmente invertibile come applicazione reale; si tratta quindi solo di controllare che l’inversa locale ha il differenziale ℂ-lineare e ciò segue dal fatto che esso è l’inverso di df(0). Una applicazione biunivoca e olomorfa assieme alla sua inversa sarà chiamata un biolomorfismo o anche cambiamento di coordinate olomorfo. Si deducono immediatamente gli analoghi olomorfi dei teoremi delle funzioni implicite reali: se ℂ^{n} ⊃ Ω →^{f} ℂ^{m} è olomorfa, 0 ∈ ℂ e f(0) = 0 allora se df(0) ha rango m, modulo un cambiamento di coordinate in un intorno di 0 in ℂ^{n}, la f è la proiezione di ℂ^{n} sullo spazio delle prime m coordinate. Se invece ha rango n, cambiando coordinate in 0 ∈ ℂ^{m} la f diviene l’inclusione di ℂ^{n} nello spazio delle prime n coordinate in ℂ^{m}.

4. Siano Ω un aperto in ℂ^{n} e K : [a, b]×Ω → ℂ differenziabile (infinite volte) e tale che per ogni t_{0} ∈ [a, b] la funzione Ω ∋ z → K(t_{0}, z) ∈ ℂ sia olomorfa. Allora la funzione g da Ω in ℂ definita dalla formula g(z) = ∫_{a}^{b} K(t, z)dt è olomorfa. In effetti ciò segue dalla formula di differenzazione degli integrali contenenti un parametro.

Richiami della teoria elementare di una variabile. Rimandiamo ad uno qualsiasi dei testi classici per l’esposizione della teoria introduttiva sulle funzioni di variabile complessa. Qui daremo solo brevi cenni di alcuni fatti e dimostrazioni svolte a lezione in modo diverso da come esposte nel testo di H.Cartan al quale comunque ci riferiremo.

Lemma 1 Sia f una funzione olomorfa non localmente costante all’intorno di un punto a. Esiste allora una coordinata locale in a per la quale la f si scrive f(z) = f(a) + z^{n} ove n > 0 è un intero univocamente determinato

Dim. Possiamo supporre a = f(a) = 0. Considerando lo sviluppo di Taylor (per ipotesi non identicamente nullo), si verifica che f(z) = z^{n}g(z) ove n ≥ 1 e g è olomorfa (in un intorno di 0) con g(0) ≠ 0. Localmente esiste h olomorfa con h^{n} = g (si inverta localmente la z ↦ z^{n}) e si ottiene f = (zh(z))^{n}. L’enunciato segue allora dal fatto che z ↦ zh(z) è un cambiamento di coordinate in 0 (ha ivi derivata non nulla).

Corollario 2 Una funzione olomorfa non localmente costante è una applicazione aperta.

Dim. Localmente, modulo cambiamenti di coordinate locali, essa è del tipo z ↦ z^{p} che è una applicazione aperta.

Corollario 3 (Principio del massimo) Se f è olomorfa ed |f| ha un massimo locale in un punto a, allora f è localmente costante vicino ad a

Dim. Se |f| ha un massimo locale in a ∈ ℂ l’immagine di un piccolo disco aperto U di centro a contiene f(a) ed è contenuta nel disco chiuso di centro zero e raggio |f(a)| e quindi non può essere un aperto. Non essendo una applicazione aperta, f è costante su U.

Proposizione 4 (Teorema di estenzione di Riemann) Se una funzione è olomorfa su un aperto meno un punto ed è limitata essa è restrizione di una funzione olomorfa su tutto l’aperto

Dim. Più in generale sia f una funzione olomorfa limitata su Ω − Δ ove Ω ⊂ ℂ è un aperto e Δ ⊂ Ω un compatto avente misura 1−dimensinale nulla nel senso che per ogni ϵ > 0 esiste un plurirettangolo R (ossia R è una unione finita di rettangoli, con i lati paralleli agli assi reale ed immaginario) avente perimetro inferiore ad ϵ e contenente Δ all’interno (ad esempio l’usuale insieme di Cantor in ℝ ⊂ ℂ ha tale proprietà). Per z ∈ Ω − Δ si scelga un aperto D relativamente compatto in Ω avente frontiera differenziabile e contenente sia Δ che z; si può allora esprimere il valore di f in z con un integrale (formula di Cauchy) esteso al bordo di D ed al bordo di un sufficientemente piccolo plurirettangolo come sopra. Tale secondo contributo è costante (perché per ϵ abbastanza piccolo z è ”esterno” al bordo del plurirettangolo) e siccome al rimpicciolire di R diviene trascurabile deve essere nullo; così su tutto D−Δ la f si esprime come l’integrale di Cauchy sul bordo di D ed è quindi olomorfa su tutto D.

Superfici di Riemann. Chiameremo superficie di Riemann ogni varietà complessa che sia connessa e di dimensione uno. Ad esempio la sfera di Riemann che può essere introdotta come ℙ^{1}(ℂ) : lo spazio proiettivo complesso di dimensione uno. Un altro esempio è dato dal quoziente di ℂ per un sottogruppo discreto Γ di traslazioni. Per Γ = (0) si riottiene ℂ; se Γ ha rango uno, diciamo generato da ω ∈ ℂ^{∗} = ℂ−{0}, il quoziente è biolomorfo a ℂ^{∗} (la proiezione ℂ → ℂ^{∗} essendo exp(\frac{2π}{T} z). Altrimenti Γ ha rango due, generato su ℤ da ω_{1}, ω_{2} ∈ ℂ linearmente indipendenti su ℝ, ed il quoziente che è detto una curva ellittica, è topologicamente S^{1} ×S^{1} ma dal punto di vista complesso fornisce una ”famiglia continua” di superfici di Riemann ”generalmente” non isomorfe tra loro. Questo fenomeno, di strutture complesse variabili su una stesso spazio topologico, si presenta già, come vedremo, per aperti di ℂ. Ad esempio sia z ∈ ℂ diverso da 0, 1; allora ℂ − {0, 1, z} e ℂ − {0, 1, w} sono bilolomorfi tra loro solo per un numero finito di w ∈ ℂ − {0, 1}. Oppure posto C_{r} = {z ∈ ℂ : 1 < |z| < r} si vedrà che C_{r} è bilolomorfo a C_{s} per r, s > 1 se e solo se r = s. Molte superficie di Riemann saranno costruite nel modo seguente: sia ϕ : X → Y una applicazione tra spazi topologici; se X è connessa ed a base numerabile, Y ha una struttura di superficie di Riemann e la ϕ è un omeomorfismo locale, esiste su X una ed una sola struttura di superficie di Riemann per la quale ϕ è olomorfa; essa sarà allora anche un biolomorfismo locale. Ciò si applica ad esempio al rivestimento universale ϕ : X → Y di una superficie di Riemann Y. (Che il rivestimento è a base numerabile si può dimostrare sapendo che il gruppo fondamentale è numerabile oppure utilizzando il teorema più generale di Poincaré-Volterra che verrà esposto in seguito).

Proposizione 5 Ogni applicazione f : X → Y olomorfa tra superficie di Riemann che sia propria (ad esempio ciò accade se X è compatta) è surgettiva o costante

Dim. L’immagine di f è chiusa perché ϕ è propria; se non è costante f è una applicazione aperta e tale sarà quindi anche la sua immagine. La surgettività segue quindi dalla connessione di Y.

Corollario 6 Ogni funzione meromorfa su ℙ^{1}(ℂ) è un rapporto tra polinomi (ossia è una funzione razionale)

Dim. Sia f meromorfa su ℂ ed avente una singolarità (al più) polare all’infinito; essa ha quindi un numero finito di zeri e di poli. Allora moltiplicando f per una funzione razionale opportuna si ottiene una funzione olomorfa senza zeri su ℂ che ha una singolarità (al più) polare nel punto ∞. Essa rappresenta quindi una applicazione olomorfa di ℙ^{1}(ℂ) in se che qualunque valore assuma nel punto ∞ non può essere surgettiva. Per il corollario precedente essa è quindi costante.

Sia ϕ : X → Y una applicazione olomorfa non costante tra superfici di Riemann. In ogni punto x ∈ X, tramite opportune coordinate locali la ϕ esprimibile nella forma z ↦ z^{p} con p ≥ 1; tale p non dipende dalle coordinate locali scelte: se p = 1 allora ϕ è localmente invertibile e diremo che x è un punto regolare; altrimenti x è detto un punto critico; in ogni caso p − 1 sarà detto l’indice di ϕ in x. Un valore regolare per ϕ è un punto y ∈ Y tale che ϕ^{−1}(y) sia fatto solo di punti regolari; altrimenti y è detto un valore critico. L’insieme dei punti critici è un chiuso in X mentre l’insieme dei valori regolari può non esserlo; esso è però sicuramente chiuso se ϕ è anche propria, ad esempio se X è compatta.

Proposizione 7 Sia ϕ : X → Y una applicazione propria non costante tra superfici di Riemann e sia Σ ⊂ Y l’insieme dei suoi valori critici. La restrizione di ϕ dà un rivestimento finito ϕ′ di X − ϕ^{−1}(Σ) → Y − Σ. Sia n la cardinalità delle fibre di tale rivestimento; per ogni punto y ∈ Y la somma degli indici di ϕ nei punti di ϕ^{−1}(y) è uguale ad n

Dim. Per costruzione ϕ′ è una applicazione olomorfa non costante tra superfici di Riemann X′, Y′ che è localmente invertibile e propria. Per y ∈ Y′ siano x_{1}, ...x_{n} i punti distinti di ϕ^{′−1}(y); per i = 1, .., n scegliamo un intorno aperto U_{i} di x_{i} biolomorfo tramite ϕ′ ad un intorno aperto V_{i} di y in Y′ : possiamo evidentemente supporre che tutti i V_{i} siano uguali ad un aperto V in Y′. Togliendo ad X′ l’unione degli U_{i} si ottiene un chiuso la cui immagine F in Y′ è un chiuso (perché ϕ′ è propria); posto U′_{i} = U_{i} − ϕ^{′−1}(F) e V′ = V − F, si avrà che ϕ^{′−1}(V′) è l’unione degli U′_{i} e che ϕ′ : U′_{i} → V′ è un biolomorfismo per ogni i. Per l’ultima affermazione, dato y ∈ Y eventualmente critico, si scelga una carta locale che rappresenti un suo intorno U con il disco aperto unitario 𝕌 di ℂ e tale che U − {y} non contenga valori critici. Allora ogni componente connessa V di ϕ^{−1}(U) è tale che ϕ : V − ϕ^{−1}(y) → U − {y} è un rivestimento di un grado finito p > 0; dalla classificazione dei rivestimenti esso deve essere biolomorfo all’applicazione z ↦ z^{p} di 𝕌 in se stesso. Applicando il teorema di estenzione di Riemann quindi si ha che V è biolomorfo ad 𝕌 e che con tali identificazioni ϕ si scrive z ↦ z^{p}. E’ ora chiaro che la somma degli indici di ϕ nei punti sopra y deve essere la cardinalità delle fibre sopra i valori regolari.

Diremo che una superficie di Riemann X è compattificabile se è biolomorfa ad un aperto di una superficie di Riemann compatta X̃; diremo che è finitamente compattificabile se ciò è possibile con X̃ − X finito. Ad esempio ℂ è compattificabile aggiungendo un punto ed ottenendo così ℙ^{1}(ℂ). Al contrario nessun aperto limitato di ℂ è finitamente compattificabile: infatti se X, X̃ sono come sopra ogni funzione olomorfa su X che sia limitata è prolungabile olomorficamente su X̃ ed è quindi costante mentre su un aperto limitato di ℂ la coordinata z è olomorfa limitata non costante.

Proposizione 8 Siano f : X → Y e g : X → Z applicazioni olomorfe iniettive tra superficie di Riemann tali che Y − f(X) e Z − g(X) siano finiti e sia Z compatta . Esiste allora una applicazione olomorfa iniettiva h : Y → Z per cui g = h ∘ f. Se anche Y è compatta, tale h è necessariamante un biolomorfismo

Dim. Con facili considerazioni topologiche si dimostra che una tale h continua esiste; che poi essa sia olomorfa si ottiene applicando il teorema di estenzione di Riemann.

Proposizione 9 Sia f : X → Y un rivestimento olomorfo finito tra superficie di Riemann. Se g : Y → Ỹ è una compattificazione finita, esistono una compattificazione finita h : X → X̃ ed una applicazione olomorfa f̃: X̃ → Ỹ tali che g ∘ f = f̃∘ h

Dim. Per ogni punto aggiunto ad Y, un opportuno suo intorno in Ỹ ha per controimmagine in Y un aperto V biolomorfo a U = {z ∈ ℂ : 0 < |z| < 1}. Siccome i rivestimenti finiti di U sono tutti del tipo z ↦ z^{p} per p intero positivo, ad ogni componente connessa di f^{−1}(V) si può aggiungere un punto in modo da estendere la struttura complessa e prolungare la f in modo olomorfo. Dovrebbe ora essere chiaro come concludere la dimostrazione.

Funzioni periodiche ottenute per inversione di un integrale Abbiamo visto che la forma ω = dz/z non ha un integrale definito su tutto ℂ^{∗} ma che se si integra esso in un intorno di un punto e se ne considera l’inversa, questa è restrizione di una funzione olomorfa su tutto ℂ che ammette un periodo non banale. Ciò accade anche in altri casi: vedremo che se si cerca la primitiva di ω = dz/\sqrt{P} (z) ove P è un qualsiasi polinomio di grado tre o quattro avente radici distinte, la primitiva locale in un punto z_{0} ove P (z_{0}) ≠ 0 (essendo stata fissata una delle due radici di P) questa può essere estesa ad aperti di U = ℂ − {radici di P } che siano semplicemente connessi ma non a tutto U; al contrario l’inversa locale di una tale primitiva, è estendibile come funzione meromorfa a tutto ℂ e possiede come gruppo di periodi un sottogruppo discreto Γ di rango due di ℂ: è quindi un esempio di funzione meromorfa non banale sul ”toro” ℂ/Γ ossia, come si dice, una funzione ellittica. La scoperta di questo ed altri analoghi fatti e la necessità di creare dei linguaggi adeguati con cui esprimerli e formularne dimostrazioni ineccepibili, è stato lo stimolo principale all’introduzione di molti nuovi concetti dimostratisi poi essenziali in moltissime discipline dall’analisi alla geormetria ed all’algebra, sino alla teoria dei numeri (non solo per quella ”analitica” ma anche quella cosiddetta ”pura” da A.Weil, come descritto nel suo libro ”Teoria dei numeri” , ed Boringhieri): tra questi le nozioni di varietà, gruppo fondamentale e molte altre di topologia algebrica sino al problema di Dirichlet per le funzioni armoniche, introdotti o perfezionati per la chiarificazione delle problematiche sollevate dallo studio dell’inversione di tali integrali.

Cominciamo con un risultato di tipo ”astratto” che sarà poi utilizzato per costruire funzioni doppiamente periodiche e fornirà anche la struttura delle curve cubiche piane.

Proposizione 10 Sia ω una 1−forma olomorfa priva di zeri su una superficie di Riemann compatta X. Allora il gruppo Γ dei periodi di ω sulle curve chiuse di X è discreto di rango due in ℂ ed esiste un biolomorfismo tra X e ℂ/Γ che trasforma ω nella forma dz ottenuta dal differenziale della coordinata z di ℂ per passaggio al quoziente

Dim. Siano ϕ : X̃ → X il rivestimento universale di X e ω̃ la forma olomorfa ϕ^{∗}(ω) su X̃. Per semplice connessione esiste una primitiva f̃ : X̃ → ℂ di ω̃; essa ha differenziale invertibile in ogni punto, perchè ω e quindi anche ω̃ è priva di zeri. Per mostrare che essa è un rivestimento di ℂ occorre solo dimostrare che verifica il sollevamento dei cammini. Per ciò utilizzeremo il fatto che esiste ϵ > 0 tale che ogni x̃ ∈ X̃ possiede un intorno aperto U sul quale f̃ è un omeomorfismo con un aperto di ℂ contenente il disco chiuso di centro f̃(x̃) e raggio ϵ; ciò si dimostra osservando che un tale ϵ esiste per le primitive locali di ω su X assieme al fatto che localmente la f̃ è, a meno di costanti additive, ottenuta dalle primitive locali su X componendo con inverse, sempre locali, di ϕ. Allora se γ : [0, 1] → ℂ è un arco continuo e x̃ ∈ X̃ è tale che f̃(x̃) = γ(0), scelta una decomposizione 0 = t_{0} < t_{1} < ... < t_{n} = 1 di [0, 1] in modo che su ogni [t_{i−1}, t_{i}] l’oscillazione di γ sia inferiore ad ϵ, si costruisce un sollevamento di γ a partire da x̃ con n passi successivi utilizzando le inverse locali di f̃. Quindi f̃ è un rivestimento e quindi (siccome ℂ è semplicemente connesso) un biolomorfismo; in particolare X è ottenuto da ℂ quozientando per una relazione di equivalenza. Sia Γ l’insieme {∫_{γ} ω : γ ∈ π_{1}(X, ∗)} per qualche punto base ∗ ∈ X; esso è un sottogruppo di ℂ che viene detto gruppo dei periodi di ω ed è evidente che non dipende dal punto base scelto. Asserzione: due punti λ_{1}, λ_{2} ∈ ℂ sono equivalenti ossia provengono da punti x̃_{1}, x̃_{2} ∈ X̃ aventi la stessa immagine in X, se e solo se λ_{1} − λ_{2} ∈ Γ. Infatti supponiamo f̃(x̃_{1}) = f̃(x̃_{2}) = x e sia σ un arco continuo in X̃ che va da x̃_{1} a x̃_{2}; l’oscillazione di f̃ tra tali due punti, ossia la differenza λ_{1} − λ_{2}, è pari all’integrale di ω̃ su γ che è uguale all’integrale di ω su ϕ ∘ σ e questo è un periodo di ω perché fatto su un cammino chiuso. Viceversa supponiamo che sia λ_{2} − λ_{1} = c ∈ Γ; scegliamo un laccio chiuso γ in X di origine x = ϕ(x̃_{1}) tale che ∫_{γ} ω = c e sia γ̃ il sollevamento di γ che parte da x̃_{1} e che terminerà in un x̄ ∈ X̃ che si proietta ancora in x; il valore di f̃ in x̄ si ottiene allora aggiungendo a f̃(x̃_{1}) = λ_{1} l’integrale di ω̃ su γ̃ che coincide con l’integrale di ω su γ ossia con c: quindi x̃_{2} e x̄ hanno la stessa immagine per f̃ ed essendo questa biunivoca, coincidono. Siccome per costruzione ϕ(x̄) = ϕ(x̃_{1}) otteniamo infine ϕ(x̃_{1}) = ϕ(x̃_{2}). Che Γ è discreto segue dal fatto che le fibre di ϕ e quindi anche quelle di ϕ ∘ f̃^{−1} sono insiemi discreti; esso ha quindi rango al più due ed in effetti propio rango due perché altrimenti il quoziente X non sarebbe discreto. Infine per costruzione f̃ trasforma ω̃ in dz su ℂ cosicché l’identificazione di X con ℂ/Γ trasforma ω nella forma indotta da dz sul quoziente.

