Introduzione Nel seguito le parti intitolate ”Commenti” non fanno parte del programma di esame come pure gli esercizi preceduti da (♯): di solito indicano possibili estenzioni della teoria, in ogni caso da essere ignorati in una prima lettura. Gli esercizi preceduti da (†) sono concettualmente un pò più difficili di quelli privi di indicazioni speciali: entrambi indicano tipi di questioni che possono essere chieste durante l’esame appunto come esercizi, ossia senza presupporne una risposta immediata, ma solo una ”assistita” dagli esaminatori. Ogni spazio topologico sarà supposto di Hausdorff. Altre restrizioni saranno indicate in seguito.

Nota. Indico tre difficoltà che possono essere incontrate nel leggere queste note. La prima è che non si deve solo seguire una esposizione di calcoli, ma anche un modo astratto di ragionare, concettualizzando non solo uno spazio topologico ”generico” , ossia ”qualunque esso sia” ma anche il ”mondo complessivo” di ”tutti” gli spazi topologici e le relazioni tra essi stabilite dalle applicazioni continue; la costruzione del gruppo fondamentale deve poi essere vista come una rappresentazione semplificata di tale ”mondo” in quello ”più semplice” dei gruppi. La seconda è che le dimostrazioni sono esposte spesso con notazioni formali complicate a seguirsi piuttosto che con argomentazioni che fanno appello a un intuito di tipo geometrico. Una delle tante giustificazioni di questo modo di procedere è anche quella che se un giorno uno dovrà compilare un programma per un calcolatore, sarà bene che abbia l’abitudine a formalizzare correttamente i suoi discorsi mettendo tutti gli indici necessari ed al punto giusto. La terza, che molti di voi spero sapranno constatare, è che vi sono sicuramente in queste note molti errori di formalizzazione (chi le scrive sarebbe un pessimo programmatore): nel mettere lettere con indici ma anche nel non riuscire sempre a trovare il percorso minimo dimostrativo.

Sia X uno spazio topologico ed A un suo sottoinsieme. Una retrazione di X in A è una applicazione continua r : X → A tale che r(a) = a per ogni a ∈ A. Se una tale r esiste, diremo che A è retratto di X. Esempi:

1. S^{n−1} = {x ∈ ℝ^{n} : ||x|| = 1} è un retratto di ℝ^{n} − {0}

2. se X è connesso ed A è finito, A è retratto di X se e solo se ha un solo punto Riformuleremo ora la nozione di retrazione in una forma che può sem-

brare artificiosa ma che dovrebbe divenire naturale dopo le considerazioni che seguiranno: siano j : A → X la mappa di inclusione e 1_{A} la mappa identità di A in se; allora r : A → X è una retrazione se e solo se r ∘ j = 1_{A}, ossia se e solo se r è una ”inversa sinistra di j ”. Questo modo algebrico di esprimersi è utile per il seguente motivo: supponiamo di aver fissato un modo per associare ad ogni spazio topologico X un gruppo G(X) ed ad ogni applicazione continua f : X → Y tra spazi topologici un omomorfismo G(f) : G(X) → G(Y) di modo che siano soddisfatte le sequenti proprietà:

- se f : X → Y e g : Y → Z sono continue, allora G(g ∘ f) = G(g) ∘ G(f)

- se 1_{X} : X → X è l’ identità su X, allora G(1_{X}) = 1_{G(X)} =identità su G(X) In linguaggio tecnico si dice che G è un funtore dalla categoria degli spazi topologici in quella dei gruppi. Ad ogni problema sulla composizione tra applicazioni continue tra spazi topologici, ne viene associato quindi uno tra omomorfismi di gruppi. Ciò dovrebbe essere visto come un analogo del metodo di passare da un problema tra gli interi ad uno tra le congruenze modulo un intero p fissato, che permette talvolta di sapere che una equazione tra interi non ha soluzioni, perché una sua riduzione alle congruenze (mod p) per qualche intero p non ne ha. Così per dimostrare che non esiste una retrazione di uno spazio X su un suo sottospazio A, sarà sufficiente mostrare che esiste un qualche funtore G come sopra indicato, tale che l’omomorfismo G(j) : G(A) → G(X) non ha inverse sinistre; come accade se G(A) è troppo grande rispetto a G(X), ad esempio se G(X) è il gruppo banale mentre G(A) non lo è. Spesso accadrà come per il passaggio alle congruenze, che il problema trasformato dalle applicazioni continue agli omomorfismi tra gruppi è più facile dell’originario. E talvolta, in casi fortunati, che la risolubilità per un certo numero di tali ”riduzioni semplificate” assicura la risolubilità del problema di partenza, come accade in certe questioni di aritmetica ed anche in certe questioni topologiche che tratteremo nel seguito.

Vediamo perché può essere interessante sapere che un certo spazio X non si retrae su un suo sottospazio A:

Proposizione 1 Sia n un intero positivo tale che S^{n−1} non è retratto del disco D^{n} = {x ∈ ℝ^{n} : ||x|| ≤ 1}. Allora ogni applicazione continua ϕ : D^{n} → D^{n} ha almeno un punto fisso (esiste cioè qualche x ∈ D^{n} per cui ϕ(x) = x)

Dim. Per assurdo: supponiamo che si ϕ(x) ≠ x per ogni x ∈ D^{n}. Definiamo r : D^{n} → S^{n−1} come l’applicazione che ad x ∈ D^{n} associa l’intersezione r(x) tra S^{n−1} e la semiretta aperta di origine ϕ(x) che passa per x. E’ facile verificare che r è ben definita, è continua e che fissa ogni punto di S^{n−1}; essa è quindi una retrazione il ché contraddice l’ipotesi.

Oss. Per ogni intero positivo n il disco D^{n} non si retrae su S^{n−1}, ossia l’ipotesi nella proposizione precedente è sempre verificata; Ciò può essere dimostrato costruendo un funtore a valori nei gruppi che vale zero su D^{n} ed è non nullo su S^{n−1}. Il caso n = 1 che è una semplice applicazione della connesione di D^{1}, verrà trattato ora in modo più elaborato, così da fornire un esempio semplice del modo in cui si ragiona in termini di categorie.

Componenti connesse Uno spazio topologico X è detto sconnesso se è divisibile in due parti disgiunte che siano aperte e non vuote; è detto connesso se è non vuoto e non sconnesso. Un sottoinsieme A di X è detto connesso se è connesso quando dotato della topologia indotta da X; in particolare dovrà essere non vuoto. I fatti seguenti dovrebbero essere già stati stabiliti nella teoria introduttiva sugli spazi topologici e nel seguito saranno supposti noti:

- un sottoinsieme di ℝ è connesso se e solo se è convesso (ossia è un intervallo)

- se f : X → Y è continua, per ogni connesso A ⊂ X l’insieme f(A) è connesso in Y

- se A, B sono connessi in X ed è A ∩ B ≠ ∅ allora A ∪ B è connesso in X

- se A è connesso in X anche la sua chiusura Ā lo è Siano x, y punti di uno spazio topologico X; scriveremo x ∼ y per indicare

che esiste un connesso A ⊂ X tale che x, y ∈ A. Questa è una relazione di equivalenza su X: indicheremo con c(x) la classe di equivalenza di un x ∈ X e con C(X) l’insieme quoziente X/ ∼. E’ facile dimostrare che per x ∈ X l’insieme c(x) è il più grande connesso di X che contiene x: esso è detto la componente connessa di x in X. Sia f : X → Y continua tra spazi topologici; essa induce una applicazione f_{∗} : C(X) → C(Y) (che sarà anche indicata con c(f)) definita ponendo per x ∈ X:

f_{∗}(c(x)) = c(f(x))

Si controlli per esercizio che tale definizione è ben posta (si deve mostrare che se x ∼ x′ in X allora f(x) ∼ f(x′) in Y). Abbiamo così associato ad ogni spazio topologico X un insieme C(X) ed ad ogni applicazione continua tra spazi topologici f : X → Y una applicazione f_{∗} : C(X) → C(Y). Si controlli la verità delle seguenti affermazioni:

- se f è l’identità su X allora f_{∗} è l’identità su C(X)

- se f : X → Y e g : Y → Z sono continue, allora (g ∘ f)_{∗} = g_{∗} ∘ f_{∗} Tutto ciò esprime il fatto che si è costruito un funtore dalla categoria degli spazi topologici nella categoria degli insiemi. Esercizi.

1. Se A è retratto di uno spazio topologico X allora C(A) ha cardinalità minore od eguale a quella di X.

2. Se X è aperto in ℝ^{n}, allora c(x) è aperto per ogni x ∈ X.

3. Se X è aperto in ℝ^{n} allora C(X) è al più numerabile (si utilizzi il fatto che ℝ^{n} è separabile ossia contiene un sottoinsieme numerabile la cui chiusura è tutto lo spazio).

4. (♯) Se A ⊂ X è un retratto di un qualche suo intorno, allora la topologia di C(A), quoziente di quella di A, è quella discreta.

Componenti connesse per archi Nel passare da spazi topologici a componenti connesse si ha una semplificazione notevole, in certi casi eccessiva. Per come la abbiamo usata è come il passaggio dagli interi agli interi (mod 3) ossia la ”riprova” del 3 : se un calcolo tra interi è risulta corretto quando ridotto (mod 3) non è detto che sia giusto. Per un controllo più accurato si può provare con la ”riprova” del 9. Faremo adesso una cosa analoga costruendo un ”funtore” più fine di quello delle componenti connesse considerato sopra.

Un arco o cammino continuo in uno spazio topologico X è una applicazione continua α : [0, 1] → X; il punto a = α(0) è detto l’origine o punto iniziale di α e b = α(1) il suo punto di arrivo od anche punto finale. Useremo anche altre espressioni come ”α va da a a b o ”parte da a ed arriva in b”. Se α, β sono cammini continui in X essi sono detti componibili se α(0) = β(1); in tal caso è definito il loro prodotto α ∗ β come il laccio che per t ∈ [0, 1/2] vale β(2t) e per t ∈ [1/2, 1] vale α(2t − 1). Attenzione che in molti testi tale prodotto viene indicato con β ∗ α. Se x, y sono punti di uno spazio topologicoX, scriveremo x ≈ y per indicare che esiste un arco da x ad y. Questa è una relazione di equivalenza su X ed indicheremo con c̄(x) la classe di equivalenza di un x ∈ X che sarà detta la componente connessa per archi di x; con C̄(X) indicheremo lo spazio quoziente X/ ≈. Uno spazio è connesso per archi se è non vuoto e se x ≈ y per ogni x, y ∈ X; un sottoinsieme di X è connesso per archi se tale è quando dotato della topologia indotta da X.

Esercizi.

1. Se X è un aperto in ℝ^{n} le relazioni ∼ e ≈ coincidono; ossia le sue componenti connesse sono anche le sue componenti connesse per archi.

2. Se A, B sono connessi per archi in X ed è A ∩ B ≠ ∅ allora anche A ∪ B è connesso per archi.

3. c̄(x) è il più grande connesso per archi di X che contiene x

4. Se f : X → Y è continua ed A è connesso per archi in X allora f(A) è connesso per archi in Y.

5. Siano A ⊂ X e B ⊂ X sottoinsiemi propri e T = X × Y − A × B. Si dimostri che T è connesso se e solo se X, Y lo sono. Analoga asserzione per la connessione per archi. 6.(†) Sia A il grafico in ℝ^{2} della funzione ]0, +∞[∋ t ↦ sin(1/t) ∈ ℝ e S la sua chiusura in ℝ^{2}. Si dimostri che:

- S = A ∪ B ove B è il segmento di estremi (0, −1) e (0, 1)

- A e B sono le componenti connesse per archi di S Quindi S è connesso ma non connesso per archi.

Se f : X → Y è continua, definiamo f_{∗} : C̄(X) → C̄(Y) l’applicazione definita da f_{∗}(c̄(x) = c̄(f(x)) (essa sarà anche indicata con c̄(f)); si dimostri che questa è una buona definizione e che in tal modo si ha un funtore dalla categoria degli spazi topologici in quella degli insiemi; essa è strettamente più fine di quella delle componenti connesse introdotta avanti.

Esercizi.

7. L’insieme S del precedente esercizio 6. non possiede intorni di cui sia un retratto. 8.(†) Sia A ⊂ ℝ^{n} un retratto di un suo intorno. Allora ogni a ∈ A ha un sistema fondamentale di intorni connessi per archi.

9. (♯) Sia T = {t ∈ S : t ≤ 1} ove S è ancora come in 6. Si dimostri che ogni applicazione continua f : T → T ha almeno un punto fisso.

Omotopia. La nozione di omotopia che ora introdurremo permetterrà di costruire diversi funtori interessanti su categorie di spazi topologici. Siano X, Y, T spazi topologici. Supponiamo che per ogni t ∈ T sia data una applicazione continua f_{t} : X → Y; diremo che la famiglia (f_{t})_{t∈T} dipende con continuità da t ∈ T (o semplicemente che è una famiglia continua) se l’applicazione:

X × T ∋ (x, t) ↦ f_{t}(x) ∈ Y

è continua. Due applicazioni continue f, f′ : X → Y saranno dette omotope se esiste una famiglia continua (f_{t})_{t∈[0,1]} tale che f_{0} = f e f_{1} = f′; in tal caso scriveremo f ∼ f′. E’ facile dimostrare che ciò definisce una relazione di equivalenza sull’insieme C(X, Y) delle applicazioni continue di X in Y; il quoziente associato sarà indicato con [X, Y] e sarà detto insieme delle classi di omotopia di applicazioni di X in Y. Questa nozione può essere generalizzata in vari modi. Ad esempio chiamiamo coppia di spazi topologici una coppia (X, A) ove X è uno spazio topologico ed A un suo fissato sottoinsieme; una applicazione continua f : X → Y per la quale f(A) ⊂ B sarà detta una applicazione continua di (X, A) in (Y, B). Due tali f_{0}, f_{1} : (X, A) → (Y, B) saranno dette omotope se appartengono ad una famiglia continua (f_{t})_{t∈[0,1]}. Otteniamo una relazione di equivalenza sull’insieme delle applicazioni continue di (X, A) in (Y, B) il cui quoziente verrà indicato con [(X, A), (Y, B)]. Ora ogni applicazione continua f : (X, A) → (Y, B) induce per restrizione una applicazione continua r(f) : A → B ed è ovvio che se f è omotopa ad una g allora r(f) è omotopa a r(g); si ottiene così una applicazione ”naturale” di restrizione r : [(X, A), (Y, B)] → [A, B] che può essere utilizzata come prima abbiamo fatto con la connessione per semplificare problemi di esistenza di applicazioni continue.

Esaminiamo il caso in cui A = {a} e B = {b} sono costituiti da un solo punto: si studiano cioè applicazioni continue f : X → Y per le quali f(a) = b; diremo che (X, a) è lo spazio X con punto base a. Ad esempio sulla sfera S^{n} = {x = (x_{0}, ..., x_{n}) ∈ ℝ^{n+1} : ||x||^{2} = 1} sarà di norma fissato come punto base il punto ∗ = (1, 0, ..., 0). L’insieme [(S^{n}, ∗), (Y, b)] viene detto omotopia di grado n dello spazio Y con punto base b e verrà indicato con π_{n}(Y, b). La connessione per archi considerata sopra dà sostanzialmente π_{0}(Y, b); nel prossimo paragrafo vedremo che π_{1}(Y, b) ha una struttura naturale di gruppo.

Gruppo fondamentale Due cammini α_{0}, α_{1} da a a b in uno spazio X sono detti omotopi con estremi fissi se esiste una famiglia continua (α_{t})_{t∈[0,1]} di cammini in X da a a b di cui fanno parte; scriveremo in tal caso α_{0} ∼ α_{1}. Un laccio in X è un cammino continuo in X in cui l’origine e l’arrivo coincidono. Se x ∈ X è un punto base fissato, indicheremo con Ω_{1}(X, x) lo spazio dei lacci di X che partono da (ed arrivano in) x. In particolare due elementi di Ω_{1}(X, x) sono sempre moltiplicabili e quindi si ha su esso una legge di composizione interna. Esercizi.

1. Il prodotto tra cammini continui è compatibile con l’omotopia; ossia se α e β sono componibili, α ∼ α′ e β ∼ β′ allora α′ e β′ sono componibili ed è β ∗ α = β′ ∗ α′; l’operazione passa quindi al quoziente.

2. La moltiplicazione in Ω_{1}(X, x) non è in generale associativa né possiede un elemento identità; sul quoziente essa diviene associativa, possiede elemento identità (sinistro e destro) ed ogni elemento possiede un inverso: si ottiene quindi una struttura di gruppo sulle classi di omotopia di lacci in X che partono da x.

3. Fissiamo la ”parametrizzazione” [0, 1] ∋ t ↦ (cos(2πt), sin(2πt)) ∈ S^{1}. La composizione con essa stabilisce una corrispondenza biunivoca tra l’insieme delle applicazioni continue di (S^{1}, ∗) in (X, x) ed Ω_{1}(X, x); essa identifica inoltre le due nozioni di omotopia esistenti su tale insiemi e porta quindi ad una identificazione tra π_{1}(X, x) definito nel precedente paragrafo col gruppo delle classi di omotopia di lacci in X che partono da x che abbiamo definito ora.

4. Sia f : (X, x) → (Y, y) continua; ogni elemento di Ω_{1}(X, x) composto con f dà un elemento di Ω_{1}(Y, y) e tale applicazione è compatibile con le relazioni di omotopia definite tra tali insiemi. Si ottiene così una applicazione f_{∗} : π_{1}(X, x) → π_{1}(Y, y) che è chiaramente un omomorfismo di gruppi, perché la moltiplicazione è già un ”omomorfismo” a livello degli Ω_{1}; essa sarà indicata eventualmente con π_{1}(f). Così π_{1}( ) è un funtore dalla categoria degli spazi con punto base in quella dei gruppi.

