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\begin{document}
\author{Bruno Martelli}
\title{Corso di topologia 2006}
\maketitle
Si consiglia di svolgere gli esercizi nel momento in cui si presentano
durante la lettura. Le parti (di teoria o esercizi) contrassegnate con ($\star$) sono invece
facoltative (se di teoria) o pi\`u impegnative (se esercizi). 

\section{Topologia generale}

\subsection{Spazio topologico}
Uno \emph{spazio topologico} \`e una coppia $(X,\calT)$ in cui $X$ \`e un
insieme e $\calT$ una collezione di sottoinsiemi di $X$, detti
\emph{aperti}, tali che:
\begin{itemize}
\item i sottoinsiemi $\emptyset$ e $X$ sono aperti;
\item l'unione di una quantit\`a arbitraria di insiemi aperti \`e un
  insieme aperto;
\item l'intersezione di un insieme finito di aperti \`e un insieme
  aperto.
\end{itemize}
Una collezione $\calT$ che soddisfa queste ipotesi \`e una
\emph{topologia} su $X$. Quando non \`e strettamente necessario,
omettiamo $\calT$ e chiamiamo pi\`u brevemente lo spazio topologico $X$ invece di $(X,\calT)$.
\begin{example} Sia $X$ un insieme.
\begin{itemize}
\item $\{\emptyset,X\}$ \`e una topologia su $X$, detta  \emph{banale};
\item $P(X)$, dove $P(X)$ \`e l'insieme delle parti di
  $X$, \`e una topologia su $X$, detta \emph{discreta};
\item $\{A\subset X\ |\ X\setminus A$ \`e un insieme finito $\}$ \`e una topologia su $X$, detta \emph{cofinita}.
\end{itemize}
\end{example}

Siano $\calT$ e $\calT'$ due topologie su un insieme fissato $X$. Diciamo che
$\calT$ \`e \emph{pi\`u fine} di $\calT'$ se $\calT\supset \calT'$, cio\`e se ogni
aperto di $\calT'$ \`e anche un aperto di $\calT$. Le topologie discreta e banale sono
rispettivamente la pi\`u fine e la meno fine di
tutte.

\begin{defn} Sia $(X,\calT)$ uno spazio topologico.
\begin{itemize}
\item Un insieme $U$ contenente un punto $x\in X$, tale che esiste un
  aperto $A$ con $x\in A \subset U$ \`e detto \emph{intorno} di $x$.
\item Un \emph{sistema di intorni} per $x\in X$ \`e un insieme $\{U_i\}_{i \in I}$
  di intorni\footnote{Qui e altrove, $I$ \`e un insieme di indici. 
  Pu\`o essere infinito, anche non numerabile.} 
  di $x$ tale che ogni aperto $U$ contenente $x$ esiste $i\in I$ tale che $U_i\subset U$.
\item Un \emph{ricoprimento} di $X$ \`e un insieme di sottoinsiemi di
  $X$, la cui unione \`e $X$. Un \emph{ricoprimento aperto} \`e un
  ricoprimento fatto da aperti.
\item Una \emph{base} per la topologia $\calT$ \`e un insieme di aperti
  $\{B_i\}_{i\in I}$ tale che ogni aperto di $\calT$ \`e unione di alcuni di
  questi. Equivalentemente, una base \`e un ricoprimento aperto
  $\{B_i\}_{i\in I}$ tale che:
\begin{equation} \label{base:eqn} 
\forall x\in B_i\cap B_j \quad \exists k\in I\ {\rm tale\ che}\ x\in
B_k\subset B_i\cap B_j,\quad \forall i,j\in I.
\end{equation}
\end{itemize}
\end{defn}
L'importanza delle basi sta nel fatto che determinano la
topologia:
\begin{prop} Un ricoprimento $\{B_i\}$
che soddisfa la (\ref{base:eqn}) \`e base di un'unica topologia,
definita nel modo seguente: un insieme $A$ \`e aperto se e solo se \`e
unione di elementi della base.
\end{prop}

La proposizione seguente fornisce un criterio utile per dimostrare che un
sottoinsieme \`e aperto.
\begin{prop} \label{aperto:prop}
  Sia $X$ spazio topologico. Un sottoinsieme $A\subset X$
  \`e aperto se e solo se ogni $x\in A$ ha un intorno aperto $U(x)$
  contenuto in $A$.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Se $A$ \`e aperto, $A$ \`e un intorno per ogni $x$. D'altra parte, se
ogni $x$ ha un intorno $U(x)$ aperto contenuto in $A$, l'insieme $A =
\cup_{x\in A} U(x)$ \`e unione di aperti ed \`e quindi aperto.
\end{proof}

Una funzione $f:X\to Y$ fra due spazi topologici \`e \emph{continua}
se la controimmagine $f^{-1}(U)$ di ogni aperto $U$ di $Y$ \`e un
aperto di $X$. Una funzione biunivoca e continua, con inversa
anch'essa continua, \`e un \emph{omeomorfismo}.

\begin{ex} La composizione $g\circ f:X\to Z$ di due funzioni continue
  $f:X\to Y$ e $g:Y\to Z$ \`e continua.
\end{ex}

\begin{defn} Sia $X$ uno spazio topologico ed $A\subset X$ un suo sottoinsieme.
\begin{itemize}
\item $A$ \`e \emph{chiuso} se il complementare $X\setminus A$ \`e
  aperto. 
\item La \emph{chiusura} $\bar A$ di $A$ \`e
  l'intersezione di tutti i chiusi che contengono $A$.
\item La \emph{parte interna} $\dot A$ di $A$ \`e l'unione di tutti gli 
  aperti contenuti in $A$.
\item $A$ \`e \emph{denso} in $X$ se $\bar A = X$.
\item La \emph{frontiera} $\partial A$ di $A$ \`e
  $\partial A = \bar A \setminus \dot A$.
\item $A$ \`e \emph{discreto} se ogni $x\in X$ ha un intorno $U(x)$
  con $U(x)\setminus\{x\}$ disgiunto da $A$.
\end{itemize}
\end{defn}

\begin{ex} Sia $X$ spazio topologico e $A\subset X$ un sottoinsieme. Allora 
$\bar A$ \`e chiuso e $\dot A$ \`e aperto. Inoltre:
$$\bar{\bar A} =\bar A, \qquad \dot{\dot A} = \dot A. $$
\end{ex}

\begin{ex} Un sottospazio $A\subset X$ discreto \`e chiuso.
\end{ex}

\begin{ex} \label{funzioni:ex} Sia $f:X\to Y$ funzione fra spazi topologici.
\begin{itemize}
\item $f$ \`e continua se e solo se $f^{-1}(A)$ \`e chiuso in $X$ per
  ogni chiuso $A$ in $Y$.
\item Se $f$ \`e costante allora \`e continua.
\item Se $X$ ha topologia banale e $Y$ discreta, allora $f$ \`e continua solo se
  \`e costante.
\item Se $X$ ha topologia discreta, allora $f$ \`e continua.
\end{itemize}
\end{ex}

\subsection{Costruzione di spazi topologici}
Analogamente a quanto accade per i gruppi, gli anelli e gli spazi vettoriali, esistono alcune
operazioni ``universali'' che permettono di costruire dei nuovi spazi topologici
a partire da alcuni spazi dati. \`E spesso conveniente
tenere a mente diverse definizioni di questi spazi: sia quelle pi\`u
teoriche mediante \emph{propriet\`a universali}, che altre pi\`u concrete.