Studiamo ora l’integrazione su ℂ di una forma del tipo ω = dz/\sqrt{P} (z) ove P (z) ∈ ℂ[z] è un polinomio di grado 3 avente radici distinte. Posto w = \sqrt{P} (z), tale integrale può essere studiato sulla superficie di Riemann Δ = {(w, z) ∈ ℂ^{2} : w^{2} = p(z)}. Spieghiamo meglio cosa significhi ciò. Intanto Δ è una sottovarietà complessa di dimensione uno in ℂ^{2} perchè il polinomio w^{2} − P (z) che la definisce come luogo di zeri ha in ogni punto di essa una almeno delle due derivate parziali diversa da zero; la proiezione ϕ sull’asse z è una applicazione olomorfa propria Δ → ℂ di grado due. Sia A ⊂ ℂ l’insieme delle radici di P; l’applicazione ϕ : Δ − ϕ^{−1}(A) → ℂ − A è olomorfa propria e localmente invertibile con fibre di cardinalità due; girando in ℂ attorno ad un punto di A i due punti della fibra si scambiano. Ciò dimostra che Δ è connessa e quindi che essa è una superficie di Riemann; inoltre che se si percorre in ℂ il bordo di un disco che contiene A all’interno, i punti della fibra si scambiano tra loro se P ha grado tre e quindi che Δ è in tal caso finitamente compattificabile con un punto all’infinito mentre se P ha grado quattro essi non si scambiano ed allora Δ si compattifica con l’aggiunta di due punti. Asserzione: detta X la compattificazione di Δ, la forma ω̃ si estende ad X in una forma olomorfa e priva di zeri. Infatti le funzioni z, w su Δ hanno modulo che và all’infinito nei punti di X − Δ e sono quindi meromorfe su X; l’asserzione sarà verificabile, calcolando gli ordini di polo di z e w nei punti di X − Δ perché ω̃ = dz/w. Osserviamo che i gradi di esse come applicazioni di Δ → ℂ sono gli stessi delle loro estenzioni ad applicazioni X → ℙ^{1} e sono due per w ed il grado di P per la z. Se P ha grado tre l’unico punto aggiunto deve quindi essere un polo di ordine due per z e di ordine tre per w. Se t è una coordinata locale in tale punto, si ha quindi z = a(t)t^{−2} e w = b(t)t^{−3} con a, b olomorfe non nulle per t = 0; quindi in tale coordinata si ha:

ω̃ = \frac{dz}{w} = \frac{d((a(t)t^{−2})}{b(t)t^{−3}} = b(t)^{−1}(a′(t)t − 2a(t))dt

che è olomorfa non nulla per t = 0. Se P ha grado quattro, il grado di z è ancora due mentre quello di w è quattro; nei due punti di X − Δ il comportamento di w è lo stesso, perché l’applicazione (z, w) ↦ (z, −w) è un biolomorfismo di Δ (e quindi anche di X) che scambia tali punti: ne segue che in ognuno di essi z ha un polo semplice e w uno doppio e l’asserzione si verifica come per il grado tre esprimendo tali funzioni tramite una coordinata locale t. Per il teorema precedente, l’integrazione su X di ω̃ fornisce z e w come funzioni doppiamente periodiche su ℂ; si osservi infine che la variabile in ℂ di cui esse sono funzioni è ottenuta invertendo ∫ dz/\sqrt{P} (z). Si è così dimostrata la seguente:

Proposizione 11 Sia P (z) ∈ ℂ[z] un polinomio di grado tre o quattro avente radici distinte. All’intorno di un punto z_{0} ∈ ℂ in cui P non è nullo sia f una primitiva della forma dz/\sqrt{P} (z) (avendo scelto una determinazione locale della radice di P). Allora l’inversa di tale f è estendibile a tutto ℂ ad una funzione meromorfa 𝔭 i cui periodi formano un sottogruppo discreto Γ di rango due in ℂ.

Note. Sia z_{0} ∈ ℂ un punto non radice di P e scegliamo una determinazione locale w della radice quadrata di P (z); una primitiva locale f di ω sarà tale che f′(z) = 1/w. Localmente 𝔭 è definita dalla relazione f(𝔭(t)) = t; derivando tale relazione si ha f′(𝔭(t)) · 𝔭(t) = 1 e quindi 𝔭′ = w. Ciò dice che detto H l’insieme dei poli di 𝔭, l’applicazione t ↦ (𝔭(t), 𝔭′(t)) di ℂ−H in ℂ^{2}, parametrizza la curva Δ. In particolare ottiene l’equazione differenziale 𝔭′(t)^{2} = P (𝔭(t)) soddisfatta dalla funzione periodica che abbiamo costruito.

Con alcune ulteriori considerazioni topologiche l’analisi sopra svolta dimostra che due generatori di Γ sono calcolabili così : siano z_{1}, z_{2}, z_{3} tre radici distinte di P tali che z_{2} non stia sull’intervallo [z_{1}, z_{2}]; posto I_{1} = [z_{1}, z_{2}] e I_{2} = [z_{2}, z_{3}] siano:

ω_{1} = ∫_{I_{1}} dz/\sqrt{P} (z) ω_{2} = ∫_{I_{2}} dz/\sqrt{P} (z)

ove sono state fissate comunque determinazioni della radice di P. Allora Γ è generato su ℤ da 2ω_{1} , 2ω_{2}.

Esaminiamo adesso il caso in cui P sia un polinomio di grado maggiore di quattro avente ancora radici distinte. Gran parte della costruzione fatta sopra continua ad essere valida: l’insieme degli zeri Δ del polinomio w^{2} − P (z) è una superficie di Riemann compattificabile in una X con l’aggiunta di uno o due punti secondo che n sia dispari o pari; la forma ω = dz/\sqrt{P} (z) si solleva su Δ ad una forma olomorfa ω̃ priva di zeri. Quel che cambia, come si vede con considerazioni analoghe ai casi n = 3 o 4 utilizzando un parametro locale nei punti all’infinito, è che la forma ha zeri in tali punti né si può sperare di trovare su X un altra forma che sia priva di zeri, perché il numero di questi come vedremo è lo stesso per tutte le forme olomorfe esistenti su essa. In effetti in tali casi non sarà più vero che il gruppo dei periodi di ω è discreto, essendo in generale libero di rango maggiore di due e l’inversa della primitiva locale di ω non fornirà funzioni periodiche né facilmente descrivibili. Ciò dipende dal fatto che vi sono troppe curve chiuse ”inequivalenti” su X per ottenere periodi ”indipendenti” usando una sola 1−forma. Quel che fu osservato essenzialmente da Abel ed Jacobi è che vi sono altre forme olomorfe su X (ad esempio quelle del tipo z^{h}ω ove h è non troppo alto da far divenire polare ω all’infinito: precisamente se n = 2m o n = 2m − 1 si può prendere h tra 0 ed m − 2) e conviene invece che integrarne una sola di esse, integrarne diverse simultaneamente. Infatti è facile verificare che lo spazio vettoriale delle forme olomorfe su una superficie di Riemann compatta formano uno spazio vettoriale di una dimensione finita g; meno facile è verificare 2g − 2 è il numero di zeri (contati con la loro molteplicità) di una qualsiasi di esse e che i vettori in ℂ^{g} ottenuti integrando una base di tale spazio vettoriale sulle varie curve chiuse di X costituiscono un sottogruppo discreto Γ di rango massimo 2g, cosicché le primitive di esse inducono una applicazione olomorfa ϕ di X nel toro complesso ℂ^{g}/Γ. Per questioni di dimensione (g = 1 solo se esiste su X una forma olomorfa senza zeri) non si può sperare che essa sia invertibile; quella che invece ha una inversa (nel senso delle applicazioni meromorfe) è l’applicazione costruita così : consideriamo l’applicazione Φ : X^{g} → ℂ^{g}/Γ che applica (x_{1}, ..., x_{g}) in ϕ(x_{1})+...+ϕ(x_{g}) ove la somma è quella esistente sul toro. Questa è simmetrica nelle x_{i} per cui passa al quoziente X^{[g]} di X^{g} per il gruppo delle permutazioni dei fattori dando luogo ad una applicazione olomorfa con inversa ”meromorfa”; tale X^{[g]} è una varietà complessa compatta che può essere immersa in un ℙ^{N} e quindi la inversa suddetta fornisce funzioni meromorfe su ℂ^{g} che sono Γ−periodiche. Nel seguito daremo qualche precisazione su ciò con qualche indicazione delle dimostrazioni relative. Osserviamo anche che mentre nella nostra esposizione utilizziamo tecniche topologiche e di analisi perché operiamo sul corpo ℂ, molti dei risultati cui abbiamo accennato valgono, opportunamente riformulati, in corpi astratti anche di caratteristica finita eventualmente anche non algebricamente chiusi e possono essere utilizzati per ottenere considerevoli risultati in questioni di tipo puramente aritmetico.

Una applicazione alla geometria elementare: l’aforisma di Poncelet Siano C, D due coniche non degeneri in ℙ = ℙ^{2}(ℂ) aventi 4 punti distinti in comune. Siano p_{0} ∈ C ed r una rette di ℙ passante per p_{0} e tangente a D; indichiamo con p_{1} l’ulteriore intersezione di r_{0} con C e con r_{1} la retta di ℙ tale che r_{0}, r_{1} siano le uniche rette passanti per p_{1} e tangenti a D. Tale costruzione può essere ripetuta a partire da p_{1}, r_{1} e così poi di nuovo ottenendo una successione p_{0}, p_{1}, p_{2}, .. in C. Ci chiediamo se esiste n > 1 con p_{n} = p_{0}: in tal caso avremo ottenuto un n−latero ”inscritto” in C e ”circoscritto” a D. L’aforisma di Poncelet è: se si ottiene un n−latero chiuso partendo da una qualche posizione iniziale, lo si ottiene anche se si parte da una qualsiasi altra. Per verificarne la validità indichiamo con ℙ^{∗} il piano proiettivo che parametrizza le rette di ℙ (detto il suo duale) e sia

E = {(p, r) ∈ ℙ × ℙ^{∗} : p ∈ C , p ∈ r ed r è tangente a D} Si può verificare che esso costituisce una sottovarietà complessa compatta connessa di dimensione uno, quindi una superficie di Riemann. Alternativamente siano A l’insieme dei (p, r) ∈ E per cui p ∈ D e ϕ : E → C la proiezione sulla prima componente; per ipotesi A contiene quattro elementi ed è facile verificare che ϕ : E − ϕ^{−1}(A) → C − A è un rivestimento (topologico) doppio. Tale situazione è la stessa che abbiamo per la curva piana w^{2} = P (z) ove P è un polinomio di grado quattro a radici distinte: basta osservare (proiezione stereografica) che ogni conica non singolare è isomorfa alla retta proiettiva ℙ^{1}. Esiste quindi una sola struttura di superficie di Riemann su E per la quale ϕ diviene olomorfa e per quanto visto nel precedente paragrafo, essa possiede una forma olomorfa mai nulla ed è quindi un toro complesso. L’applicazione σ : E → E che a (p_{0}, r_{0}) associa (p_{1}, r_{1}) nel modo sopra descritto è una isomorfismo analitico di E in se che non ha punti fissi, perché C, D non sono tangenti in nessun punto. Dalla classificazione degli automorfismi di un toro complesso deriva che tale σ è una traslazione sul toro. Di conseguenza anche σ^{n} è una traslazione cosicché se essa possiede un punto fisso deve essere l’identità e ciò è proprio l’asserzione che volevamo verificare.

La superficie di Riemann di un polinomio irriducibile Sia f(x_{0}, x_{1}, x_{2}) ∈ ℂ[x_{0}, x_{1}, x_{2}] un polinomio omogeneo di grado n > 0 che sia irriducibile (cioè non prodotto di polinomi di grado inferiore) e sia Δ ⊂ ℙ^{2} il suo luogo di zeri. Tale Δ sarà detta una curva algebrica piana di grado n; essa è una sottovarietà complessa di dimensione uno se e solo se in ogni suo punto una almeno delle derivate (formalmente fatte ) ∂f/∂x_{i} è diversa da zero (vedi appendice sulle ipersuperficie algebriche). Il seguente teorema assicura che essa è connessa ed è quindi una superficie di Riemann.

Proposizione 12 Siano ϕ : X → ℙ^{2} , ψ : Y → ℙ^{2} applicazioni olomorfe non costanti definite su superficie di Riemann X, Y compatte. Allora Δ = ϕ(X) e Γ = ψ(Y) hanno intersezione non vuota. In particolare ogni sottovarietà compatta di dimensione uno in ℙ^{2} è connessa ed è quindi una superficie di Riemann

Dim. Scegliamo p_{0} in ℙ^{2} − (Δ ∪ Γ) e sia L una retta in ℙ^{2} non passante per p_{0}; la ”proiezione” σ : ℙ^{2} − {p_{0}} → L è olomorfa e la sua composizione con ϕ dà una ϕ′ : X → ℙ^{2} olomorfa; questa non può essere costante perché altrimenti l’immagine di ϕ sarebba contenuta in una retta per p_{0} e non assumendo il valore p_{0} sarebbe anch’essa costante. Lo stesso avviene per ψ′ = σ ∘ ψ : Y → L. Scegliamo un sistema di coordinate non omogenee z, w su ℙ^{2} in modo che la retta all’infinito passi per p_{0} ed punto q_{0} ∈ L che sia valore regolare per ϕ′ e per ψ′, l’asse w passi per p_{0} ed L sia l’asse z; siano q_{1}, ..., q_{r} i punti di L che sono valori critici per almeno una tra ϕ′, ψ′ e sia Q l’insieme dei punti q_{0}, ..., q_{r}. Si ha allora un rivestimento ϕ′ : X′ → L − A ove X′ è ottenuta da X togliedo i punti applicati in A; indichiamo con n la cardinalità delle sue fibre. Facendo lo stesso per ψ si ottiene un altro rivestimento ψ′ : Y′ → L − A la cardinalità delle cui fibre sia un intero naturale m. Costruiamo ora funzioni a_{i}, b_{j} per 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ m su L − A a valori complessi nel modo seguente: per l ∈ L − A sia (x_{1}, ..., x_{n}) ed (y_{1}, ..., y_{m}) rispettivamente un ordinamento della fibra su l di ϕ′ e di ψ′; allora a_{i} è il valore della coordinata w su ϕ′(x_{i}) e b_{j} il valore di w sul punto ψ′(y_{j}): le n + m funzioni così ottenute saranno eventualmente discontinue (anzi sicuramente discontinue da qualche parte se n, m sono maggiori di uno). Consideriamo il prodotto R = ∏_{ij}(a_{i}−b_{j}); questa sarà una funzione da L − A a valori complessi che a priori è discontinua. In realtà essa non cambia se cambiamo gli ordinamenti scelti sulle fibre di ϕ′, ψ′ ; all’intorno di ogni l ∈ L−A esse possono essere scelte mediante inversioni locali, quindi olomorfe, di ϕ′, ψ′ e ciò mostra che R è localmente olomorfa. Inoltre essa è limitata all’intorno di ogni q_{i} con i > 0 e quindi per il teorema di estenzione di Riemann R è olomorfa su L − {q_{0}}. Esaminiamo il comportamento di R vicino al punto q_{0}; se Δ ∩ Γ non incontra la retta all’infinito, allora |a_{i} − b_{j}| diverge per ogni i, j cosicché R ha un polo su L in q_{0}; ne segue che essa è una funzione meromorfa non costante e quindi essa deve avere uno zero su L − {q_{0}}. Ciò implica che Δ ∩ Γ ≠ ∅.

Esaminiamo ora il caso generale in cui la curva piana Δ presenti eventualmente punti singolari (cioè punti all’intorno dei quali Δ non è una sottovarietà).

Proposizione 13 Ogni curva algebrica piana ha al più un numero finito di punti singolari

Dim. Basterà mostrare che Δ ha un numero finito di punti singolari in ogni carta affine di ℙ^{2}. Ponendo x_{0} = 1 nella f si ottiene un polinomio nelle coordinate non omogenee su ℂ^{2} = ℙ^{2} − {x_{0} = 0} il cui luogo di zeri è Δ ∩ ℂ^{2}. Se f non è il polinomio x_{0}, nel qual caso Δ non ha alcun punto singolare, si ottiene un polinomio irriducibile che dipende efettivamente da almeno una delle coordinate; l’enunciato segue allora considerando il risultante tra tale polinomio e la sua derivata rispetto a tale variabile.