5.(♯) Fissiamo la parametrizzazione:

D^{n} ∋ x ↦ (− cos(π||x||), \frac{sin(π||x||)}{||x||} · x) ∈ S^{n}

la cui continuità segue da quella della funzione reale sin(t)/t (anzi si può verificare che essa è analitica reale, ossia con componenti sviluppabili in serie di potenze convergenti). Essa applica S^{n−1} ⊂ D^{n} nel punto base ∗ ∈ S^{n} ed induce un omeomorfismo tra D^{n} − S^{n−1} ed S^{n} − {∗}; per ogni spazio con punto base (X, x) la composizione con essa stabilisce una corrispondenza biunivoca tra le applicazioni continue di (S^{n}, ∗) in (X, x) con quelle di (D^{n}, S^{n−1}) in (X, x) e tale corrispondenza identifica le due nozioni di omotopia esistenti su tali insiemi: si è così stabilita una bijezione tra π_{n}(X, x) e [(D^{n}, S^{n−1}), (X, x)]. 6.(♯) Sia I^{n} = [0, 1]^{n} e İ^{n} la sua frontiera topologica in ℝ^{n}. Si mostri che la coppia (I^{n}, İ^{n}) è omeomorfa alla coppia (D^{n}, S^{n−1}) (nella definizione di I^{n} e İ^{n} sostituire prima [0, 1] con [−1, 1]; si mostri poi che se I è un compatto convesso in ℝ^{n} contenente all’interno l’origine, l’applicazione x ↦ x/||x|| dà un omeomorfismo tra la frontiera di I ed S^{n−1}. Si prolunghi quindi radialmente tale omeomorfismo ad uno tra I e D^{n}). 7.(♯) Introduciamo una struttura di gruppo su π_{n}(X, x) per n ≥ 2 utilizzando la sua identificazione con [(I^{n}, İ^{n}), (X, x)] operando nello stesso modo fatto per n = 1: se α, β : I^{n} → X sono continue ed applicano İ^{n} in {x}, per t = (t_{1}, ..., t_{n}) ∈ I^{n} si definisca α ∗ β(t) come β(2t_{1}, t_{2}, ..., t_{n}) se 0 ≤ t_{1} ≤ 1/2 e come α(2t_{1} − 1, t_{2}, ..., t_{n}) se 1/2 ≤ t_{1} ≤ 1. Che tale legge di composizione sia ben definita (cioè dipende solo dalle classi di omotopia di α, β) e che sia una struttura di gruppo si dimostra esattamente come nel caso n = 1. Che per n ≥ 2 tale gruppo sia commutativo è intuitivamente dimostrabile ”concentrando” prima α, β all’interno di piccoli cubi del loro dominio, e scambiandoli poi tra loro con una omotopia.

8. Si mostri che se f, g : (X, x) → (Y, y) sono omotope (siamo nella categoria degli spazi con punto base: ogni applicazione, nella omotopia che contiene f, g deve applicare x in y) allora f_{∗} = g_{∗} : π_{1}(X, x) → π_{1}(Y, y).

Il gruppo π_{1}(X, x) è detto gruppo fondamentale di X con punto base x; diremo che (X, x) è semplicemente connesso se è connesso per archi ed ha gruppo fondamentale banale. Uno spazio è detto contrattile se l’identità i : X → X è omotopa ad una applicazione costante, ossia ad una c : X → X la cui immagine è un punto. Ciò equivale al fatto che [X, X] ha cardinalità uno. Se ciò accade allora per ogni spazio Y, anche l’insieme [Y, X] avrà cardinalità uno.

9. Mostrare che se X è contrattile allora qualunque sia il punto base scelto esso è semplicemente connesso. (attenzione: ciò non è completamente ovvio perché nella contrazione il punto base può variare). 10.(†) Siano j : A → X l’inclusione del sottospazio A dello spazio topologico X ed a ∈ A un punto base. Sia r : X → A una retrazione ed indichiamo con K il nucleo di r_{∗} : π_{1}(X, a) → π_{1}(A, a). Si dimostri che j_{∗} identifica π_{1}(A, a) con un sottogruppo H di π_{1}(X, a) (ossia che j_{∗} è iniettiva) e che ogni elemento di π_{1}(X, x) ha una ed una sola scrittura come prodotto di un elemento di H per uno di K (ossia che l’applicazione H × K ∋ (h, k) ↦ h · k ∈ π_{1}(X, a) è biunivoca). Vedremo nel seguito che in generale l’operazione in π_{1}(X, a) non è quella esistente sul prodotto di gruppi H × K, ma che può essere ”torta”, o come diremo più avanti, un prodotto semidiretto non banale di quelli su H e K.

11. Si dimostri che il gruppo fondamentale di X × Y con punto base (x, y) è la somma diretta di π_{1}(X, x) e π_{1}(Y, y)

Commenti. Consideriamo la classe (o categoria) degli spazi con punto base. Per n intero naturale abbiamo scelto come punto base della sfera S^{n} = {x ∈ ℝ^{n+1} : ||x|| = 1} il punto ∗ = (1, 0, ..., 0). Per ogni (X, x) in tale classe π_{n}(X, x) indica l’insieme ([S^{n}, ∗), (X, x)]. Esso, per n ≥ 1, possiede una struttura naturale di gruppo e tale struttura è commutativa per n ≥ 2; esso viene quindi detto n−esimo gruppo di omotopia di (X, x) od anche di X con punto base x. Per n = 0 esso non possiede in generale alcuna struttura di gruppo; ma è facile identificarlo all’ insieme delle componenti connesse per archi di X, di cui una, quella contenente il punto base x può essere ritenuta speciale. La struttura di gruppo su π_{n}(X, x) è stata definita per n = 1 e dà il gruppo fondamentale di X con punto base x; negli esercizi è stato indicato come estendere tale definizione per n > 1 .

Per introdurre la struttura di gruppo su π_{n}(X, x), si può evitare l’uso dei cubi I^{n} utilizzando il fatto seguente: identificando in S^{n} un S^{n−1} equatoriale ad un punto, si ottiene uno spazio omeomorfo a due S^{n} incollati per un punto. Esiste anche una teoria ”relativa” : siano X uno spazio topologico, A un suo sottospazio ed x un punto di A. L’insieme dell classi di omotopia di applicazioni α : D^{n} → X tali che α(S^{n−1}) ⊂ A ed α(∗) = x ove ∗ è il punto base di S^{n−1}, che nello spirito delle notazioni usate avanti può essere indicato con [(D^{n}, S^{n−1}, ∗), (X, A, x)], è detto omotopia relativa della coppia (X, A) con punto base x e viene indicato con π_{n}(X, A, x). Con considerazioni analoghe a quelle fatte sopra, si introduce una struttura di gruppo su essi per n ≥ 2 e questa risulta commutativa se n ≥ 3; essi verificano poi proprietà funtoriali analoghe a quelle verificate dall’omotopia ordinaria. Per A = {x} si ha inoltre π_{n}(X, A, x) = π_{n}(X, x). Notevole è il fatto che per ogni (X, A, x) si ha una successione esatta di gruppi:

... → π_{n}(A, x) → π_{n}(X, x) → π_{n}(X, A, x) → π_{n−1}(A, x) → π_{n−1}(X, x) → ...

che termina con π_{1}(A, x) → π_{1}(X, x). Questi fatti sono tutti dimostrabili con ragionamenti di tipo elementare come quelli che riguardano il π_{1}. E’ invece spesso molto difficile il calcolo effettivo di tali gruppi; infatti anche per spazi apparentemente semplici come le sfere, non tutti i gruppi di omotopia sono stati calcolati e molti di quelli noti lo sono solo solo al prezzo di calcoli estremamente complicati. In questo corso tratteremo solo il caso n = 1.

Calcolo del π_{1} (I): prima forma del teorema di van Kampen Cosa vuol dire ”calcolare” un gruppo? In certi casi ci si può accontentare di verificare che non è il gruppo banale; oppure che è o non isomorfo a qualcuno dei gruppi di una lista di gruppi che già ”conosciamo”. Attenzione che ”conoscere” può avere diversi significati: ad esempio l’averlo individuato a meno di isomorfismi tramite alcune sue proprietà può essere uno; così ℤ è l’unico gruppo generato da un solo elemento che non sia finito. Ma conoscerlo può voler dire enumerare tutti i suoi elementi e le relazioni esistenti tra essi: listare ℤ lo si può fare solo in modo tautologico, eventualmente camuffando ciò con procedimenti logici induttivi; quanto a conoscere le relazioni tra i suoi elementi, si pensi a quante questioni sui numeri primi siano ancora da chiarire (anzi: si dimostra che ve ne sono di ”indecidibili”). Per conoscere un gruppo fondamentale noi intenderemo intanto ”individuare”, ossia stabilire che esso ha certe relazioni con oggetti ritenuti già ”individuati”, che lo caratterizzano a meno di isomorfismo. Ciò sarà fatto talvolta dandone una ”presentazione” tramite generatori e relazioni (concetti che definiremo nel seguito) ed in certi casi ”fortunati” di descrivere geometricamente tali generatori ed eventualmente anche le relazioni: non sempre ciò sarà possibile, perché l’individuazione può essere talvolta ottenuta con procedimenti non costruttivi, oppure con ”calcoli” talmente complessi che tale descrizione diverrebbe praticamente inutilizzabile. Successivamente, si possono chiedere alcune questioni su tale gruppo: ad esempio quanti elementi possiede, se è o no isomorfo a qualche altro gruppo ecc. . In certi casi, dipendendo dal problema che si stà affrontando, può essere sufficiente calcolare non tale gruppo ma qualche sua semplificazione, come ad esempio il suo abelianizzato o altri oggetti da lui dedotto in modo naturale. Questa premessa è stata fatta nel tentativo di prevenire reazioni di insoddisfazione (se non di disgusto) per la teoria che esporremo in questo paragrafo; nel bene e nel male questo è però il modo di pensare prevalente oggi.

Siano fissati omomorfismi tra gruppi σ_{1} : H → K_{1} ed σ_{2} : H → K_{2}. Diremo prodotto di K_{1} e K_{2} amalgamato su H tramite (σ_{1}, σ_{2}) il dato di un gruppo K e di omomorfismi α_{1} : K_{1} → K , α_{2} : K_{2} → K verificanti le proprietà seguenti:

1. α_{1} ∘ σ_{1} = α_{2} ∘ σ_{2}

2. per ogni gruppo G ed ogni coppia di omomorfismi β_{1} : K_{1} → G , β_{2} : K_{2} → G verificanti la relazione β_{1} ∘ σ_{1} = β_{2} ∘ σ_{2}, esiste uno ed un sol omomorfismo β : K → G tale che β_{1} = β ∘ α_{1} e β_{2} = β ∘ α_{2}. E’ facile, una volta accettato il contesto astratto in cui discutiamo, verificare che se un tale prodotto amalgamato esiste, esso è univocamentre determinato. Infatti se β_{1} : K_{1} → G e β_{2} : K_{2} → G danno un prodotto amalgamato dei dati, l’asserzione di esistenza in 2. dà un omomorfismo α : G → K ed utilizzando l’asserzione di unicità in 2. per i due ”prodotti” K e G si ottiene che α∘β e β ∘α sono entrambe l’identità sui loro domini, quindi necessariamente isomorfismi, uno l’inverso dell’altro. Tale prodotto se esiste sarà indicato con K_{1} ∗_{H} K_{2}. Che un tale prodotto esiste sempre può essere fatto con una costruzione analoga a quella con cui si costruisce il ”gruppo libero in un certo numero di lettere” (può essere trovata in testi di teoria (combinatoria) dei gruppi); noi indicheremo nel seguito un altro modo di dimostrare tale esistenza, come applicazione di teoremi sul gruppo fondamentale.

Proposizione 2 (Teorema di van Kampen) Siano X_{1}, X_{2} aperti connessi per archi di uno spazio topologico X tali che X_{1} ∪ X_{2} = X e X_{1} ∩ X_{2} sia connesso per archi. Sia inoltre ∗ un punto in X_{1} ∩ X_{2}. Allora π_{1}(X, ∗), con gli omomorfismi π_{1}(X_{1}, ∗) → π_{1}(X, ∗) e π_{1}(X_{2}, ∗) → π_{1}(X, ∗) associati alle inclusioni di X_{1}, X_{2} in X, è il loro prodotto, amalgamato su π_{1}(X_{1} ∩ X_{2}, ∗) tramite gli omomorfismi associati alle inclusioni di X_{1}, X_{2} in X_{1} ed X_{2}

Dim. Sia γ : [0, 1] → X un laccio di origine ∗. Scegliamo una decomposizione 0 = t_{0} < t_{1} < ... < t_{n} = 1 di [0, 1] tale che per per ogni i = 1, ..., n esiste ν(i) ∈ {1, 2} per cui γ([t_{i−1}, t_{i}] ⊂ X_{ν(i)}; si scelga quindi per i = 1, ..., n − 1 un cammino (continuo) λ_{i} da ∗ a γ(t_{i}) che sia contenuto in X_{ν(i)} ∩ X_{ν(i+1)} e prendiamo per λ_{0}, λ_{1} il cammino costante in ∗. Per i = 1, ..., n sia poi γ_{i} il cammino ottenuto percorrendo prima λ_{i−1} quindi γ da t_{i−1} a t_{i} ed infine λ_{i}^{−1}; esso è quindi un cammino in X_{ν(i)} ed è facile verificare che γ è omotopo in X al prodotto γ_{n} · γ_{n−1} · ... · γ_{1}. Abbiamo così dimostrato che ogni elemento di π_{1}(X, ∗) può essere scritto come un prodotto di elementi che provengono da π_{1}(X_{1}, ∗) o da π_{1}(X_{2}, ∗). Siano σ_{i} : π_{1}(X_{1} ∩ X_{2}, ∗) → π_{1}(X_{i}, ∗) e α_{i} : π_{1}(X_{i}, ∗) → π_{1}(X, ∗) per i = 1, 2 gli omomorfismi indotti dalle inclusioni e siano β : π_{1}(X, ∗) → G un omomorfismo in un gruppo G e β_{1}, β_{2} le sue composizioni con α_{1}, α_{2}: dovrà essere

(⋆) β(γ) = β_{ν(n)}(γ_{n}) · ... · β_{ν(1)}(γ_{1})

Ciò dimostra intanto l’asserzione sulla unicità di β. Per mostrarne l’esistenza una volta fissate β_{1}, β_{2} verificanti β_{1} ∘ σ_{1} = β_{2} ∘ σ_{2}, verificheremo che il valore di β(γ) dato da (⋆) non dipende dalle scelte fatte che hanno portato a quella scrittura di γ. Due qualsiasi scelte possono essere ricondotte ad una medesima con tre tipi di cambiamenti:

1. cambiare le scelte dei λ_{i} per i = 1, ..., n − 1

2. cambiare la scelta dei ν(i) per i quali γ([t_{i−1}, t_{i}]) è contenuto sia in X_{1} che in X_{2}

3. raffinare una decomposizione di [0, 1] introducendo altri punti di divisione tra i t_{0}, ..., t_{n}. Ogni tale cambiamento può essere fatto cambiando un solo dato alla volta e si può verificare senza troppe difficoltà che ogni volta rimane invariato il risultato. E’ poi evidente che in una omotopia (γ_{t})_{t∈[0,1]} tra cammini, le scelte fatte per t = t_{0} vanno bene anche per ogni t abbastanza vicino a t_{0} e quindi che l’elemento associato in G non dipende effettivamente da un laccio γ ma solo dalla sua classe di omotopia in π_{1}(X, ∗). Si arriva così a stabilire che β esiste come applicazione che composta con le α_{i} dà le β_{i}. La relazione (⋆) dice allora che essa è anche un omomorfismo di gruppi. Esaminiamo due casi particolari di tale teorema:

Corollario 3 Sia X unione di due aperti X_{1}, X_{2} semplicemente connessi aventi intersezione connessa per archi e sia ∗ ∈ X_{1} ∩ X_{2}. Allora (X, ∗) è semplicemete connesso

Corollario 4 Sia X unione di due aperti connessi per archi ed aventi intersezione semplicemente connessa e sia x ∈ X_{1} ∩X_{2}. Allora π_{1}(X, x) è il prodotto libero non abeliano π_{1}(X_{1}, x) ∗ π_{1}(X_{2}, x)

Nota. La nozione di ”prodotto libero non abeliano” sarà richiamata più avanti assieme a quella di ”gruppo libero” e di ”presentazione di un gruppo”. Esercizi.

1. (S^{n}, ∗) è semplicemente connessa per ogni n ≥ 2 (si ricordi che togliendo ad S^{n} un punto si ottiene uno spazio omeomorfo ad ℝ^{n}: ad esempio per proiezione stereografica)

2. (♯) Sia K un compatto in ℝ^{n} tale che ℝ^{n} − K sia connesso per archi e sia ∗ ∈ ℝ^{n} − K. Identificato ℝ^{n} con la sfera S^{n} cui è stato tolto un punto, di dimostri che se n ≥ 3 allora π_{1}(ℝ^{n} − K, ∗) è isomorfo a π_{1}(S^{n} − K, ∗)

Dipendenza dal punto base Il gruppo π_{1}(X, ∗) è stato costruito considerando i lacci in X di origine ∗; essi sono evidentemente contenuti nella componente connessa per archi di X che contiene ∗; esso non dà quindi alcuna informazione sulle eventuali altre componenti connesse di X; in particolare scegliendo punti base in componenti distinte, i gruppi fondamentali ottenuti non hanno nessuna possibilità di essere confrontati tra loro. Per questa ragione si suppone di solito, come d’ora in poi faremo, che X sia connesso per archi. Supponiamo ora che ∗ , ∗′ siano due punti base di X e che α sia un cammino continuo da ∗′ a ∗. Per ogni laccio γ ∈ Ω_{1}(X, ∗) il prodotto α^{−1} ∗ γ ∗ α è in Ω_{1}(X, ∗′); ciò induce una applicazione π_{1}(X, ∗) → π_{1}(X, ∗′) che è un omomorfismo di gruppi; esso inoltre dipende solo dalla classe di omotopia ad estremi fissi di α e sarà indicato con ν_{α}. Siccome α^{−1} ∗ α e α ∗ α^{−1} sono lacci omotopicamente nulli (rispettivamente con punti di origine ∗ e ∗′) gli omomorfismi ν_{α} e ν_{α^{−1}} sono uno l’inverso dell’altro, in particolare sono isomorfismi. Sia β un altro cammino continuo in X da ∗ a ∗′; allora ν_{β^{−1}} ∘ν_{α} è un automorfismo di π_{1}(X, ∗); esso coincide con ν_{σ} ove σ = β^{−1} ∘ α è un laccio di origine ∗. Detto σ̄ l’elemento di π_{1}(X, ∗) indotto da σ, si vede facilmente (al di là della ”nebbia” che possono creare le notazioni) che l’automorfismo ν_{σ} non è altro che il coniugio interno determinato da σ̄ in π_{1}(X, ∗), ossia l’applicazione τ ↦ σ̄^{−1} ∗ τ ∗ σ̄. Riassumiamo tutto ciò nel seguente enunciato (che come spesso accade procedendo ”per enunciati” non esprime tutte le informazioni trovate durante l’argomentazione svolta):

Proposizione 5 Sia X uno spazio connesso per archi e ∗ , ∗′ due punti base di esso. Allora π_{1}(X, ∗) è isomorfo a π_{1}(X, ∗′) per un isomorfismo univocamente determinato a meno di coniugi interni. Tali gruppi sono quindi canonicamente isomorfi se e solo se uno di essi (e quindi anche l’altro) è commutativo

In particolare uno spazio X connesso per archi che è semplicemente connesso per una scelta del punto base lo è per ogni altra scelta. Sarà utile nel seguito il seguente fatto:

Proposizione 6 In uno uno spazio semplicemente connesso due cammini aventi stessi estremi sono omotopi (per una omotopia ad estremi fissi)

Dim. Siano α, β due cammini da x ad y in un X semplicemente connesso.