\subsubsection{Sottospazio} Un qualsiasi sottoinsieme $Y\subset X$ 
di uno spazio topologico $(X,\calT)$ pu\`o essere dotato di una topologia,
detta \emph{indotta}, definita da una delle seguenti richieste equivalenti: 
\begin{enumerate}
\item la topologia meno fine fra tutte quelle che rendono
  la mappa inclusione $i:Y\hookrightarrow X$ continua;
\item un sottoinsieme $A\subset Y$ \`e aperto se e solo se esiste un
  aperto $A'$ di $X$ tale che $A = A'\cap X$.
\item un sottoinsieme $A\subset Y$ \`e chiuso se e solo se esiste un
  chiuso $A'$ di $X$ tale che $A = A'\cap X$.
\item la topologia su $X$ che soddisfa la seguente propriet\`a universale: 
  una funzione $f:Z\to Y$ definita su uno spazio topologico $Z$ 
  \`e continua se e solo se lo \`e la composizione $i\circ f:Z\to X$.
\end{enumerate}

Assegneremo sempre ad un sottospazio la topologia indotta, anche senza
menzionarla. 
\begin{prop} La restrizione di una funzione continua ad un sottospazio
  \`e continua.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Sia $f:X\to Y$ funzione continua e $A\subset X$ sottospazio. Dato un
aperto $U$ di $Y$, dobbiamo mostrare che $(f|_A)^{-1}(U)$ \`e aperto in $A$. Sappiamo che
 $f^{-1}(U)$ \`e aperto in $X$. Quindi
$f^{-1}(U)\cap A$ \`e aperto in $A$. D'altra parte 
$$f^{-1}(U)\cap A = (f|_A)^{-1}(U)$$ e quindi $f|_A$ \`e continua.
\end{proof}

\begin{ex} \label{sottospazio:ex} Sia $X$ spazio topologico e $B\subset A\subset X$ sottospazi.
\begin{itemize}
\item Se $A$ \`e chiuso, $B$ \`e chiuso in $A$ se e solo se lo \`e in
  $X$.
\item Se $A$ \`e aperto, $B$ \`e aperto in $A$ se e solo se lo \`e in
  $X$.
\item Descrivere esempi in cui $B$ \`e chiuso o aperto in $A$ e non in
  $X$.
\end{itemize}
\end{ex}

Il risultato seguente \`e molto utile per costruire funzioni continue
come ``incollamento'' di funzioni continue definite su sottospazi.
\begin{prop} \label{funzione:continua:prop} Siano $X$ e $Y$ spazi topologici. Siano $A$ e $B$
  chiusi di $X$ con $X = A\cup B$.
  Siano $f:A\to Y$ e $g:B\to Y$ due funzioni continue
  coincidenti su $A\cap B$. Allora la funzione $h:X\to Y$ definita da:
$$h(x) = \left\{\begin{array}{ll} f(x)\ & {\rm se\ } x\in A \\ g(x)\ & {\rm se\ }
  x\in B\end{array}\right.$$
\`e ben definita e continua.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
La funzione $h$ \`e ben definita perch\'e le funzioni $f$ e $g$
coincidono sui punti di $A\cap B$. Per dimostrare che $h$ \`e continua
usiamo l'Esercizio~\ref{funzioni:ex}, e mostriamo che $h^{-1}(C)$ \`e
un chiuso in $X$ per ogni chiuso $C$ in $Y$. 

Abbiamo $h^{-1}(C) =
f^{-1}(C) \cup g^{-1}(C)$. Poich\'e $f$ e $g$ sono continue,
$f^{-1}(C)$ e $g^{-1}(C)$ sono chiusi rispettivamente in $A$ e in $B$,
e quindi lo sono in $X$ per l'Esercizio~\ref{sottospazio:ex}. La loro
unione $h^{-1}(C)$ \`e quindi un chiuso in $X$.
\end{proof}

\subsubsection{Prodotto} Dati due spazi topologici $X$ e $Y$, il prodotto
  cartesiano $X\times Y$ pu\`o essere dotato di una topologia, detta
  \emph{prodotto}, definita da una delle seguenti richieste equivalenti: 
\begin{enumerate}
\item la topologia meno fine fra tutte quelle che rendono le
  proiezioni sui due fattori continue;
\item la topologia definita dalla base seguente:
$$\big\{ U \times V \ |\ U\ {\rm aperto\ di\ } X,\ V\ {\rm aperto\ di\ } Y\big\}$$ 
\item un sottoinsieme $A\subset X\times Y$ \`e aperto se e solo se $A
  = \cup_{i\in I} (U_i\times V_i)$, dove $U_i$ e $V_i$ sono
  aperti risp.~in $X$ e $Y$.
\item la topologia che soddisfa la seguente propriet\`a universale: 
	una funzione $f:Z\to X\times Y$ definita su uno spazio topologico $Z$ \`e continua se e solo se
	lo sono entrambe le composizioni 
$$\pi_X\circ f:Z\to X, \qquad \pi_Y\circ f:Z\to Y$$
  con le proiezioni $\pi_X:X\times Y\to X$ e $\pi_Y:X\times Y\to X$.
\end{enumerate}

\begin{ex} Se $f:X\to Y$ e $g:W\to Z$ sono funzioni continue fra spazi
 topologici, allora la funzione
\begin{eqnarray*}(f\times g) : X\times W & \to & Y\times Z \\
(x,w) & \mapsto & \big(f(x),g(w)\big) \end{eqnarray*}
\`e continua.
\end{ex}

\subsubsection{Quoziente} Dato uno spazio topologico $X$ ed una
  relazione di equivalenza $\sim$ in $X$, l'insieme quoziente $X/_\sim$
  pu\`o essere dotato di una topologia, definita da una delle seguenti
  richieste equivalenti:
\begin{enumerate}
\item la topologia pi\`u fine fra tutte quelle che rendono la
  proiezione $\pi : X\to X/_\sim$ continua;
\item un sottoinsieme $A\subset X/_\sim$ \`e aperto se e solo se la sua
  controimmagine $\pi^{-1}(A)$ \`e aperta;
\item la topologia che soddisfa la seguente propriet\`a universale: 
	una funzione $f:X/_\sim\to Z$ a valori in uno spazio topologico $Z$ \`e continua se e solo se
	lo \`e la composizione $f\circ\pi:X\to Z$ con la proiezione.
\end{enumerate}

Il risultato seguente \`e molto utile per dimostrare che il quoziente
di uno spazio topologico \`e omeomorfo ad un altro spazio.
\begin{prop}
Sia $\pi:X\to X/_\sim$ un quoziente di uno spazio topologico $X$. Sia
$Y$ spazio topologico, e $f:X/_\sim \to Y$ una biezione. Se $F = f\circ\pi$
\`e continua, ed \`e anche aperta o chiusa, allora $f$ \`e un
omeomorfismo.
$$\xymatrix{
 X \ar[dr]_{\pi} \ar@{>}[rr]^F & &  Y \\ 
 & X/_\sim \ar@{.>}[ur]_f }$$
\end{prop}

\subsection{Assiomi di separazione}
Per dimostrare alcuni teoremi generali \`e necessario supporre che gli
spazi topologici soddisfino qualche assioma. Tra quelli pi\`u usati
troviamo i seguenti.
\begin{defn} Sia $X$ uno spazio topologico.
\begin{itemize}
\item $X$ \`e $T_0$ se per ogni $x, y \in X$ esiste un aperto che
  contiene $x$ e non $y$, \emph{oppure} viceversa. In altre parole, la
  topologia distingue i punti.
\item $X$ \`e $T_1$ se per ogni $x, y \in X$ esiste un aperto che
  contiene $x$ e non $y$, \emph{e} viceversa. In altre parole, per
  ogni $x$ l'insieme $\{x\}$ \`e chiuso.
\item $X$ \`e $T_2$ o \emph{di Hausdorff} se per ogni $x, y \in X$
  esistono due aperti $U$ e $V$ disgiunti che contengono risp.~$x$ e
  $y$.
\end{itemize}
\end{defn}

\begin{prop} Un sottospazio di uno spazio di Hausdorff \`e di
  Hausdorff. Il prodotto di due spazi di Hausdorff \`e di Hausdorff.
\end{prop}