Mostreremo adesso che sempre nelle ipotesi che f sia irriducibile, non solo Δ non è sconnesso ma non lo diviene neppure eliminando un numero finito di suoi punti. Esamineremo dapprima il caso affine. Sia P (x, y) ∈ ℂ[x, y] un polinomio in due variabili a coefficienti complessi che supporremo irriducibile e non indipendente da y e sia C il suo luogo di zeri in ℂ^{2}. Allora togliendo eventualmente a C un numero finito di punti si ha una varietà analitica complessa; anzi, come si può verificare considerando il risultante tra P e ∂P/∂y, al di fuori di un numero finito di punti tale C è localmente il grafico di una funzione olomorfa y(x). Dimostreremo adesso che tale varietà è necessariamente connessa. Sia dunque P (x, y) = a_{0}(x)y^{n}+a_{1}(x)y^{n−1}+...+a_{n}(x) e sia Δ ⊂ ℂ costituito dagli zeri di a_{0}(x) e dai punti x̄ ∈ ℂ per i quali esiste ȳ tale che P e ∂P/∂y si annullino nel punto (x̄, ȳ). Detta ϕ : C → ℂ la proiezione sull’asse x, si consideri l’applicazione ϕ : C̃ = C − ϕ^{−1}(Δ) → ℂ − Δ. Essa è olomorfa propria e localmente invertibile; ogni componente connessa di C̃ dà quindi luogo ad un rivestimento. Se per assurdo C venisse sconnessa togliendo un numero finito di punti, anche C̃ verrebbe evidentemente sconnessa. Supponiamo che ciò accada e sia C_{1} una sua componente connessa. Per ogni x ∈ ℂ − Δ siano α_{1}(x), ..., α_{p}(x) le radici di P (x, y) = 0 che danno punti di C_{1} e β_{1}(x), ..., β_{q}(x) le altre dove l’ordine sia scelto arbitrariamente. Evidentemente si avrà, per ogni fissato x ∈ ℂ − Δ:

P (x, y) = a_{0}(x)(y − α_{1}(x)) · ... · (y − α_{p}(x)) · (y − β_{1}(x)) · ... · (y − β_{q}(x))

Ora il prodotto dei fattori (y−α_{i}(x)) fornisce un polinomio monico di grado p in y a coefficienti funzioni di x ∈ ℂ − Δ che sono potenzialmente discontinue; esse sono le funzioni simmetriche delle α_{i} e non dipendono quindi dal modo nel quale le radici sono state numerate. Potendo localmente scegliere le radici esplicitando olomorficamente la y in funzione di x se ne deduce che tali coefficienti sono olomorfi. Si verifica inoltre che per ogni x̄ ∈ Δ, moltiplicando tali coefficienti per una potenza sufficientemente elevata di x − x̄ si ottengono funzioni limitate. Ne segue che tali coefficienti sono meromorfi su tutto ℂ ed anzi anche nel punto ∞. Essi sono quindi rapporti tra polinomi e siccome la stessa cosa si ha per il prodotto dei termini y − β_{j}(x), si ottiene una decomposizione del polinomio P che invece era supposto irriducibile. Si è così dimostrato la seguente:

Proposizione 14 Il luogo di zeri in ℂ^{2} di un polinomio irriducibile non può essere sconnesso togliendo un numero finito di punti.

Per mostrare che C stesso è connesso e che la stessa proposizione vale per le curve in ℙ^{2} basterà mostrare che C non possiede punti isolati e che, salvo nel caso che sia una retta, incontra ogni retta in un numero finito di punti. La seconda affermazione è facile ricordando che un polinomio con infinite radici è identicamente nullo. Per quanto riguarda la prima, supponendo che il polinomio P (x, y) = a_{0}(x)y^{n} + ... + a_{n}(x) si annulli in (0, 0) dovrà essere a_{n}(0) = 0; si è visto nella dimostrazione precedente che a_{n}(x) = α_{1}(x) · ... · α_{n}(x) e quindi per x molto piccolo qualcuna delle α_{i}(x) deve essere pure piccola e ciò dimostra che (0, 0) non è isolato in C.

Sia C una curva algebrica piana (affine o proiettiva); abbiamo visto sopra che esistono A ⊂ C e B ⊂ ℙ^{1} finiti ed un rivestimento finito ϕ : C − A → ℙ^{1} − B. Segue da una precedente proposizione che C − A è finitamente compattificabile ossia è biolomorfa ad X − H ove X è una superficie di Riemann compatta ed H ⊂ X è finito. Il biolomorfismo X −H → C −A ⊂ ℙ^{2} è anche una applicazione propria di X − A in ℙ^{2} − H ed utilizzando il teorema di estenzione di Riemann (usuale in una variabile) si vede che si estende ad una applicazione olomorfa di X in ℙ^{2}; essa avrà necessariamente immagine in C e sarà anzi surgettiva. Diremo risoluzione di una curva algebrica C ⊂ ℙ^{2} ogni applicazione olomorfa ϕ : X → ℙ^{2} ove X è una superficie di Riemann compatta, la cui immagine sia Δ e che sia generalmente biunivoca, nel senso che è biunivoca l’applicazione ϕ : X − ϕ^{−1}(A) → Δ − A per qualche A ⊂ Δ finito. Quanto appena detto assieme alle proposizioni dimostrate a suo tempo relative alle compattificazioni finite mostrano che una tale risoluzione esiste e che essa è essenzialmente unica nel senso che se ϕ′ : X′ → C è un’altra risoluzione della stessa C esiste un bilomorfismo σ : X → X′ per cui ϕ′ ∘ σ = ϕ. Essa verrà detta la superficie di Riemann della curva algebrica C (o della equazione algebrica f).

Funzioni analitiche secondo Weierstrass La nozione moderna di funzione è molto restrittiva: richiede di fornire un dominio, un codominio ed un modo univoco di applicare i punti del primo nel secondo. Se la funzione ”tende” a divenire polidroma (come ad esempio succede se si cerca di integrare su ℂ^{∗} la forma dz/z, oppure se essendo due variabili legate da una relazione del tipo x^{2} + y^{2} = 1 si cerca di esplicitarne una in funzione dell’altra) siamo obbligati a limitare il dominio in modo che può spesso apparire arbitrario: così si fa ad esempio per definire il logaritmo nel campo complesso, definendolo su ℂ^{∗} a cui sia tolta una qualsivoglia semiretta che parta dall’origine. Con tali limitazioni diviene difficile impiegare metodi globali geometrici che traggono proprio dalla visione d’insieme le informazioni per descrivere qualitativamente le proprietà a volte più interessanti. Cercherò di formalizzare nel linguaggio matematico attuale una nozione più generale di funzione, che corrisponde ad un modo più antico e più naturale di parlarne. Cominciamo con una prima estenzione che di fatto equivale all’introduzione del concetto di fascio. Si parte da un punto z_{0} ∈ ℂ e da una funzione ϕ definita per |z − z_{0}| < ρ dalla somma di una serie di potenze ∑_{n≥0} a_{n}T^{n} (con raggio di convergenza almeno ρ) calcolata ponendo T = z − z_{0}. Fissato z_{1} ∈ ℂ con |z_{1} − z_{0}| < ρ, si sviluppa ϕ nel punto z_{1} : si ottiene un’altra serie di potenze con raggio di convegenza positivo. Se la prima serie è S_{0} e la seconda è S_{1}, diremo che la coppia (z_{1}, S_{1}) è ottenuta dalla coppia (z_{0}, S_{0}) per prolungamento analitico elementare. L’insieme dele coppie (z, S) che sono ottenibili a partire da (z_{0}, S_{0}) con un numero finito di prolungamenti elementari successivi (diremo: ottenute per prolungamento analitico da (z_{0}, S_{0})) è detta la funzione olomorfa completa determinata da (z_{0}, S_{0}). A tale insieme può essere data una struttura di spazio topologico chiamando aperti di base quelli ottenuti da una terna (z_{0}, S_{0}, ρ_{0}) come sopra per prolungamento analitico elementare; la proiezione sul primo fattore è allora un omeomorfismo locale ed esiste quindi al più una struttura di varietà complessa di dimensione uno per la quale tale proiezione diviene olomorfa; occorre solo assicurarci che si ottenga uno spazio topologico a base numerabile, cosa che sarà precisata tra poco. Ridescriviamo comunque tutto ciò con un linguaggio un pò più elaborato ma che presenta dopo tutto, il vantaggio di essere generalizzabile facilmente ad altre situazioni interessanti. Sia X una superficie di Riemann od anche una varietà complessa di dimensione superiore. Consideriamo terne (U, f, x) ove U ⊂ X è un aperto, f : U → ℂ è olomorfa ed x ∈ U. Due tali terne (U, f, x) e (V, g, y) saranno dette equivalenti se x = y ed esiste un aperto W ⊂ U ∩ V contenente il punto x e sul quale f e g coincidono. Le classi di equivalenza sono dette germi di funzioni olomorfe su X; esse costituiscono il fascio dei germi di funzioni olomorfe su X che sarà indicato con O(X) = O; con O_{x} indicheremo i germi nel punto x ∈ X: chiaramente esso ha una naturale di anello (isomorfo all’anello ℂ{T } delle serie di potenze convergenti in una variabile se dim(X) = 1 e, come vedremo in seguito, a quello in più variabili per dimensioni superiori). La topologia su O viene introdotta assegnando come elementi di una base gli insiemi seguenti: dato U ⊂ X aperto ed f : U → ℂ olomorfa si considera il sottoinsieme di O costituito dalle classi di equivalenza (germi) delle terne (U, f, x) per x ∈ U. In tal modo si ottiene su O una topologia per la quale l’applicazione π : O → X che ad un germe (U, f, x) associa il punto x non solo diviene continua ma è anche un omeomorfismo locale; esiste quindi al più una struttura di varietà complessa su O per la quale π sia olomorfa. Per avere ciò occorre però verificare anche che O è di Hausdorff e che è a base numerabile. Che sia effettivamente di Hausdorff dipende dalla validità del ”principio di identità delle funzioni analitiche” ossia del fatto che se due funzioni olomorfe su un aperto connesso coincidono su un aperto non vuoto allora coincidono dappertutto (si noti che se in quel che precede si sostituiscono le funzioni olomorfe con quelle differenziabili o con quelle continue, il fascio che si ottiene non ha una topologia di Hausdorff). Per quanto riguarda l’ipotesi numerabilità, evidentemente essa non può essere soddisfatta da tutto O. Il teorema seguente assicura che ogni componente connessa di O è a base numerabile, cosicché essa può essere considerata come una varietà complessa.

Proposizione 15 (Teorema di Poincaré-Volterra) Siano M, N spazi topologici di Hausdorff localmente omeomorfi ad aperti di ℝ^{n} e sia π : M → N continua a fibre discrete. Se M è connessa ed N è a base numerabile, anche M è a base numerabile.

Dim. Sia {B_{n}}_{n∈ℕ} una base numerabile di N e sia U l’insieme delle componenti connesse relativamente compatte dei π^{−1}(B_{n}) per n ∈ ℕ. Ogni elemento di U è a base numerabile per la topologia indotta (perché essendo relativamente compatto è unione finita di aperti omeomorfi ad aperti di ℝ^{n}). Sarà quindi sufficiente mostrare che U è numerabile e che ricopre M. E’ un ricoprimento: dato x ∈ M sia U un intorno compatto di x tale che U ∩ π^{−1}π(x) = {x}. Allora π(x) ∉ π(∂U) ed essendo questo chiuso perché compatto, esiste n ∈ ℕ con π(x) ∈ B_{n} e B_{n} ∩ π(∂U) = ∅. Allora la componente connessa di π^{−1}(B_{n}) contenente x è contenuta in U ed appartiene quindi ad U. E’ numerabile: sia U_{0} un elemeno di U e poniamo U_{0} = {U_{0}}; supposto definito U_{n} sia U_{n+1} l’insieme degli U ∈ U che intersecano qualche elemento di U_{n}. Ogni tale U_{n} è numerabile come si dimostra per induzione: infatti per ipotesi di induzione l’unione M_{n} degli elementi di U_{n} è a base numerabile; siccome in uno spazio a base numerabile ogni famiglia di aperti a due a due disgiunti è al più numerabile si ha che ogni elemento della base di N fornisce un contributo al più numerabile alla formazione di U_{n+1}. Basterà quindi mostrare che U è l’unione di tutti gli U_{n}; ciò segue dalla connessione di M perchè l’unione A di tutti gli elementi degli U_{n} e l’unione B dei rimanenti elementi di U sono aperti disgiunti e ricoprono M.

Le componenti connesse di O possono anche essere descritte direttamente nel seguente modo: fissata la superficie di Riemann X si consideri l’insieme delle terne (Y, π, f) ove Y è una superficie di Riemann, π : Y → X è una applicazione olomorfa localmente invertibile ed f : Y → ℂ è una funzione olomorfa. Diremo che tale terna precede la terna (Y′, π′, f′) se esiste una applicazione olomorfa iniettiva j : Y → Y′ tale che f = f′∘j e pi = π′∘j; diremo anche che la seconda è una estenzione propria della prima se j non è surgettiva. Le terne complete sono quelle che non ammettono estenzioni proprie: esse sono interpretabili come le componenti connesse del fascio O sopra introdotte e sono anche chiamate domini di Riemann su X. Restringendoci per ora al caso che X sia una superficie di Riemann (perché nel caso di più variabili vi sono alcune altre complicazioni legate alla natura meno elementare delle ”funzioni” meromorfe), generalizziamo tutto ciò col considerare terne (Y, π, f) in cui Y è una superficie di Riemann, π : Y → X è olomorfa non costante (non necessariamente localmente invertibile quindi) ed f è una funzione meromorfa su Y (pensata come f : Y → ℙ^{1}(ℂ) non costantemente ∞). Definendo in modo analogo a prima la nozione di ”precede”, gli elementi massimali sono detti funzioni analitiche su X secondo Weierstrass.

Proposizione 16 (Principio del prolungamento analitico) Ogni elemento di funzione analitica appartiene ad una funzione analitica secondo Weiersatrass univocamente determinata a meno di isomorfismi

Dim. L’esistenza può essere assicurata o tramite il lemma di Zorn o più semplicemente considerando prima il dominio di Riemann pensato come componente connessa del fascio dei germi di funzioni olomorfe su X e completando quindi con un insieme discreto nei punti di ”polo” (per f) ed in quelli di ”ramificazione” (quelli ove π non è localmente invertibile). In effetti si potrebbe costruire l’analogo del fascio O in cui l’anello delle serie di potenze viene sostituito da quello delle potenze ”frazionarie di Laurent” con parte negativa finita.

Funzioni algebriche. Siano P (w, z) ∈ ℂ[z] un polinomio irriducibile dipendente effettivamente da w e Γ il suo luogo di zeri in ℂ^{2}. Per quasi tutti i (w_{0}, z_{0}) ∈ Γ si ha (∂P/∂w)(w_{0}, z_{0}) ≠ 0 ed è possibile quindi esplicitare localmente w come funzione di z; la funzione completa di Weierstrass che la contiene non dipende per quanto visto avanti dalla scelta del punto iniziale (w_{0}, z_{0}) ma solo dalla relazione polinomiale P; ogni funzione costruita così sarà detta una funzione algebrica su ℙ^{1}. Evidentemente essa consiste nella terna (X, z, w) ove X è la superficie di Riemann compatta associata all’ equazione P e w, z : X → ℙ^{1} sono due funzioni meromorfe di cui z è supposta non costante e considerata come la variabile indipendente mentre w è funzione (polidroma) di z. Essa ha due gradi: quello di w e quello di z che sono i gradi di P nelle due sue variabili. Sia più in generale (X, z, w) una funzione di Weierstrass su ℙ^{1} con X compatta (quindi necessariamente completa); ossia siano w, z : X → ℙ^{1} due applicazioni olomorfe di cui z non sia costante. Sono ancora definiti due gradi; se quello di z è 1, allora X ≃ ℙ^{1} e w come funzione meromorfa su ℙ^{1} è come sappiamo un rapporto tra polinomi: ne segue che tale funzione di Weierstrass è algebrica (anzi questo particolare tipo di funzioni meromorfe sono dette razionali). Vedremo adesso che se X è compatta, anche se z non ha grado 1 (e quindi in generale X non sarà isomorfa a ℙ^{1}) essa è una funzione algebrica:

Proposizione 17 Una funzione secondo Weierstrass completa su ℙ^{1} ha dominio compatto se e solo se è una funzione algebrica

Dim. E’ sufficiente dimostrare che due qualsiasi funzioni meromorfe su una superficie di Riemann compatta sono algebricamente dipendenti. La proposizione seguente dà un risultato più forte.

Proposizione 18 Il corpo delle funzioni meromorfe su una superficie di Riemann compatta, è un corpo di funzioni algebriche in una variabile (ossia è una estenzione finitamente generata di trascendenza uno su ℂ) o si riduce alle sole costanti (vedremo in seguito che questo secondo caso non accade mai)

Dim. Sia f : X → ℙ^{1}(ℂ) una funzione meromorfa non costante su una superficie di Riemann compatta e sia n il grado intero di f. Mostreremo che ogni altra funzione meromorfa g su X soddisfa una equazione algebrica di grado (al più) n sul corpo ℂ(f); con un semplice argomento di algebra ne seguirà che il corpo delle funzioni meromorfe su X è una estenzione di grado al più n di ℂ(f) (in effetti si potrebbe dimostrare, ancora in modo non semplice, che è una estenzione di grado esattamente n). Sia infatti D l’insieme dei punti di ℙ^{1}(ℂ) che sono o critici per f o sulla cui fibra la g ha qualche polo e poniamo Ω = ℙ^{1}(ℂ) − D ed X′ = f^{−1}(Ω). Per z ∈ Ω siano σ_{1}(z), ..., σ_{n}(z) i punti della fibra di f su z (tali σ_{i} sono quindi funzioni da Ω in X′; esse saranno necessariamente discontinue se n > 1). Poniamo:

(W − g(σ_{1}(z))) · ... · (W − g(σ_{n}(z))) = W^{n} + a_{1}(z)W^{n−1} + ... + a_{n}(z)

Il secondo membro è un polinomio P (W, z) di grado n nella W a coefficienti nell’anello delle funzioni (arbitrarie) su Ω a valori complessi; con considerazioni analoghe a quelle del teorema di connessione si dimostra che in realtà i coefficienti a_{i} sono funzioni meromorfe su ℙ^{1}(ℂ) e quindi rapporti tra polinomi: per costruzione si ha infine per ogni punto p ∈ X′ la relazione P (g(p), f(p)) = 0 e ciò conclude la dimostrazione.

