Questa è la pagina dedicata ad un piccolo gruppo di studio sui lavori di Kolyvagin sul rango delle curve ellittiche modulari. A partire dal 16 marzo ci incontreremo il giovedì alle 16 in aula O1.
These and these are my (Davide's) handwritten notes from the talks. Any and all mistakes are due to the scribe, not the speakers.
Notes for the talk of 4 November.
Notes for the talk of 11 November.
Notes for the talk of 18 November.
Notes for the talks of 23 January and 9 February.
Notes for the talk of March 23.
Notes for the talk of 20 April (Andrea Bandini).
Notes for the talk of 5 May (Davide Colpo).
Suddivisione in argomenti
Proveremo a seguire la struttura del seminario MIT linkato sotto. Riporto qui questa struttura, con piccole modifiche. Le referenze sono all'articolo di Gross [Gro].- Moltiplicazione complessa (2 incontri). Background: reticoli con moltiplicazione complessa. Gruppi di classe di anelli e ring class fields. La funzione $j$. Il ring class field è generato dai valori della funzione $j$.
- Curve modulari e punti di Heegner (2 incontri). Background: curve modulari come quozienti del semipiano superiore. Le funzioni $j$ e $j_N$ generano il campo delle funzioni di $X_0(N)$. L'equazione modulare. Curve modulari come spazi di moduli, parametrizzazioni di Weil di curve ellittiche. Definizione dei punti di Heegner. Articolo: costruzione di $y_n$ (pagina 238, sezione 3).
- Polinomi caratteristici e restrizioni su $\ell$ (1 incontro). Background: azione del coniugio complesso sui punti di torsione. Polinomio caratteristico del Frobenius. Articolo: proprietà elementari di $y_n$ (pagine 239-240, riduzione della proposizione 3.6 alla 3.7).
- Corrispondenze di Hecke, Eichler-Shimura (2 incontri). Background: realizzazione geometrica delle corrispondenze di Hecke. La relazione di Eichler-Shimura. Articolo: gli assiomi di sistema di Eulero (pagina 240, proposizione 3.7).
- Costruzione delle classi di coomologia (1 incontro). Articolo: la costruzione delle varie classi di coomologia associate ai punti $y_n$. Condizioni di banalità (pagine 241-242, sezione 4).
- Azione del coniugio complesso sulle classi di coomologia (2 incontri). Background: funzioni L di curve ellittiche, equazione funzionale, segno dell'equazione funzionale. Involuzione di Fricke e azione sui punti di Heegner. Articolo: azione del coniugio complesso sulle classi di coomologia (pagine 243-244, sezione 5).
- Banalità locale di $d(n)$ (2 incontri). Background: modelli di Néron, curve modulari su campi finiti. Articolo: dimostrazione della banalità locale di $d(n)$ ai primi che non dividono $n$. Condizioni per la banalità locale ai primi che dividono $n$ (pagine 245-246, sezione 6).
- Accoppiamento locale (2 incontri). Background: dualità locale di Tate. Articolo: Costruzione dell'accoppiamento fra $E(K_{\lambda})/pE(K_\lambda)$ e $H^1(K_\lambda,E)[p]$ (pagine 247-248, sezione 7).
- Somma degli invarianti locali (1 incontro). Background: teoria del campo di classe globale, annullamento della somma degli invarianti locali. Articolo: l'annullamento locale a tutti i primi tranne uno forza l'annullamento anche all'ultimo primo (pagine 248-249, sezione 8).
- Gruppi di Selmer (1 incontro). Articolo: costruzione dell'accoppiamento $[\,,\,]$, applicazione all'annullamento locale e globale del gruppo di Selmer (pagine 250-252, sezione 9).
- Conclusione (1 incontro). Articolo: conclusione della dimostrazione (pagine 252-254, sezione 10).
Oratori
- 14 ottobre: Lorenzo F. (CM theory I)
- 21 ottobre: Lorenzo S. (CM theory II)
- 28 ottobre: Andrea G. (modular curves I)
- 4 novembre: Davide (modular curves II)
- 11 novembre: Lucrezia (characteristic polynomials of Frobenius)
- 18 novembre: Matteo (Eichler-Shimura relation I)
- 25 novembre: research seminar (Flavio Perissinotto, University of Luxembourg)
- 2 dicembre: Luca (Eichler-Shimura relation II)
- 9 dicembre: Lorenzo S. (construction of cohomology classes)
- 16 dicembre: no lecture (lauree)
- 23 gennaio 2023: Lucrezia
- Week of 30 January: no lecture
- 9 February: Lucrezia (L-functions of elliptic curves)
- 16 February: Davide (action of complex conjugation on cohomology classes)
- 23 February: Lorenzo F. (local triviality I)
- 16 March: Andrea G. (local triviality II)
- 23 March: Andrea G. (local triviality III)
- 30 March: Luca (local Tate duality)
- 13 April: Giulio G. (computation of the Tate pairing)
- 20 April: Andrea B. (Brauer-Hasse-Noether, vanishing of the local invariant at $\lambda$)
- 5 May: Davide C. (a pairing on Selmer groups), exceptionally in Aula Seminari at 11am
- 18 May: Davide L. (conclusion(?))