\subsection{Compattezza}
Un \emph{sottoricoprimento} di un ricoprimento $\{A_i\}$ di uno spazio
$X$ \`e una collezione di alcuni dei sottoinsiemi $A_i$, la cui unione \`e sempre $X$.
\begin{defn}
Uno spazio topologico $X$ \`e \emph{compatto} se ogni ricoprimento
aperto ammette un sottoricoprimento finito.
\end{defn}
Diciamo che un sottoinsieme $A$ di uno spazio topologico $X$ \`e compatto
se lo \`e con la topologia indotta.
\begin{teo} \label{compatto:teo} Sia $X$ uno spazio topologico.
\begin{itemize}
\item Se $X$ \`e compatto e $A\subset X$ \`e chiuso, allora $A$ \`e
  compatto.
\item Se $X$ \`e di Hausdorff e $A\subset X$ \`e compatto, allora $A$
  \`e chiuso.
\end{itemize}
\end{teo}
\begin{teo} Siano $X$ e $Y$ spazi topologici.
\begin{itemize}
\item
Se $f:X\to Y$ \`e continua e $X$ \`e compatto, allora $f(X)$ \`e
compatto.
\item
Ne segue che il quoziente di uno spazio compatto \`e compatto.
\item
Il prodotto $X\times Y$ \`e compatto se e solo se lo sono entrambi $X$
e $Y$.
\end{itemize}
\end{teo}
\begin{ex} \label{discreto:ex}
Un sottoinsieme discreto di uno spazio compatto \`e finito.
\end{ex}

\subsection{Connessione}\label{connessione:subsection}
\begin{defn} Uno spazio topologico $X$ \`e \emph{connesso} se non \`e
  l'unione disgiunta di due aperti non vuoti. 
\end{defn}
Diciamo che un sottoinsieme $A$ di uno spazio topologico $X$ \`e connesso
se lo \`e con la topologia indotta.

\begin{prop} \label{unione:connessi:prop}
  Sia $X$ uno spazio topologico. L'unione di due
  sottoinsiemi connessi non disgiunti \`e un sottoinsieme connesso.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]\footnote{Questa dimostrazione apparentemente
  innocua contiene alcune insidie tipiche della topologia indotta: \`e importante ad ogni passo tenere
  a mente che gli aperti di $U$ non sono necessariamente aperti in
  $U\cup V$, n\'e tanto meno in $X$.}
Siano $U$ e $V$ connessi con $U\cap V\neq \emptyset$. Sia $x\in U\cap
V$. Supponiamo che $U\cup V = A\cup B$ dove $A$ e $B$ sono
aperti disgiunti di $U\cup V$. Allora $A\cap U$ e $B\cap U$ sono
aperti disgiunti di $U$, che ricoprono $U$. Poich\'e $U$ \`e connesso,
abbiamo $A\cap U =\emptyset$ e $B=U$, o viceversa. Lo stesso
vale per $V$, e segue facilmente che $A=\emptyset$ e $B=U\cup V$, o viceversa.
\end{proof}

\begin{teo} \label{connessi:teo} Siano $X$ e $Y$ spazi topologici.
\begin{itemize}
\item
Se $f:X\to Y$ \`e continua e $X$ \`e connesso, allora $f(X)$ \`e
connesso.
\item
Ne segue che il quoziente di uno spazio connesso \`e connesso.
\item
Il prodotto $X\times Y$ \`e connesso se e solo se lo sono entrambi $X$
e $Y$.
\end{itemize}
\end{teo}

\subsection{Componenti connesse}
Dato uno spazio topologico $X$, definiamo una relazione
$\sim$ su $X$ nel modo seguente: $x\sim y$ se e solo se esiste un
sottoinsieme connesso $A\subset X$ che contiene entrambi $x$ e $y$. 
\begin{prop}
La $\sim$ \`e una relazione di equivalenza.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Le propriet\`a riflessiva e simmetrica sono facili. La transitiva
\`e pi\`u delicata: se $x\sim y$ e $y\sim z$, esistono due connessi
$A\supset\{x,y\}$ e $B\supset\{y,z\}$. Poich\'e $y\in A\cap B$, la 
Proposizione~\ref{unione:connessi:prop} implica che $A\cup B$ \`e
connesso: quindi da $A\cup B\supset\{x,y,z\}$ segue che $x\sim z$.
\end{proof}
La relazione d'equivalenza induce su $X$ una partizione in
sottoinsiemi, detti \emph{componenti connesse} di $X$. 
\begin{prop}\label{componente:connessa:prop}
Un sottoinsieme di $X$ \`e una componente connessa se e solo se \`e un
connesso contenuto in nessun connesso strettamente pi\`u grande.

Ogni componente connessa di $X$ \`e chiusa.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
La prima parte \`e un utile esercizio. Dimostriamo la seconda: sia $x$
un punto esterno ad una componente connessa $C$. Mostriamo che esiste
un intorno aperto $U(x)$ di $x$ disgiunto da $C$: ne segue che $C$ \`e chiuso.

Per il primo punto, il sottospazio $C\cup\{x\}$ non \`e connesso. Quindi $C\cup\{x\}$ \`e unione
di due aperti disgiunti. Poich\'e $C$ \`e connesso, \`e facile vedere
che gli aperti devono essere necessariamente $C$ e $\{x\}$. Che $\{x\}$ sia
aperto dentro $C\cup\{x\}$, vuol dire\footnote{Anche in questa dimostrazione si deve stare attenti a come la
  definizione di ``aperto'' dipenda dallo spazio in cui \`e considerato.} che c'\`e un aperto $U(x)$ di $X$ contenente $x$
e disgiunto da $C$.
\end{proof}

\section{Spazi metrici}

\subsection{Definizione}
Uno \emph{spazio metrico} \`e una coppia $(X,d)$ dove $X$ \`e un
insieme e $d$ una \emph{distanza} su $X$, ovvero di una funzione
$d:X\times X\to \matR$
tale che:
\begin{itemize}
\item
$d(x,y) \geqslant 0 \ \forall x,y\in X$, con $d(x,y)=0$ se e solo se
  $x=y$;
\item
$d(x,y) = d(y,x) \ \forall x,y\in X$;
\item
$d(x,z) \leqslant d(x,y) + d(y,z)\ \forall x,y,z \in X$
  (disuguaglianza triangolare).
\end{itemize}
Dato $x\in X$ e $r>0$, chiamiamo la \emph{palla} di raggio $r$ intorno
a $x$ il sottoinsieme di $X$ seguente:
$$B_r(x) = \{y\in X\ |\ d(x,y)<r\}$$
\begin{prop}
L'insieme di tutte le palle
$$\left\{B_r(x)\ |\ r>0,\ x\in X\right\}$$
\`e un ricoprimento di $X$ che soddisfa la (\ref{base:eqn}).
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Sono chiaramente un ricoprimento, perch\'e $x\in B_r(x)$ per un
qualsiasi $r$. Dati $B_r(x)$ e $B_{r'}(x')$ con $y\in B_r(x)\cap
  B_{r'}(x')$, abbiamo $B_\epsilon(y)\subset  B_r(x)\cap
  B_{r'}(x')$ per $\epsilon$ sufficientemente piccolo, grazie alla
  disuguaglianza triangolare: basta prendere 
$\epsilon \leqslant \min \big(r-d(y,x), r'-d(y,x')\big)$.
\end{proof}
Uno spazio metrico \`e quindi in particolare anche uno spazio
topologico: una base per la topologia \`e data dall'insieme di tutte
le palle.
\begin{prop}
Uno spazio metrico \`e di Hausdorff.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Dati $x,y \in X$, le due palle $B_\epsilon (x)$ e $B_\epsilon(y)$ sono
disgiunte per un qualsiasi $\epsilon < d(x,y)/2$, sempre per la
disuguaglianza triangolare.
\end{proof}
Il \emph{diametro} di uno spazio metrico $(X,d)$ \`e 
$${\rm diam}(X) =\sup \big\{d(x,y)\ \big|\ x,y\in X\big\}.$$
Uno spazio metrico \`e \emph{limitato} se ha diametro finito.