Basterà mostrare che entrambi sono omotopi (a estremi fissi) al cammino γ = β ∗ (β^{−1} ∗ α) (si noti che la parentesi è necessaria perché siamo a livello di cammini ove l’operazione non è associativa). E’ evidente che γ è omotopo ad α. D’altra parte β^{−1} ∗ α è un laccio in X di origine y e quindi è per ipotesi omotopo al cammino costante in y: ne segue che γ è omotopo al cammino β.

Calcolo del π_{1} (II): metodo combinatorio Il teorema di van Kampen permette di individuare il gruppo fondamentale di uno spazio che sia espresso come unione di due sottospazi sotto certe condizioni: che siano aperti, connessi per archi assieme alla loro intersezione e che si conoscano i loro gruppi fondamentali e il rapporto di essi col gruppo fondamentale della intersezione (ossia gli omomorfismi indotti dalle inclusioni). Per il momento però sappiamo solo dimostrare che certi spazi sono semplicemente connessi e non abbiamo alcun esempio certo di spazio avente un gruppo fondamentale non banale. Il passo decisivo sarà mostrare una identificazione tra π_{1}(S^{1}, ∗) ed il gruppo ℤ. Ciò sarà fatto in due modi distinti: uno più avanti mediante la teoria dei rivestimenti e l’altro con un metodo di tipo combinatorio di calcolare il π_{1} che andiamo ora a descrivere. Sia U = (U_{i})_{i∈I} un ricoprimento di un insieme X. Un cammino formale è una successione i_{0}, ⋯, i_{r} di elementi di I tali che U_{i_{0}} e U_{i_{h}}∩U_{i_{h}+1} per h = 0, ⋯, r−1 siano non vuoti. Diremo che tale cammino ha inizio in i_{0} e termine in i_{r}. Si possono comporre in modo ovvio due cammini se il secondo inizia ove termina il primo . Se γ_{1} = (i_{0}, ⋯, i_{r}) è un cammino formale e i ∈ I è tale che U_{i_{s}} ∩ U_{i} ∩U_{i_{s+1}} sia non vuoto allora il cammino γ_{2} = (i_{0}, ⋯, i_{s}, i, i_{s+1}, ⋯, i_{r}) è detto ottenuto da γ_{1} per espansione elementare ; diremo anche che γ_{1} è ottenuto da γ_{2} per contrazione elementare. Due cammini sono equivalenti se si può passare dall’ uno all’altro con un numero finito di espansioni e contrazioni elementari. Evidentemente due cammini equivalenti hanno stesso inizio e termine. E’ facile verificare che le classi di equivalenza di cammini chiusi in i_{0} (ossia cammini con inizio e termine in i_{0} ) formano un gruppo che sarà detto gruppo formale di U e sarà indicato col simbolo Π(U, i_{0}).

Supponiamo ora che U sia un ricoprimento elementare dello spazio topologico connesso X col ché intendiamo che verifica le seguenti condizioni:

- per ogni i ∈ I l’insieme U_{i} è un aperto non vuoto di X -per i, j, k ∈ I l’aperto U_{i} ∩ U_{j} ∩ U_{k} è o vuoto o semplicemente connesso. Fissiamo per ogni i ∈ I un x_{i} ∈ U_{i} . Siano fissati inoltre cammini continui γ_{ij} da x_{i} a x_{j} in U_{i} ∪ U_{j} per ogni coppia i, j ∈ I per cui U_{i} ∩ U_{j} sia non vuoto. Costruiamo un omomorfismo ϕ : Π(U, i_{0}) → π_{1}(X, x_{i_{0}}) associando ad un cammino formale (i_{0}, ⋯, i_{r}, i_{0}) la classe di omotopia di γ_{i_{r}i_{0}} ∗ γ_{i_{r−1}i_{r}} ∗ ... ∗ γ_{i_{0}i_{1}}. Nota. In realtà ϕ non è un omomotfismo perchè l’ordine dei fattori viene invertito; ossia si ha ϕ(a · b) = ϕ(b) · ϕ(a), per come tali prodotti sono stati definiti. Il problema può essere risolto definendo (in modo ovvio) in uno dei due gruppi il prodotto. Essendo U un buon ricoprimento , si verifica facilmente che ϕ è un omomorfismo ben definito e che è indipendentemente dalla scelta dei γ_{ij}: la prima asserzione discende dal fatto che se U_{i} ∩U_{j} ∩U_{k} non è vuoto allora U_{i} ∪U_{j} ∪U_{k} è semplicemente connesso, la seconda dal fatto che se U_{i} ∩ U_{j} è non vuoto allora U_{i} ∪ U_{j} è semplicemente connesso (si applichi il teorema di van Kampen). Mostreremo tale ϕ è un isomorfismo. E’ surgettiva: sia α : [0, 1] → X un laccio di origine x_{i_{0}}; esiste una decomposizione 0 = t_{0} < t_{1} < ..., t_{n} = 1 di [0, 1] per la quale per ogni i = 0, 1, ..., n − 1 esiste ν_{i} ∈ I tale che α([t_{i}, t_{i+1}]) ⊂ U_{ν_{i}} e dove possiamo supporre che sia ν_{0} = ν_{n−1} = i_{0}. E’ facile verificare che allora il cammino associato a (U_{ν_{0}}, U_{ν_{1}}, ..., U_{ν_{n−1}}) è omotopo ad α (si modifichi prima α su ]t_{i}, t_{i+1}[ restando entro U_{ν_{i}} in modo che passi per x_{i} e si utilizzi poi il fatto che U_{ν_{i}} ∪ U_{νi+1} è semplicemente connesso). E’ iniettiva: sia (α_{t})_{t∈[0,1]} una famiglia continua di lacci di origine x_{i_{0}}. Per ogni t ∈ [0, 1] abbiamo un metodo, quello descritto nella dimostrazione che ϕ è surgettiva, per costruire un cammino formale che venga trasformato da ϕ in uno omotopo ad α_{t}. Faremo vedere ora che:

(a) due qualsiasi di tali cammini formali sono omotopi (cioè trasformabili l’uno nell’altro con un numero finito di epansioni e contrazioni)

(b) che se un cammino formale va bene per α_{t}, va anche bene per ogni t′ in un qualche intorno di t Ne seguirà che due cammini formali associati ad α_{0}, α_{1} sono omotopi e basterà osservare allora che se α_{1} è il cammino costante esso può essere rappresentato dal cammino formale costante. Dimostriamo (a) : supponiamo di aver fissato una decomposizione 0 = t_{0} < ... < t_{n} = 1 di [0, 1] e di aver scelto i ν_{i} in modo tale che α_{t}([t_{i}, t_{i+1}]) ⊂ U_{ν_{i}}. Supponiamo di sostituire un U_{ν_{i}} con un altro U_{j} che contiene α_{t}([t_{i}, t_{i+1}]). Allora si può estendere il cammino formale costruito inserendo U_{j} e poi contrarlo eliminando U_{ν_{i}}. Ciò mostra che il modo in cui è scelta ν non cambia il risultato in Π(U, i_{0}). Dobbiamo ora dimostrare che anche la scelta della decomposizione è ininfluente. Siccome due qualsiasi decomposizioni sono trasformabili in una medesima inserendo in entrambe nuovi punti di divisione, è sufficiente esaminare il caso in cui venga inserito un ulteriore punto di divisione tra t_{i} e t_{i+1}; in tal caso possiamo costruire un cammino formale associato a questa nuova decomposizione, utilizzando quello precedente in cui U_{ν_{i}} venga ripetuto due volte: questa è allora una espansione elementare. Quindi (a) è dimostrata; la (b) è poi ovvia per un ragionamento che utilizza la compattezza dgli intervalli [t_{i}, t_{i+1}] e la continuità della famiglia (α_{t})_{t∈[0,1]}. Nota. Con argomenti analoghi si mostra che l’isomorfismo costruito non dipende dalla scelta degli x_{i} né da quella dei γ_{iy} ed è quindi ”naturale”.

Vediamo ora come ciò si possa applicare al calcolo di π_{1}(S^{1}, ∗). E’ chiaro che S^{1} ha un ricoprimento elementare U = {U_{0}, U_{1}, U_{2}} i cui elementi a due a due si intersecano ma l’intersezione di tutti e tre è vuota. Un cammino formale è quindi definito da una successione finita c = (i_{0}, i_{1}, ..., i_{n}) di elementi di {0, 1, 2}; si associ a un tale c l’intero relativo σ(c) ottenuto sommando per h = 0, ..., n−1 l’intero +1 se (i_{h}, i_{h+1}) è del tipo (0, 1), (1, 2) o (2, 1), l’intero −1 se è del tipo (1, 0), (2, 1) o (0, 2) e l’intero 0 se i_{h} = i_{h+1}. Si controlli che per ogni espansione elementare c′ di c si ha σ(c) = σ(c′) e quindi che σ induce un omomorfismo del gruppo formale Π = Π(U, 0) nel gruppo ℤ. Osservando che in ogni classe di cammini formali ve ne è uno solo che non ammette contrazioni, si verifica infine che σ è un isomorfismo tra Π ed il sottogruppo di ℤ generato da 3. Si ha così :

Proposizione 7 Il gruppo π_{1}(S^{1}, ∗) è isomorfo a ℤ per un isomorfismo che porta la classe del cammino [0, 1] ∋ t ↦ (cos(2πt), sin(2πt)) ∈ S^{1} in 1 ∈ ℤ

Dim. L’asserzione sul generatore del π_{1} può essere giustificata ricordando come è stato costruito l’isomorfismo tra Π e π_{1}.

Proposizione 8 (teorema di Brouwer) Ogni applicazione continua f di D^{2} in se ha almeno un punto fisso

Dim. Per la proposizione 1, basta verificare che S^{1} non è retratto di D^{2}. Se esistesse una retrazione r : D^{2} → S^{1}, scelto ∗ ∈ S^{1} si avrebbe che r è una inversa sinistra dell’inclusione j : S^{1} → D^{2}; passando ai gruppi fondamentali si avrebbe che j_{∗} : ℤ → {0} ha una inversa sinistra che è chiaramente impossibile.

Calcolo di alcuni gruppi fondamentali Supporremo siano conosciuti gli spazi proiettivi reale ℙ^{n}(ℝ) (identificato all’insieme dei sottospazi vettoriali reali di dimensione 1 in ℝ^{n+1}) e quello complesso ℙ^{n}(ℂ) (sottospazi complessi di dimensione 1 in ℂ^{n+1}) e l’uso su essi delle coordinate omogenee. Il punto base in entrambi i casi sarà ∗ = (1, 0, ..., 0). Si sa già che π_{1}(ℙ^{1}(ℝ), ∗) ≃ ℤ (perché tale spazio è omeomorfo ad S^{1}) e che π_{1}(ℙ^{1}(ℂ), ∗) è banale (perché tale spazio è omeomorfo ad S^{2}). Calcoleremo ora tali gruppi per n > 1. Avremo bisogno delle seguente nozione: sia A un sottoinsieme di un spazio topologico X; si dice che A è retratto forte di deformazione di X se esiste una famiglia continua (f_{t})_{t∈[0,1]} di applicazioni di X in se stesso che ha le seguenti proprietà:

- f_{0} è l’identità su X

- per ogni t ∈ [0, 1] ed a ∈ A si ha f_{t}(a) = a

- f_{1} ha immagine contenuta in A In tal caso scelto comunque ∗ ∈ A si ha che f_{1} è una composizione j ∘ r ove j : (A, ∗) → (X, ∗) è l’inclusione ed r : (X, ∗) → (A, ∗) una retrazione; quindi r ∘ j è l’identità su (A, ∗) e j ∘ r = f_{1} è omotopa all’identità su (X, ∗). Passando ai gruppi fondamentali se ne deduce che j_{∗} : π_{1}1(A, ∗) → π_{1}(X, ∗) è un isomorfismo il cui inverso è r_{∗}. Asserzione: per ogni n ∈ ℕ lo spazio ℙ^{n}(ℂ) è semplicemente connesso.

Infatti ciò è ovvio per n = 0 (è costituito da un solo punto) ed è già stato mostrato per n = 1 (è omeomorfo ad S^{2}). Per n ≥ 2 sia p il punto di coordinate (0, ..., 0, 1), identifichiamo ℙ^{n−1}(ℂ) al sottospazio dei punti aventi ultima coordinata nulla e siano X_{1}, X_{2} i complementari in ℙ^{n}(ℂ) di {p} e di ℙ^{n−1}(ℂ). Si verifica facilmente che X_{2} è omeomorfo a ℂ^{n} ed è quindi contrattile; che X_{1} ∩ X_{2} è omeomorfo a ℂ^{n} − {0} è semplicemente connesso (la sfera unitaria in esso ha dimensione 2n − 1 e quindi è semplicemente connessa, ed è retratto forte di deformazione di esso): il teorema di van Kampen assicura allora che l’inclusione di X_{1} in ℙ^{n}(ℂ) induce un isomorfismo tra i gruppi fondamentali. D’altra parte è facile verificare che ℙ^{n−1}(ℂ) è retratto forte di deformazione di X_{1}. Ciò dimostra che ℙ^{n}(ℂ) ha lo stesso gruppo fondamentale di ℙ^{1}(ℂ) e quindi per induzione essi sono tutti nulli. Lo stesso argomento induttivo funziona nel caso reale fino a che n ≥ 3; ma per n = 2 la sfera che è retratto forte di deformazione di X_{1} ∩ X_{2} ha dimensione 1 e non è quindi semplicemente connessa ed anche X_{2} che è ℝ^{2} − {0} ha lo stesso gruppo fondamentale di S^{1}. Lasciamo al lettore l’onere di convincersi che l’inclusione di X_{1} ∩ X_{2} in X_{2} induce tra i gruppi fondamentali l’omomorfismo ℤ ∋ m ↦ 2m ∈ ℤ e che il teorema di van Kampen stabilisce allora che π_{1}(ℙ^{2}(ℝ) ≃ ℤ/2ℤ; per l’induzione indicata quindi ogni ℙ^{n}(ℝ) per n ≥ 2 ha tale gruppo fondamentale. Nota. In tutto l’argomento appena svolto abbiamo commesso un errore riguardante il punto base: lo si trovi e lo si corregga.

Altri teoremi di punto fisso Sia SO(3) il sottogruppo di Gl(3, ℝ) costituito dalle matrici ortogonali aventi determinante +1; esso è detto anche gruppo delle rotazioni di ℝ^{3}. Ogni tale matrice è univocamente determinata dalle prime due sue colonne, la terza essendo necessariamente il prodotto esterno di esse). Quindi SO(3) è omeomorfo ad S = {(x, v) ∈ ℝ^{3} × ℝ^{3} : ||x|| = ||v|| = 1 e < x, v >= 0}. Un punto (x, v)di S può essere interpretato così : x è un punto della sfera S^{2} ⊂ ℝ^{3} e v è un vettore di lunghezza 1 tangente ad S^{2} nel punto x. Utilizzando i quaternioni si potrebbe dimostrare che SO(3), e quindi anche S, è omeomorfo a ℙ^{3}(ℝ); oppure ciò potrebbe essere dimostrato considerando l’applicazione di D^{3} in SO(3) che ad un x ∈ D^{3} − {0} associa la rotazione di angolo π · ||x|| attorno all’asse determinato da x ed associa l’identità a zero: essa è continua, surgettiva ed identifica solo punti del bordo di D^{3} che sono uno l’opposto dell’altro. Se ne potrebbe dedurre che SO(3) non è omeomorfo ad S^{2} × S^{1} perché i loro gruppi fondamentali sono rispettivamente ℤ/2ℤ e ℤ. Per le applicazioni che faremo ci basterà dimostrare di meno:

Lemma 9 Sia Δ = {(x, v) ∈ S : x = ∗} e sia j : Δ → S l’inclusione; allora l’omomorfismo tra i gruppi fondamentali associato a j (per qualche scelta del punto base) non è iniettivo

Dim. Infatti Δ è omeomorfo ad S^{1}; nell’isomorfismo tra il suo gruppo fondamentale e ℤ il laccio che induce la classe corrispondente ad 1 ∈ ℤ è dato dal laccio: γ = [0, 1] ∋ t ↦ (1, cos(2πt), sin(2πt)) ∈ Δ. Sia r(s) un cammino in S^{2} che congiunge il punto x ∗ col suo opposto −∗. Per s ∈ [0, 1] definiamo un cammino R(s) nello spazio SO(3) nel seguente modo: al tempo t la rotazione R(s) è la composizione della rotazione di angolo 2πt attorno al vettore ∗ = r(0) con la rotazione di angolo 2πt attorno al vettore r(s). Tali cammini cominciano e finiscono tutti nell’identità di SO(3); inoltre per s = 0 si ha due volte l’immagine di γ e per s = 1 il laccio costante.