Nota. Quanto esposto può apparire (con molta ragione) inutilmente farraginoso, ma è l’unico modo in cui riesco a descrivere nel linguaggio matematico d’oggi come venivano pensate ai tempi di Weierstrass le funzioni analitiche. All’epoca comunque non si richiedeva di precisare (come si vuole oggi) astrattamente in ogni dettaglio gli oggetti che si studiano ma si privilegiava spesso la descrizione esplicita di esempi ”significativi” tramite i quali ”arguire” cosa succede nel caso generale. Una prova indiretta di quanto fosse diverso prima il modo di pensare le funzioni è dato dal permanere di domande fatte agli studenti del tipo: ”si determini il dominio di definizione di questa funzione” . Domanda priva di senso se posta in questi termini perché dare una funzione richiede di precisarne anzitutto il dominio; ma che proviene invece da un modo di pensare né banale né insensato che potremmo dire ”naturalistico”, per il quale le funzioni e gli altri oggetti cui deve interessarsi un bravo matematico, sono l’esistente che cerchiamo di conoscere e non nostre fantasie linguistiche con cui giuocare con gli strumenti della logica. Potremmo dire che questo era un atteggiamento analogo a quello del botanico, mestiere oggi in declino mentre sempre più viene considerato importante quello meno contemplativo dell’ ingegnere che costruisce ex novo gli organismi ritenuti utili al nostro modo di vivere; il ”mondo” viene così pensato come una nostra autonoma costruzione ed anche il pensare matematico è diventato qualcosaltro. Per comprendere meglio questa evoluzione, può essere interessante confrontare un classico testo di geometria algebrica del 1945 , ”Le superficie algebriche” di Federigo Enriques, con analoghi pubblicati oggi. In questi ogni capitolo è rigidamente strutturato in definizioni, enunciati di teoremi e dimostrazioni, pochi i commenti, mentre Enriques svolge le sue considerazioni come in un colloquio tra persone alla pari, riassumendo alla fine di un discorso quanto di rilevante è stato trovato senza nominarlo ”teorema” ma dandogli evidenza tipografica con lo scriverlo in corsivo. Interessante (e moderna nella sostanza anche se desueto è lo stile in cui è scritta), è anche la prefazione fatta a tale volume da un altro grande matematico, G. Castelnuovo, in cui si esprimono timori sul ”nuovo” modo di fare (cono-)scienza. Al di là di qualsiasi giudizio sulle ragioni profonde di questi cambiamenti del nostro modo di pensare e su quali siano gli scopi cui sia effettivamente funzionale quello nuovo, va evidenziato che non solo è oggi per noi difficile leggere le cose scritte in quello vechio ma anche che all’epoca esso era comprensibile solo da una cerchia di iniziati; parlando per analogie potremmo dire che oggi è l’epoca del prêt-à-porter e dei cibi precotti in cui molti più di prima (anche se non tutti) possono con poca fatica vestirsi e mangiare sufficientemente.

Il genere di una superficie di Riemann compatta Sia X una superficie di Riemann compatta. Dal punto di vista topologico, essa è una varietà compatta connessa orientata di dimensione due; se si conosce la classificazione topologica di tali varietà, si sa che essa è omeomorfa alla sfera S^{2} o alla somma connessa di g copie del toro S^{1} × S^{1} ed il suo gruppo fondamentale ha per abelianizzato un gruppo libero abeliano di rango 2g: tale g viene detto il genere della superficie di Riemann. Alternativamente, se si sa che X è triangolabile, (risultato non difficile se si utilizza il fatto che X è differenziabile) tale g è ricavabile dalla caratteristica di Eulero-Poincaré (somma alternata dei numeri di vertici, spigoli, triangoli) χ perché essa è 2 − 2g.

Per evitare tali presupposti topologici, introdurremo il genere di X solo nell’ipotesi che X possieda almeno una funzione meromorfa non costante. Più avanti indicheremo come dimostrare che ogni superficie di Riemann compatta è biolomorfa ad una sottovarietà complessa di qualche ℙ^{n} e possiede quindi ”molte” funzioni meromorfe: i rapporti tra polinimi omogenei di egual grado, il cui denominatore non è identicamente nullo su X. Sia quindi f : X → ℙ^{1} olomorfa non costante; per ogni x ∈ X, si possono scegliere coordinate locali in x ed f(x) per le quali f assume la forma z ↦ z^{p} con p > 0. Tale p non dipende dalla scelta di tali coordinate locali ed x è critico se solo se p − 1 > 0 nel qual caso p − 1 è detto ordine del punto critico. Sia inoltre n il grado di f, ossia la cardinalità della sua fibra generica. Definiamo come genere di X il numero g = 1 − n + R/2 ove R è la somma degli ordini dei punti critici di f. Che tale genere non dipende dalla particolare f scelta si può verificare così: supponiamo che ∞ sia un valore regolare: consideriamo la forma meromorfa dz su ℙ^{1}: essa ha un polo di ordine due nel punto all’infinito. Il differenziale df può essere pensato come f^{∗}(dz): esso ha uno zero in ogni punto critico per f di moltelicità uguale a quella di punto critico ed ha inoltre poli di ordine due nei punti sopra ∞. Quindi il numero dei suoi zeri meno quello dei suoi poli (contati con le loro molteplicità) è R − 2n ossia 2g − 2 ove g è il genere definito sopra da f. Si osservi ora che due differenziali meromorfi non identicamente nulli si ottengono uno dall’altro moltiplicando per una funzione meromorfa globale e che quindi la differenza tra numero di zeri e numero di poli è uguale per tutti i differenziali, in particolare per i differenziali di due funzioni meromorfe; ciò mostra anche che l’ipotesi che ∞ fosse un valore regolare per f è inessenziale, potendo sostituire essa con f/(f − a) ove a è regolare.

Proposizione 19 Il genere è sempre un intero non negativo

Dim. Siano p, a_{1}, ..., a_{r} ∈ ℙ^{1} rispettivamente un valore regolare ed i valori critici di f. Scegliamo in ℙ^{1} archi continui ed iniettivi γ_{1}, ..., γ_{r} congiungenti p con i punti a_{1}, ..., a_{r} in modo che siano disgiunti fuori di p. Per i = 1, ..., r sia σ_{i} ∈ π_{1}(ℙ^{1} − {a_{1}, ..., a_{r}}, p) la classe di un laccetto ottenuto seguendo γ_{i} sino al bordo di un disco di centro a_{i} e non contenente alcun altro valore critico, poi percorrendo positivamente tale bordo una volta e tornando quindi in p con γ_{1}^{−1}; ad ogni σ_{i} è associata una permutazione σ̄_{i} della fibra f^{−1}(p) che si decomporrà in un prodotto di tanti cicli disgiunti quanti sono i punti critici della fibra f^{−1}(a_{i}) ed i cui ordini corrispondono agli ordini di tali punti critici. Siccome σ_{1}, ..., σ_{r} costituiscono un sistema di generatori del gruppo cui appartengono ed X è connessa, il sottogruppo generato dalle σ̄_{i} è un gruppo transitivo di permutazioni. Cambiando eventualmente la numerazione (in modo che i γ_{i} partano da p con direzioni ordinate in senso antiorario), si ha che σ_{r} ∘...∘σ_{1} è nullo e quindi il prodotto dell permutazioni σ̄_{i} è l’identità. A questo punto l’enunciato segue da fatti inerenti solo il gruppo delle permutazioni: che R è pari segue dal fatto che il prodotto delle σ̄_{i} è l’identità ed è quindi una permutazione pari; per mostrare che R ≥ 2(n − 1), si sostituisca ad ogni ciclo un insieme di trasposizioni in cui è decomponibile; si ottengono così R trasposizioni che generano un gruppo transitivo di permutazioni su n elementi ed il cui prodotto è l’identità; è facile verificare che allora esse devono essere almeno 2(n − 1).

Proposizione 20 Sia ω una forma meromorfa priva di zeri su una superficie di Riemann compatta X. Sono possibili solo tre casi:

- ω è priva di poli ed esistono un sottogruppo Γ discreto di rango due in ℂ ed un biolomorfismo σ : X → ℂ/Γ tale che σ^{∗}(dz) = ω

- ω ha un solo polo ed esiste un biolomorfismo σ : X → ℙ^{1} tale che σ^{∗}(dz) = ω - ω ha due poli ed esiste un biolomorfismo σ : X → ℙ^{1} tale che σ^{∗}(a · dz) = ω

con a ∈ ℂ^{∗}

Dim. Il caso che ω sia olomorfa è già stato esaminato. Stiamo supponendo che sia possibile definire il genere per X, ossia che esista qualche funzione meromorfa non costante (ciò è sempre vero ma ancora non lo sappiamo), oppure che sia nota la classificazione topologica delle superficie; essendo questo non negativo, se ω non ha zeri non può avere più di due poli. Supponiamo che abbia poli solo nel punto x e sia z una coordinata locale in x; quindi ω = f(z)dz con f olomorfa per 0 < |z| < r ed ha un polo in 0 che, (formula del genere) deve essere di molteplicità due. Se D è un disco chiuso di centro 0 e raggio inferiore ad r si ha ∫_{∂D} ω = 0 perchè ∂D è anche il bordo della chiusura di X −D ove ω è chiusa (si utilizza la formula di Stokes): ne segue che ω è localmente integrabile in x con una funzione avente un polo semplice in X ossia localmente integrabile con applicazioni olomorfe a valori in ℙ^{1} che sono localmente invertibili. Ragioniamo come nel caso che ω non abbia zeri né poli: siano ϕ : X̃ → X il rivestimento universale e ω̃ = ϕ^{∗}(ω); esiste allora una primitiva f̃: X̃ → ℙ^{1} di ω̃ che è una applicazione olomorfa localmente invertibile, quindi un rivestimento. Siccome ℙ^{1} è semplicemente connessa, la f̃ è un biolomorfismo e quindi X è ottenuta da ℙ^{1} quozientando per un sottogruppo ”discreto” Γ di automorfismi di ℙ^{1} privi di punti fissi: siccome ogni automorfismo di ℙ^{1} diverso dall’identità ha qualche punto fisso, sarà Γ = {1} ossia ϕ è un bilomorfismo; allora σ = f̃ ∘ ϕ^{−1} è un biolomorfismo di X in ℙ^{1} tale che σ^{∗}(dz) = ω. Supponiamo che ω abbia due poli x_{1}, x_{2}, necessariamente di molteplicità 1. Siano ϕ : X̃ → X − {x_{1}, x_{2}} il rivestimento universale e ω̃ = ϕ^{∗}(ω); sia poi f̃ : X̃ → ℂ un integrale di ω̃: come integrale di una forma priva di zeri sarà localmente invertibile. Non si può però essere subito certi che essa verifichi il sollevamento dei cammini perché X − {x_{1}, x_{2}} non è compatta. Se però sapessimo che in ogni punto di polo di ω esiste una coordinata locale z tale che localmente sia ω = dz/z, la sollevabilità dei cammini potrebbe essere mostrata come nel caso già studiato della costruzione dell’esponenziale mediante inversione dell’integrale ∫ dz/z; il lemma che segue mostra che ciò accade moltiplicando ω per una opportuna costante non nulla e ciò basta a concludere la dimostrazione.

Lemma 21 Sia f(z)dz una 1−forma in un intorno di zero con f meromorfa avente un polo semplice in 0. Se il coefficiente di z^{−1} nello sviluppo di Laurent di f è 1, esiste una funzione olomorfa g in un intorno di 0 avente uno zero semplice in 0 (quindi utilizzabile come coordinata locale) tale che:

f(z)dz = dg(z)/g(z)

Dim. Sia U un disco aperto di centro 0 sul quale ω è definita ed ha solo un polo in 0 e sia z_{0} ∈ U − {0}. Per ipotesi ω si decompone nella somma dz/z + h(z)dz ove h è olomorfa su U. Integrando a partire da z_{0} la h(z)dz dà una funzione olomorfa su U mentre dz/z fornisce una funzione polidroma (il logaritmo) su U − {0}: facendo un giro attorno a 0 nel senso positivo essa aumenta di 2πi. Tale polidromia può essere uccisa componendo con la funzione esponenziale ed ottenendo così una funzione olomorfa g su tutto U: precisamente sarà :

g(z) = e^{∫_{z_{0}}^{z} f(t)dt}

Differenziando si ha dg(z)/g(z) = f(z)dz . Resta da mostrare che g ha in zero uno zero semplice: ed infatti essa è il prodotto del contributo di dz/z che dà z e di quello di h(z)dz che è olomorfa non nulla (spiegheremo più dettagliatamente questo tipo di costruzione poco più avanti). E’ interessante vedere un’altra dimostrazione di questo lemma basata sul metodo detto di Cauchy che consiste di sviluppare tutti i dati in serie di potenze, trovare algebricamente una serie formale che risolve le richieste e dimostrare poi che tale serie ha raggio di convergenza non nullo: essa fornisce allora la soluzione cercata. Sia f(z) = z^{−1} + a_{0} + a_{1}z + a_{2}z^{2} + ... lo sviluppo di Laurent di f in 0. Cerchiamo una serie ”formale” g(z) = z + b_{2}z^{2} + ... tale che formalmente (ossia nell’anello ℂ[[z]] delle serie formali di potenze in z) si abbia f(z)g(z) = g′(z) essendo g′(z) = 1 + 2b_{2}z + ... la serie ottenuta derivando formalmente la g(z). Si ottiene il sistema di equazioni:

2b_{2} = b_{2} + a_{0} , 3b_{3} = b_{3} + a_{0}b_{2} + a_{1} , ... , nb_{n} = b_{n} + a_{0}b_{n−1} + ... + a_{n−2} , ...

E’ evidente che queste sono risolubili e forniscono una serie formale g(z) che, se convergente, dà una funzione olomorfa che soddisfa quanto richiesto. Che essa sia convergente si dimostra facilmente utilizzando il fatto che esiste K > 0 tale che |a_{n}| ≤ K^{n+1} per ogni n (è la condizione che la serie ∑ a_{n}z^{n} abbia raggio di convergenza non nullo); per induzione si vede facilmente che allora è |b_{n}| ≤ K^{n−1} e che quindi ∑ b_{n}z^{n} ha raggio di convergenza non nullo.

Cubiche piane

Proposizione 22 Sia f(x_{0}, x_{1}, x_{2}) ∈ ℂ[x_{0}, x_{1}, x_{2}] un polinomio omogeneo di grado tre non singolare ossia tale che in ogni punto del suo luogo di zeri C una almeno delle sue derivate parziali (formalmente eseguite) è non nulla. Allora esiste un sistema di coordinate non omogenee w, z su ℙ^{2} nelle quali f diviene w^{2} − P (z) con P ∈ ℂ^{2}[z, w] un polinomio di terzo grado a radici distinte. Di conseguenza C è isomorfa al quoziente di ℂ per un sottogruppo discreto di rango due

Dim. C è una varietà complessa compatta di dimensione uno; per quanto visto avanti essa non è sconnessa ed è quindi una superficie di Riemann. Supponiamo che esista una retta L ⊂ ℙ^{2} che intersechi C in un solo punto p ; scegliamo un sistema di coordinate per le quali L sia la retta x_{0} = 0 e p sia (0, 0, 1); sarà f = x_{2}^{3} + x_{0} · Q(x_{0}, x_{1}, x_{2}) ove Q è omogeneo di grado due. In coordinate non omogenee z = x_{1}/x_{0} e w = x_{2}/x_{0} si ha f = z^{3}+w^{2}+w(az+b)+R(z); sostituendo w con w − (az + b)/2 assume la forma w^{2} + P (z) ove P è un polinomio di grado tre che ha radici distinte perché la forma cubica è non singolare. La struttura di toro su C proviene allora come sappiamo dall’inversione dell’integrale di dz/w. Mostriamo che una tale L esiste: consideriamo l’hessiana H(f) di f definita come il determinante della matrice 3 × 3 costituita dalle derivate seconde di f e sia Σ il suo luogo di zeri in ℙ^{2}. Per un precedente risultato, esiste un p ∈ C ∩ Σ; sia L la retta tangente a C in p. La restrizione di f ad L sarà un polinomio omogeneo di terzo grado che si annulla in p di ordine almeno tre e quindi non può avere ulteriori zeri su L.

Note.

- Per la proposizione precedente, C ha quasi una struttura naturale di gruppo: manca solo di fissare l’origine (analogamente agli spazi affini rispetto agli spazi vettoriali). Tale struttura può essere descritta direttamente in termini di geometria proiettiva, quindi in soli termini algebrici. Analogamente partendo da una conica C non degenere e da una retta L (che assieme danno una cubica degenere) si trovano analoghe strutture di ”gruppo affine” su C − L, che corrispondono a quelle di ℂ e di ℂ^{∗} e sono analogamente collegate all’inversione di integrali senza zeri su superficie di Riemann studiate avanti.

- Abbiamo costruito funzioni doppiamente periodiche partendo da curve cubiche non singolari. Nel prossimo paragrafo il perco descriveremo il percorso inverso: partendo da un gruppo discreto Γ di rango due in ℂ costruiremo funzioni meromorfe Γ−periodiche ed una cubica non singolare da cui esse provengono.

Costruzione di funzioni meromorfe In questo paragrafo descriveremo alcune tecniche di costruzione di funzioni meromorfe con assegnate proprietà. Cominciamo col problema di Mittag-Leffler che discuteremo solo nel caso semplice che il dominio sia il piano complesso ℂ. Siano assegnati un insieme discreto A in ℂ e per ogni a ∈ A una funzione olomorfa f_{a} : ℂ − {a} → ℂ. Il problema di Mittag-Leffler chiede di costruire una funzione olomorfa f : ℂ − A → ℂ che in ogni punto a ∈ A abbia la stessa ”singolarità” di f_{a} nel senso che f − f_{a} sia olomorficamente estendibile in a. Evidentemente l’unica cosa che interessa del dato f_{a} è la parte negativa del suo sviluppo di Laurent, assegnabile tramite una serie di potenze positive in una lettera T avente raggio di convergenza infinito da calcolarsi poi per T = (z − a)^{−1}.

Supporremo quindi di aver eliminato dalle f_{a} le parti positive dei loro sviluppi di Laurent. Se A è finito una soluzione è data banalmente dalla somma delle f_{a}; se A è infinito mostreremo che esistono funzioni polinomiali P_{a} tali che la serie ∑_{a∈A}(f_{a} − P_{a}) converge uniformemente sui compatti ad una funzione olomorfa su ℂ − A che necessariamente risolve il problema posto. Nota: la nozione usata di convergenza uniforme va precisata perchè stiamo trattando funzioni aventi punti singolari. Precisamente poniamo la seguente: Def. Sia X una superficie di Riemann e per i in un insieme di indici I siano assegnati un insieme discreto A_{i} ⊂ X ed una funzione olomorfa f_{i} : X −A_{i} → ℂ. Diremo che la serie ∑_{i∈I} converge uniformemente sui compatti di X se per ogni compatto K in X esiste un insieme finito J ⊂ I tale che per i ∈ I −J la funzione f_{i} sia definita su K (ossia K ∩ A_{i} = ∅) e la serie ∑_{i∈I−J} f_{i} sia uniformemente convergente su K. In tal caso quindi l’insieme A unione di tutti gli A_{i} è discreto e risulta definibile in modo ovvio una funzione olomorfa f : X − A → ℂ da chiamarsi ”somma” della serie data.