\subsection{Spazio euclideo}
Lo \emph{spazio euclideo} $\matR^n$, dotato della \emph{distanza euclidea}
$$d(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$$
\`e uno spazio metrico.
\begin{teo} Il segmento $[0,1]$ \`e connesso e compatto.
\end{teo}
\begin{teo}
Un sottoinsieme $X$ di $\matR^n$ \`e compatto se e solo se \`e chiuso
e limitato.
\end{teo}
Tra i sottoinsiemi notevoli di $\matR^n$, che ereditano la topologia
del sottospazio, troviamo:
\begin{eqnarray*}
D^n & = & \big\{x\in\matR^n\ |\ |x| \leqslant 1\big\}, \\
B^n & = & \big\{x\in\matR^n\ |\ |x| < 1\big\}, \\
S^{n-1} & = & \big\{x\in\matR^n\ |\ |x| = 1\big\}.
\end{eqnarray*}
detti rispettivamente il \emph{disco}, la \emph{palla}, e la
\emph{sfera}. 
\begin{ex}
La palla $B^n$ e $\matR^n$ sono omeomorfi, tramite la mappa
\begin{eqnarray*}
\psi:B^n & \to & \matR^n \\
x & \mapsto & \tan(|x|\pi/2)x
\end{eqnarray*}
\end{ex}
\begin{prop}
Gli spazi $D^n$, $B^n$ e $S^{n-1}$ sono connessi. Il disco e
la sfera sono compatti.
\end{prop}

Lo spazio $\matC^n$ eredita la topologia di $\matR^{2n}$. Gli spazi
proiettivi reale $\matRP^n$ e complesso $\matCP^n$ sono definiti come
$$\matRP^n = (\matR^{n+1}\setminus\{0\})/_\sim, \qquad \matCP^n = (\matC^{n+1}\setminus\{0\})/_\sim$$
dove $v\sim v'$ se e solo se $v = \lambda v'$ per qualche scalare
$\lambda$. Sono dotati della topologia quoziente. 
\begin{teo} Gli spazi $\matRP^n$ e $\matCP^n$ sono compatti e connessi
  per ogni $n\geqslant 1$.
\end{teo}

\section{Archi}

Un \emph{arco} o \emph{cammino} in uno spazio topologico $X$ \`e una
funzione continua $\alpha:[0,1]\to X$. Diciamo che l'arco \emph{collega} i
punti $\alpha(0)$ e $\alpha(1)$, detti rispettivamente \emph{di partenza} e
\emph{di arrivo} per $\alpha$. 

\subsection{Connessione per archi}
Uno spazio $X$ \`e \emph{connesso per archi} se per ogni coppia di
punti in $X$ esiste un arco che li collega. In altre parole, per ogni
$x,y\in X$ esiste un arco $\alpha:[0,1]\to X$ tale che $\alpha(0) = x$
e $\alpha(1) = y$.

\begin{prop}\label{differenze:prop}
Ogni spazio topologico connesso per archi \`e connesso.
Il sottospazio $Z\subset \matR^2$ definito da
$$Z = \left\{(0,y)\big||y|\leqslant 1\right\}\cup
\left\{(x,\sin 1/x)\big|0<x\leqslant 1 \right\}$$
\`e connesso ma non connesso per archi.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Se $X$ \`e connesso per archi, per ogni $x,y$ in $X$ esiste un arco
$\alpha:[0,1]\to X$ con $\alpha(0) = x$ e $\alpha(1) =
y$. L'intervallo $[0,1]$ \`e connesso, e quindi la sua immagine
$\alpha([0,1])$ \`e un connesso che contiene $x$ e $y$: segue che
$x\sim y$. Quindi $X$ ha una sola componente connessa, cio\`e \`e connesso.

Consideriamo ora il sottospazio $Z$ di $\matR^2$ dato.
Il sottospazio $Z\cap\{x>0\}$ \`e connesso per archi
perch\'e \`e l'immagine della funzione continua
$f:(0,1]\to\matR^2, f(x) = \sin(1/x)$ definita
sul connesso per archi $(0,1]$. 
Anche $Z\cap\{x=0\}$ \`e connesso per archi.
Quindi $Z$ ha una o due componenti connesse.
Il connesso $Z\cap\{x>0\}$
non \`e chiuso in $Z$: quindi non pu\`o essere una componente connessa
per la Proposizione~\ref{componente:connessa:prop}. Segue che $Z$ \`e connesso.

D'altra parte, non \`e troppo difficile verificare che non esiste una
funzione continua $f:[0,1]\to Z$ con $f(0)=(0,0)$ e $f(1)=(1/\pi, 0)$.
Quindi $Z$ non \`e connesso per archi.
\end{proof}

\subsection{Operazioni con gli archi}
Sia $X$ uno spazio topologico. L'\emph{inverso} di un arco $\alpha$
\`e l'arco $\alpha'(t)$ definito da $\alpha'(t) = \alpha(1-t)$. Quando questo non crea
confusione con l'inversa di una funzione, l'inverso di un arco viene
indicato con $\alpha^{-1}$.

Siano $\alpha$ e $\beta$ due archi in $X$
con $\alpha(1) = \beta(0)$. Il \emph{concatenamento} $\alpha * \beta$
di $\alpha$ e $\beta$ \`e l'arco
$$(\alpha*\beta)(t) = \left\{\begin{array}{ll} \alpha(2t)\ & {\rm se\ } t\leqslant
1/2, \\ \beta(2t-1)\ & {\rm se\ }t\geqslant 1/2; \end{array}\right.$$
che \`e in effetti continuo per la Proposizione~\ref{funzione:continua:prop}.

\begin{ex} Abbiamo $(\alpha * \beta)^{-1} = \beta^{-1} * \alpha^{-1}$.
\end{ex}

\subsection{Componenti connesse per archi}
Analogamente a quanto fatto sopra nella
Sezione~\ref{connessione:subsection}, possiamo definire una relazione
$\sim$ su uno spazio topologico $X$ nel modo seguente: $x\sim y$ se
e solo se esiste un cammino che collega $x$ e $y$.

\begin{prop} La $\sim$ \`e una relazione di equivalenza.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
$x\sim x$: la funzione costante $\alpha(t) = x\ \forall t\in
[0,1]$ \`e continua, ed \`e quindi un cammino che collega $x$ a se
stesso. 

$x\sim y \Rightarrow y\sim x$: se esiste un cammino $\alpha$ che collega $x$ e $y$, 
il cammino inverso $\alpha^{-1}$ collega $y$ e $x$.

$x\sim y, y\sim z \Rightarrow x\sim z$: esistono due cammini
$\alpha$ e $\beta$ con $\alpha(0)=x$, $\alpha(1)=\beta(0)=y$ e
$\beta(1)=z$. Il concatenamento $\alpha * \beta$ collega $x$ a $z$.
\end{proof}

La relazione d'equivalenza induce quindi su $X$ una partizione in
sottoinsiemi, detti \emph{componenti connesse per archi} di $X$. 
A differenza delle componenti connesse, le componenti connesse per
archi non sono necessariamente chiuse.

\begin{prop} 
Un aperto di $\matR^n$ \`e connesso se e solo se \`e connesso per
archi.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.] Sia $X$ un aperto di $\matR^n$. Mostriamo che ogni componente connessa per
  archi $C$ di $X$ \`e aperta. Prendiamo $x\in C$. Poich\'e $X$ \`e
  aperto, esiste $r$ tale che $B_r (x)\subset X$. Tutti i
  punti di $B_r(x)$ sono collegabili a $x$ tramite archi: quindi
  $B_r(x)\subset C$. Quindi $C$ \`e aperto per la
  Proposizione~\ref{aperto:prop}.

  Se $X$ \`e connesso, non pu\`o essere unione di aperti disgiunti non
  vuoti. Quindi pu\`o avere una sola componente connessa per archi:
  in altre parole, \`e connesso per archi.
\end{proof}

\section{Categorie e funtori} \label{categorie:section}
Gli spazi topologici e le mappe continue sono oggetti molto complessi e difficili da
studiare in modo diretto. Anche domande molto semplici, quali se
$\matR^n$ e $\matR^m$ siano omeomorfi, risultano praticamente impossibili
usando soltanto le definizioni.

Per questo si cerca di semplificare il problema ``proiettando'' (con una inevitabile
perdita di informazioni) il ``mondo'' degli spazi topologici e delle
mappe continue su un altro mondo pi\`u facile da studiare, come quello
degli insiemi o dei gruppi. In matematica, i ``mondi'' e le loro
``proiezioni'' sono concetti definiti rigorosamente, chiamati
``categorie'' e ``funtori''.