Diremo campo di vettori tangenti ad S^{2} ogni applicazione continua v di S^{2} ⊂ ℝ^{3} in ℝ^{3} tale che v(x) sia tangente ad S^{2} nel punto x per ogni x ∈ S^{2} (ossia tale che sia nullo il prodotto scalare < v(x), x >).

Proposizione 10 Ogni campo di vettori tangenti ad S^{2} si annulla in almeno un punto

(questo enunciato viene figurativamente espresso dicendo che una sfera non può essere pettinata senza ritrose) Dim. Per assurdo supponiamo ne esista uno privo di zeri; allora ne esiste anche uno fatto di vettori unitari (basta normalizzarlo); ne potremmo trovare anche un altro w : S^{2} → S^{2} ⊂ ℝ^{3} tale che (x, v(x), w(x)) sia una base ortonormale positiva di ℝ^{3}, ossia un elemento di SO(3) (basta prendere per w(x) il prodotto esterno tra x e (v(x)). In tal caso si avrebbe un omeomorfismo tra S^{2} × S^{1} ed SO(3) ottenuto associando ad x ∈ S^{2} ed un angolo 2πt la matrice avente per colonne x, cos(2πt)v(x) + sin(2πt)w(x) e − sin(2πt)v(x) + cos(2πt)w(x). Se ciò fosse vero il laccio γ costruito nel lemma precedente darebbe il generatore di π_{1}(S^{2} × S^{1}) ≃ ℤ e non potrebbe avere periodo due.

Corollario 11 Sia f : S^{2} → S^{2} continua. Allora esiste x ∈ S^{2} tale che f(x) = x (ha quindi un punto fisso) oppure f(x) = −x (applica un punto nel suo antipodale)

Dim. Per x ∈ S^{2} sia v(x) la proiezione ortogonale di f(x) sul piano tangente ad S^{2} in x (ossia il piano di ℝ^{3} ortogonale ad x). Per la proposizione precedente deve esistere x ∈ S^{2} per cui v(x) = 0 e ciò significa che o x = f(x) o x = −f(x).

Per uno spazio X indichiamo con O(X) il gruppo degli omeomorfismi di X in se stesso. Un flusso su X è un omomorfismo ϕ : ℝ → O(X), che viene indicato con t ↦ ϕ_{t}, e tale che la famiglia (ϕ_{t})_{t∈ℝ} sia continua. Un punto fisso per un tale flusso è un x ∈ X che sia un punto fisso per ogni tale ϕ_{t}.

Proposizione 12 Ogni flusso su S^{2} ha almeno un punto fisso

Dim. per t ∈ ℝ sia A_{t} l’insieme dei punti fissi di ϕ_{t} : S^{2} → S^{2}. Esso è un compatto in S^{2}; per t vicino a zero, siccome ϕ_{t} non può trasformare nessun x nel suo opposto, avremo qualche punto fisso (corollario precedente) ossia A_{t} sarà non vuoto. Siccome un punto fisso per un omeomorfismo è un punto fisso anche per le sue potenze, avremo che per ogni t ∈ ℝ ed ogni intero n si ha A_{t} ⊂ A_{nt} e tali insiemi sono tutti non vuoti. La famiglia (A_{t})_{t∈ℚ} è quindi una famiglia di compatti di S^{2} avente la proprietà che ogni intersezione finita di suoi elementi è non vuota: ne segue che esiste almeno un x ∈ S^{2} che è fisso per ogni ϕ_{t} con t razionale. Essendo i razionali densi in ℝ ed essendo la famiglia (ϕ_{t})_{t∈ℝ} continua, tale x sarà fisso per ogni t ∈ ℝ.

Esercizi.

1. Per n, p ∈ ℕ si identifichi ℝ^{n+1} al sottospazio di ℝ^{n+1+p} costituito dai punti aventi le ultime p coordinate nulle; ciò porta anche ad identificare S^{n} ad un sottospazio di S^{n+p} e ℙ^{n} ad uno di ℙ^{n+p}. Si determini in quali casi il seguente spazio è connesso e se ne determini in tal caso il gruppo fondamentale:

(a) ℝ^{n+p} − ℝ^{n}

(b) S^{n+p} − S^{n} (considerare la proiezione stereografica da un punto di S^{n}) (c ) ℙ^{n+p+1} − ℙ^{n} (trovare un sottospazio ℙ^{p} che sia suo retratto forte di deformazione). 2.(†) Sia ϕ : A → B un omeomorfismo tra un aperto A ⊂ ℝ^{2} ed un aperto B di ℝ^{n}. Si dimostri che n = 2 (si consideri cosa succede ad un aperto semplicemente connesso di ℝ^{n} con n ≥ 3 quando gli si toglie un punto) 3.(†) Si calcoli il gruppo fondamentale di T = S^{1} × S^{1} cui sia stato tolto un punto (può essere comodo pensare a T come ℝ^{2}/ℤ^{2} e quindi ad un quadrato con identificazione dei lati opposti)

4. Sia A l’unione di due rette in ℝ^{3}. Si determini il gruppo fondamentale di ℝ^{3} − A (si distinguano i vari casi).

5. Sia ϕ : (S^{1}, ∗) → (S^{1}, ∗) continua e tale che ϕ(x) ≠ x se x ≠ ∗. Si dimostri che l’automorfismo indotto da essa su π_{1}(S^{1}, ∗) è l’identità.

6. Si mostri che se ϕ : S^{2} → ℝ^{3} è continua allora esistono x ∈ S^{2} e λ ∈ ℝ per cui ϕ(x) = λx (ciò dà una generalizzazione ”non lineare” del fatto che ogni endomorfismo lineare su ℝ^{3} ha almeno un autovalore)

Rivestimenti

D’ora in poi ogni spazio topologico sarà supposto non solo di Hausdorff ma anche localmente contrattile, intendendo con ciò che X possiede una base di aperti ogni cui elemento è contrattile. In queste ipotesi un aperto di X è connesso se e solo se è connesso per archi.

Sia ϕ : X → Y una applicazione tra spazi topologici. Diremo che essa è invertibile su un aperto U di X se ϕ(U) è aperto in Y e ϕ induce un omeomorfismo tra U e ϕ(U). Diremo che ϕ è localmente invertibile su X se gli aperti sui quali essa è invertibile formano un ricoprimento di X; in particolare una tale ϕ sarà continua ed aperta.

Proposizione 13 Sia ϕ : X → Y localmente invertibile e siano σ, τ : Z → X due applicazioni continue tali che ϕ ∘ σ = ϕ ∘ τ; allora l’insieme A degli z ∈ Z per i quali σ(z) = τ(z) è aperto e chiuso in Z Dim. A è chiuso: sia z ∉ A ossia σ(z) ≠ τ(z). Quindi esistono in X intorni disgiunti U, V di σ(z) e τ(z); se W è un intorno di z tale che σ(W) ⊂ U e τ(W) ⊂ V si avrà certamente W ∩ A = ∅. A è aperto: sia z ∈ A ossia σ(z) = τ(z) e sia U un aperto in X contenente x e sul quale ϕ è invertibile. Se W è un intorno di z con σ(W) ⊂ U e τ(W) ⊂ U, allora per z′ ∈ W da ϕ(σ(z′)) = ϕ(τ(z′)) si deduce σ(z′) = τ(z′) perché ϕ è iniettiva su U. Quindi W ⊂ A.

Sia fissata una ϕ : X → Y continua. Se σ : Z → X e τ : Z → Y sono tali che τ = ϕ ∘ σ, si usa dire che σ è un sollevamento di τ o che τ è l’ombra di σ. La proposizione precedente può allora essere riformulata dicendo che se ϕ è localmente invertibile, due applicazioni che hanno la stessa ombra, se coincidono in un punto coincidono in tutta la componente connessa di tale punto. Diremo che una applicazione continua ϕ : X → Y ha la proprietà del sollevamento dei cammini se per ogni punto a ∈ X ed ogni cammino continuo τ : [0, 1] → Y che inizia da ϕ(a) esiste un cammino in X che inizia in a e che solleva τ. Un rivestimento è una applicazione localmente invertibile tra spazi connessi che abbia la proprietà del sollevamento dei cammini; per la proposizione precedente, tale sollevamento è univocamente determinato dalla scelta del suo punto di partenza.

Con argomentazioni abbastanza elementari si può verificare direttamente che le applicazioni descritte qui di seguito sono dei rivestimenti; più avanti descriveremo dei metodi più generali per giustificare ciò.

1. ϕ : ℝ → S^{1} definita da t ↦ (cos(2πt), sin(2πt)).

2. Identifichiamo ℝ^{2} con ℂ e quindi S^{1} col gruppo moltiplicativo dei numeri complessi di modulo 1 (o se si preferisce col gruppo delle rotazioni di ℝ^{2}). Per n intero positivo l’applicazione S^{1} ∋ z ↦ z^{n} ∈ S^{1} è un rivestimento ad n fogli.

3. Per n intero positivo, la proiezione ℝ^{n+1} − {0} → ℙ^{n}(ℝ) che definisce lo spazio proiettivo induce un rivestimento a due fogli ϕ : S^{n} → ℙ^{n}(ℝ)

Nota: si rammenti che supponiamo gli spazi localmente contrattili, quindi essi saranno anche connessi per archi se connessi; si rammenti anche che per definizione uno spazio connesso è non vuoto. Se ϕ : X → Y è una applicazione, per y ∈ Y l’insieme X_{y} = ϕ^{−1}(y) è detto la fibra di ϕ su y. Se ϕ è localmente invertibile ogni sua fibra sarà un insieme discreto, ossia privo di punti di accumulazione in X. Sia ϕ : X → Y un rivestimento. Se α : [0, 1] → Y è un cammino continuo con α(0) = a e α(1) = b, definiamo una applicazione ν_{α} : X_{a} → X_{b} associando ad ogni x ∈ X_{a} il punto di arrivo del sollevamento di α che parte da x. Si verifica facilmente che se β è un cammino in Y che va da b ad un altro punto c, allora ν_{β} ∘ ν_{α} = ν_{β∗α} e che ν_{α^{−1}} ∘ ν_{α} è l’identità su X_{a}. Ne segue che ogni tale ν_{α} è una applicazione bijettiva tra X_{a} ed X_{b}. In particolare quindi tutte le fibre di ϕ hanno la stessa cardinalità; essa viene detta il numero di fogli del rivestimento. Ne segue anche (si rammenti che X è non vuoto) che ϕ è necessariamente surgettiva.

Proposizione 14 (Teorema di monodromia) Sia ϕ : X → Y localmente invertibile e sia F : Z × [0, 1] → X una applicazione che sia continua su {z} × [0, 1] per ogni z ∈ Z. Affinché F sia continua è necessario e sufficiente che siano continue la sua ombra ϕ ∘ F : Z × [0, 1] → Y e la restrizione di F a Z × {0}

Dim. La necessità è ovvia. Mostriamo che la condizione è sufficiente. Basterà mostrare che ogni z_{0} ∈ Z ha un intorno aperto W tale che F è continua su W × [0, 1]. Per compattezza di [0, 1] esiste una decomposizione 0 = t_{0} < t_{1} < ..., t_{n} = 1 tale che per ogni i = 0, ..., n − 1 esiste un aperto U_{i} contenente l’immagine per F di {z_{0}} × [t_{i}, t_{i+1}] e sul quale ϕ sia invertibile; sia ψ_{i} da V_{i} = ϕ(U_{i}) ad U_{i} l’inversa di ϕ. Essendo ϕ ∘ F continua e {z_{0}} × [t_{i}, t_{i+1}] compatto, esiste un intorno aperto W_{i} di z_{0} in Z tale che ϕ ∘ F (W_{i} × [t_{i}, t_{i+1}]) ⊂ V_{i}. Possiamo suppore che tali W_{i} sia tutti uguali ad un aperto W in Z contenente z_{0} (si prenda W = W_{1} ∩...∩W_{n−1}) ed indichiamo con G_{i} : W ×[t_{i}, t_{i+1}] → X la composizione di ψ_{i} con la restrizione di ϕ∘F a W ×[t_{i}, t_{i+1}]; tali G_{i} sono quindi continue. Si osservi ora che G_{i} e G_{i+1} coincidono su W × {t_{i+1}} perché ψ_{i} e ψ_{i+1} coincidono su ϕ(U_{i} ∩ U_{i+1}) e quindi che esse definiscono una applicazione continua G : W × [0, 1] → X. Restringendo eventualmente ancora W possiamo supporre che F (W × {0}) sia contenuto in U_{0}, perché per ipotesi F è continua su Z × {0}. Allora per ogni z ∈ W le restrizioni di F e di G a {z} × [0, 1] sono continue, hanno la stessa ombra e coincidono in (z, 0); per la proposizione precedente coincidono completamente perché {z} × [0, 1] è connesso; abbiamo così dimostrato che F coincide su W × [0, 1] con l’applicazione continua G ed è quindi anch’essa continua.

Proposizione 15 (Sollevamento delle omotopie) Siano ϕ : X → Y un rivestimento, f : Z → Y continua e g = ϕ ∘ f la sua ombra. Per ogni famiglia continua (g_{t})_{t∈[0,1]} di applicazioni di Z in Y con g_{0} = g (cioè una ”omotopia che comincia con g_{0}) esiste una ed una sola famiglia continua (f_{t})_{t∈[0,1]} di applicazioni di Z in X tali che f_{0} = f (cioè ”comincia con f) e ϕ ∘ f_{t} = g_{t} per ogni t ∈ [0, 1] (cioè ”solleva l’omotopia”)

Dim. Supponiamo date f e (g_{t})_{t∈[0,1]} come nell’ipotesi; essendo ϕ un rivestimento, fissato z ∈ Z il cammino t → g_{t}(z) che parte da g_{0}(z) = ϕ(f(z)) è sollevabile in un cammino in X che comincia da f(z): indichiamo tale cammino con t → f_{t}(z). L’applicazione Z × [0, 1] ∋ (z, t) ↦ f_{t}(z) ∈ X verifica le ipotesi dl teorema di monodromia; è quindi continua e ciò dimostra l’esistenza asserita nell’enunciato. L’unicità segue da quella del sollevamento dei cammini.

Corollario 16 Se ϕ : X → Y è un rivestimento ed α : [0, 1] → Y un cammino continuo, l’applicazione ν_{α} : X_{α(0)} → X_{α(1)} non varia cambiando α con una omotopia ad estremi fissi. In particolare per ogni y ∈ Y si ottiene un omomorfismo di π_{1}(Y, y) nel gruppo P(X_{y}) delle permutazioni sull’insieme X_{y}

Dim. Sia (α̃_{t})_{t∈[0,1]} il sollevamento di una omotopia ad estremi fissi di α; allora il cammino t ↦ α̃_{t}(1) è un sollevamento del cammino costante in α(1) ed è quindi anch’esso costante.

Corollario 17 Se ϕ : (X, x) → (Y, y) è un rivestimento, allora l’omomorfismo ϕ_{∗} : π_{1}(X, x) → π_{1}(Y, y) è iniettivo

Il sottogruppo di π_{1}(Y, y) immagine di ϕ_{∗} sarà detto il gruppo associato al rivestimento. Dim. Una omotopia in Y tra un laccio ed il cammino costante si solleva in una omotopia che ”termina” con un cammino costante.

Corollario 18 Se ϕ : X → Y è un rivestimento ed Y è semplicemente connesso allora ϕ è un omeomorfismo

Dim. Basta mostrare che ϕ è iniettiva: siano x_{1}, x_{2} ∈ X con la stessa immagine y in Y; essendo X connesso per archi esso possiede un cammino γ da x_{1} ad x_{2}. Esso è il sollevamento del suo trasformato γ̃ mediante ϕ che è un laccio in Y di origine y ed è quindi omotopo per ipotesi al cammino costante in y. Per il corollario precedente il suo punto finale, che è x_{2}, deve coincidere col punto finale del sollevamento del cammino costante in y che è il cammino costante in x_{1}; quindi x_{1} = x_{2}.

Sia ϕ : (X, x) → (Y, y) una applicazione continua. Se g : (Z, z) → (Y, y) è continua, una condizione necessaria affinché essa abbia un sollevamento f : (Z, z) → (X, x) è che ciò avvenga anche a livello di gruppi fondamentali; infatti se esiste f per cui g = ϕ ∘ f allora si ha anche g_{∗} = ϕ_{∗} ∘ f_{∗}. Questa condizione è anche sufficiente se ϕ è un rivestimento:

Proposizione 19 Sia ϕ : (X, x) → (Y, y) un rivestimento. Una applicazione continua g : (Z, z) → (Y, y) ha un sollevamento ad una f : (Z, z) → (X, x) se e solo se l’immagine di g_{∗} è contenuta nel sottogruppo associato al rivestimento

Dim. la necessità è come osservato sopra ovvia. Supponiamo che la condizione sia verificata. Costruiamo una f : (Z, z) → (X, x) nel modo che segue. Per z′ ∈ Z si scelga un cammino continuo α da z a z′ e consideriamo il punto di arrivo x′ del cammino che parte da x in X e che solleva t ↦ g(α(t)); mostreremo adesso che x′ non dipende dal particolare α scelto e definiremo f ponendo f(z) = x′. Ed infatti se β è un altro cammino in Z da z a z′, il cammino α^{−1} ∘ β è un laccio in (Z, z); la sua composizione con g induce per ipotesi un elemento dell’immagine di ϕ_{∗}, ossia è omotopo ad un laccio in (Y, y) che ha per sollevamento un cammino chiuso in (X, x); quindi anch’esso ha per sollevamento un cammino chiuso. Ne segue che il trasformato di α ∗ (α^{−1} ∗ β) per g ha per sollevamento che termina ancora in x′; essendo β omotopo ad α∗α^{−1}∗β, i loro trasformati tramite g hanno sollevamenti con eguale punto di arrivo. Quindi f è ben definita. Mostriamo che è continua. Siano z′ ∈ Z ed U un aperto contenente f(z′) e sul quale ϕ sia invertibile; quindi V = ϕ(U) è un aperto in Y che contiene g(z′) e ϕ : U → V ha una inversa ψ. Esiste quindi un aperto W in Z contenente z′ e tale che g(W) ⊂ V e possiamo supporre che tale W sia connesso per archi; mostreremo che su tale W l’applicazione f che abbiamo costruito coincide con ψ composta con la restrizione a W di g: in particolare che f è continua su W e quindi in z′. Infatti per calcolare f in uno z′′ ∈ W siamo liberi di scegliere come cammino da z a z′′ un prodotto β ∗ α ove α è un cammino fissato da z a z′ e β un cammino da z′ a z′′ tutto contenuto in W ed allora il sollevamento di g(β ∗ α) è ottenibile sollevando prima g(α) ed arrivando quindi in f(z′) ∈ U e poi componendo con ψ ∘ g(β) ottenendo così f(z′′) = ψ(g(z′′).