Costruzione dei polinomi P_{a}: ordiniamo i punti di A secondo la grandezza dei loro moduli: |a_{1}| ≤ |a_{2}| ≤ ... e supponiamo dapprima che sia a_{1} ≠ 0. Siano ∑_{1}^{∞} ϵ_{n} una serie convergente di numeri positivi e 0 < δ < |a_{1}|. Lo sviluppo in serie di potenze di f_{n} = f_{a_{n}} converge uniformemente sul disco D_{n} degli z di modulo al più |a_{n}| − δ; sia P_{n} una somma parziale di tale sviluppo tale che sia |f_{n} − P_{n}| < ϵ_{n} su tutto D_{n} e poniamo f′_{n} = f_{n} − P_{n}. Ogni compatto K ⊂ ℂ è contenuto in un D_{n_{0}} ed è ovvio che la serie ∑_{n≥n_{0}} f′_{n} è costituita da funzioni definite su D_{n_{0}} e che è uniformemente convergente su esso. Se poi anche 0 appartiene ad A, aggiungendo f_{0} ad una soluzione per A − {0} si ottiene una soluzione per A. Un problema analogo (di natura moltiplicativa anziché additiva rispetto al precedente) è quello di Weierstrass: siano assegnati un insieme discreto A ⊂ ℂ e per ogni a ∈ A una p : A → ℤ. Si chiede di costruire una funzione meromorfa g su ℂ tale che per ogni a ∈ A la funzione g/(z − a)^{p(a)} si olomorfa non nulla vicino ad a; ossia si richiede cha g abbia zeri e poli nei soli punti di A con le molteplicità date dalla p.

Invece che risolvere direttamente questo problema, descriveremo una procedura, utile anche in altre circostanze, che lo riconduce al problema precedente.

Sia data su una varietà reale connessa X una 1−forma chiusa (differenziabile ma a coefficienti complessi); l’insieme Γ = {∫_{γ} ω : γ ∈ π_{1}(X, x_{0})}, ove x_{0} ∈ X è fissato comunque, è un sottogruppo di ℂ che in generale non sarà discreto: esso è detto il gruppo dei periodi di ω. Se accade che Γ ⊂ 2πℤ, esiste una ed una sola h : X → ℂ^{∗} differenziabile e tale che h(x_{0}) = 1 e (dh)/h = ω: basta sollevare ω sul rivestimento universale X̃ di X, integrarla ottenendo una funzione a valori in ℂ e comporre con la funzione esponenziale exp : ℂ → ℂ^{∗}; questa dipende solo dalla proiezione su X ed è quindi una funzione che verifica quanto richiesto. L’unicità si dimostra osservando che il rapporto tra due tali h ha differenziale nullo ed è quindi localmente una costante (non nulla perché le h lo sono). Questo modo di descrivere la h è non ambiguo ma poco ”intuitivo”. In effetti avremmo potuto definire tale funzione direttamente con l’eguaglianza:

h(x) = e^{∫_{x_{0}}^{x} ω}

ove l’integrale è pensato eseguito su un qualsiasi cammino da x_{0} ad x: la ambiguità di esso essendo eliminata per l’ipotesi fatta calcolandone l’esponenziale. Supponiamo adesso che X sia ottenuta da una superficie di Riemann Y eliminando un sottoinsieme discreto A nei punti del quale ω abbia un polo semplice ed esaminiamo il comportamento di h in un punto a ∈ A. Introducendo una coordinata locale in a siamo ricondotti ad esaminare il caso che sia X = {z ∈ ℂ : 0 < |z| < 1} ed ω = f(z)dz con f olomorfa su X ed avente un polo semplice in 0. Per ipotesi il coefficiente dello sviluppo di Laurent di f in 0 è un n ∈ ℤ: infatti a_{−1} = (2πi)^{−1} ∫_{γ} ω ove γ è un disco di centro 0 e raggio minore di 1 (il ”residuo” di ω in 0). Per un precedente lemma, esiste una nuova coordinata locale t per la quale ω = n(dt/t): allora h(t) = t^{n} verifica la condizione de^{h(t)} = ω; essa ha uno zero di ordine n (se n è positivo, altrimenti ha un polo di ordine −n). Ne segue che anche ogni altra funzione h con de^{h(t)} = ω è meromorfa con lo stesso ordine di zero (o di polo) perché a lei proporzionale. Si faccia attenzione al fatto che se Y è una superficie di Riemann qualsiasi, il gruppo fondamentale di Y −A ove A è discreto, non è detto sia generato dai soli laccetti semplici attorno ai punti a ∈ A (quelli che vanno dal punto base vicino ad a, gli girano attorno una volta nel senso positivo e poi tornano indietro col cammino inverso all’andata); quindi per sapere che i periodi di ω sono del tipo richiesto sopra, non è sufficiente sapere che ω ha solo poli semplici con residui interi e non è detto, con tale sola ipotesi, che esista una h con le propietà suddette; sappiamo solo che se esiste essa sarà meromorfa nei punti di polo di ω. Se però Y è semplicemente connessa, allora i laccetti semplici generano il gruppo fondamentale di Y − A e quindi la sola ipotesi sui residui di ω assicura non solo l’esistenza della h : Y − A → ℂ^{∗} con le propietà richieste, ma anche che questa è meromorfa su Y con ordini di zeri e poli dati dai residui. Torniamo adesso al problema di Weierstrass su ℂ: siano dati A discreto in ℂ e p : A → ℤ. Se f è la soluzione del problema di Mittag-Leffler su ℂ in cui per a ∈ A è f_{a}(t) = p(a)/(t − a) poniamo ω = f(t)dt. Supposto che 0 non appartenga ad A definiamo:

g(z) = e^{∫_{0}^{z} f(t)dt}

Come appena visto essa è una funzione meromorfa su ℂ che risolve il problema posto. Ricordiamo che la soluzione f del problema di Mittag-Leffler è stata costruita con una serie uniformente convergente sui compatti di ℂ:

f = ∑_{a∈A}(f_{a} − P_{a})

ove i P_{a} sono polinomi e precisamente opportune somme finite dello sviluppo in serie nell’origine di f_{a}(z) = p(a)/(z − a). La soluzione costruita per il problema di Weierstrass sarà quindi espressa dal prodotto infinito:

f(z) = ∏_{a∈A} e^{∫_{0}^{z}(p(a)/(t−a)dt}e^{−P_{a}(t)dt}

Come visto sopra la e^{∫_{0}^{z} p(a)/(t−a)dt} deve essere il multiplo per una costante di (z − a)^{p(a)} che vale 1 nell’origine ed è quindi (1 − z/a)^{p(a)}; in conclusione la soluzione del problema di Weierstass (nel caso 0 ∉ A) è data dal prodotto uniformemente convergente sui compatti di ℂ:

g(z) = ∏_{a∈A}(1 − z/a)^{p(a)} · e^{∫_{0}^{z} −P_{a}(t)dt}

ove i P_{a} sono polinomi opportunamente determinati come descritto.

Se poi anche 0 appartiene ad A, la soluzione si trova moltiplicando per z^{p(0)} la soluzione costruita per A − {0}.

Il seguente lemma è una sorta di inverso del procedimento descritto sopra:

Lemma 23 Sia X una varietà differenziabile reale connessa ed f : X → ℂ^{∗} una applicazione differenziabile. Si ha:

- df/f è una 1−forma chiusa (a coefficienti complessi) su X

- per ogni curva chiusa γ in X si ha:

∫_{γ} df/f ∈ 2πℤ

- per x_{0} ∈ X , la funzione

g(x) = e^{∫_{x_{0}}^{x} df/f}

è ben definita, indipendentemente dall’arco continuo da x_{0} ad x scelto per definire l’integrale che compare nel secondo membro e differisce da f per una costante moltiplicativa non nulla Dim. Sia h : Ω → ℂ una funzione olomorfa su un aperto connesso Ω ⊂ ℂ^{∗} tale che e^{h(z)} = z per z ∈ Ω, ossia h è una inversa locale di exp(t) = e^{t}. Che esistano tali h deriva dal fatto che la funzione exp è un rivestimento (sarà quindi sufficiente che Ω sia semplicemente connesso) e due qualsiasi di tali h differiscono per una costante additiva in 2πiℤ. Differenziando si ha h′(z)e^{h(z)} = h′(z)z = 1 e quindi dh(z) = dz/z. Ne segue che d(h ∘ f) = df/f; ciò mostra non solo che df/f è localmente integrabile, ma dà anche un modo per sceglierne primitive locali specifiche che hanno la particolarità di differire tra loro non per costanti additive qualsiasi ma appartenenti a 2πiℤ. Per calcolare ∫_{γ} df/f si spezzi γ in una successione di archi consecutivi in X ognuno contenuto in un aperto ove sia fissata una primitiva del tipo descritto sopra; usando il teorema di Torricelli per ognuna di esse si ha che l’integrale totale è una somma di elementi di 2πiℤ. Per dimostrare l’ultima asserzione, si noti che:

dg = d(e^{∫_{x_{0}}^{x} df/f}) = e^{∫_{x_{0}}^{x} df/f}(df/f) = gdf/f

ossia gdf − fdg = 0 e quindi f/g è costante perché ha differenziale nullo.

Osservazioni. Le nozioni di convergenza per i prodotti infiniti sono analoghe a quelle per le serie (sono ”somme” a valori nel gruppo topologico ℂ^{∗}) e verranno commentate in una appendice.

Una funzione olomorfa su tutto ℂ viene detta funzione intera. Le soluzioni ai problemi additivo di Mittag-Leffler e moltiplicativo di Weierstrss sono essenzialmente uniche nel senso che la prima è determinata a meno di un fattore additivo h ed il secondo a meno di uno moltiplicativo e^{h} ove h è una funzione intera

Corollario 24 Ogni funzione meromorfa F su ℂ è esprimibile come un rapporto f/g con f, g intere e g non identicamente nulla.

Dim. Siano A l’insieme dei poli di F e p : A → ℕ la funzione ”ordine del polo”. Sia g una soluzione del problema di Weierstrass per tali dati: si ha che f = F · g è olomomorfa su tutto ℂ cosicché F = f/g.

Osservazione. Indichiamo con H(X) l’anello delle funzioni olomorfe su una superficie di Riemann X; per il principio di identità esso è privo di divisori di zero. Analogamente l’insieme M(X) delle funzioni meromorfe su X è un corpo. Il corollario precedente dice che M è il corpo delle frazioni di H nel caso X = ℂ. Ciò può essere dimostrato anche per ogni superficie di Riemann X che non sia compatta come corollario della soluzione di problemi additivo e moltiplicativo analoghi a quelli trattati sopra. Al contrario è falso per superfici compatte, in conseguenza del fatto banale che gli elementi di H sono solo le costanti e di quello non banale che esistono comunque funzioni meromorfe non costanti; vedremo tra poco che in questo caso le funzioni meromorfe possono essere scritte come quozienti di una sorta di ”funzioni generalizzate” che possono essere pensate come ”sezioni” di un fibrato o come funzioni ”polidrome” , ossia funzioni sul rivestimento universale aventi il medesimo ”carattere di ambiguità”, se tale rivestimento non è compatto.

Per far convergere il prodotto infinito che risolve il problema di Weierstrass, abbiamo dovuto modificare i fattori (z − a)^{p(a)} moltiplicando per l’esponenziale di opportuni polinomi P_{a}. Se A è infinito non abbiamo a priori nessuna maggiorazione per i gradi di questi. Ciò può però essere ottenuto sotto opportune ipotesi:

Proposizione 25 Sia p : ℂ → ℤ avente supporto A discreto e sia A′ = A−{0}. Supponiamo che :

- p sia limitata

- ∑_{A′} 1/|p(a)|^{r} sia convergente Allora il prodotto infinito (detto ”di Weierstrass”)

z^{p(0)} ∏_{A′} \{(1 − \frac{z}{p(a)})e^{\frac{z}{a} + \frac{z^{2}}{2a^{2}} +...+ \frac{z^{r−1}}{(r−1)a^{r−1}}} \}^{p(a)}

converge uniformemente sui compatti di ℂ ad una una funzione olomorfa i cui unici zeri sono gli a ∈ A, ognuno avente molteplicità p(a)

Dim. Per risolvere il problema di Weierstrass è sufficiente risolvere quello di Mittag-Leffler per lo stesso A con i dati f_{a} = p(a)/(z−a). Sottraendo a p(a)/(z− a) il suo sviluppo di Taylor di ordine r − 2 in 0 si ha:

\frac{p(a)}{z − a} + p(a)(\frac{1}{a} + \frac{z}{a^{2}} + ... + \frac{z^{r−2}}{a^{r−1}} ) = p(a)\frac{z^{r−1}}{a^{r}} \frac{1}{1 − \frac{z}{a}}

Per ogni M reale se |a| ≥ 2M e |z| ≤ M il secondo membro è maggiorato da |p(a)|/(2|a|^{r}); per le ipotesi fatte essi formano una serie convergente; così il problema di Mittag-Leffler è risolto dalla serie dei primi membri e quello di Weierstrass dal prodotto infinito degli esponenziali dei loro integrali che ha la forma asserita nell’enunciato.

Sia A ⊂ ℂ un sottogruppo discreto di rango due. Allora la serie ∑_{a∈A} 1/|a|^{3} è convergente; infatti tale asserzione è un caso particolare della seguente:

Proposizione 26 Supponiamo che per A ⊂ ℂ la distanza tra due suoi punti distinti sia sempre maggiore od uguale ad una costante positiva d. Allora A è (ovviamente) discreto e ∑_{a∈A} |a|^{−3} è convergente

Dim. Possiamo supporre d = \sqrt{2}. I quadrati di lato 1 con vertici in ℤ + iℤ ricoprono tutto ℂ: per a ∈ A si ponga ϕ(a) = a se a ∈ ℤ + iℤ, altrimenti ϕ(a) sia l’elemento di ℤ+iℤ di minima distanza da 0 tra quelli che appartengono con a ad uno dei suddetti quadrati. A parte gli a per cui ϕ(a) = 0, che sono al più quattro, tale ϕ è iniettiva e si ha 1/|a| ≤ 1/|ϕ(a)|. Basterà quindi mostrare che posto B = ℤ + iℤ − {0} si ha che la serie ∑_{b∈B} |b|^{−3} converge. Ora gli addendi che stanno sul quadrato di centro 0 ed hanno lati di lunghezza 2n paralleli agli assi, sono 8n ed ognuno dista da zero almeno n; quindi essi contribuiscono al più per 8n/n^{3} = 8/n^{2} : la serie ∑_{n≤1} 1/n^{2} converge e quindi converge anche la precedente.

Costruzione di funzioni doppiamente periodiche Sia Γ il sottogruppo discreto di ℂ generato su ℤ da due vettori linearmente indipendenti su ℝ che indicheremo con γ_{1} = 2ω_{1}, γ_{2} = 2ω_{2} (l’uso di questa notazione deriva probabilmente dal fatto che nella costruzione di funzioni periodiche per inversione dell’integrale di ω = dz/\sqrt{P (z)} ove P è un polinomio di grado tre o quattro, tali generatori appaiono come il doppio di integrali di ω su archi che congiungono due delle radici di P).

Costruiamo col metodo di Weiestrass una funzione intera σ avente poli semplici nei punti di Γ; come visto avanti sarà:

σ(z) = z ∏_{ω∈Γ′}(1 − \frac{z}{ω}) · e^{\frac{z}{ω} + \frac{z^{2}}{2ω^{2}}}

ove si è posto Γ′ = Γ − {0}; essa viene detta la sigma di Weiestrass. Evidentemente essa dipende solo dal sottogruppo Γ e non dai generatori scelti. Si pone ζ(z) = σ′(z)/σ(z) , ossia la derivata logaritmica di σ. Dalla espressione di σ come prodotto infinito si ottiene:

ζ(z) = \frac{1}{z} + ∑_{Γ′}(\frac{1}{z − ω} + \frac{1}{z} + \frac{z}{ω^{2}} )

Infine si pone 𝔭(z) = −ζ′(z) e si ottiene per essa la decomposizione in serie:

𝔭(z) = \frac{1}{z^{2}} + ∑_{Γ′} (\frac{1}{(z − ω)^{2}} − \frac{1}{ω^{2}} )

Derivando si ha:

𝔭′(z) = −\frac{2}{z^{3}} − 2 ∑_{Γ′} \frac{1}{(z − ω)^{3}} = −2 ∑_{Γ} \frac{1}{(z − ω)^{3}}

Quest’ultima espressione mette in evidenza che 𝔭′ è Γ−periodica. Anche 𝔭 è Γ−periodica: infatti se 2ω ∈ Γ la funzione h(z) = 𝔭(z − 2ω) − 𝔭(z) ha derivata nulla ed è quindi costante; se 2ω è un generatore allora certamente ω ∉ Γ è un punto in cui h è olomorfa e si ha h(ω) = 𝔭(−ω) + 𝔭(ω) che è nullo perché 𝔭 è una funzione pari (come si vede dalla sua espressione in serie data sopra).

Si può verificare (vedi ad esempio il testo di H.Cartan, ove la funzione 𝔭 è introdotta direttamente come somma della serie data sopra) che vale la ralazione:

𝔭′ = 4𝔭^{3} − 20a_{2}𝔭 − 28a_{4}

ove a_{2} = 3 ∑_{Γ′} 1/ω^{4} e a_{4} = 5 ∑_{Γ′} 1/ω^{6}; inoltre il polinomio p(z) = 4z^{3}−20a_{2}z− 28a_{4} è a radici distinte; si può così verificare che che la 𝔭 ora costruita coincide con l’inversione dell’integrale di dz/\sqrt{P (z)} costruito a suo tempo e quindi che ogni toro complesso ℂ/Γ è isomorfo a qualche cubica piana (proiettiva) non singolare.

Nota. Le serie del tipo ∑_{Γ}(z − ω)^{−r} per r intero positivo sono dette serie di Eisenstein. Se Γ è discreto di rango 1, tale serie è uniformemente convergente (sui compatti) per r ≥ 2 ed ha allora per somma una funzione Γ−periodica. Per r = 1 occorre sommare in modo opportuno (sommazione di Eisenstein: ∑_{e}) sommando prima ogni termine (z − ω)^{−1} con (z + ω)^{−1} per ω ≠ 0 ed ottenendo così una serie uniformemente convergente (sui compatti). Ad esempio se Γ = ℤ:

∑_{e}(z − ω)^{−1} = z^{−1} + ∑_{n≥1}(z − n)^{−1} + (z + n)^{−1} = \frac{1}{z} + ∑_{n≥1} \frac{2z}{z^{2} − n^{2}}

La somma di questa è ℤ−periodica (perché la serie originaria è ℤ−invariante e con termine generale che và a zero). Si può verificare (v. il testo di H.Cartan pag. 155) che essa è π cot z ; in tal modo si possono introdurre le funzioni trigonometriche in modo alternativo a quelli seguiti all’inizio di queste note. Se Γ ⊂ ℂ ha rango 2, le serie ∑_{Γ}(z − ω)^{−r} non danno problemi per r ≥ 3; per r = 2 si deve ricorrere alla sommazione di Eisenstein, come per r = 1 nel caso che Γ abbia rango 1; per questa via si può sviluppare tutta la teoria delle funzioni Γ−periodiche come descritto ad esempio in A.Weil ”Elliptic Functions according to Eisenstein and Kronecker”.