\subsection{Categoria}
Una \emph{categoria}\footnote{La definizione presente qui \`e un po'
  semplificata (e meno generale) rispetto a quella usuale.} consiste di:
\begin{itemize}
\item
una classe, i cui elementi sono insiemi (eventualmente dotati di
strutture) chiamati \emph{oggetti};
\item
per ogni coppia ordinata $(A, B)$ di oggetti, un insieme $\Hom(A,B)$ di
funzioni da $A$ a $B$ chiamati \emph{morfismi}.
\end{itemize}
Nella definizione si chiede che:
\begin{enumerate}
\item $\Hom(A,A)$ contenga la funzione identit\`a $\id_A$, per ogni oggetto $A$;
\item se $f\in \Hom(A,B)$ e $g\in \Hom(B,C)$ allora $g\circ
  f\in\Hom(A,C)$.
\end{enumerate}
Tra gli esempi pi\`u comuni di
categorie troviamo:
\begin{itemize}
\item gli insiemi e le mappe fra questi;
\item i gruppi e i loro omomorfismi;
\item gli spazi vettoriali e le applicazioni lineari;
\item gli spazi topologici e le funzioni continue.
\end{itemize}
\subsection{Funtore}
Un \emph{funtore} \`e una mappa $F:C \to D$ fra due categorie, che associa:
\begin{itemize}
\item ad ogni oggetto $X$ di $C$ un oggetto $F(X)$ di $D$;
\item ad ogni morfismo $f:X\to Y$ un morfismo $F(f):F(X)\to F(Y)$;
\end{itemize}
in modo tale che:
\begin{enumerate}
\item $F(\id_X) = \id_{F(X)}$ per ogni oggetto $X$ in $C$;
\item $F(g\circ f) = F(g) \circ F(f)$ per ogni coppia di morfismi
  $f:X\to Y$ e $g:Y\to Z$.
\end{enumerate}
Per semplicit\`a il morfismo $F(f)$ associato ad $f$ \`e spesso
indicato con $f_*$.
\begin{rem} Normalmente un funtore definito in questo modo
  si chiama \emph{covariante}, mentre un \emph{funtore controvariante}
  associa ad un morfismo $f:X\to Y$ un morfismo $F(f):F(Y)\to
  F(X)$. In questo corso vedremo solo funtori covarianti.
\end{rem}

\subsection{Componenti connesse}
Costruitamo adesso un funtore dalla categoria degli spazi topologici
in quella degli insiemi.

Dato uno spazio topologico $X$, indichiamo con $F(X)$ l'insieme delle
sue componenti connesse. Una funzione continua $f:X\to Y$ fra
spazi topologici induce una $f_*:F(X)\to F(Y)$ nel modo seguente: se
$C$ \`e una componente connessa di $X$, la sua immagine $f(C)\subset Y$
\`e connessa (per il Teorema~\ref{connessi:teo}) ed \`e quindi
contenuta in una componente connessa $f_*(C)$ di $Y$. 

La mappa $F$ \`e un funtore dalla categoria degli spazi topologici in
quella degli insiemi. Questo funtore un po' ``rozzo'' perde molte
informazioni sugli spazi topologici. Nella prossima sezione definiremo
un funtore molto pi\`u raffinato, che assocer\`a ad ogni spazio
topologico un gruppo. Il funtore $F$ ha comunque delle propriet\`a che
permettono gi\`a di rispondere ad alcune domande.

\begin{prop}\label{suriettiva:prop}
Se $f$ \`e suriettiva anche $f_*$ lo \`e.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Sia $f:X\to Y$ e $C$ una componente connessa di $Y$. Poich\'e $f$ \`e
suriettiva, esiste $x\in X$ con $f(x)\in C$ e quindi indicando con $C_x$ la
componente connessa di $X$ contenente $x$, abbiamo $f(C_x)\subset C$,
ovvero $f_*(C_x) = C$.
\end{proof}

\begin{cor} \label{cc:cor}
Sia $f:X\to Y$ una funzione continua suriettiva fra spazi topologici.
Lo spazio $Y$ non pu\`o avere pi\`u componenti
connesse di $X$.
\end{cor}
\begin{proof}[Dim.]
Se $f$ \`e suriettiva anche $f_*:F(X)\to F(Y)$ lo \`e e quindi $F(Y)$
non pu\`o avere cardinalit\`a superiore a $F(X)$.
\end{proof}

\begin{ex} Mostrare con esempi semplici che $f$ iniettiva non implica in generale che
$f_*$ sia iniettiva.
\end{ex}

\subsection{Definizioni generali $(\star)$}\footnote{La presenza di
  questa sezione \`e soprattutto motivata dal fatto che ho imparato
  recentemente a disegnare diagrammi in \LaTeX. :-)}
Ci sono alcune costruzioni che si presentano in modo simile nelle
varie categorie. Tra queste, i prodotti e i quozienti,
che vengono fatti (quando possibile!) per spazi topologici, gruppi,
spazi vettoriali, insiemi, etc. Possiamo definire prodotti e quozienti
una volta per tutte in una categoria astratta, nel modo seguente.

Sia $C$ una categoria. Siano $X$ e $Y$ due oggetti di $C$. Un oggetto
$W$ e due morfismi $\pi_X:W \to X$ e $\pi_Y:W \to Y$  
sono un \emph{prodotto} di $X$ e $Y$ se soddisfano la
seguente propriet\`a universale: dato un oggetto $Z$ e
  due morfismi $f:Z\to X$ e $g:Z\to Y$, esiste un unico morfismo
  $h:Z\to W$ tale che il seguente diagramma commuti:
$$\xymatrix{
 Z \ar@/_/[ddr]_g \ar@/^/[drr]^f
   \ar@{.>}[dr]|-{h}            \\ 
  & W \ar[d]^{\pi_X} \ar[r]_{\pi_Y}
                 & X            \\ 
  & Y    &                 }$$

Sia $X$ un oggetto, e sia $\sim$ una relazione d'equivalenza su
  $X$. Un oggetto $Y$ ed un morfismo $\pi:X\to Y$ sono il \emph{quoziente} di $X$ per $\sim$ 
 se soddisfano la seguente
  propriet\`a universale: dato un oggetto $Z$ e un
  morfismo $g: X \to Z$ tale che
  $a\sim b \Rightarrow g(a)=g(b)$ per ogni $a$ e $b$ in $X$, 
  allora esiste un unico morfismo $f: Y \to Z$ tale che il
  seguente diagramma commuti:
$$\xymatrix{
 X \ar[d]_{\pi} \ar@{>}[dr]^g \\ 
 Y \ar@{.>}[r]_f & Z }$$

Non \`e detto in generale che prodotti e quozienti esistano in una
categoria. Vedremo nella Sezione~\ref{VK:section} una costruzione,
chiamata \emph{prodotto amalgamato}, che \`e in un certo senso
``duale'' a quella di prodotto descritta qui.

\section{Omotopia}\label{omotopia:section}
\subsection{Definizione}
Siano $X$ e $Y$ due spazi topologici.
Una \emph{omotopia} fra due funzioni continue $f:X \to Y$ e $g:X\to Y$
\`e una funzione continua 
$$F:X\times [0,1]\to Y$$ tale che
$F(x,0) = f(x)$ e $F(x,1)=g(x)$ per ogni $x\in X$. Diciamo che
l'omotopia $F$ \emph{collega} le funzioni $f$ e $g$. Due funzioni $f$ e
$g$ sono quindi \emph{omotope} se c'\`e una omotopia che le collega.

\begin{prop}\label{omotopia:prop}
L'omotopia \`e una relazione d'equivalenza nell'insieme delle funzioni continue da
$X$ in $Y$.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
$f\sim f$: la funzione $F(x,t) = f(x)$ \`e continua (perch\'e se $U$
\`e aperto in $Y$, allora $F^{-1}(U) = f^{-1}(U)\times [0,1]$ \`e
aperto in $X\times [0,1]$) e collega $f$ a se stessa.