Corollario 20 Se ϕ : (X, x) → (Y, y) è un rivestimento e (Z, z) è semplicemente connesso allora ϕ_{∗} : [(Z, z), (X, x)] → [(Z, z), (Y, y)] è biunivoca. In particolare ϕ_{∗} : π_{n}(X, x) → π_{n}(Y, y) è biunivoca per ogni n ≥ 2

Dim. E’ iniettiva per il teorema di sollevamento delle omotopie ed è surgettiva per la proposizione precedente.

La definizione di rivestimento viene data in molti testi in modo diverso dal nostro; mostreremo ora che per il tipo di spazi che consideriamo (localmente contrattili) le due definizioni coincidono.

Proposizione 21 Sia ϕ : X → Y una applicazione tra spazi topologici. Sono fatti equivalenti:

(a) ϕ è un rivestimento

(b) esiste un ricoprimento aperto di X di aperti V tali che ϕ^{−1}(V) è esprimibile come unione disgiunta di aperti U di X per ognuno dei quali ϕ : U → V è un omeomorfismo

Dim. Supponiamo (a); sia V un aperto in Y che sia semplicemente connesso e sia U una componente connessa di ϕ^{−1}(V). Allora ovviamente ϕ : U → V è localmente invertibile; inoltre possiede il sollevamento dei cammini perché il rilevamento di un cammino in V che è assicurato dall’ipotesi (a) sarà un cammino in ϕ^{−1}(V) e quindi se parte da un punto di U che è una sua componente connessa deve restare tutto in U. Essendo V semplicemente connesso, ϕ : U → V è un omeomorfismo. Supponiamo (b); in particolare ϕ è localmente invertibile. Se α un cammino in Y, esiste una decomposizione 0 = t_{0} < ... < t_{n} = 1 tale che ogni α([t_{i}, t_{i+1}]) sia contenuto in un aperto V con la proprietà espressa in (b); in particolare tutte le restrizioni di α ai [t_{i}, t_{i+1}] comunque scelto x ∈ ϕ^{−1}(α(t_{i})) sono sollevabili a partire da x: il sollevamento di α è allora possibile incollando opportuni tali sollevamenti parziali.

Esercizi.

1. Si dimostri che ogni applicazione continua f : ℙ(ℝ)^{2} in se ha almeno un punto fisso (Si consideri il rivestimento ϕ : S^{2} → ℙ^{2}(ℝ) e si mostri l’esistenza di una f̃: S^{2} → S^{2} tale che ϕ ∘ f̃ = f ∘ ϕ...).

2. Sia ϕ : X → Y un rivestimento e sia Ω un aperto connesso di Y.

(a) si mostri che per ogni componente connessa A di ϕ^{−1}(Ω) la restrizione di ϕ induce un rivestimento di A su Ω

(b)(†) si caratterizzi in termini dei gruppi fondamentali quando accade che ϕ^{−1}(Ω) è connesso (sarà più facile rispondere dopo un prossimo paragrafo)

3. Per n ≥ 2 ogni applicazione continua di ℙ^{n}(ℝ) in ℙ^{1}(ℝ) è omotopa ad una applicazione costante

4. Sia f : ℙ^{n}(ℝ) → ℂ^{∗} = ℂ − {0} continua. Si mostri che se n > 1, per ogni intero dispari p esiste g : ℙ^{n}(ℝ) → ℂ^{∗} continua e tale che g^{p} = f. 5.(†)(†) Sia f : S^{n} → ℝ^{2} continua. Si mostri che se n ≥ 2 allora esiste x ∈ S^{n} per cui f(x) = f(−x) (per assurdo si consideri la normalizzata di f(x) − f(−x) e quindi la ”discesa” di essa ai proiettivi associati; si prenda quindi un cammino su S^{n} che congiunge due punti diametralmente opposti...) 6.(†) Se tre chiusi ricoprono S^{2} almeno uno di essi contiene un punto ed il suo antipodale. (se F, G sono due di tali chiusi si applichi l’esercizio precedente all’applicazione S^{2} ∋ x ↦ (d(x, F), d(x, G)) ∈ ℝ^{2} con d una distanza su S^{2} che induce la topologia: distinguere i casi secondo l’annullarsi delle componenti)

7. Sia X lo spazio topologico descritto scrivendo la cifra ”8” (se si preferisce si prendano due cerchi o due triangoli con un punto a comune). Si costruiscano (empiricamente con disegni) due spazi topologici X_{1}, X_{2} che non siano omeomorfi tra loro e che siano entrambi domini di rivestimenti a due fogli di X. Si cerchi poi di giustificare il risultato in termini matematici, dimostrando anche che essi esauriscono tutti i possibili spazi del genere.

8. Sia (X, ∗) uno spazio topologico connesso (per archi). Si determini in che relazione stanno l’insieme [S^{1}, X] (omotopia ”libera”) e π_{1}(X, ∗)

9. Sia f : s^{1} → S^{1} continua. Se ϕ(∗) = ∗ possiamo considerare l’omomorfismo ϕ_{∗} che sarà un endomorfismo di ℤ quindi la moltiplicazione per un intero n che viene detto il grado di f. Si trovi un modo ”sensato” di definire il grado anche quando ∗ non è fisso e si dimostri che f ha necessariamente almeno |n − 1| punti fissi distinti (definito il grado, utilizzando l’esercizio precedente o altro metodo, si sollevi f ad una applicazione f̃ di ℝ in se utilizzando il rivestimento ”naturale” ℝ → S^{1} e si mostri dapprima che f̃(x + 1) = f̃(x) + n...)

Classificazione dei rivestimenti con punto base Mostreremo in questo paragrafo che ”essenzialmente” i rivestimenti di uno spazio connesso con punto base (Y, y) corrispondono biunivocamente ai sottogruppi di π_{1}(Y, y). Precisiamo cosa si intende per ”essenzialmente”. Siano ϕ : (X, x) → Y, y) e ϕ′ : (X′, x′) → (Y, y) due rivestimenti dello stesso spazio con punto base; un morfismo di ϕ in ϕ′ è una applicazione continua f : (X, x) → (X′, x′) per la quale ϕ′∘f = ϕ; ciò equivale a richiedere che f sia un sollevamento di ϕ per il rivestimento ϕ′: per quanto visto avanti essa esiste se e solo se il sottogruppo Im(ϕ_{∗}) di π_{1}(Y, y) associato al rivestimento ϕ è contenuto in quello Im(ϕ′_{∗}) associato a ϕ′ ed in tal caso esso è univocamente determinato (due di essi avrebbero la stessa ombra per ϕ′ e coincidendo nel punto base sarebbero identici). In particolare se ϕ e ϕ′ hanno lo stesso sottogruppo associato, un tale morfismo esiste ed è dato da un omeomorfismo tra X ed X′; in tal caso essi sono detti rivestimenti isomorfi e saranno usualmente identificati. Nota. Tale identificazione non crea ambiguità perché non solo esiste un isomorfismo tra X ed X′ ma ne è stato prefissato uno ben preciso: quello che proviene dal sollevamento di ϕ. Nota. Per capire cosa intendiamo, si pensi a situazioni analoghe nella teoria degli spazi vettoriali: asserire che uno spazio V è isomorfo ad ℝ equivale a dire che esso ha dimensione 1 ma non precisando un isomorfismo specifico, non si può dire se un elemento di V è positivo o parlare della sua lunghezza: rimane l’ambiguità data dal gruppo degli automorfismi di ℝ. Così l’applicazione dall’insieme {rivestimenti di (Y, y)}/ (mod. isomorfismo) nell’insieme dei sottogruppi di π_{1}(Y, y) è iniettiva. Mostreremo ora che tale applicazione è anche surgettiva, ossia che per ogni sottogruppo H di π_{1}(Y, y), esiste un rivestimento ϕ : (X, x) → (Y, y) di cui H è il sottogruppo associato. Il primo passo sarà mostrare che esiste un rivestimento ϕ : (X, x) → (Y, y) con (X, x) semplicemente connesso. A. Costruzione di (X, x) come insieme: per y′ ∈ Y indichiamo con Π(y′) l’insieme delle classi di omotopia ad estremi fissi di cammini che in Y vanno da y ad y′ e prendiamo per X l’unione dei Π(y′) al variare di y′ in Y; come punto base di X prendiamo la classe del cammino costante in y. Definiamo poi ϕ : X → Y come l’applicazione che ad un cammino che parte da y associa il suo punto di arrivo. B. Topologia in X: fissati un aperto semplicemente connesso U in Y, ed un cammino γ in Y che parte da y ed arriva in un punto u di U, indichiamo con B(U, γ) ⊂ X l’insieme delle classi di omotopia di cammini che sono un prodotto γ ∗α ove γ è un cammino contenuto in U che parte u. Tali B(U, γ) costituiscono una base per una topologia su X. C. ϕ è localmente invertibile: con la topologia fissata l’applicazione ϕ : X → Y sopra definita è invertibile su ogni aperto della forma B(U, γ) ( perché in U che è semplicemente connesso, la classe di omotopia di un cammino che unisce due punti è unica). D. ϕ ha la proprietà del sollevamento dei cammini: sia x′ un punto di X, rappresentato da un cammino τ che parte da y ed arriva in y′ ∈ Y; se α è un cammino in Y che parte da ϕ(x′) = τ(1) esso ha per sollevamento il cammino s ↦ α_{s} ∗ τ ove α_{s} è definita da t ↦ α(s · t). E. X è semplicemente connessa: intanto è connesso; infatti se x′ ∈ X è rappresentato dalla classe di un cammino α in Y che parte da y, allora s ↦ α_{s} ove α_{s} è come in D., rappresenta un cammino in X che và da x ad x′. Basterà allora mostrare che Im(ϕ_{∗}) è il sottogruppo banale di π_{1}(Y, y). Ed infatti dato un laccio α in (Y, y), il suo sollevamento in (X, x) che abbiamo costruito in D. termina nella classe di α: quindi asserire che α ha un sollevamento che è un laccetto in (X, x) equivale ad asserire che α definisce la classe nulla in π_{1}(Y, y).

Quindi (Y, y) ha un rivestimento semplicemente connesso: esso, unico a meno di isomorfismi, è detto il suo rivestimento universale; tale nome è giustificato dal fatto che da esso si possono ottenere a meno di isomorfismi tutti gli altri rivestimenti con un procedimento che spiegheremo nel prossimo paragrafo.

Quozienti per l’azione di un gruppo. Siano G un gruppo ed X uno spazio topologico. Supponiamo che per ogni g ∈ G sia stata fissata una applicazione σ_{g} : X → X in modo che se g, h ∈ G ed e è la sua identità si abbia σ_{gh} = σ_{g} ∘ σ_{h} e σ_{e} = Id_{X} = identità di X in se stesso. Allora ogni tale σ_{g} è biunivoca (la sua inversa sarà σ_{g^{−}1}) e tali dati non sono altro che l’aver assegnato un omomorfismo σ del gruppo G nel gruppo P(X) delle permutazioni su X. Diremo allora che è stata fissata una azione del gruppo G su X od anche che G agisce su X. Nel seguito supporremo che tale azione sia effettiva nel senso che σ : G → P(X) sarà supposta iniettiva. Se X è uno spazio topologico ed ogni σ_{g} è continua, allora essa è un omeomorfismo di X in se e diremo che si ha una azione continua. Ad esempio un flusso su X come definito in un precedente paragrafo è una azione continua di ℝ sullo spazio topologico X di cui abbiamo però richiesto anche la continuità rispetto al parametro in ℝ dotato della topologia euclidea; qui invece non si richiede ciò (equivale a considerare il gruppo dotato della topologia discreta). D’ora in poi supporremo che sia stata fissata una azione continua del gruppo G sullo spazio topologico X e scriveremo g(x) al posto di σ_{g}(x). Diremo che x, x′ ∈ X sono equivalenti se e solo se esiste g ∈ G tale che g(x) = x′. Questa è una relazione di equivalenza su X; la classe di equivalenza [x] di un x ∈ X è orbita di x definita da G(x) = {g(x) : g ∈ G}. Indichiamo con ϕ : X → X/G il passaggio al quoziente per tale relazione; la topologia su X/G sarà la topologia quoziente di quella di X. Nel seguito esamineremo questa situazione solo nel caso speciale che siano soddisfatte le due condizioni seguenti:

- l’azione è priva di punti fissi: ossia per g ∈ G ed x ∈ X si ha g(x) = x solo se g è l’identità di G; in particolare l’azione sarà effettiva.

- l’azione è propriamente discontinua: ossia ogni coppia di punti x_{1}, x_{2} in X hanno intorni U_{1}, U_{2} tali che g(U_{1}) ∩ U_{2} è non vuoto solo per un numero finito di g ∈ G. Esercizi.

1. Sia G ⊂ ℝ^{n} un sottogruppo di ℝ^{n} che sia discreto come sottoinsieme di ℝ^{n}. Allora G agisce su ℝ^{n} per traslazioni (se g ∈ G ed x ∈ ℝ^{n} si pone g(x) = x + g). il quoziente ℝ^{n}/ℤ^{n} è il toro T^{n} di dimensione n ed è omeomorfo ad (S^{1})^{n}.

2. Siano n ≥ 2 un intero, ω = cos(2π/n) + i sin(2π/n) (radice n−esima dell’unità) e 0 < p < n un intero. Identifichiamo ℂ^{2} con ℝ^{4} e di conseguenza S^{3} con {(z, w) ∈ ℂ^{2} : |z_{1}|^{2} + |z_{2}|^{2} = 1}. sia ϕ : S^{3} → S^{3} definita da ϕ(z_{1}, z_{2}) = (ω · z_{1}, ω^{p} · z_{2}). Essa è un omeomorfismo di S^{3} in se che ha periodo n e genera quindi una azione di G = ℤ/nℤ su S^{3}. Se p è primo con n tale azione è priva di punti fissi; il quoziente S^{3}/G è lo spazio lenticolare L(n, p). 3.(♯) Siano ϕ, ψ : ℝ^{2} → ℝ^{2} definite da ϕ(x, y) = (x, y + 1) e ψ(x, y) = (x + 1/2, −y) e sia G il gruppo di omeomorfismi (affini) di ℝ^{2} da essi generato. Si mostri che:

(a) il sottogruppo H ⊂ G generato da ϕ e ψ^{2} è quello dell’esercizio 1. con n = 2; esso è invariante ed ha indice due in G (si costruisca un omomorfismo G → {+1, −1} considerando l’orientazione di una trasformazione affine).

(b) G è propriamente discontinuo e privo di punti fissi.

(c) ℝ^{2}/G è omeomorfo alla bottiglia di Klein

Proposizione 22 Se l’azione del gruppo G sullo spazio topologico connesso X è propriamente discontinua e priva di punti fissi, allora ϕ : X → X/G è un rivestimento

Dim. Ogni x ∈ X ha un intorno A tale che g(A)∩A ≠ ∅ solo per un numero finito di g ∈ G: siano essi g_{0}, ..., g_{r} distinti, con g_{0} = e l’identità. Essendo l’azione priva di punti fissi i punti x, g_{1}(x), ..., g_{r}(x) sono distinti ed hanno quindi intorni A_{0}, ..., A_{r} disgiunti. Sia U un intorno aperto di x contenuto in A e tale che g_{i}(U) ⊂ A_{i} per i = 0, ..., r. Per g ≠ h distinti in G si ha allora g(U) ∩ h(U) = ∅. Infatti supponiamo sia non vuoto: allora U ∩(g^{−1}·h)(U) ≠ ∅ e quindi g^{−1}·h non essendo l’identità è uno dei g_{i}; ciò non può essere perché U ⊂ A_{0} e g_{i}(U) ⊂ A_{i} che sono disgiunti. Quindi ϕ è iniettiva su g(U) per ogni g ∈ G; ne segue che V = ϕ(U) è aperto in X/G (perché ϕ^{−1}(U) è l’unione dei g(U) al variare di g ∈ G) e induce un omeomorfismo tra g(U) e V per ogni g ∈ G. Per applicare la proposizione 21 resta da verificare che X/G è localmente contrattile, connesso e di Hausdorff. Quanto appena visto assicura che X/G ha le stesse proprietà locali che X; che è connesso segue dal fatto che è immagine di X che lo è. Vediamo che è di Hausdorff: siano x, y in X con immagini distinte in X/G; costruiamo per essi intorni aperti U per x come sopra e V in modo analogo ma a partire da y. Basterà mostrare che tali U, V possono essere trovati in modo che sia anche g(U) ∩ h(V) ≠ ∅ per ogni g, h ∈ G (si noti che ciò equivale a richiedere che sia g(U)∩V ≠ ∅ per ogni g ∈ G) perché allora le immagini di U e V in X/G saranno intorni disgiunti delle classi di x ed y. Per l’ipotesi di discontinuità dell’azione, possiamo intanto supporre che esistano solo un numero finito g_{1}, ..., g_{r} per cui ciò non accade. Per i = 1, ..., r i punti g_{i}(x) ed y sono distinti ed hanno quindi intorni disgiunti W_{i} e V_{i}. Possiamo restringere U ad un intorno aperto U′ di x in modo che sia g_{i}(U′) ⊂ W_{i} e restringere V ad un V′ di modo che sia V ⊂ V_{i} e ciò accada per ogni i = 1, ..., r. Allora sarà g_{i}(U′) ∩ V′ = ∅ per i = 1, ..., r ed anche g(U′) ∩ V′ = ∅ per ogni altro g ∈ G perché ciò accadeva già per U e V.