Gruppi propriamente discontinui Se G è un gruppo di automorfismi di una superficie di Riemann X, indicheremo con X/G lo spazio topologico quoziente di X per la relazione di equivalenza: x ∼ y se e solo se esiste g ∈ G per cui g(x) = y. Diremo che G è propriamente discontinuo su X se per ogni compatto K ⊂ X si ha K ∩ g(K) ≠ ∅ solo per un numero finito di g ∈ G. Si può dimostrare che in tal caso esiste una ed una sola struttura di superficie di Riemann su X/G per la quale la proiezione σ : X → X/G è olomorfa. Ciò è del tutto evidente se G è anche privo di punti fissi, ossia se per ogni x ∈ X e g ∈ G si ha g(x) = x solo se g è l’identità; infatti in tal caso σ è un rivestimento topologico. Descriveremo ora una procedura che permette in molti casi, ad esempio se X = ℍ, di costruire funzioni meromorfe non banali su X/G. Supponiamo assegnata per ogni g ∈ G una funzione olomorfa D(g) su X che sia priva di zeri e sia L lo spazio vettoriale delle funzioni olomorfe f su X tali che per x ∈ X e g ∈ G sia f(g(x)) = D(g)(x)f(x). Se f_{1}, f_{2} ∈ L sono linearmente indipendenti, allora f_{1}/f_{2} sarà una funzione meromorfa non costante. Se L contiene un elemento f non identicamente nullo, il sistema delle D(f) deve essere tale che per x ∈ X e g_{1}, g_{2} ∈ G sia:

D(g_{1} ∘ g_{2})(x) = D(g_{1})(g_{2}(x)) · D(g_{2})(x)

Tale relazione è formalmente simile a quella che esprima la derivata di una composizione di trasformazioni. Infatti nel caso che X sia un aperto in ℂ, potremo considerare il sistema definito da D(g) = (dg/dz)^{p} ove p è un intero naturale; gli elementi di L saranno allora chiamati forme automorfe di peso p. Si noti che tale sistema dipende essenzialmente da come X è immersa in ℂ; affinché la procedura che andiamo a descrivere funzioni, occorrerà che X sia limitato in ℂ: per questa ragione il piano iperbolico ℍ verrà sostituito con l’interno 𝔼 del disco unitario di C a lui isomorfo (ad esempio per la trasformazione z ↦ (z − i)/(z + i)). La costruzione di forme automorfe in questo caso si fa per mezzo delle seguenti serie di Poincaré di peso p:

se h una funzione olomorfa su 𝔼 consideriamo la serie:

∑(g ∈ G(h(g(x))(dg/dz)^{p}

Proposizione 27 Se G è propriamente discontinuo senza punti fissi su 𝔼 ed h è limitata, la serie di Poincaré per p ≥ 2 converge uniformemente sui compatti ed ha per somma una forma automorfa di peso p

Dim. Per ipotesi ogni punto di 𝔼 ha un intorno compatto F che è disgiunto da g(F) per ogni g ∈ G diverso dall’identità; sarà sufficiente mostrare che la serie di Poincaré di peso 2 è maggiorata su ogni tale F da una serie numerica positiva convergente; inoltre essendo h limitata basterà esaminare il caso h = 1.

Sia d > 0 ed inferiore alla distanza di F dal bordo di 𝔼. Sappiamo allora che (v. appendice ”topologie su spazi di funzioni olomorfe”) per u ∈ F si ha:

|\frac{dg(u)}{dz}|^{2} ≤ \frac{1}{πd^{2}} ∫_{F} |\frac{dg(t)}{dz}|^{2}dxdy

Il secondo membro è precisamente l’area di g(F) ed essendo i (g(F))_{g∈G} disgiunti, si ha che ∑_{g∈G} g(F) è una serie convergente avendo somma inferiore all’area totale di 𝔼 che maggiora su F la serie in esame.

Nota. Proseguendo lo studio iniziato sopra, si dimostrano i seguenti fatti. Supponiamo che X = 𝔼/G sia compatta; allora lo spazio L_{p} delle forme automorfe di grado p ha dimensione finita e per p ≤ 3 esso determina una applicazione olomorfa σ : X → ℙ^{n}, ove n + 1 = dim(L_{p}), che è in realtà un isomorfismo con una curva algebrica non singolare in ℙ^{n}: tale σ può essere scritta come x ↦ (f_{0}(x), ..., f_{n}(x)) ove f_{0}, ..., f_{n} è una base di L_{p}. Così X ”è” una curva algebrica ed volendo il suo studio può essere proseguito con metodi puramente algebrici; i risultati ottenuti potranno poi essere interpretati nell’ambito ”trascendente” ossia come fatti topologici o di analisi complessa. Viceversa, data una curva algebrica X non singolare, essa è o isomorfa a ℙ^{1}, o ad una curva ellittica (una cubica non singolare o, come sappiamo, un toro complesso ℂ/Γ), oppure essa è del tipo 𝔼/G esaminato sopra: in questo caso lo studio in analisi complessa delle forme automorfe, od altre analoghe strutture, fornisce informazioni di carattere puramente algebro-geometrico su X e su come essa è posizionata in ℙ^{n}.

Appendice 1: rivestimenti

Per semplicità restringeremo la trattazione a spazi topologici particolarmente semplici che ora introdurremo (gran parte dei risultati descritti valgono per spazi topologici molto più generali di questi ma in realtà noi saremo interessati solo al caso di varietà). Il cono su uno spazio topologico T è lo spazio topologico C(T) con punto base v (detto il suo vertice) dato dall’unione disgiunta di T × [0, 1] con lo spazio di un punto {v} identificando tutto T × {1} con v. In quel che segue ogni spazio topologico sarà supposto di tale tipo. Osservazione: si può dimostrare (utilizzando la teoria delle ”stratificazioni”) che ogni insieme definito dall’annullarsi di funzioni analitiche in un aperto di ℝ^{n} (più eventualmente un numero finito di disuguaglianze analitiche) verifica tali condizioni.

Diremo che uno spazio X è ”buono” di dimensione n ≥ −1 se n = −1 ed X è vuoto; per n ≥ 0 se è di Hausdorff , a base numerabile ed per ogni suo punto x esistono un suo intorno U ed uno spazio compatto T buono di dimensione inferiore ad n tali che (U, x) sia omeomorfo a (C(T), v). Una applicazione ϕ : X → Y tra spazi topologici è detta localmente invertibile od anche un omeomorfismo locale se ogni x ∈ X ha un intorno aperto U tale che ϕ(U) sia aperto in Y e ϕ induca un omeomorfismo tra U e ϕ(U). Ad esempio una applicazione differenziabile tra varietà che in ogni punto di X abbia per differenziale un isomorfismo è localmente invertibile.

Sia ϕ : X → Y una applicazione fissata; se f : Z → X e g : Z → Y sono due applicazioni diremo che f è un sollevamento di g od anche che g è l’ombra di f (tramite ϕ) se g = ϕ ∘ f.

Proposizione 28 (Unicità dei sollevamenti) Sia ϕ : X → Y localmente invertibile e siano f, g : Z → X due applicazioni continue. Se esse hanno la stessa ombra, allora l’insieme dei punti di X ove concidono è aperto e chiuso.

Proposizione 29 (Teorema di monodromia) Sia ϕ : X → Y localmente invertibile. Una applicazione F : Z × [0, 1] → X è continua se e solo se lo sono: la sua ombra G = ϕ ∘ F, la sua restrizione a Z × {0} e le sue restrizioni agli {z} × [0, 1] per z ∈ Z

Dim. Sia z ∈ Z fissato; per ogni t ∈ [0, 1] sia U_{t} un intorno aperto di F (z, t) in X tale che V_{t} = ϕ(U_{t}) sia aperto ed omeomorfo ad U_{t} tramite ϕ. Per continuità di G e compattezza di {z}×[0, 1] esistono un intorno A di z in Z ed una succesione 0 = t_{0} < t_{1} < ... < t_{n} = 1 tali che per i = 1, ..n , G(A × [t_{i−1}, t_{i}]) ⊂ V_{s_{i}} con s_{i} ∈ [t_{i−1}, t_{i}]; per la continuità di F su Z × {0}, possiamo anche supporre che sia F (A × {0}) ⊂ U_{s_{1}}. E’ ora chiaro che, componendo la G con le inverse delle ϕ : U_{t} → V_{t} si possa costruire un sollevamento continuo H di G su A × [0, 1] che coincida con F su A × {0}; per ogni z′ ∈ A, le applicazioni di {z′} × [0, 1] in X indotte da F e da H sono continue hanno la stessa ombra e concidono in (z′, 0) e quindi per la proposizione precedente sono la stessa applicazione. Abbiamo così mostrato che F coincide localmente con una applicazione continua ed è quindi continua.

Diremo che ϕ : X → Y verifica il sollevamento dei cammini se per ogni a ∈ X ogni cammino continuo che inizia in ϕ(a) ha un sollevamento continuo che inizia in a. Diremo che ϕ : X → Y è un rivestimento se X ed Y sono connessi (non vuoti), ϕ è localmente invertibile e verifica il sollevamento dei cammini.

Corollario 30 Sia ϕ : (X, x_{0}) → (Y, y_{0}) un rivestimento tra spazi con punto base. Allora ϕ_{∗} : π_{1}(X, x_{0}) → π_{1}(Y, y_{0}) è iniettiva. La sua immagine viene detta il ”sottogruppo associato” al rivestimento.

Dim. Siano α un cammino chiuso in X di origine x_{0} e G una omotopia tra ϕ∘α. Per il teorema di monodromia, tale G si solleva in una omotopia tra α ed un cammino che solleva quello costante in y_{0} che sarà necessariamente il cammino costante in x_{0}.

Siano ϕ : X → Y un rivestimento ed α : [0, 1] → Y un cammino continuo che inizia in a e termina in b. Per x ∈ ϕ^{−1}(a) indichiamo con α̂(x) il punto finale del sollevamento di α che inizia in x. Si ha:

Proposizione 31 L’applicazione α̂ : ϕ^{−1}(a) → ϕ^{−1}b è biunivoca. Inolte α̂ = β̂ se β è un cammino da a a b che è omotopo ad α a estremi fissi (esiste cioè una famiglia (α_{s})_{s∈[0,1]} di cammini continui da a a b che è continua nel senso che lo è (s, t) ↦ α_{s}(t) ed è tale che α_{0} = α e α_{1} = β).

Dim. La prima asserzione discende dall’unicità dei sollevamenti, la seconda dal teorema di monodromia.

In particolare considerando il caso in cui a = b = y_{0} sia un punto base di Y, si ottiene un omomorfismo α ↦ α̂ di π_{1}(Y, y_{0}) nel gruppo delle permutazioni della fibra ϕ^{−1}(y_{0}). Sia x_{0} un punto base per X con ϕ(x_{0}) = y_{0}.

Proposizione 32 Il gruppo del rivestimento ϕ è costituito precisamente dagli α ∈ π_{1}(Y, y_{0}) tali che α̂(x_{0}) = x_{0}

Siano ϕ : (X, x_{0}) → (Y, y_{0}) un rivestimento e f : (Z, z_{0}) → (Y, y_{0}) continua.

Proposizione 33 Esiste un sollevamento f̃ : (Z, z_{0}) → (Y, y_{0}) se e solo se f_{∗}(π_{1}(Z, z_{0}) è contenuto nel sottogruppo del rivestimento ϕ

Dim. Se esiste f̃ allora ϕ_{∗} ∘f̃_{∗} = f_{∗} e quindi f_{∗} ha immagine nel sottogruppo del rivestimento. Mostriamo il viceversa: per z ∈ Z si scelga un cammino γ da z_{0} a z e si definisca f̃(z) come il punto finale del sollevamento di f ∘γ che inizia in x_{0}. Tale definizione è ben posta perché se partiamo da un altro cammino δ da z_{0} a z, allora δ^{−1} ∗γ, è un cammino chiuso in (Z, z_{0}) e quindi la sua immagine in (Y, y_{0}) dà un elemento del sottogruppo del rivestimento, ossia si solleva in (X, x_{0}) ad un cammino chiuso: da ciò si deduce che f_{∗} traforma γ e δ in cammini i cui sollevamenti terminano nello stesso punto. La continuità della f così costruita si dimostra osservando che scelto un arco γ per uno z ∈ Z, gli archi per i punti in un intorno contrattile U di z si possono scegliere componendo γ con un arco in U; se U è sufficientemente piccolo, la sua immagine in Y è contenuta in un aperto che è omeomorfo (tramite ϕ) ad un aperto di X e quindi la f̃ è localmente ottenuta componendo f con l’inversa di tale omeomorfismo.

Siano ϕ : (X, x)to(Y, y) e ϕ′ : (X′, x′) → (Y′, y′) due rivestimenti; chiameremo morfismo di ϕ in ϕ′ ogni coppia di applicazioni continue σ : (X, x) → (X, x)′ e τ : (Y, y) → (Y′, y′) per cui sia commutativo il diagramma:

(X, x) ⟶^{σ} (X′, x′)
ϕ↓  ↓^{ϕ′}
(Y, y) ⟶^{τ} (Y′, y′)

Se (σ, τ) , (σ′, τ′) sono due morfismi di ϕ in ϕ′ ed è τ = τ′, allora σ e σ′ sono entrambi sollevamenti di τ ∘ ϕ e coincidendo nel punto base coincidono dappertutto. Quindi dati due rivestimenti ϕ : (X, x) → (Y, y) e ϕ′ : (X′, x′) → (Y, y) dello stesso spazio, esiste al più un morfismo di ϕ in ϕ′ che sia l’identità su Y. Per quanto visto esso esiste se e solo se il sottogruppo associato a ϕ è contenuto in quello contenuto in ϕ′. In particolare due rivestimenti di uno spazio con punto base aventi stesso gruppo associato sono identificabili; esiste cioè al più un rivestimento (X, x) di uno spazio (Y, y) il cui sottogruppo asociato sia un dato sottogruppo H ⊂ π_{1}(Y, y) ed in tal caso si ha π_{1}(X, x) ≅ H.

Esistenza di rivestimenti. Mostreremo ora che ogni sottogruppo H ⊂ π_{1}(Y, y) è associato ad un rivestimento di (Y, y). Cominciamo col dimostrare l’esistenza di un rivestimento con gruppo fondamentale banale, che sarà detto il rivestimento universale. Costruzione: consideriamo la relazione di equivalenza sull’insieme dei cammini continui α : [0, 1] → y che iniziano in y definita da α_{0} ∼ α_{1} se e solo se terminano in uno stesso punto y′ e fanno parte di una famiglia continua di cammini (α_{t})_{t∈[0,1]} che vanno da y ad y′. Indichiamo con X lo spazio quoziente associato e siano x ∈ X la classe del cammino costante in y e ϕ : X → Y l’applicazione ottenuta associando ad ogni cammino il suo punto finale. Introdurremo ora una topologia su X per la quale ϕ è un rivestimento e π_{1}(X, x) è banale. La topologia verrà introdotta specificando una famiglia di sottoinsiemi che sono base di una topologia per X: se α : [0, 1] → Y è un cammino continuo che inizia in y ed U è un aperto contrattile contenente α(1), indichiamo con B(U, α) l’insieme delle classi di cammini α′ della forma α′ = β ∗ α ove β è un cammino continuo in U che inizia ove termina α. E’ evidente che la famiglia dei B(U, α) è base di una topologia su X per la quale ϕ è continua ed aperta. Inoltre ϕ induce una applicazione biunivoca tra B(U, α) ed U, cosicchè ϕ è un omeomorfismo locale. Mostriamo che ϕ verifica il sollevamento dei cammini: se α : [0, 1] → Y è un cammino continuo, consideriamo per s ∈ [0, 1] il cammino α_{s} definito da α_{s}(t) = α(st); se β è un cammino in Y da y al punto finale di α un sollevamento di α che inizia nella classe di β è dato da [0, 1] ∋ s ↦ classe di α_{s} ∗ β. Resta da verificare che π_{1}(X, x) è banale: per quanto visto avanti è sufficiente mostrare che ogni cammino chiuso α in (Y, y) il cui sollevamento in (X, x) è chiuso è banale in π_{1}(Y, y); ciò accade perché come appena visto il sollevamento è dato dalle classi degli α_{s} ove α_{s}(t) = α(ts) e questo ha come punto finale la classe di α_{1} = α. Ciò dimostra l’esistenza del rivestimento universale. Per costruire un rivestimento di (Y, y) con associato un qualsiasi sottogruppo H di π_{1}(Y, y) si ripete quanto fatto sopra nel caso che H sia ridotto alla sola identità, cambiando solo la relazione di equivalenza iniziale che definisce X: precisamente poniamo che due cammini α_{0} e α_{1} di inizio y sono equivalenti se e solo se terminano nello stesso punto y′ ed iniltre esiste un cammino chiuso β la cui classe stà in H tale che α_{0} sia deformabile con continuità in α_{1} ∗ β tramite una famiglia continua di cammini da y ad y′.

Appendice 2: sottogruppi discreti in uno spazio vettoriale Caso reale. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione finita. Un sottogruppo Γ ⊂ ℝ^{n} è detto discreto se non possiede alcun punto di accumulazione in V; ciò accade se e solo se esiste un aperto U in V tale che U ∩ Γ = {0} (infatti se Γ è discreto, 0 non è di accumulazione, quindi tale U esiste; viceversa se a ∈ V è di accumulazione per Γ, esiste una successione (a_{n})_{n∈ℕ} in Γ − {a} con lim a_{n} = a ed allora la successione a′_{n} = a_{n+1} − a_{n} mostra che anche 0 è di accumulazione e quindi un tale U non esiste).