$f\sim g \Rightarrow g \sim f$: se $F(x,t)$ collega $f$ e $g$, la
funzione $G(x,t) = F(x,1-t)$ \`e continua (perch\'e \`e composizione
di $F$ e di $j:X\times [0,1]\to X\times[0,1]$ data da $j(x,t) =
j(x,1-t)$, che \`e continua) e collega $g$ e $f$.

$f\sim g, g\sim h \Rightarrow f\sim h$: se $F$ e $G$ collegano
risp.~$f$ a $g$ e $g$ a $h$, la funzione
$$H(x,t) = \left\{\begin{array}{ll} F(x,2t) \ & {\rm per }\ t\leqslant 1/2,
\\ G(x,2t-1) \ & {\rm per }\ t\geqslant 1/2; \end{array}\right.$$
\`e ben definita e continua per la Proposizione~\ref{funzione:continua:prop}, e
collega $f$ a $h$.
\end{proof}


\begin{prop} \label{omotopie:composte:prop}
Se $f\sim f':X\to Y$ e $g\sim g':Y\to Z$, 
allora $$g\circ f \sim g'\circ f':X\to Z.$$
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Siano $F:X\times [0,1]\to Y$ e $G:Y\times[0,1]\to Z$ omotopie che
legano risp.~$f$ a $f'$ e $g$ a $g'$. La mappa seguente 
$$\begin{array}{rccl} H: & X \times [0,1] & \to     & Z, \\ 
                         &      (x, t) & \mapsto & G(F(x,t),t).
\end{array}$$
lega $g\circ f$ a $g'\circ f'$, ed \`e continua, perch\'e \`e
composizione di $G$ e della funzione $X\times [0,1]\to Y\times [0,1]$ 
data da $(x,t)\mapsto (F(x,t),t)$, che \`e continua perch\'e lo \`e
ciascuna delle sue due componenti.
\end{proof}

L'affermazione seguente ci dice che il funtore $F$ definito nella
Sezione~\ref{categorie:section} non ``vede''
l'omotopia, cio\`e non distingue mappe omotope. 
\begin{prop}\label{omotopia:C:prop}
Se $f, f':X\to Y$ sono omotope allora inducono la stessa funzione
$f_*=f_*':F(X)\to F(Y)$.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Sia $F$ l'omotopia che collega $f$ e $f'$. Per ogni $x_0\in X$, le
immagini $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sono collegate dall'arco
$t\mapsto F(x_0,t)$, e quindi appartengono alla stessa componente
connessa. Quindi $f_* = f_*'$.
\end{proof}

\begin{prop} \label{convessi:prop}
Due funzioni $f,g:X\to C$ da uno spazio topologico $X$ in
  un convesso $C\subset \matR^n$ sono sempre omotope.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
L'omotopia $F:X\times [0,1]\to C$ \`e definita semplicemente come 
$$F(x,t) = t\cdot f(x) + (1-t)\cdot g(x).$$
Il fatto che $C$ sia convesso garantisce che la $F$ abbia sempre
valori in $C$.
\end{proof}

\subsection{Spazi omotopicamente equivalenti}

\begin{defn}
Due spazi $X$ e $Y$ sono \emph{omotopicamente equivalenti} se esistono due funzioni $f:X\to Y$ e $g:Y\to X$
tali che $g\circ f\sim id_X$ e $f\circ g\sim id_Y$.
\end{defn}
\begin{prop}
L'equivalenza omotopica \`e una relazione di equivalenza nella classe degli spazi topologici.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Le propriet\`a riflessiva e simmetrica sono ovvie. Dimostriamo la
transitiva: abbiamo
$$\xymatrix{
 X \ar@/_/[r]_f & Y \ar@/_/[l]_g \ar@/_/[r]_{f'} & Z \ar@/_/[l]_{g'} }$$
e usando la Proposizione~\ref{omotopie:composte:prop} vediamo che
$$g\circ g'\circ f'\circ f = g\circ(g'\circ f')\circ f \sim g\circ f
\sim \id_X$$
e analogamente che $f'\circ f\circ g\circ g'\sim\id_Z$.
\end{proof}

Uno spazio topologico $X$ \`e \emph{contrattile} se \`e omotopicamente
equivalente al punto\footnote{Il punto \`e lo spazio topologico formato da
  un punto solo.}.

\begin{prop}
Un convesso $C$ in $\matR^n$ \`e contrattile.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Sia $P$ il punto. Definiamo $f: C\to P$ come l'unica funzione
possibile, e $g:P\to C$ come una funzione qualsiasi. Quindi $f\circ g:P\to
P$ \`e l'identit\`a, e $g\circ f:C\to C$ \`e omotopa all'identit\`a per
la Proposizione~\ref{convessi:prop}.
\end{proof}
\begin{cor}
Gli spazi $\matR^n$, $D^n$ e $B^n$ sono contrattili, per ogni $n$.
\end{cor}

Abbiamo gi\`a visto che il funtore $F$ non distingue mappe omotope.
Ne segue che non distingue spazi omotopicamente equivalenti:
\begin{prop}\label{omotopi:C:prop}
Se $X$ e $Y$ sono omotopicamente equivalenti allora $F(X)$ e $F(Y)$ hanno la stessa
cardinalit\`a.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Per ipotesi esistono $f:X\to Y$ e $g:Y\to X$ tali che $g\circ f\sim id_X$ e $f\circ g\sim id_Y$.
La Proposizione~\ref{omotopia:C:prop} quindi implica che le funzioni $f_*:
F(X) \to F(Y)$ e $g_*:F(Y)\to F(X)$ sono una inversa dell'altra.
\end{proof}

\subsection{Coppie di spazi} \label{omotopia:relativa:subsection}
Nella prossima sezione avremo bisogno di una generalizzazione del concetto
di omotopia, per la quale valgono gli stessi enunciati elencati
sopra. 

Una \emph{coppia di spazi topologici} \`e una coppia
$(X,A)$ dove $X$ \`e uno spazio topologico e $A\subset X$ un
sottoinsieme. Una \emph{funzione} $f:(X,A)\to (Y,B)$ tra due coppie $(X,A)$ e $(Y,B)$ di
spazi topologici \`e una $f:X\to Y$ tale che $f(A)\subset B$.

\begin{ex} Le coppie di spazi topologici, con le loro funzioni,
  formano una categoria.
\end{ex}

Una \emph{omotopia} fra due funzioni $f,g:(X,A) \to (Y,B)$ \`e una
funzione 
$$F: X\times [0,1] \to Y$$
tale che 
\begin{itemize}
\item $F(x,0) = f(x)$ e $F(x,1)=g(x)$ per ogni $x\in X$;
\item $F(A,t) \subset B$ per ogni $t\in[0,1]$.
\end{itemize}
Al solito, due funzioni $f$ e
$g$ sono \emph{omotope} se c'\`e una omotopia che le collega.
Valgono le stesse propriet\`a descritte precedentemente: le
dimostrazioni sono analoghe e lasciate per esercizio.

\begin{ex}\label{omotopia:ex}
L'omotopia \`e una relazione d'equivalenza nell'insieme delle funzioni continue da
$(X,A)$ in $(Y,B)$.
\end{ex}
\begin{ex} \label{omotopie:composte:ex}
Se $f\sim f':(X,A)\to (Y,B)$ e $g\sim g':(Y,B)\to (Z,C)$, 
allora $$g\circ f \sim g'\circ f':(X,A)\to (Z,C).$$
\end{ex}

\section{Gruppo fondamentale}
\subsection{Spazi puntati e lacci}
Uno \emph{spazio topologico puntato} \`e una coppia $(X,A)$ di
spazi topologici in cui $A = \{x_0\}$ consta di un punto solo $x_0$,
detto \emph{punto base}. Lo spazio puntato si indica per semplicit\`a
come $(X,x_0)$.

Per definizione, una funzione
$$f:(X,x_0)\to (Y,y_0)$$ 
fra spazi puntati \`e una funzione $f:X\to Y$
tale che $f(x_0) = y_0$. Gli spazi topologici puntati e le funzioni
continue fra questi formano una categoria.