Proposizione 23 Sia G un sottogruppo del gruppo Aut(ϕ) degli automorfismi di un rivestimento ϕ : X → Y. Allora:

(a) l’azione di G su X è propriamnte discontinua e priva di punti fissi; si ha così un rivestimento ψ : X → X/G

(b) esiste una ed una sola applicazione ϕ′ : X/G → Y per la quale ϕ = ϕ′ ∘ ψ ed essa è un rivestimento

(c) il rivestimento ϕ′ è banale se e solo G = Aut(ϕ) e scelti punti base x ∈ X e ϕ(x) = y ∈ Y, il sottogruppo associato al rivestimento ϕ è invariante in π_{1}(Y, y); in tal caso si ha Aut(ϕ) ≃ π_{1}(Y, y)/Im(ϕ_{∗})

Dim. (a) Se un f ∈ Aut(ϕ) ha un punto fisso, esso coincide con l’identità (ha la stessa ombra e coincide con essa in un punto). Quindi l’azione di Aut(ϕ) è priva di punti fissi. Mostriamo che è propriamente discontinua: se x_{1}, x_{2} hanno proiezioni distinte in Y, queste hanno intorni disgiunti e le loro immagini inverse U_{1}, U_{2} in X sono intorni dei punti dati ed è g(U_{1}) ∩ U_{2} = ∅ per ogni g ∈ G che non sia l’identità. Se x_{1} e x_{2} hanno la stessa immagine in Y, scegliamo un intorno V aperto e connesso di y tale che ϕ sia invertibile su ogni componente connessa di ϕ^{−1}(V): se U_{1}, U_{2} sono quelle componenti connesse che contengono rispettivamente x_{1} ed x_{2} allora vi è al più un elemento g ∈ Aut(ϕ) per il quale g(U_{1}) ∩ U_{2} ≠ ∅ (perché per ogni tale g si avrebbe g(x_{1}) = x_{2}). Quindi Aut(ϕ) ha le proprietà richieste ed a maggior ragione le avrà ogni suo sottogruppo G.

(b) l’esistenza ed unicità di ϕ′ è un semplice fatto insiemistico. Se U è un aperto in X sul quale sia ϕ che ψ sono invertibili, allora sull’aperto ψ(U) l’applicazione ϕ′ è composizione di ψ^{−1} : ψ(U) → U con ϕ : U → ϕ(U) entrambe omeomorfismi; quindi ϕ′ è invertibile su ψ(U). Per verificare la sollevabilità dei cammini, basta sollevare un cammino di Y ad X e poi proiettarlo con ψ su X/G (la scelta dell’opportuno punto di partenza su X è possibile perché ψ è surgettiva).

(c) supponiamo che ϕ′ sia banale, ossia che se x_{1}, x_{2} ∈ X sono tali che ϕ(x_{1}) = ϕ(x_{2}) allora esiste g ∈ G con g(x_{1}) = x_{2}. Siano α, β lacci in Y che partono da y e supponiamo che la classe di α in π_{1}(Y, y) stia in Im(ϕ_{∗}): ciò equivale a richiedere che il suo sollevamento α̃ a partire da x sia un laccio. Mostriamo che anche β^{−1} ∗ α ∗ β dà una classe in Im(ϕ_{∗}), verificando che il suo sollevamento a partire da x è un laccio. Ed infatti se β̃ solleva β a partire da x ed x′ ∈ X è il suo punto di arrivo, si avrà ϕ(x) = ϕ(x′) ed esiste quindi g ∈ Aut(ϕ) per cui g(x) = x′. Allora β̃^{−1} ∗ g(α̃) ∗ β̃ è il cammino che solleva β^{−1} ∗ α ∗ β a partire da x ed è un laccio; quindi Im(ϕ_{∗}) è un sottogruppo invariante in π_{1}(Y, y). Supponiamo ora che Im(ϕ_{∗}) sia invariante: mostreremo che per ogni x′ ∈ ϕ^{−1}(y) esiste un automorfismo g di ϕ per cui g(x) = x′. Confrontiamo i due rivestimenti con punto base ϕ : (X, x) → (Y, y) e ϕ : (X, x′) → (Y, y); se mostriamo che essi hanno associato lo stesso sottogruppo di π_{1}(Y, y) allora essi saranno isomorfi: un tale isomorfismo g avrà le proprietà richieste. Scegliamo un cammino β in X da x ad x′; la sua immagine β̄ in Y è un laccio in (Y, y): l’isomorfismo π_{1}(X, x) → π_{1}(X, x′) associato a β è indotto (vedi la discussione fatta in un precedente paragrafo sul cambiamento del punto base) da Ω_{1}(X, x) ∋ α ↦ β^{−1} ∗ α ∗ β ∈ Ω_{1}(X, x′). Quindi se β̄ è l’immagine di β in Y, il sottogruppo ϕ_{∗}(π_{1}(X, x′)) è ottenuto dal sottogruppo ϕ_{∗}(π_{1}(X, x)) per il coniugio interno determinato dalla classe di β̄ ed essendo esso invariante non viene modificato e ciò dimostra l’esistenza di g. Sia ora α un laccetto in (Y, y) e sia x′ il punto di arrivo del suo sollevamento a partire da x; questo dipende solo dalla classe di omotopia di α e si ottiene così un omomorfismo π_{1}(Y, y) → Aut(ϕ_{∗}). Esso è surgettivo perché ogni x′ ∈ ϕ^{−1}(y) è ottenibile con un opportuno α. Il suo nucleo è dato esattamente dagli elementi che stanno in Im(ϕ_{∗}), ossia le classi degli α che sollevati a partire da x terminano in x. Ciò dimostra l’ultima affermazione di (c).

Corollario 24 Se un gruppo G agisce su uno spazio semplicemente connesso X in modo propriamente discontinuo e senza punti fissi, allora scelto y ∈ Y = X/G si ha un isomorfismo naturale π_{1}(Y, y) ≃ G

Corollario 25 Siano (Y, y) connesso ed H un sottogruppo di π_{1}(Y, y). Allora esiste un rivestimento ϕ : (X, x) → (Y, y) per cui Im(ϕ_{∗}) = H

Dim. Un tale X è ottenibile da un rivestimento universale di Y, dividendo per l’azione di H (prop. 23 (c)).

Quest’ultimo risultato completa la classificazione dei rivestimenti di uno spazio connesso Y, y): modulo isomorfismo, i suoi rivestimenti sono tanti quanti i sottogruppi di π_{1}(Y, y). Il corollario 24 permette di calcolare nuovamente il gruppo fondamentale degli spazi proiettivi reali attraverso la descrizione esplicita del loro rivestimento universale. Esercizi.

4. Mostrare che se ϕ : X → Y è un rivestimento ad un numero finito di fogli, allora essa è una applicazione chiusa (ossia ϕ(F) è chiuso in Y per ogni chiuso F di X). Vale anche il viceversa?

5. Mostrare che il numero di fogli di un rivestimento ϕ : (X, x) → (Y, y) è l’indice del sottogruppo associato in π_{1}(Y, y) (ossia il numero delle sue classi laterali, sinistre o destre).

6. Sia ϕ : X → Y una applicazione localmente invertibile tra spazi connessi. Si mostri che se X è compatta se e solo se ϕ è un rivestimento ad un numero finito di fogli ed anche Y è compatta. 7.(♯) Si mostri che una applicazione ϕ localmente invertibile tra spazi connessi che sia propria (ossia ϕ^{−1}(K) è compatto in X per ogni compatto K in Y) è un rivestimento ad un numero finito di fogli. 8.(†) Sia ϕ : X → Y localmente invertibile tra spazi connessi di cui Y metrico. Se esiste una funzione continua ϵ : Y →]0, +∞[ di modo che ogni x ∈ X ha un intorno aperto U sul quale ϕ è invertibile e tale che ϕ(U) contiene la palla di centro x e raggio ϵ, allora ϕ è un rivestimento. Vale anche il viceversa?

9. Per due rivestimenti su uno stesso (Y, y) connesso, come si interpreta il fatto che i loro sottogruppi associati sono uno contenuto nell’altro?

10. Sia K la bottiglia di Klein (v. esercizio 3). Si mostri che ogni applicazione continua ϕ : S^{2} → K è omotopa ad una costante.

11. (♯) Le uniche azioni propriamente discontinue e prive di punti fissi su X = ℝ sono, ”a meno di isomorfismi”, quella banale di G = (0) e quella standard di G = ℤ data da g(x) = x + g (si precisi prima in modo sensato cosa significa che due azioni sono ”isomorfe”).

12. Mostrare che un gruppo che agisce in modo propriamente discontinuo e senza punti fissi su uno spazio compatto, è necessariamente un gruppo finito.

Descrizione dei rivestimenti tramite la loro monodromia. Sia ϕ : X → (Y, y) un rivestimento (si noti che abbiamo fissato il punto base su Y ma non su X), e siano G = π_{1}(Y, y) ed I = ϕ^{−1}(y). Come visto in precedenza, associando ad un x ∈ I il punto finale del sollevamento a partire da un x ∈ I di un qualsiasi rappresentante di una classe g ∈ G si ottiene un punto ν_{g}(x); tale ν_{g} è una permutazione su I e si ha così un omomorfismo ν : G → P(I) che viene detto omomorfismo di monodromia del rivestimento. Tale ν definisce quindi una azione del gruppo G sull’insieme I; essa è transitiva, ossia possiede una unica orbita ( per ogni i, j ∈ I esiste g ∈ G tale che g(i) = j. Mostreremo adesso che ciò stabilisce una corrispondenza biunivoca tra {rivestimenti di (Y, y)}/ ≃ ed {azioni transitive di G su un insieme}/ ≃ ove ≃ indica la adeguata nozione di isomorfismo. Ed infatti data una azione transitiva ν : G → P(I), si fissi i_{0} ∈ I e sia G_{i_{0}} il sottogruppo dei g ∈ G tali che g(i_{0}) = i_{0} (detto il gruppo di isotropia di i_{0}). L’applicazione G ∋ g ↦ g(i_{0}) ∈ I è surgettiva per ipotesi; inoltre g_{1}, g_{2} hanno la stessa immagine se e solo se g_{1}^{−1}g_{2} appartiene a G_{i_{0}}, ossia se e solo se le classi laterali sinistre g_{1}G_{i_{0}} e g_{2}G_{i_{0}} coincidono. Quindi I può essere identificato con l’insieme G/G_{i_{0}} di tali classi. Con tale identificzione, l’azione è descritta da g(g_{1}G_{i_{0}}) = (gg_{1})G_{i_{0}} ossia è indotta dalla traslazione a sinistra su G. Sia ora σ : (X, x) → (Y, y) il rivestimento universale di (Y, y) sul quale agisce G = π_{1}(Y, y) e sia ϕ′ : (X′, x′) → (Y, y) quello ottenuto dividendo per l’azione di H = G_{i_{0}} (vedi corollario 25). Anche la fibra di ϕ′ su y viene identificata con l’insieme delle classi laterali di H in G e tale identificazione porta la monodromia di ϕ′ nell’azione ν. Siccome il sottogruppo associato a tale rivestimento è proprio G_{i_{0}} si ha l’unicità a meno di isomorfismi di ϕ′.

Esercizi.

1. Per n ∈ ℤ determinare gli automorfismi del rivestimento ϕ : ℝ/nℤ → ℝ/ℤ.

2. Sia X l’unione dei cerchi di raggio 1 in ℝ^{2} aventi centri in (−2, 0) , (0, 0) e (2, 0). Si dimostri che ogni azione propriamente discontinua senza punti fissi su esso è data da un gruppo con uno o due elementi e che ne esiste una a due elementi. Il quoziente di questa possiede altri rivestimenti a due fogli non isomorfo quello indotto da tale azione? 3.(♯) Sia ϕ : (X, x) → (Y, y) il rivestimento determinato dal sottogruppo H di G = π_{1}(Y, y). Si calcoli in termini di G ed H il gruppo Aut(ϕ). 4.(♯) Sia D un insieme finito di n punti sulla retta in ℝ^{2} di equazione y = 1 e sia scelto per ogni x ∈ D un cerchio C_{x} di centro x a cui l’origine di ℝ^{2} sia esterna e tali che per ogni x, x′ distinti in D tali cerchi siano l’uno esterno all’altro. Per x ∈ D sia γ_{x} un laccio in ℝ^{2}−D che parte dall’origine, percorre il segmento [0, 1] sino ad incontrare C_{x} lo percorre in senso antiorario e torna quindi all’origine seguendo nuovamente [0, x]. Si dimostri che:

(a) le classi di omotopia dei γ_{x} per x ∈ D danno un sistema di generatori di π_{1}(ℝ^{2} − D, 0).

(b) sia I un insieme finito di cardinalità p ≥ 2; comunque si fissi per x ∈ D una σ_{x} ∈ P(I), esiste uno ed un solo omomorfismo σ : π_{1}(ℝ^{2} − D, 0) → P(I) che per ogni x ∈ D associa σ_{x} a γ_{x}.

(c) supponiamo che in (b) ogni σ_{x} sia una trasposizione (esattamente due elementi di I vengono scambiati) e che σ sia transitiva. Se il rivestimento associato a σ si estende ad un rivestimento di S^{2} (identifichiamo ℝ^{2} con S^{2} meno un punto), allora n è pari e maggiore od uguale a 2p − 2.

Gruppi descritti per generatori e relazioni

Sia ϕ : S → G una applicazione di un insieme S in un gruppo G. Diremo che G è libero su ϕ (diremo anche:su S, ritenendo ϕ sottintesa) se per ogni applicazione ψ di S in un gruppo W esiste uno ed un sol omomorfismo σ : G → W per il quale ψ = σ∘ϕ. Per concretizzare l’idea, si pensa a ϕ come una indicizzazione di certi elementi di G, tale che per costruire un omomorfismo di G in un gruppo W è necessario ma anche sufficiente scegliere ed in modo arbitrario come applicare tali elementi in W. E’ chiaro che se ϕ possiede tale proprietà allora sarà iniettiva. Si noti che se ϕ′ : S → G′ possiede anch’essa tale proprietà, allora esiste σ : G → G′ per cui ϕ′ = ϕ ∘ σ, ma anche una τ : G′ → G per cui ϕ = ϕ′ ∘ τ; allora τ ∘ σ : G → G verifica ϕ ∘ (τ ∘ σ) = ϕ ∘ id_{G} ove id_{G} è l’identità su G; per l’ipotesi fatta sulla unicità, si deduce che τ ∘ σ = id_{G}. analogamente si ottiene che σ ∘ τ = id_{G′} e quindi σ e τ sono isomorfismi, uno l’inverso dell’altro. Quindi dato S esiste, a meno di isomorfismi, al più una ϕ : S → G che possiede tale proprietà: tale G sarà detto il gruppo libero (non abeliano) costruito su S e sarà indicato con F (S) ed S sarà identificato ad un sottoinsieme di F (S) tramite ϕ. Questa pedanteria nel distinguere S dalla sua immagine in F (S) è necessaria, anche se poi si dimentica solitamente di considerarla esplicitamente; per capire le ragioni di tale necessità, di cui si deve in certe circostanze tenere conto, si pensi all’analoga situazione nel caso di spazi vettoriali: una base di uno di essi è spesso definita come un ”sottoisieme” S dello spazio vettoriale che ha l’analoga proprietà di determinare gli omomorfismi in altri spazi vettoriali, assegnando comunque i valori sui suoi elementi; ma talvolta si parla di cambiamento di base, anche per lo scambio tra loro di di due elementi di S, quindi esso non è un sottoinsieme ma piuttosto una n−upla di elementi, di fatto quindi un sottoinsieme indicizzato, sovente da {1, ..., n}. Nella pratica comunque tutto ciò rimarrà ampiamente sottinteso.

Esercizi.

1. Si dimostri che se S ha un solo punto e ϕ lo applica in 1 ∈ ℤ (oppure in −1 ∈ ℤ), allora è verificata la proprietà che caratterizza i gruppi liberi: ossia ℤ è il gruppo libero in un elemento.

2. Si dimostri che se F (S) esiste ed S ha più di un elemento allora esso non è abeliano.

3. Si dimostri che se F (S) esiste, esso è generato (secondo la definizione usuale) dai trasformati di S per ϕ. 4.(†) Siano S_{1}, S_{2} due insiemi di cui S_{1} finito. Si dimostri che F (S_{1}) ed F (S_{2}) se esistono, sono isomorfi se e solo se anche S_{2} è finito ed ha la stessa cardinalità di S_{1}. (si considerino gli spazi vettoriali su ℤ/2ℤ ”liberi” su S_{1} ed S_{2}).

Indicheremo ora come si possa costruire il gruppo F (S). Se S è un insieme, indichiamo con S̃ l’insieme S × {+1, −1}; un elemento (s, ϵ) ∈ S̃ sarà anche scritto s^{+1} od anche semplicemente s se ϵ = +1 altrimenti s^{−1}. Per n ∈ ℕ una parola di lunghezza n in S è una successione finita P = (s_{1}^{ϵ_{1}} · ... · s_{n}^{ϵ_{n}}) di elementi di S̃; essa sarà scritta anche s_{1}^{ϵ_{1}} · ... · s_{n}^{ϵ_{n}}. L’insieme di tutte le parole in S di lunghezza ≥ 0 è un semigruppo associativo rispetto alla moltiplicazione ottenuta scrivendo due parole una di seguito all’altra; tale semigruppo ha come identità e l’unica parola di lunghezza zero. Diremo inversa di una parola P la parola P^{−1} ottenuta rovesciando l’ordine dei fattori e cambiando segno ad ogni esponente: in alcun modo P^{−1} è l’inversa di P nel senso moltiplicativo; ossia non si ha P · P^{−1} = e (a meno che sia P = e). Diremo espansione elementare di una parola P una parola P′ ottenta ”inserendo entro” P un elemento E del tipo s · s^{−1} o s^{−1} · s: precisamente se Q_{1}, Q_{2} sono parole per cui P = Q_{1} · Q_{2} allora P′ = Q_{1} ·E ·Q_{2} è una sua tale espansione; diremo anche che P è una contrazione elementare di P′. Due parole sono equivalenti se si può passare da l’una all’altra con una successione finita di tali due cambiamenti. La moltiplicazione tra parole è compatibile con questa relazione di equivalenza e passa quindi al quoziente che sarà indicato con F (S) e detto il gruppo delle parole su S (attenzione che gli elementi di F (S) non sono parole ma classi di esse): infatti si verifica facilmente che F (S) è un gruppo e che la (ovvia) applicazione S → F (S) soddisfa la proprietà che caratterizza un gruppo libero su S.