Esercizio. Siano Γ ⊂ V un sottogruppo discreto e ϕ : V → V/Γ la proiezione. Esiste una ed una sola struttura di varietà differenziabile su V/Γ per la quale f : V/Γ → ℝ è differenziabile se e solo se lo è f ∘ ϕ : V → ℝ. Per tale struttura quindi, le funzioni differenziabili su V/Γ sono identificabili alle funzioni differenziabili su V che siano Γ-periodiche (ossia le f tali che f(x + γ) = f(x) per ogni x ∈ V e γ ∈ Γ) e ϕ è un rivestimento (differenziabile)

Nota. Con la stessa fatica si dimostra questo fatto nel caso che V sia un gruppo di Lie (cioè una varietà differenziabile con una struttura di gruppo in cui le operazioni ”moltiplicazione” ed ”inversione” siano differenziabili) e Γ sia un suo sottogruppo discreto; come quoziente V/Γ in tal caso si considera quello indotto dalla relazione : x, y ∈ V sono equivalenti se e solo se esiste γ ∈ Γ per cui y = γ · x.

Proposizione 34 Sia Γ ⊂ V un sottogruppo discreto. Esistono allora e_{1}, ..., e_{p} linearmente indipendenti in V (quindi parte di una sua base) che generano Γ (come gruppo). In particolare Γ ≅ ℤ^{p} è un gruppo libero abeliano di rango p con 0 ≤ p ≤ dim(V) ed il quoziente è isomorfo (come varietà e come gruppo, ossia come gruppo di Lie) al prodotto (S^{1})^{p} × ℝ^{n−p} ove S^{1} è il gruppo moltiplicativo dei numeri complessi di modulo 1

Dim. Scegliamo una identificazione di V con ℝ^{n} e scelto e un elemento di Γ − {0} avente distanza minima da 0 sia L la retta per 0 ed e. E’ chiaro che Γ ∩ L è generato da e: se in L vi fossero elementi di Γ non multipli di e ve ne sarebbero anche nel segmento ]0, e[ contraddicendo la minimalità di e. Consideriamo V′ = V/L e sia Γ′ l’immagine di Γ in V/L. Mostreremo ora che Γ′v è discreto in V′, dopo di che la proposizione sarà dimostrabile ragionando per induzione su dim(V). Infatti supponiamo per assurdo che esista una successione (x_{n})_{n∈ℕ} in Γ − L la cui immagine in V′ sia convergente a 0 e poniamo x_{n} = a_{n} + b_{n} con a_{n} ∈ L e b_{n} nell’ortogonale ad L in V; si avrà quindi che b_{n} converge a zero in V; si può inoltre supporre che a_{n} sia limitata in V: basta osservare che essendo e un generatore dello spazio vettoriale L, sottraendo eventualmente ad x_{n} un multiplo intero di e si ottiene una successione (x′_{n})_{n∈ℕ} che dà un a_{n} la cui norma è inferiore a quella di e. Allora una sottosuccessione di (x′_{n})_{n∈ℕ} convergerà in V , necessariamente ad un elemento di Γ∩L ed essendo Γ discreto, dovremmo avere x′_{n} ∈ Γ per n abbastanza alto e ciò non è per come è stata scelta la successione.

Chiameremo reticolo una coppia (V, Γ) in cui V è uno spazio vettoriale di dimensione finita su ℝ e Γ un suo sottogruppo discreto avente rango dim(V). Per quanto visto vi è essenzialmente un solo reticolo per ogni data dimensione.

Caso complesso. Vediamo ora come sono fatti i sottogruppi discreti Γ in uno spazio vettoriale complesso restringendoci per ora al caso che V abbia dimensione 1. Essendo dim_{ℝ}(V) = 2 si ha che un sottogruppo discreto Γ può avere rango 0 , 1 o 2. Il caso 0 è banale. Nel caso che Γ sia generato da un elemento ω ≠ 0, esso rappresenta una base di V su ℂ e quindi, a meno di isomorfismi complessi, (V, Γ) è isomorfo a (ℂ, ℤ). Così la proiezione V → V/Γ è interpretabile come l’applicazione ℂ ∋ z ↦ exp(2πz) ∈ ℂ^{∗} = ℂ − {0}. Supponiamo ora che Γ sia generato da due elementi ω_{1}, ω_{2} linearmente indipendenti su ℝ, ossia tali che τ = ω_{1}/ω_{2} non sia reale; potremo supporre anche, scambiando eventualmente ω_{1} con ω_{2} che τ abbia parte immaginaria positiva ossia appartenga al semipiano di Poincaré H = {z = x + iy : y > 0}. Scegliendo ω_{2} come base di V questo si identifica a ℂ ed il sottogruppo Γ si trasforma in quello generato da 1 e τ. Sotto quali condizioni su τ, τ′ ∈ H si ha che il gruppo generato da 1 e τ coincide con quello generato da 1 e τ′ ? Ciò accade se e solo se le due basi del gruppo libero Γ da loro generato sono riferite da una matrice intera invertibile di ordine due; essa dovrà quindi avere determinante 1 o −1 ma siccome essi danno la stessa orientazione (quella canonica di ℂ) esso dovrà essere 1. In definitiva quindi se e solo se esistono a, b, c, d interi tali che τ′ = \frac{aτ+b}{cτ+c}. Ciò definisce una azione del gruppo Sl_{2}(ℤ) delle matrici quadrate intere a determinante 1 sul semipiano di Poincaré H. Tale azione non è effettiva ma lo è dividendo Sl_{2}(ℤ) per il sottogruppo dato dall’identità e dal suo opposto; il quoziente, che verrà esaminato in seguito, descrive classifica quindi i tori complessi di dimensione uno.

Appendice 3: risultante di due polinomi.

Siano A un anello commutativo e T una indeterminata su esso. Per n ∈ ℕ indicheremo con A_{n} il sotto-A−modulo di A[T] costituito dai polinomi di grado strettamente inferiore ad n.

Siano fissati P, Q ∈ A[T] aventi gradi rispettivamente m ed n e si consideri l’applicazione lineare ϕ : A_{n} × A_{m} → A_{n+m} che manda (F, G) in P F + QG. Il Risultante di P, Q è il determinante della matrice che esprime ϕ nelle basi: ((1, 0), ..., (T^{n−1}, 0), (0, 1), ..., (T^{m−1})) di A_{n} × A_{m} e (1, ..., T^{n+m−1}) di A_{n+m} e verrà indicato con Ris(P, Q).

Si verifica con facili considerazioni sulla matrice suddetta che Ris(P, Q) è esprimibile come un polinomio di grado (al più) n + m nei coefficienti di P e Q e più precisamente come un polinomio omogeneo di grado n nei coefficienti di P e omogeneo di grado m in quelli di Q. Evidentemente Ris(P, Q) dipende funtorialmente dall’anello A nel senso che se σ : A → A′ è un omomorfismo di anelli, il risultante dei polinomi ottenuti da P trasformando i coefficienti con σ è ottenuto dal risultante dei polinomi di partenza trasformandolo con σ (o se si preferisce le espressioni dei risultanti di tali polinomi sono ottenute una dall’altra trasformando i coefficienti con σ).

Si noti che Ris(P, Q) è un elemento di A e non un vero polinomio. Quel che si intende dire sopra e nel seguito nel considerarlo un polinomio è di considerare all’inizio i coefficienti di P, Q come generici e specializzarli solo alla fine.

Ciò può essere precisato così : supponiamo che P = p_{0}T^{M} + ... + p_{m} e Q = q_{0}T^{n}+...+q_{n}; sostituiamo le p_{i}, q_{j} con indeterminate P_{i}, Q_{j} su A ottenendo polinomi P̃, Q̃ in A[.., P_{i}, .., Q_{j}, ..]. Il risultante di P̃, Q̃ è allora davvero un polinomio nelle indeterminate introdotte ed il risultante di P, Q sarà ottenuto da esso per sostituzione dei veri coefficienti di P, Q.

Due elementi P, Q ∈ A[T] sono detti primi tra loro se ogni elemento di A[T] può essere scritto nella forma P F + QG con F, G ∈ A[T]; se A è un corpo, ciò accade se e solo se P e Q sono multipli di uno stesso polinomio di grado positivo o equivalentemente se hanno una radice comune nella chiusura algebrica del corpo (si utilizzi l’algoritmo euclideo). Evidentemente Ris(P, Q) è invertibile in A se e solo se ϕ è un isomorfismo. In tal caso P, Q sono primi tra loro: infatti esistono F, G ∈ A[T] tali che P F + QG = 1 ed allora ogni H ∈ A[T] può essere scritto P (F H) + Q(GH). Viceversa si ha:

Proposizione 35 Supponiamo che in almeno uno tra P e Q il coefficiente di grado massimo sia invertibile in A. Allora P, Q sono primi tra loro se e solo se il loro risultante è un elemento invertibile in A ossia ϕ è un isomorfismo

Dim. Infatti supponiamo ad esempio che P abbia coefficiente di grado massimo invertibile. Ogni polinomio di A[T] può allora essere diviso per P con l’usuale algoritmo di divisione dei polinomi ottenendo per resto un polinomio di grado inferiore a quello di P. Sia H ∈ A_{n+m}; se P, Q sono primi tra loro si avrà H = P F +QG con F, G ∈ A[T]. Dalla divisione di G per P si ha G = G′P +G′′ ove G′′ ∈ A_{m}. Si ha quindi:

H = P (F + G′Q) + QG′′

si noti ora che P (F + G′Q) = H − QG′′ ha grado al più m + n − 1 ed avendo P il coefficiente di grado massimo invertibile ciò assicura che F + G′Q ∈ A_{n}. Si è quindi dimostrato che ϕ : A_{n} × A_{m} → A_{n+m} è surgettiva. Che essa sia un isomorfismo si deduce dal seguente:

Lemma 36 Sia M un modulo libero finito sull’anello A. Ogni endomorfismo ϕ di M che sia surgettivo è un isomorfismo

Dim. Sia (e_{1}, ..., e_{n}) un sistema libero di generatori di M. Per ipotesi e_{i} = ϕ(x_{i}) per qualche x_{i} ∈ M , i = 1, ..., n. Sia ψ l’endomorfismo di M che applica ogni e_{i} in x_{i}. Allora ϕ ∘ ψ è un endomorfismo che fissa gli e_{i} ed è quindi l’identità. Ne segue che 1 = det(ϕ ∘ ψ) = det(ϕ) · det(ψ) e quindi che ϕ è un isomorfismo perché ha determinante invertibile.

Nota Nella proposizione precedente il fatto che almeno uno dei coefficienti di grado massimo di P , Q sia invertibile è essenziale: ad esempio per A = ℤ i polinomi P (T) = 3T + 1 e Q(T) = 3 sono primi tra loro ma il loro risultante non è invertibile.

Siano P (w, z) = a_{0}(z)w^{p}+...+a_{p}(z) e Q(w, x) = b_{0}(z)w^{q} +...+b_{q}(z) polinomi in w, z a coefficienti in un corpo k avente chiusura algebrica k̄ e siano X , Y i luoghi di zeri di P, Q in k̄^{2}. Identificando l’anello k[w, z] con l’anello k[z][w] dei polinomi in w a coefficienti polinomi in z, il risultante R(P, Q) = R è un elemento di k[z] = A. Per ζ ∈ k consideriamo l’omomorfismo σ : A ∋ f(z) ↦ f(ζ) ∈ k = A′. Come visto sopra il risultante dei trasformati P^{σ}, Q^{σ} di P, Q per σ si ottiene calcolando R in ζ; quindi gli zeri di R sono precisamente gli ζ ∈ k tali che P (ζ, w) e Q(ζ, w) hanno una radice in comune in k̄, oppure entrambi i coefficienti di grado massimo di P , Q (come elementi di A[w]) si annullano in ζ (in tal caso P e Q hanno una ”radice comune all’infinito”: quello dell’asse w ). Quindi se R non è identicamente nullo l’insieme X ∩ Y è finito. Esaminiamo il caso in cui R è identicamente nullo. Immergiamo A = k[z] nel suo corpo dei quozienti A′ = k(z). Il risultante di P, Q sarà ancora identicamente nullo; essendo A′ un corpo, ne segue che P, Q hanno un fattore comune di grado positivo in A′[w]; Eliminando i denominatori e ricordando che k[z, w] è a fattorizzazione unica si ottiene che essi hanno un fattore comune anche in k[z][w]; ne segue che X ∩ Y è infinito. Sia ora P (w, z) un polinomio ogni cui fattore primo abbia molteplicità uno e dipenda effettivamente da w (ossia non appartenga a k[z]). Allora P e ∂P/∂w sono privi di fattori comuni; infatti se R fosse un fattore primo ad essi comune, si avrebbe P = R · H, ∂P/∂w = ∂R/∂w · H + R · ∂H/∂w ed R non potendo dividere ∂R per questioni di grado dividerebbe H e quindi R sarebbe un fattore di molteplicità almeno due.

Quanto precede mostra che se P ∈ ℂ[w, z] è un polinomio ridotto ossia privo di fattori multipli, la ”curva” {P = 0} in ℂ^{2} è, tranne che in un numero finito di punti, localmente il grafico di una funzione olomorfa w(z).

Appendice 4 : orientazione di varietà complesse

Su uno spazio vettoriale V di dimensione finita n, l’insieme delle basi è un aperto (in V^{n}) costituito da due componenti connesse; orientare V significa scegliere una di tali componenti i cui elementi sono allora detti basi positive. Tale scelta sarà spesso fatta indicando una particolare base da chiamarsi positiva: quelle nella stessa componente connessa saranno precisamente quelle ottenute da lei con una matrice a determinante positivo. Sia V uno spazio vettoriale complesso: ad ogni sua base e_{1}, ..., e_{n} su ℂ associamo la 2n−pla (e_{1}, ie_{1}, e_{2}, ie_{2}, ..., e_{n}, ie_{n}); è facile verificare che questa è una base di V come spazio vettoriale su ℝ; l’orientazione che questa dà a V, non dipende dalla base scelta di V su ℂ; ciò può essere dimostrato osservando che le basi di V su ℂ sono un aperto connesso (complementare in V^{n} ≡ (ℂ^{n})^{n} del luogo di zeri della funzione polinomiale determinante) e quindi l’applicazione (continua) da {bsi su ℂ} a { basi su ℝ} ha immagine in una sola delle due componenti connesse. Si può anche verificare con un calcolo diretto che il cambiamento di base tra le associate reali è positivo. L’orientazione così ottenuta per la struttura reale di uno spazio vettoriale complesso viene detta canonica; ciò permette di avere una struttura canonicamente orientata su ogni varietà complessa, quando considerata come varietà differenziabile (od analitica) reale ed è di fondamentale importanza per lo studio topologico di queste. Ad esempio per ogni applicazione olomorfa tra varietà complesse, in ogni punto regolare il differenziale sarà un isomorfismo ”positivamente orientato” tra gli spazi tangenti delle due; od anche, definendo la molteplicità di intersezione tra due sottospazi analitici complessi di dimensioni pure p, q in una varietà di dimensione p + q in un punto ove la loro intersezione sia isolata, si otterrà comunque un numero strettamente positivo.

Appendice 5: quozienti di superficie di Riemann

Un teorema fondamentale per lo studio delle superficie di Riemann è quello detto di uniformizzazione il quale asserisce che le uniche superficie di Riemann che siano semplicemente connesse sono : il piano complesso ℂ, il semipiano di Poincaré ℍ e la sfera di Riemann detta anche la retta proiettiva ℙ^{1}(ℂ). Ogni altra superficie di Riemann è quindi ottenibile da una di esse quozientando per un gruppo ”discreto” di suoi automorfismi privi di punti fissi. Esaminiamo dapprima ℙ^{1}; esso ”‘e” l’insieme delle rette per l’origine in ℂ^{2} o più generalmente in uno spazio vettoriale V di dimensione due su ℂ; il gruppo Gl(V) degli automorfismi complessi di V agisce quindi su ℙ^{1}, il nucleo di tale azione essendo il sottogruppo delle omotetie isomorfo a ℂ^{∗}. Che non vi siano altri automorfismi (olomorfi) di ℙ^{1} si deduce facilmente osservando che ogni applicazione olomorfa di ℙ^{1} in se è data dal rapporto di due polinomi (”è” una funzione meromorfa) necessariamente di grado 1 se essa è inettiva. Per introdurre una topologia su Aut(ℙ^{1}), ci possiamo ridurre agli automorfismi di V aventi determinante 1 (se V = ℂ^{2} alle matrici 2 × 2 a coefficienti complessi e determinante 1) ma dobbiamo ancora dividere per il gruppo costituito dall’identità e dalla simmetria rispetto all’origine: questo non ha supplementari in Gl(V) e quindi per dotare Aut(ℙ^{1}) di una struttura di gruppo topologico dobbiamo utilizzare in ogni caso la nozione di topologia quoziente. La nozione di sottogruppo discreto che ne deriva (un sottogruppo che sia discreto per tale topologia) non è adeguato (lo è invece per ℂ e ℍ) nel senso che non assicura che il quoziente abbia una struttura topologica ragionevole; per questo occorrerebbe invece introdurre la nozione di gruppo propriamente dicontinuo di automorfismi di cui però non dicuteremo: infatti nessun automorfismo di ℙ^{1} è privo di punti fissi (ogni automorfismo lineare complesso ha qualche autovalore e quindi ha qualche retta invariante): ne segue che l’unica superficie di Riemann che ha per rivestimento ℙ^{1} è ℙ^{1} stesso. Esaminiamo ora Aut(ℂ) : ogni omeomorfismo di ℂ in se stesso si estende ad un omeomorfismo di ℙ^{1} in se; per il teorema di estenzione di Riemann ne segue che Aut(ℂ) è costituito dagli elementi di Aut(ℙ^{1}) aventi ∞ come punto fisso, quindi dagli elementi del tipo z ↦ az + b con a, b ∈ ℂ ed a ≠ 0. Un tale automorfismo è privo di punti fissi (o è l’identità) se e solo se a = 1 ossia se è una traslazione. I gruppi discreti di traslazioni sono quelli di rango 0, 1 o 2; ne segue che le superfici di Riemann aventi ℂ come rivestimento sono ℂ , ℂ^{∗} ed i tori complessi (vedi appendice). Tutte le altre superficie di Riemann avranno per rivestimento universale ℍ di cui ora determineremo gli automorfismi. Asserzione: ogni automorfismo di ℍ è estendibile ad un automorfismo di ℙ^{1} e quindi Aut(ℍ) coincide col gruppo G di Aut(ℙ^{1}) indotti dagli automorfismi lineari di ℂ^{2} aventi coefficienti reali e determinante 1. Infatti intanto G è transitivo su ℍ (si utilizzino traslazioni reali ed omotetie reali, entrambe in G). Basta allora mostrare che l’asserzione è vera per gli automorfismi che possiedono un punto fisso. Si noti che z ↦ (z − i)/(z + i) definisce un automorfismo di ℙ^{1} che trasforma ℍ nell’aperto 𝕌 dei numeri complessi aventi modulo inferiore ad 1. Ciò mostra non solo che ℍ ed 𝕌 sono isomorfe come superficie di Riemann, ma anche che un automorfismo dell’una si estende ad uno di ℙ^{1} se e solo se accade lo stesso per il suo omologo nell’altra. Possiamo quindi studiare tale estendibilità per un automorfismo ϕ di 𝕌 con ϕ(0) =). Il lemma di Schwarz dice che allora ϕ(z) = λz per qualche λ ∈ ℂ di modulo 1 che è evidentemente estendibile ad un automorfismo di ℙ^{1}.