Un \emph{laccio} in $(X,x_0)$ \`e un arco che parte e arriva in
$x_0$. Equivalentemente, \`e una funzione continua fra coppie di spazi topologici:
$$\alpha:\big([0,1], \{0,1\}\big) \to (X,x_0).$$
Seguendo la definizione data nella
Sezione~\ref{omotopia:relativa:subsection}, 
una omotopia fra due lacci
$\alpha$ e $\beta$ \`e una $F:[0,1]\times [0,1]$ continua con 
\begin{itemize}
\item $F(s,0)=\alpha(s)$ e $F(s,1)=\beta(s)$ per ogni $s\in[0,1]$, 
\item $F(0,t) = F(1,t) = x_0$ per ogni $t\in [0,1].$
\end{itemize}

Ricordiamo che l'inverso $\alpha^{-1}$ di un arco $t\mapsto \alpha(t)$
\`e l'arco $t\mapsto \alpha(1-t)$. L'inverso di un laccio in $(X,x_0)$
\`e quindi anch'esso un laccio. Inoltre due lacci $\alpha$ e $\beta$ un $(X,x_0)$ sono sempre concatenabili,
ed il risultato $\alpha*\beta$ \`e un altro laccio in $(X,x_0)$.
Sia $\Omega_1(X,x_0)$ l'insieme dei lacci in $X$, dotato dell'operazione
prodotto $*$. Vorremmo che questo insieme fosse un gruppo: purtroppo
  \emph{nessuno} degli assiomi necessari \`e verificato! Risolviamo
  subito questo problema quozientando l'insieme $\Omega_1(X,x_0)$ tramite omotopia.

\subsection{Gruppo fondamentale}
\begin{defn}
Il \emph{gruppo fondamentale} $\pi_1(X,x_0)$ di uno spazio topologico $(X,x_0)$ con
punto base \`e il quoziente
$$\Omega_1(X,x_0)/_\sim$$
dell'insieme dei lacci $\Omega_1(X,x_0)$ tramite la relazione $\sim$ d'omotopia.
\end{defn}

L'insieme $\pi_1(X,x_0)$ risulta appunto essere un
gruppo. L'operazione $*$ \`e quella data su $\Omega_1(X,x_0)$, 
che rimane ben definita anche nel quoziente grazie al risultato
seguente.

\begin{prop}
Se $\alpha\sim \alpha'$ e $\beta\sim \beta'$ sono lacci in $\Omega_1(X,x_0)$,
allora $\beta * \alpha \sim \beta' * \alpha'$.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Siano $A:[0,1]\times [0,1]\to X$ e $B:[0,1]\times [0,1]\to X$ omotopie
che collegano $\alpha$ a $\alpha'$ e $\beta$ a $\beta'$.
L'omotopia seguente collega $\beta * \alpha$ a $\beta' * \alpha'$:
$$\begin{array}{rccl} C: & [0,1]\times [0,1] & \to & X \\
                         & (s,      t)  & \mapsto & \left\{ 
\begin{array}{ll} A(2s,t)\   & {\rm per\ } s\leqslant 1/2, \\
                  B(2s-1,t)\ & {\rm per\ } s\geqslant 1/2. \end{array}\right. 
\end{array}$$
\end{proof}

Possiamo adesso dimostrare il fatto seguente.
\begin{prop}\label{pi:gruppo:prop}
$\big(\pi_1(X,x_0),*\big)$ \`e un gruppo.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Si devono dimostrare le propriet\`a seguenti:
\begin{description}
\item[associativit\`a]
Dati tre lacci $\alpha, \beta, \gamma$, dobbiamo mostrare che
$(\alpha * \beta) * \gamma$ e $\alpha * (\beta * \gamma)$ sono omotopi.
Abbiamo:
$$\begin{array}{rccl} 
(\alpha * \beta) * \gamma: & [0,1] & \to & X \\
                      &   s     & \mapsto & \left\{
\begin{array}{ll} \alpha(4s)\   & {\rm per\ } s\leqslant 1/4, \\
                  \beta(4s-1)\  & {\rm per\ } 1/4\leqslant s \leqslant 1/2, \\
                  \gamma(2s-1)\ & {\rm per\ } s\geqslant 1/2. 
\end{array}\right.
\end{array}$$
$$ \begin{array}{rccl} 
\alpha * (\beta * \gamma): & [0,1] & \to & X \\
                     &    s     & \mapsto & \left\{
\begin{array}{ll} \alpha(2s)\   & {\rm per\ } s\leqslant 1/2, \\
                  \beta(4s-2)\  & {\rm per\ } 1/2\leqslant s \leqslant 3/4, \\
                  \gamma(4s-3)\ & {\rm per\ } s\geqslant 3/4. 
\end{array}\right.
\end{array}
$$
Una omotopia \`e data da:
$$\begin{array}{rccl} F: & [0,1]\times [0,1] & \to & X \\
                         &         (s,t) & \mapsto & \left\{
\begin{array}{ll} \alpha\left(\frac{4s}{2-t}\right) & {\rm per\ } t\leqslant 2-4s, \\
                  \beta(4s-2+t)           & {\rm per\ } 2-4s \leqslant t \leqslant 3-4s, \\
            \gamma\left(\frac{4s-4}{t+1}+1\right) & {\rm per\ } t \geqslant 3-4s. \\
\end{array}\right.
\end{array}
$$
Si veda Fig.~\ref{assoc:fig}: sia $S$ l'unione del bordo del quadrato $Q=[0,1]\times [0,1]$ 
e dei due segmenti storti contenuti in $Q$. Abbiamo $F(S)=x_0$, punto base di $X$.
\begin{figure}
\begin{center}
\mettifig{assoc.eps} 
\caption{Schema per la dimostrazione della propriet\`a associativa.}
\label{assoc:fig}
\end{center}
\end{figure}

\item[elemento neutro] L'elemento neutro \`e dato dal laccio costante
$\sigma(s)= x_0\ \forall s$. Dobbiamo far vedere che $\alpha * \sigma$,
$\sigma * \alpha$ e $\alpha$ sono lacci omotopi. Un'omotopia tra $\alpha * \sigma$
e $\alpha$ \`e data da:
$$\begin{array}{rcl} F:[0,1]\times [0,1] & \to & X \\
                                 (s,t) & \mapsto & \left\{
\begin{array}{ll} \alpha\left(\frac{2s}{2-t}\right) & {\rm per\ } t\leqslant 2-2s, \\
                  x                                 & {\rm per\ } t\geqslant 2-2s. 
\end{array}\right.
\end{array}
$$
\begin{figure}
\begin{center}
\mettifig{neutroinv.eps} 
\caption{Schemi per la dimostrazione dell'esistenza dell'elemento neutro e dell'inversa.}
\label{neutroinv:fig}
\end{center}
\end{figure}
Si veda Fig.~\ref{neutroinv:fig}-(sinistra).
Si dimostra analogamente che $\sigma * \alpha$ \`e omotopo a $\alpha$.
\item[esistenza dell'inversa] Dato un laccio $\alpha$, scriviamo $\alpha^{-1}$ il laccio
$\alpha^{-1}(s) = \alpha(1-s)$. Mostriamo che $\alpha^{-1}$ \`e l'inversa di $\alpha$,
cio\`e che $\alpha * \alpha^{-1}$, $\alpha^{-1} * \alpha$ e il laccio costante 
$\sigma$ sono omotopi. Una omotopia tra $\alpha * \alpha^{-1}$ e $\sigma$ \`e data
da:
$$\begin{array}{rcl} F:[0,1]\times [0,1] & \to & X \\
                                 (s,t) & \mapsto & \left\{
\begin{array}{ll} \alpha(2s) & {\rm per\ } s\leqslant \frac{1-t}2, \\
                 \alpha(1-t) & {\rm per\ } \frac{1-t}2\leqslant s \leqslant \frac{1+t}2, \\ 
                \alpha(2-2s) & {\rm per\ } s\geqslant \frac{1+t}2.
\end{array}\right.
\end{array}
$$
Si veda Fig.~\ref{neutroinv:fig}-(destra). 
Una omotopia tra $\alpha^{-1} * \alpha$ e $\sigma$ si costruisce in modo analogo.
\end{description}
Notiamo la differenza fra le prime due omotopie,
in cui le varie $\alpha, \beta, \gamma$ vengono riscalate al variare di $t$ (cio\`e
viene cambiata la velocit\`a di percorrenza del laccio), e l'ultima, in cui
le velcit\`a di $\alpha$ e $\alpha^{-1}$ rimangono alterate, ma i lacci vengono troncati.
\end{proof}