Se ϕ : S → G è una applicazione di S in un gruppo G, per ogni parola P = s_{1}^{ϵ_{1}} · ... · s_{n}^{ϵ_{n}} si definisce un elemento in G ponendo ϕ(P) = ϕ(s_{1})^{ϵ_{1}} · ... · ϕ(s_{r})^{ϵ_{r}}. Se S è un insieme ed R è un insieme di parole in S, diremo che una applicazione ϕ : S → G in un gruppo G è il gruppo di presentazione {S; R} se valgono le due condizioni seguenti:

- per ogni parola P ∈ R si ha che ϕ(P) è l’identità e_{G} di G

- per ogni applicazione ψ di S in un gruppo W tale che ψ(P) = e_{W} per ogni P ∈ R, esiste uno ed un sol omomorfismo σ : G → W tale che ψ = σ ∘ ϕ.

Come sopra si dimostra che tale gruppo (si dovrebbe dire ”tale” ϕ) se esiste è univocamente determinato a meno di isomorfismi e scriveremo G = {S; R}; se S = {s−1, ..., s_{n}} ed R = {P_{1}, ..., P_{m}} sono finiti diremo che G è di presentazione finita e sarà indicato con la scrittura {s_{1}, ..., s_{n}; P_{1}, ..., P_{m}}.

Nota. In pratica è più conveniente scivere parole con esponenti ϵ_{i} ∈ ℤ anziché in {+1, −1}, raggruppando con un unico esponente vari fattori consecutivi che siano uguali od opposti tra loro od anche inserire od elidere all’interno di una parola elementi del tipo s · s^{−1} con s ∈ S; che ciò non crea ambiguità può essere facilmente dimostrato. Spesso scriveremo in una presentazione non una parola P per la quale sia richiesto che ϕ(P) sia l’identità, ma una ”equaglianza” tra due parole P = Q (di solito diverse) con la richiesta che ϕ(P) = ϕ(Q); è chiaro come da un tipo di scrittura si possa passare all’altro senza alterare il gruppo che si vuol definire.

L’esistenza di un gruppo di data presentazione si può ottenere in modo analogo a quello seguito per i gruppi liberi: si allarga la nozione di equivalenza tra parole su S ammettendo anche l’inserimento all’interno di una parola di elementi del tipo E = Q·H ·Q^{−1} ove H ∈ R, Q è una parola e Q^{−1} la sua inversa (formale).

Esercizi.

5. Si dimostri che {s; s^{n}} è una presentazione di ℤ/nℤ.

6. Si dimostri che il gruppo {a, b; a^{2}, b^{2}, (ab)^{3}} non è abeliano.

7. Si trovi una presentazione di ℤ^{2}.

Lemma 26 Se {S; R} è una presentazione di un gruppo G, allora S ne è un sistema di generatori

Dim. Segue dalla unicità del gruppo di data presentazione.

Se P_{1} e P_{2} sono parole negli insiemi S_{1}, S_{2}, indicheremo con P_{1} ∗ P_{2} la parola in S_{1} ∪ S_{2} ottenuta scrivendo le due parole una di seguito all’altra.

Proposizione 27 Siano ϕ_{1} : H → G_{1} e ϕ_{2} : H → G_{2} omomorfismi di gruppi e siano {S_{1}; R_{1}} ed {S_{2}; R_{2}} presentazioni di G_{1} e G_{2} e Δ ⊂ H un sistema di generatori di H. Per ogni x ∈ Δ sia P_{1}(x) una parola in S_{1} che rappresenti ϕ_{1}(x) e P_{2}(x) una in S_{2} che rappresenti ϕ_{2}(x). Allora {S_{1} ∪ S_{2}; R_{1}, R_{2}, D}, ove D è il sistema di eguaglianze {P_{1}(x) = P_{2}(x) ; x ∈ Δ} è una presentazione per il prodotto amalgamato G_{1} ∗_{H} G_{2}

Dim. E’ una verifica formale delle definizioni date.

Corollario 28 Dati comunque due omomorfismi di gruppi ϕ_{1} : H → G_{1} e ϕ_{2} : H → G_{2}, esiste il loro prodotto amalgamato G_{1} ∗_{H} G_{2}. Se inoltre H è finitamente generato e G_{1}, G_{2} sono di presentazione finita, allora anche G_{1} ∗_{H} G_{2} lo è

Dim. Ogni gruppo G ha una presentazione: ad esempio si prenda per S tutto G e per R l’insieme di tutte le parole su S che ”applicate” in G danno l’elemento identità. Si può quindi applicare la proposizione precedente.

Metodi simpliciali. Sarà stata notata certamente la stretta somiglianza tra le argomentazioni svolte nel paragrafo precedente e quelle relative alla descrizione del gruppo fondamentale di uno spazio topologico X sul quale fosse assegnato un ricoprimento aperto U = (U_{i})_{i∈I}; tale ricoprimento era supposto verificare l’ipotesi che non solo ogni U_{i} fosse non vuoto, ma anche che per ogni i, j, k ∈ I, l’intersezione U_{i} ∩ U_{j} ∩ U_{k} fosse semplicemente connessa se non vuota; di fatto quasi sempre nelle applicazioni (certamente in quelle che abbiamo in mente noi) si verifica una proprietà più forte: tutte le intersezioni finite di elementi di U se non vuote sono contrattili (si dice allora che U è un ricoprimento semplice). Da questo punto in poi, per il calcolo del gruppo fondamentale di X (ma con tale ipotesi più forte anche gran parte degli invarianti omotopici che si possono associare ad X) l’unico dato rilevante era il seguente: per quali insiemi finiti s ⊂ I si ha che ⋂_{i∈s} U_{i} ≠ ∅. Il dato combinatorio sul quale si fanno i calcoli è quindi il seguente:

- sia dato un insieme (di ”indici”) I ed una famiglia K di sottoinsiemi finiti di I che contenga quelli fatti di un solo punto e che se contiene un sottoinsieme contiene anche tutti quelli contenuti in lui. La coppia (I, K) è allora detto uno schema simpliciale che indicheremo anche semplicemente con K quando non siano possibili ambiguità. Associeremo adesso ad ogni tale schema uno spazio topologico ben preciso, utile a visualizzare un tale oggetto combinatorio, ma anche a stabilire applicazioni dei calcoli fatti su esso alla teoria degli spazi topologici, oltre quella descritta avanti per calcolare il gruppo fondamentale. Supponiamo dapprima che I sia finito e sia ℝ^{I} lo spazio vettoriale reale ”libero” su I: esso è identificabile con le funzioni a valori reali su I (più familiarmente, se si preferisce, posto I = {1, 2, ..., n}, con lo spazio standard ℝ^{n}); ogni i ∈ I sarà identificato con l’elemento di ℝ^{I} che vale 1 su i e 0 su tutti gli altri: essi formano la base standard di ℝ^{I}. Ora costruiamo un sottospazio di ℝ^{I} prendendo prima tutti i punti di I, poi aggiungendo per i, j ∈ I l’intervallo [i, j] se {i, j} ∈ K; poi il ”triangolo” di vertici i, j, k se {i, j, k} ∈ K (esso può essere definito come il minimo convesso di ℝ^{I} che contiene l’insieme {i, j, k} o equivalentemente come l’insieme delle combinazioni lineari x · i + y · j + z · k di tipo ”baricentrico” ossia con x, y, z non negativi ed aventi somma 1). Nello stesso modo si aggiugono i ”tetraedri” e così via. Alla fine si ottiene un sottospazio di ℝ^{I} che viene detto la realizzazione geometrica di K e viene indicata con |K|. La struttura di questo spazio è abbastanza semplice: è fatta di pezzi tutti molto elementari di tipo ”standard” e ”attaccati tra loro” in modo semplice (tanto è vero che non solo nei giuochi per bambini ma anche per costruire cose ”importanti” si segue spesso uno schema ”modulare” del genere). Se ci fermiamo, nella descrizione fatta sopra, ad aggiungere solo inviluppi convessi di p + 1 elementi (che formino uno dei sottoinsiemi ”elencati” in K) si ottiene un sottospazio di K che viene detto il suo scheletro di dimensione p ; esso è dello stesso tipo di K: è infatti la realizzazione geometrica dello schema simpliciale (I, K^{(p)}) ottenuto prendendo solo gli elementi di K che hanno cardinalità al più p+1. Diremo quindi che K^{(p)} è lo scheletro p−dimensionale dello schema K e che |K^{(p)}| quello della sua realizzazione geometrica. Dalla teoria svolta abbiamo visto che se K è ottenuto da un ricoprimento elementare di uno spazio topologico connesso X, le informazioni contenute in K^{(2)} sono già sufficienti a calcolare il gruppo fondamentale di X. La proposizione seguente dice (sostanzialmente) che |K| è lo spazio topologico più semplice che possiede un ricoprimento aperto con schema K:

Proposizione 29 Per i ∈ I sia U_{i} l’insieme dei punti x di |K| per cui x(i) > 0. Allora U = (U_{i})_{i∈I} è un ricoprimento aperto semplice e lo schema simpliciale a lui associato è K

E’ ovvio che ogni U_{i} è un aperto (è la parte di |K| ove la ”coordinata” i−esima è strettamente positiva). Esso è inoltre contrattile nel punto i, perchè per ogni x ∈ U_{i} il segmento [i, x] è tutto contenuto in U_{i}. Supponiamo ora che U_{i_{1}} ∩ U_{i_{2}} sia non vuoto e quindi che esista x ∈ K con x(i_{1}) e x(i_{2}) strettamente positivi; si vede facilmente che allora {i_{1}, i_{2}} ∈ K e che quindi anche il punto medio b = (1/2)i_{1} +(1/2)i_{2} del segmento [i_{1}, i_{2}] (ossia il suo ”baricentro”) stando in K stà in U_{i_{1}} ∩ U_{i_{2}}; con facili considerazioni sulle combinazioni lineari si mostra che U_{i_{1}} ∩ U_{i_{2}} è stellato in b: ossia che se contiene x contiene anche tutto il segmento [b, x]; quindi tale intersezione è contrattile. Nello stesso modo si trattano le altre intersezioni finite: se U_{i_{1}} ∩...∩U_{i_{p}} è non vuoto allora esso contiene il ”baricentro” b dei punti i_{1}, ..., i_{p} e tale intersezione è stellata su b, quindi anch’essa contrattile. Lo stesso tipo di argomentazione dice che tale intersezione è non vuota se e solo se {i_{1}, ..., i_{p}} ∈ K.

Se l’insieme I non è finito, la costruzione di |K| può essere fatta nello stesso modo utizzando lo spazio ℝ^{(I)} delle funzioni reali su I che hanno supporto finito, ossia le x : I → ℝ tali che x(i) ≠ 0 solo per un numero finito di i ∈ I. Su esso è definita la norma euclidea : ||x|| = (∑_{i∈I} x(i)^{2})^{1/2} che generalizza quella standard sugli ℝ^{n} ed è quindi uno spazio metrico. La costruzione di K è quindi fatta come nel caso finito e si può considerare su esso la topologia indotta dall’ambiente. Tale topologia però risulta adeguata (o utile a ragionare come nel caso finito) solo se lo schema è anche localmente finito nel senso che ogni vertice appartiene solo ad un numero finito di elementi di K. Se ciò non accade si preferisce definire la topologia su |K| in un modo più astratto che indicheremo solo come commento, perché non sarà utilizzata nel seguito.

Commento. Sia (I, K) uno schema simpliciale e sia |K| il sottospazio di ℝ^{(I)} indicato sopra. Ogni simplesso s ∈ K determina un sottoinsieme |s| di |K|: l’inviluppo convesso dei suoi elementi; su esso metteremo la topologia indotta dalla metrica dell’ambiente. Definiamo poi la topologia di |K| dichiarando che un suo sottoinsieme A è aperto se e solo se per ogni simplesso s ∈ K l’intersezione A ∩ |s| è un aperto in |s| per la topologia che vi è stata appena definita. Si verifica che se (I, K) è localmente finito, questa topologia coincide con quella di sottospazio di ℝ^{(I)}. In ogni caso sarà verificata la seguente proprietà: ogni compatto di |K| incontra solo un numero finito di ”simplessi” |s| con s ∈ K; ciò assicura che per ogni applicazione continua f : C → |K| con C compatto, esiste un sottoschema finito K′ di K tale che f ha immagine in |K′|; quindi in molti tipi di questioni (ad esempio per lo studio di cammini continui o omotopie tra essi ma anche per l’omotopia di dimensione superiore) si può ”lavorare” su un sottoschema finito.

Uno spazio topologico X è detto triangolato se sono stati fissati uno schema simpliciale (I, K) ed un omeomorfismo tra X e |K|. In tal caso per ogni p−simplesso di K (ossia un s ∈ K costituito da p + 1 elementi) il sottospazio di X che corrisponde ad |s| è detto un p−simplesso di X. Attenzione che tale nozione dipende strettamente dal modo particolare in cui X è stato triangolato; quindi non è detto che un ”invariante” costruito a partire da K sia tale anche per X. Ad esempio sia (I, K) uno schema finito ed indichiamo con ν_{h}(K) il numero dei suoi simplessi di dimensione h; è facile verificare che ν_{0} dipende solo da X = |K| se e solo se K ha solo simplessi di dimensione zero. Meno facile è dimostrare che in generale l’insieme degli h per cui ν_{h}(K) = 0 dipende solo da X cosa che se verificata (come in modo appunto non facile è possibile fare) permette di parlare della dimensione di uno spazio topologico X come quella di un qualsiasi schema K con cui sia triangolabile (la dimensione di uno schema è definita in modo ovvio); gli unici casi che sappiamo trattare (in questo corso) sono quelli di dimensione uno (con un ragionamento locale di connessione) e quelli di dimensione due (con un ragionamento sui gruppi fondamentali, analogo a quello seguito per mostrare che ℝ^{2} non è localmente omeomorfo ad ℝ^{n} per n > 2). Non banale è anche dimostrare che la caratteristica di Eulero-Poincaré di K definita come la somma alternata χ(K) = ν_{0} − ν_{1} + ν_{2} − ... dipende solo da |K|.

Daremo ora qualche indicazione sul linguaggio che viene usato nella teoria degli schemi simpliciali, trattando poi solo alcune parti che riguardano i casi di dimensione uno e due. Due schemi (I, K) e (I′, K′) sono isomorfi se esiste una applicazione bijettiva ϕ : I → I′ tale che ϕ(K) = K′; sono omeomorfi se |K| e |K′| lo sono. Un sottoschema di (I, K) è uno schema (I′, K′) con K′ ⊂ K (e quindi anche I′ ⊂ I). Uno schema è connesso se non è unione disgiunta di due suoi sottoschemi non vuoti. Sia (I, K) uno schema fissato ed s ∈ K un suo simplesso; diremo che s è un vertice se ha un solo elemento (ha dimensione zero), che è un lato se ne ha due e che è un triangolo se ne ha tre; si usa anche la parola tetraedro per quelli con quattro elementi. Una faccia di un simplesso è un qualsiasi simplesso che sia contenuto in esso. Diremo che lo schema è puramente n−dimensionale se non ha simplessi di dimensione maggiore di n e se ogni suo simplesso è faccia di almeno un simplesso di dimensione n. Uno schema non vuoto è detto un grafo se ha dimensione pura uno; è una superficie se ha dimensione pura due. Esempi di grafi:

1. I = {0, 1, ..., n} e come insieme di lati { {i − 1, i} : i = 1, ..., n}; esso è detto poligonale aperta di lunghezza n ed estremi 0 ed 1.

2. nell’esempio precedente con n ≥ 2 si aggiunga il lato {0, n}; si ottiene il poligono di n + 1 lati.

3. I = {1, ..., n} e lati tutti quelli possibili; si ha il grafo completo su n punti. Non è affatto facile dimostrare che questo per n > 3 non può essere ”disegnato” in un piano, ossia che la sua realizzazione geometrica non è omeomorfa ad alcun sottospazio di ℝ^{2}.