Nota L’asserzione precedente può essere dimostrata anche utilizzando il principio forte di riflessione di Schwarz che verrà illustrato più avanti.

Si dimostra elementarmente che esiste una ed una sola (a meno di omotetie) struttura metrica su ℍ per la quale gli automorfismi analitici sono le isometrie che conservano l’orientazione. Con tale metrica esso diviene un modello della geometria iperbolica: le rette sono le intersezioni di ℍ con le circonferenze aventi centro sull’asse reale e raggio positivo includendo tra esse anche le rette parallele all’asse immaginario (pensato come circonferenze con centro all’infinito). Le riflessioni rispetto a tali rette sono date dalle inversioni circolari e queste generano, come nel caso euclideo, il gruppo di tutte le isometrie orientate oppure no. La disparità tra i due tipi di rette scompare interpretando tutto proiettivamentecome segue. Si consideri sullo spazio vettoriale V ≃ ℂ^{2} una forma quadratica A hermitiana non degenere indefinita. Ad essa è associata una involuzione s_{A} sull’insieme delle rette per l’origine (ossia ℙ^{1}): quella che associa ad una retta la sua ortogonale rispetto ad A; i punti fissi di s_{A} sono le rette sulle quali A diviene nulla che viene interpretata come una circonferenza C_{A} in ℙ^{1}. Inoltre s_{A} scambia l’insieme delle rette sulle quali A è definita positiva (detto l’interno di C_{A} con quelle dove è definita negativa (l’esterno di C_{A}). Fissata una tale A_{0} si considerino tutte le A per le quali l’interno Ω di s_{A_{0}} è invariante; queste corrispondono circonferenze ortogonali a quella definita da A_{0} e le s_{A} associate sono le riflessioni rispetto alle rette della geometria iperbolica di Ω. Per questa via si possono riconoscere gli enunciati della geometria iperbolica come relativi alla struttura lineare di V. Così come i quozienti di ℂ modulo un sottogruppo di traslazioni discreto Γ di rango due si può pensare come un parallelogramma i cui lati sono identificati a coppie da traslazioni che generano tale gruppo ottenendo i tori complessi di dimensione uno, nello stesso modo ogni superficie di Riemann X di genere maggiore di uno, si può rappresentare come un poligono convesso nel piano iperbolico, i cui lati siano identificati a coppie da traslazioni iperboliche che generano un sottogruppo Γ discreto e senza punti fissi isomorfo al gruppo fondamentale di X (vedi ad es. Siegel ”Topics in complex function theory).

Appendice 6: topologie su spazi di funzioni olomorfe

Sia X una superficie di Riemann. Indichiamo con C^{0}(X) lo spzio delle funzioni continue f : X → ℂ e con H(X) il sottospazio di quelle che sono olomorfe. Introduciamo su C^{0}(X) una topologia detta della convergenza uniforme sui compatti che lo rende spazio vettoriale topologico del tipo ”Frechet” che è una sorta di ”quasi” di Banach. Precisamente uno spazio di Frechet è uno spazio vettoriale topologico V la cui topologia possa essere introdotta così : esiste una famiglia numerabile di seminorme (|| ||_{n})_{n∈ℕ} (ossia aventi tutte le proprietà di una norma, salvo il fatto che possono essere nulle su un sottospazio vettoriale non nullo) tali che per v ∈ V se ||v||_{n} = 0 per ogni n ∈ ℕ allora x = 0. Ad ogni tale seminorma || ||_{n} è associata la ”pseudodistanza” d_{n}(u, v) = ||u − v||_{n} che può essere normalizzata ponendo δ_{n} = d_{n}/(1 + d_{n}) (essa è ancora una pseudodistanza che definisce in X la stessa topologia di d_{n} ed anche le stesse successioni di Cauchy); Si introduce quindi su V una distanza ponendo:

d(u, v) = ∑_{n∈ℕ} 2^{−n}δ_{n}(u, v)

Con tale distanza V diviene uno spazio vettoriale topologico (ossia le operazioni di somma e prodotto per gli scalari sono continue); in tale topologia, una successione (v_{i})_{i∈I} converge v se e solo se per ogni n ∈ ℕ si ha lim_{i∈I} ||v_{i} −v||_{n} = 0. Se V è completo rispetto a tale d, esso è detto uno spazio di Frechet.

Osserviamo che come spesso per gli spazi di Banach nessuna specifica norma ma solo la topologia da essa indotta è ritenuta rilevante, lo stesso accade per gli spazi di Frechet.

Nel caso di C^{0}(X) le seminorme possono prendersi così : per K ⊂ X compatto poniamo ||f||_{K} = sup_{x∈K}|f(x)|; basterà allora scegliere una famiglia numerabile di compatti K di X le cui parte interne ricoprano X.

Proposizione 37 H(X) è chiuso in C^{0}(X) ed è quindi uno spazio di Frechet

Dim. Come famiglia di compatti di X si possono prendere dischi chiusi D in carte locali per X; se le f_{n} sono funziono olomorfe su X convergenti uniformemente ad una f continua, esse sono rappresentabili in D mediante la formula di Cauchy (sul bordo di un disco un pò più grande): ne segue che anche f è rappresentabile in tal modo ed è quindi olomorfa.

Nello spazio H(X) vale la seguente caratterizzazione dei sottoinsiemi compatti, che formuliamo in modo analogo a quella valida per gli spazi euclidei ℝ^{n}. Diremo che un sottoinsieme L di uno spazio vettoriale topologico V è limitato se per ogni intorno U di 0 in V esiste un numero reale positivo r tale che L ⊂ rU.

Proposizione 38 Un sottoinsieme L ⊂ H(X) è compatto se e solo se è chiuso e limitato

Dim. E’ ovvio che ogni compatto deve essere chiuso e limitato. Dimostriamo l’altra implicazione. L’ipotesi che L è limitato equivale alla seguente: per ogni compatto K ⊂ X esiste M ∈ ℝ tale che |f(x)| ≤ M per ogni f ∈ L ed x ∈ K (la famiglia L è ”equilimitata” su K). Sia (f_{n}) una successione di elementi di L; dobbiamo mostrare che essa ha una sottosuccessione convergente uniformemente su ogni compatto K di X. Sia E un sottoinsieme numerabile e denso in X; per ogni z ∈ E ogni successione in L, ha una sottosuccessione convergente in esso: per il procedimento diagonale possiamo supporre quindi che la successione data converga in ogni punto di E. Mostreremo adesso che essa è allora una successione di Cauchy su ogni compatto K di X. Sarà sufficiente esaminare il caso che K sia un disco chiuso contenuto in una carta su X; sia D un altro disco chiuso in tale carta contenente D′ al suo interno. Asserzione: esiste H > 0 tale che per z, z′ ∈ D′ ed f ∈ L si ha |f(z) − f(z′)| ≤ H|z − z′|. Infatti f è rappresentabile nei punti di D′ mediante l’integrale di Cauchy eseguito sul bordo di D; la maggiorazione si fa allora in termini della maggiorazione di |f| su tale bordo e del quadrato della distanza di D′ da tale bordo.

Dato ϵ > 0 siano δ > 0 tale che δH < ϵ/3 ed E′ ⊂ E finito tale che ogni punto di D′ disti da E′ meno di δ. Esiste n_{0} intero tale che per z′ ∈ E′ ed n, m ≥ n_{0} sia |f_{n}(z′) − f_{m}(z′)| < ϵ/3. Per z ∈ D′, scelto z′ ∈ E′ con |z − z′| < δ si ha che per n, m ≥ n_{0}:

|f_{n}(z) − f_{m}(z)| ≤ |f_{n}(z) − f_{n}(z′)| + |f_{n}(z′) − f_{m}(z′)| + |f_{m}(z′) − f_{m}(z)| < ϵ

Se Ω ⊂ ℂ è un aperto indichiamo con L^{2}(Ω) il sottospazio di H(Ω) costituito dalle funzioni f per cui ||f||_{Ω}^{2} = ∫_{Ω} |f|^{2} dxdy è finito. Per f, g ∈ L^{2}(Ω) poniamo < f, g >= ∫_{Ω} fḡ dxdy.

Lemma 39 Sia K ⊂ K un compatto e sia d > 0 tale che per z ∈ K ogni z′ ∈ ℂ con |z − z′| < d appartiene ad Ω. Per ogni f ∈ L^{2}(Ω) si ha:

sup_{K}|f|^{2} ≤ \frac{1}{πd^{2}} ||f||_{Ω}^{2}

Dim. Se z_{0} ∈ K allora il disco D di centro z_{0} e raggio d è contenuto in Ω. Per semplicità di notazione supponiamo z_{0} = 0. Per z ∈ D si ha f(z) = ∑_{n≤0} a_{n}z^{n} e tale serie è uniformemente convergente su D per cui si ha:

∫_{D} ff̄dxdy = ∑_{n,m} a_{n}ā_{m}z^{n}z̄^{m} dxdy

osservato che è ∫_{D} z^{n}z̄^{m} dxdy = 0 se n ≠ m si ottiene :

||f||_{Ω}^{2} ≥ ∫_{D} ff̄ dxdy = ∑_{n≥0} ∫_{D} |a_{n}|^{2}|z|^{2n} dxdy ≥

∫_{D} |a_{0}|^{2}dxdy = πd^{2}|a_{0}|^{2} = πd^{2}|(0)|^{2}

Come corollario otteniamo:

Proposizione 40 Per Ω ⊂ ℂ aperto lo spazio L^{2}(Ω) è uno spazio di Hilbert per il prodotto scalare sopra definito. Inoltre l’inclusione di L^{2}(Ω) in H(Ω) è continua e compatta (ossia trasforma insiemi limitati in insiemi relativamente compatti

Sommazione di serie

Sia f : X → ℂ una funzione. Per Δ ⊂ X finito, ∑_{Δ} f è definito come la somma degli f(x) per x ∈ Δ. Diremo che f è sommabile su X se esiste L ∈ ℂ tale che per ogni ϵ > 0 esiste Δ_{0} ⊂ X finito tale che per ogni sottoinsieme finito Δ_{0} ⊂ Δ ⊂ X si abbia | ∑_{Δ} f − L| < ϵ. Tale L, che ovviamente è univocamente determinato nel caso che esista, verrà detto somma di f su X e scriveremo ∑_{X} f = L.

Esercizio f : X → ℂ è sommabile su X se e solo se |f| lo è. Questo enunciato è più facilmente dimostrabile per funzioni a valori reali. Rimane comunque valido per funzioni a valori in ℝ^{n} ma è falso se i valori sono presi in uno spazio di Hilbert di dimensione infinita. Infatti ad esempio se (e_{n})_{n∈ℕ} è un sistema ortonormale in uno spazio di Hilbert, la serie ∑_{1}^{n}(e_{n}/n) è convergente nel senso sopra definito ma non è assolutamente convergente.

In modo analogo a quello seguito nel caso delle successioni reali si dimostra che una f : X → ℂ è sommabile se e solo se è di Cauchy nel senso seguente: per ogni ϵ > 0 esiste Δ_{0} ⊂ X finito tale che per ogni sottoinsieme finito Δ di X con Δ ∩ Δ_{0} = ∅ si abbia | ∑_{Δ} f| < ϵ.

Proposizione 41 Siano f : X → ℂ sommabile e (X_{i})_{i∈I} una partizione di X. Allora per ogni i ∈ I la funzione f|_{X_{i}} è sommabile su X_{i} e detta L_{i} la sua somma la funzione i → L_{i} è sommabile su I e si ha ∑_{X} f = ∑_{I} L_{i}.

La dimostrazione, del tutto ovvia come quella della proposizione che segue, è lasciata per esercizio.

Proposizione 42 Siano f : X → ℂ e g : Y → ℂ sommabili. Allora:

X × Y ∋ (x, y) ↦ f(x)g(y) ∈ ℂ

è una funzione sommabile che sarà indicata con f × g. Si ha inoltre:

∑_{X×Y} (f × g) = (∑_{X} f)(∑_{Y} g)

Nel caso di serie di funzioni, ossia se si ha una applicazione f : X × T → ℂ ove t ∈ T è considerato come parametro, si introduce in modo evidente la nozione di sommabilità uniforme. Un caso speciale in cui ciò avviene è il caso in cui esiste una funzione sommabile g : I → [0, +∞[ che maggiora la f nel senso che |f(x, t)| ≤ g(x) per ogni x ∈ X e t ∈ T; diremo in tal caso che f (o la serie ∑_{i∈I} f(i)) è totalmente sommabile. Il caso delle serie di potenze rientra in questo schema: si prende X = ℕ^{n} e, utilizzando notazioni multiindice, si fissa una costante a_{I} ∈ ℂ per ogni I ∈ ℕ^{n}. Per ogni z ∈ ℂ^{n} si ha una funzione ℕ^{n} ∋ I → a_{I}z^{I} ∈ ℂ: l’insieme degli z ∈ ℂ per i quali essa è sommabile sarà detto l’insieme di convergenza della serie ∑_{I∈ℕ^{n}} a_{I}Z^{I} e la parte interna di questo il dominio di convergenza della serie.

Indicheremo con ℂ[[Z_{1}, …, Z_{n}]] l’anello delle serie formali ∑_{I∈ℕ^{n}} a_{I}Z^{I} e con ℂ{Z_{1}, …, Z_{n}} il sottoanello costituito dalle serie con dominio di convergenza non vuoto (quanto precede mostra che si tratta effettivamente di un sottoanello). Per \underline{z} ∈ ℂ^{n} ed r = (r_{1}, …, r_{n}) ∈]0, +∞[^{n} il policilindro di centro \underline{z} e raggio r è l’insieme P (\underline{z}; r) = \{z ∈ ℂ^{n} : |z_{i} − \underline{z}_{i}| < r_{i} per i = 1, …, n\}. La sua chiusura è chiamata policilindro chiuso ed indicata con P̄(\underline{z}; r).

Lemma 43 Se la serie di potenze ∑ a_{I}Z^{I} è sommabile per z = (z_{1}, …, z_{n}), allora essa è totalmente sommabile sul policilindro P̄(0, r) ove r = (|z_{1}|, …, |z_{n}|). In particolare (vedi gli usuali teoremi di analisi) la sua somma è una funzione continua su tale policilindro.

Corollario 44 Il dominio di convergenza di una serie di potenze su ℂ^{n} è una unione di policilindri.

Nel caso n = 1 il dominio di convergenza è un disco (eventualmente di raggio nullo o infinito) perché in tal caso i policilindri (=dischi) sono totalmente ordinati dall’inclusione. Per n ≥ 2 ciò non è più vero. Comunque il dominio di convergenza non può essere una arbitraria unione di policilindri. Esso deve infatti possedere la seguente importante proprietà: Def: diremo che un aperto Ω ⊂ ℂ^{n} è logaritmicamente convesso se risulta convesso in ℝ^{n} l’insieme costituito dalle n−uple (log |z_{1}|, ..., log |z_{n}|) per (z_{1}, ..., z_{n}) che appartiene ad Ω ed ha tutte le componenti non nulle.

Proposizione 45 Il dominio di convergenza di una serie di potenze è un aperto logaritmicamente convesso

Dim. Sia ∑ a_{I}z^{I} ∈ ℂ{z_{1}, ..., z_{n}} convergente nei punti z, w ∈ ℂ^{n}. Allora le quantità a_{I}z^{I} , a_{J}w^{J} per I, J ∈ ℕ^{n} sono limitate da una costante M ∈ ℝ^{+}. Per 0 ≤ λ ≤ 1 maggioriamo i termini della data serie nel punto t = z^{λ}w^{1−λ}:

|a_{I}t^{λ}| = |a_{I}^{λ}z^{λ}| · |a_{I}^{1−λ}w^{1−λ}| ≤ M^{λ} · M^{1−λ} = M

La dimostrazione è allora conclusa dal seguente:

Lemma 46 Il dominio di convergenza di una serie di potenze ∑ a_{I}z^{I} è la parte interna dell’insieme degli z ∈ ℂ^{n} per cui {a_{I}z^{I} : I ∈ ℕ^{n}} è limitato

Dim. Utilizzando la convergenza della serie geometrica, come per una variabile, si verifica che se gli a_{I}z^{I} sono equilimitati, la serie converge assolutamente in ogni z̄ ∈ ℂ^{n} tale che |z̄_{i}| < |z_{i}| per i = 1, ..., n.

Nota. Senza fare ricorso all’integrale di Cauchy, si possono ottenere molti risultati sulle funzioni analitiche operando come segue, ove del corpo complesso utilzziamo solo che è un corpo valutato completo. Ad esempio mostriamo che la funzione somma di una serie di potenze è analitica sul suo dominio di convergenza D nel senso che essa è sviluppabile in serie di potenze all’intorno di ogni z ∈ D. Sia r il vettore avente per componenti i valori assoluti delle componenti di z; per quanto visto, r è interno al dominio di convergenza della serie ∑ |a_{I}|z^{I} e quindi esiste h ∈ ℂ^{n} a componenti tutte positive tali che z + h ∈ D. La convergenza della serie ∑ |a_{I}|(r + h)^{I} equivale alla convergenza della serie ottenuta sviluppando con la formula binomiale tutti i monomi e raggruppando quindi i termini in modo da ottenere una serie di potanze nelle componenti di h per quanto visto precedentemente e perché si tratta di serie a termini positivi. Si ottengono così maggiorazioni che mostrano la convergenza delle serie che esprimono i coefficienti della serie ottenuta da ∑ a_{I}(z + z′)^{I} come serie di potenze nelle componenti di z′ ed anche che questa ha dominio di convergenza non vuoto. Nello stesso modo si dimostra data una serie di potenze con dominio di convergenza non nullo, le serie da questa ottenute per derivazione formale, non solo convergono in tale dominio ma forniscono anche i limiti dei rapporti incrementali corrispondenti. Questi ed analoghi risultati saranno comunque ottenuti nel seguito utilizzando la formula integrale di Cauchy.