Un grafo è un albero se è connesso e non contiene sottoschemi isomorfi ad un poligono. Sia Γ un grafo connesso e finito (cioè costruito su un insieme finito di vertici); sia A l’insieme dei suoi sottoschemi che sono alberi, semiordinato dall’inclusione. Se H ∈ A ed {i, j} ∈ Γ con i ∈ H e j ∉ H, aggiungendo ad H il vertice j ed il lato {i, j}, si ottiene un albero H′ che contiene H ed ha un vertice in più. Essendo H connesso, si verifica facilmente che se H non contiene già tutti i vertici di Γ un tale H′ può essere costruito; si noti che χ(H) = χ(H′). Siccome tale operazione può essere ripetuta solo un numero finito di volte (perché Γ è finito) e siccome si può partire inizialmente da una poligonale di Γ di lungezza 1 che ha caratteristica 1, si ha:

Proposizione 30 In un grafo finito connesso Γ ogni albero H è contenuto in qualche albero massimale ed H è già massimale se e solo se contiene tutti i vertici di Γ . Inoltre χ(Γ) ≤ 1 ed è χ(Γ) = 1 se e solo se Γ è un albero

Si dimostra anche facilmente:

Proposizione 31 Siano Γ un albero e i, j suoi vertici distinti; esiste un solo sottoschema di Γ isomorfo ad una poligonale ed aventi i , j come estremi; essa sarà indicata con [i, j]

Generalizzazioni del teorema di van Kampen. Sia (I, K) uno schema simpliciale connesso in cui sia fissato un vertice ∗ e siano (I_{1}, K_{1}), (I_{2}, K_{2}) due suoi sottoschemi contenenti ∗ e tali che K_{1} ∪ K_{2} = K e K_{1} , K_{2} e K_{1} ∩ K_{2} siano connessi. A priori non possiamo applicare il teorema di van Kampen per individuare π_{1}(|K|, ∗) utilizzando il ricoprimento dato da |K_{1}| , |K_{2}| perchè questi non sono aperti in |K| (a meno che non coincidano con esso). Che ciò possa essere fatto segue dalla seguente:

Proposizione 32 Sia K uno schema simpliciale. E’ possibile associare ad ogni sottoschema H di K un aperto Ω(H) ⊂ |K| di cui |H| è un retratto di deformazione di modo che se H_{1} H_{2} sono due sottoschemi di K si abbia Ω(H_{1} ∩ H_{2}) = Ω(H_{1}) ∩ Ω(H_{2})

Dim. Ω(H) si costruisce aggiungendo ad |H| la ”metà aperta” di ogni simplesso di |K| che ”tocca” |H|; è evidente cosa ciò voglia dire se K ha dimensione uno: se i è un vertice di H e j è un vertice di K tale che {i, j} ∉ H, si aggiunge ad |H| la metà (aperta) del lato corrispondente in |K| contenente i. Se K ha dimensione due è ancora facile ma occorre qualche considerazione in più che lasciamo per esercizio. Nel caso generale (che però non servirà nel seguito) si può procedere in diversi modi. Il primo, apparentemente più naturale così :

A. si consideri per s simplesso in ℝ^{(I)} di dimensione p l’insieme Ω(s) dei punti in ℝ^{(I)} che distano da |s| meno di ϵ_{p} ove ϵ_{p} è un fissato reale positivo; se si è scelto 1 >> ϵ_{0} >> ϵ_{1} >> .... si può prendere per Ω(H) l’unione di tutte le intersezioni con |K| di tutti gli Ω(s) per s ∈ H. Il << nella scelta degli ϵ_{i} va fatta in modo che se s, t sono due simplessi in ℝ^{(I)} (con vertici in I) della stessa dimensione, allora i loro Ω si intersecano solo entro Ω(s ∩ t).

Il secondo modo anche se apparentemente più astratto, è di fatto più utile ed anche più facilmente giustificabile dell’altro:

B. si procede ancora ”ingrassando” prima ogni s in ℝ^{(I)} in un aperto Ω(s) di ℝ^{(I)} che lo contiene ma in modo più ”rettilineo”. Formiamo prima l’insieme B di tutti i baricentri di simplessi di ℝ^{(I)}, poi tutti gli inviluppi convessi di sottoinsiemi di B: la parte interna dell’unione di tutti quelli che intersecano |s| è il nostro Ω(s). Si procede poi come nel modo precedente.

Si esaminino per esercizio le costruzioni descritte in A, e B. nel caso che K abbia dimensione due, mostrando che per entrambi esiste un modo ”naturale” di vedere |s| come retratto di deformazione di Ω(s).

Un’altra estenzione del teorema di van Kampen è quella al caso che il ricoprimento aperto di X consista di un numero di aperti maggiore di due:

Teorema 33 (Teorema di van Kampen, formulazione generale) Sia (X, ∗) uno spazio topologico con punto base e sia (X_{λ})_{λ∈Λ} una famiglia di sottospazi di X contenenti ∗ e tali che

1. per ogni λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} ∈ Λ , lo spazio X_{λ_{1}} ∩ X_{λ_{2}} ∩ X_{λ_{3}} è connesso per archi

2. ⋃_{λ∈Λ} X_{λ} = X

Siano σ_{λμ} : π_{1}(X_{λ} ∩ X_{μ}, ∗) → π_{1}(X_{μ}, ∗) e τ_{μ} : π_{1}(X_{μ}, ∗) → π_{1}(X, ∗) per λ, μ ∈ Λ , gli omomorfismi associati alle inclusioni. Allora,comunque siano assegnati un gruppo G ed omomorfismi β_{μ} : π_{1}(X_{μ}, ∗) → G per ogni μ ∈ Λ , verificanti per λ, μ ∈ Λ : β_{μ}∘σ_{λμ} = β_{λ}∘σ_{μλ} , esiste uno ed un solo omomorfismo β : π_{1}(X, ∗) → G tale che β_{μ} = β ∘ τ_{μ} per ogni μ ∈ Λ.

Se Λ è finito si può procedere per induzione utilizzando il caso già noto in cui abbia due elementi. Nel caso generale si può usare l’induzione transfinita (lemma di Zorn) o più semplicemente osservare che la dimostrazione fatta per due aperti, modificata di poco funziona nel caso generale. Esponiamo una tale dimostrazione solo come commento (fuori programma).

Commento. Dimostriamo la forma generale del teorema di van Kampen. Sia data γ : [0, 1] → X continua e tale che γ(0) = γ(1) = ∗; per uniforme continuità esistono 0 = t_{0} < t_{1} < ... < t_{n} = 1 tali che per ogni h = 1, ..., n esista ν(h) ∈ Λ con γ([t_{h−1}, t_{h}]) ⊂ X_{ν(h)}. Per h = 1, ..., n − 1 scegliamo un arco α_{h} in X_{ν(h)} ∩ X_{ν(h+1)} che congiunge ∗ a γ(t_{h}) e siano poi α_{0}, α_{1} gli archi costanti in ∗. Per h = 1, ..., n consideriamo il laccio chiuso γ_{h} fatto da α_{h−1} seguito da γ ”ristretta” a [t_{h−1}, t_{h}] ed infine dall’arco inverso ad α_{h}; esso definisce un elemento in π_{1}(X_{ν(h)}, ∗) la cui immagine in G tramite β_{ν(h)} indicheremo con b_{h}. Associamo a tutte le scelte fatte (cioè γ, poi i t_{r} , quindi ν ed infine le α_{s}) il prodotto b_{1} ·...·b_{n} in G. Mostreremo ora che tale b dipende solo da γ e non dalle scelte fatte successivamente. Infatti proviamo a cambiare α_{h} in un ᾱ_{h} lasciando gli altri invariati; ciò determina un cambiamento dei laccetti γ_{h−1} e γ_{h} in γ̄_{h−1} e γ̄_{h}. Ora α = ᾱ_{h}α_{h}^{−1} è un laccetto in X_{ν(h−1)} ∩ X_{ν(h)} e si ha γ̄_{h−1} ≈ γ_{h−1}α in X_{ν(h−1)} e γ̄_{h} ≈ α^{−1}γ_{h} in X_{ν(H)}. Per le ipotesi fatte si ha allora che in G è b̄_{h−1}b̄_{h} = b_{h−1}b_{h} e quindi il prodotto finale b non cambia. Siamo così liberi di scegliere gli α_{h} come ci pare. Supponiamo ora di cambiare ν nel solo indice h scegliendo diciamo λ′ invece di λ. Nelle due situazioni possiamo scegliere tutti gli α_{r} uguali salvo che per r = h − 1, h che saranno scelti rispettivamente in X_{ν(h−1)} ∩X_{λ} ∩X_{λ′} ed in X_{ν(h+1)} ∩X_{λ} ∩X_{λ′}. Allora i γ_{r} sono gli stessi nelle due situazioni, salvo che γ_{h} è considerato rispettivamente come un laccetto in X_{λ} od in X_{λ′}; ancora per le ipotesi di commutatività fatte il risultato b finale non cambia. Per mostrare ora la indipendenza dalla scelta dei t_{r} se ne introduca uno t tra t_{h−1} e t_{h}. Si può scegliere allora lo stesso X_{λ} come ambiente per γ([t_{h−1}, t]) e per γ([t, t_{h}]) ed è allora evidente che si ottiene lo stesso b ∈ G. Quindi abbiamo definito una applicazione dai laccetti chiusi in X nel gruppo G; per controllare che essa ha lo stesso valore su cammini omotopi, basta osservare che per ogni omotopia con parametro s ∈ [0, 1], l’applicazione s ↦ b(s) è localmente costante e ciò è ovvio perche fissata una scelta dei t_{r} e di ν per t = t_{0} essa va bene anche per i t abbastanza vicini a t_{0}; quanto alla scelta degli α_{r} essi possono essere modificati per i t vicini a t_{0} utilizzando l’omotopia in modo tale che i γ_{r} relativi a t siano omotopi in X_{ν(r)} a quelli relativi a t_{0}.

Nota. Nella forma generale del teorema di van Kampen è fatta l’ipotesi che gli aperti del ricoprimento si intersechino a tre a tre in un connesso. Mostriamo con un esempio che tale ipotesi è essenziale: siano U_{1}, U_{2}, U_{3} tre archi aperti che coprono S^{1} ed hanno intersezione vuota. Prendiamo per X il disco di dimensione due e per i = 1, 2, 3 sia X_{i} il settore di disco che unisce 0 ad U_{1} più l’insieme {x ∈ D^{2} : ||x|| < 1/3 oppure ||x|| > 2/3}. Se fosse vera la tesi del teorema di van Kampen si avrebbe che π_{1}(D^{2}, 0) ≃ ℤ.

Sia Γ un grafo connesso finito, H un suo albero massimale e ∗ un suo fissato vertice. Siano {a_{1}, b_{1}} , ..., {a_{n}, b_{n}} i lati di Γ che non appartengono ad H; evidentemente si ha n = χ(H) − χ(Γ) = 1 − χ(Γ). Per i = 1, ..., n sia Γ_{i} il sottografo di Γ ottenuto aggiungendo ad H il lato {a_{i}, b_{i}}. E’ facile verificare che π_{1}(|K_{i}|, ∗) ≃ ℤ; ad esempio perchè |K_{i}| ha come retratto di deformazione lo spazio associato allo schema unione di [∗, a_{i}], [∗, b_{i}] e [a_{i}, b_{i}] che è (isomorfo a) un poligono. Per i ≠ j si ha |K_{i}| ∩ |K_{j}| = |H|; per quanto discusso avanti si può applicare il teorema di van Kampen ottenendo

Proposizione 34 Se X è triangolato da un grafo finito connesso Γ, il suo gruppo fondamentale è il gruppo libero (non abeliano) su n = 1 − χ(Γ) lettere

Proposizione 35 Sia G un sottogruppo del gruppo F (n) delle parole in n lettere avente indice finito d. Allora G è un gruppo libero in nd − d + 1 lettere Dim. Si scelga un grafo connesso finito avente caratteristica 1 − n; quindi il suo gruppo fondamentale è isomorfo a F (n). Consideriamo il rivestimento ϕ : X → Y = |Γ| determinato da G. Mostreremo ora che si può triangolare X con un grafo connesso Γ′ che ha d volte il numero di vertici e d volte il numero di lati che ha Γ; la dimostrazione seguirà allora dalla precedente proposizione. Infatti ogni lato L di |Γ| è contrattile e quindi ϕ^{−1}(L) consiste di d copie di L : (d per l’ipotesi su H è il grado del rivestimento); lo stesso avviene per i vertici. Basta quindi costruire Γ′ tenendo conto di come le immagini inverse dei lati si appoggiano a quelle dei vertici.

Commento. Quanto precede può essere esteso ai grafi infiniti: si mostra che ogni grafo connesso ha un albero massimale, che gli alberi danno spazi semplicemente connessi, e quindi che il gruppo fondamentale di uno spazio triangolato da un grafo connesso ha per gruppo fondamentale un gruppo libero (non abeliano) possibilmente su un numero infinito di lettere (corrispondenti ai lati che mancano ad H). Si ha poi che ogni sottogruppo di un gruppo libero è un gruppo libero, e che se H è un sottogruppo di indice finito in un gruppo libero su infinite lettere, anche lui lo è su un numero infinito di lettere.

Sia (I, K) uno schema connesso finito e ∗ un suo vertice fissato. Il suo 1−scheletro Γ è allora un grafo connesso; fissiamo un albero massimale H di Γ che contenga ∗. Per ogni coppia di vertici (i, j) con {i, j} ∈ Γ sia γ_{ij} la classe in π_{1}(X, ∗) del laccio in X = |K| che parte da ∗ e segue prima [∗, i] poi [i, j] e quindi [j, ∗]. Come già mostrato il gruppo fondamentale di (|Γ|, ∗) è generato da quelli tra i γ_{i}, j che corrispondono ai lati mancanti in H (attenzione, qui li abbiamo ripetuti due volte: γ_{ji} = γ_{ij}^{−1}).

Proposizione 36 Il gruppo fondamentale di (X, ∗) è generato dai γ_{ij} per {i, j} un lato di K e relazioni γ_{ij} · γ_{jk} · γ_{ki} per ogni i, j, k ∈ I tali che {i, j, k} sia un simplesso di dimensione uno o due di K

Dim. Si consideri per ogni simplesso {i, j, k} di K il sottoschema ottenuto aggiungendo esso a Γ e si applichi van Kampen. Commento. Stesso enunciato e dimostrazione anche senza ipotesi di finitezza.

Corollario 37 Il gruppo fondamentale di uno spazio (connesso) triangolato da uno schema finito è di presentazione finita

Corollario 38 Se (I, K) è uno schema connesso e ∗ ∈ I un punto base, l’inclusione |K^{(2)}| ⊂ |K| induce un isomorfismo tra i gruppi fondamentali

Proposizione 39 Siano S un insieme finito ed R un insieme finito di parole su esso. Esiste allora uno schema finito connesso (I, K) di dimensione due tale che scelto comunque un punto base ∗ ∈ I il gruppo π_{1}(|K|, ∗) abbia come presentazione {S, R}

Dim. Non descriveremo completamente lo schema K ma solo che via si possa seguire per farlo. Si parte da uno schema K_{0} fatto da tanti triangoli quanti sono gli elementi di S tutti con un vertice ∗ in comune. Per ogni parola r ∈ R si prende lo schema K_{r} che sia ”il cono” su un poligono chiuso di tanti lati quante sono le lettere che compaiono in r. Si identifica il ”bordo” di K_{r} (ossia il poligono su cui è il cono) in K_{0} seguendo le indicazioni date dala parola r: non si ottiene uno schema simpliciale, perché si ottengono ”troppi” lati su ”pochi” vertici. Si raffinano quindi prima li schemi di partenza K_{r} in modo da ovviare a ciò. Tutto ciò può essere fatto in modo preciso, ma in ogni caso un pò farraginoso. In effetti per trattare questo tipo di questioni, o più in generale questioni di tipo omotopico, il metodo delle triangolazioni non è molto ”economico” anche se permette una elementare traduzione di problemi geometrici in algoritmi ”implementabili”. Nel prossimo paragrafo accenniamo ad un modo alternativo più economico di descrivere uno spazio, che è di fondamentale importanza in questioni che riguardano l’omotopia mentre quello delle triangolazioni è più adatto se si ha a che fare con questioni di omologia e coomologia che qui non trattiamo.

CW complessi. Sia (X, A) una coppia di spazi topologici. Se ϕ : A → Y è continua, indicheremo con X ∪_{ϕ} Y lo spazio quoziente dell’unione disgiunta tra X ed Y per la (minima) relazione di equivalenza che identifica ogni a ∈ A con ϕ(a) in Y; si dice che esso è ottenuto da Y attaccandogli X lungo A come prescritto da ϕ. In particolare se (X, A) = (D^{n}, S^{n−1}) si dice che si è attaccata una n−cella. Si parta da un Y_{0} costituito da numero finito n_{0} di punti (volendo si può considerare un tale Y_{0} come ottenuto attaccando allo spazio vuoto n_{0} celle di dimensione zero). Si attacchino ora n_{1} celle di dimensione uno utilizzando applicazioni (continue) di S^{0} in Y_{0} e indichiamo con Y_{1} lo spazio che si è ottenuto. Quindi attacchiamo n_{2} celle di dimensione due tramite altrettante applicazioni di S^{1} in Y_{1} ottenendo Y_{2}. Proseguendo sino a celle di dimensione n otterremo uno spazio topologico (abbastanza buono) che viene detto un CW-complesso finito di dimensione n. Ad esempio se Y_{0} è costituito da un solo punto ∗ (ossia n_{0} = 1) allora Y_{1} può essere visualizzato come n_{1} copie di S^{1} aventi il punto ∗ in comune: esso è detto un bouquet fatto di n_{1} copie di S^{1}. Il toro S^{1} × S^{1} può essere descritto come ottenuto dal precedente con n_{1} = 2 attaccando una 2−cella. Per avere uno spazio topologico il sui gruppo fondamentale ammetta come presentazione {S, R}, si può prendere lo spazio ottenuto da un bouquet di tanti S^{1} quanti sono gli elementi di S, attaccando tante 2−celle quante sono le parole r ∈ R, ogni attaccamento essendo ”descritto” dalla parola r in un modo abbastanza ovvio (il teorema di van Kampen assicura che lo spazio ottenuto soddisfa quanto richiesto: basta considerare i sottospazi ottenuti dal bouquet attaccando una sola cella). E’ abbastanza facile dimostrare che se X è localmente contrattile tale rimane anche attaccandogli una cella; inoltre anche che se X è omeomorfo ad un sottospazio di ℝ^{N}, attaccandogli una cella si ottiene uno spazio omeomorfo ad un sottospazio di un qualche altro ℝ^{M} (se la cella attaccata ha dimensione n si può prendere M = N + 2n + 1). Inoltre anche la proprietà di possedere ricoprimenti elementari (o aventi intersezioni non vuote contrattili) si conserva per aggiunzione di celle.

La costruzione dei CW complessi può essere fatta anche se ogni volta si attacca un numero di celle arbitario, eventualmente infinito ed anche si può proseguire attaccando celle di ogni dimensione, ottenendo un CW complesso di dimensione infinita; la topologia va però definita in tali casi in modo opportuno, diciamo funtoriale: sostanzialmente in modo da avere che una funzione f : Y → Z del CW complesso in un arbitrario spazio topologico Z sia continua se e solo se ha composizione continua con ogni D^{p} → Y che proviene dall’attaccamento di una sua p−cella.