\subsection{Il gruppo fondamentale \`e un funtore}
Una mappa continua $f:(X,x_0)\to (Y,y_0)$ induce\footnote{Ricordiamo che
  $f(x_0) = y_0$ per definizione.} una mappa 
$f_*:\Omega_1(X,x_0)\to \Omega_1(Y,y_0)$, che associa ad un laccio
$\alpha:[0,1]\to X$ il laccio $f\circ\alpha:[0,1]\to
Y$.
\begin{prop}
La mappa $f_*$ \`e ben definita al quoziente $f_*:\pi_1(X,x_0)\to\pi_1(Y,y_0)$
ed \`e un omomorfismo.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Se $\alpha\sim\alpha'$ sono lacci omotopi, allora $f\circ\alpha\sim f\circ\alpha'$
per la Proposizione~\ref{omotopie:composte:prop}. Quindi $f_*$ \`e ben definita.
Abbiamo 
$$f\circ(\alpha*\beta) = (f\circ\alpha)*(f\circ\beta), \quad
f\circ\alpha^{-1} = (f\circ\alpha)^{-1}$$ 
per ogni $\alpha,\beta\in\Omega_1(X,x_0)$: quindi $f_*$ \`e un omomorfismo.
\end{proof}

Quindi $\pi_1$ \`e un funtore dalla categoria degli spazi
puntati (con mappe continue) alla categoria dei gruppi
(con omomorfismi): le due propriet\`a necessarie sono dimostrate facilmente.

\subsection{Dipendenza del punto base}
In molte situazioni, se lo spazio $X$ \`e connesso per archi il punto
base $x_0$ pu\`o essere ignorato, in virt\`u 
del risultato seguente:
\begin{prop}\label{punto:base:prop}
Se $X$ \`e connesso per archi, $\pi_1(X,x_0)$ e $\pi_1(X,x_0')$ sono isomorfi
per ogni $x_0$ e $x_0'$ in $X$.
\end{prop}
\begin{wrapfigure}[14]{r}{5.8 cm}
  \centering 
  \mettifig{puntobase.eps, width = 5 cm}
  \caption{Il laccio $\phi(\alpha)$.}
  \label{puntobase:fig}
\end{wrapfigure}
\begin{proof}[Dim.]
Sia $\lambda:[0,1]\to X$ un arco che collega $x_0$ e $x_0'$.
Definiamo una funzione $$\psi:\Omega_1(X,x_0)\to\Omega_1(X,x_0')$$ nel modo seguente:
se $\alpha\in\Omega_1(X,x_0)$, allora $\psi(\alpha)$ \`e il laccio
definito come
$$\psi(\alpha) = \lambda * (\alpha * \lambda^{-1}).$$
Si veda la Fig.~\ref{puntobase:fig}.
Con le stesse tecniche della dimostrazione
della Proposizione~\ref{pi:gruppo:prop} si vede che $\psi$ induce una
mappa ben definita da $\pi_1(X,x_0)$ in $\pi_1(X,x_0')$,
\`e un omomorfismo, ed \`e iniettiva e suriettiva\footnote{Si consiglia di fare le verifiche
per esercizio.}. 
\end{proof}

\`E importante notare che l'isomorfismo tra $\pi_1(X,x_0)$ e
$\pi_1(X,x_0')$ non \`e canonico perch\'e dipende dalla scelta
dell'arco $\lambda$ che collega i punti base. 

D'ora in poi, se $X$ \`e connesso per archi indichiamo con $\pi_1(X)$
il gruppo $\pi_1(X,x_0)$, visto che non dipende (a meno di isomorfismi)
dalla scelta di $x_0\in X$.
Dobbiamo per\`o ricordarci
che senza fissare dei punti base non \`e possibile interpretare un elemento
di $\pi_1(X)$ come una classe di lacci in $X$, n\'e associare ad una
mappa $f:X\to Y$ un omomorfismo $f_*:\pi_1(X)\to\pi_1(Y)$.

Uno spazio topologico $X$ connesso per archi e avente $\pi_1(X)$ banale si
dice \emph{semplicemente connesso}. 

\begin{ex} Il punto \`e semplicemente connesso.
\end{ex}

\subsection{Omotopia}
Abbiamo visto nella Sezione~\ref{omotopia:section} che il funtore
``componenti conesse'' non distingue mappe omotope. Non lo fa neanche
il funtore $\pi_1$. Per poter asserire con precisione questo fatto
dobbiamo tenere conto dei punti base.

\begin{teo}
Siano $f\sim g: X \to Y$ due mappe omotope fra spazi topologici. Sia $x_0\in X$
qualsiasi. Esiste un isomorfismo 
$$\psi:\pi_1\big(Y,f(x_0)\big) \to \pi_1\big(Y,g(x_0)\big)$$
che fa commutare il diagramma
$$\xymatrix{
 & \pi_1\big(Y,f(x_0)\big) \ar@{.>}[dd]_\psi \\
\pi_1(X,x_0) \ar[ur]^{f_*} \ar[dr]_{g_*} &            \\ 
 & \pi_1\big(Y,g(x_0)\big) }$$
\end{teo}
\begin{proof}[Dim.]
Sia $F:X\times [0,1]$ l'omotopia che collega $f$ a $g$. Consideriamo
l'arco $\lambda:t\mapsto F(x_0,t)$ in $X\times [0,1]$. 
La composizione $F\circ\lambda$ collega i punti base $f(x_0)$ e
$g(x_0)$.
Come mostrato nella Proposizione~\ref{punto:base:prop}, associando ad
un laccio $\beta$ in $(Y,f(x_0))$ il laccio 
$$(F\circ\lambda)^{-1} * \big(\beta * (F\circ\lambda)\big)$$ 
in $(Y,g(x_0))$, otteniamo un isomorfismo 
$\psi:\pi_1\big(Y,f(x_0)\big) \to \pi_1\big(Y,g(x_0)\big)$.

Mostriamo che $g_* = \psi\circ f_*$. Sia $\alpha$ un laccio in
$(X,x_0)$: dobbiamo far vedere che 
$$g \circ\alpha\sim (F\circ\lambda)^{-1} *
\big((f\circ\alpha) * (F\circ\lambda)\big).$$ Per
fare ci\`o, definiamo gli archi in $X\times [0,1]$:
$$\alpha_0:t\mapsto (\alpha(t),0), \quad \alpha_1:t\mapsto
(\alpha(t),1)$$
e notiamo che
\begin{eqnarray*}
(F\circ\lambda)^{-1} * \big((f\circ\alpha) * (F\circ\lambda)\big) & = & F\circ
  \big(\lambda^{-1} * (\alpha_0 * \lambda)\big), \\
g\circ\alpha & = & F\circ\alpha_1.
\end{eqnarray*}
Si vede facilmente che i lacci $\alpha_1$ e $\lambda^{-1} * (\alpha_0 * \lambda)$ in $(X\times
[0,1], (x_0,1))$ sono omotopi. Segue quindi la tesi.
\end{proof}

\begin{cor}
Una equivalenza omotopica $f:X \to Y$ fra spazi topologici
induce un isomorfismo
$f_*:\pi_1(X,x_0)\to\pi_1\big(Y,f(x_0)\big)$, per ogni $x_0$.
\end{cor}
\begin{proof} [Dim.]
Per ipotesi esiste $g:Y\to X$ con $g\circ f\sim \id_X$ e $f\circ g\sim
\id_Y$. Applicando la Proposizione precedente a $g\circ f:X\to X$ e $\id_X$
otteniamo che 
$$(g\circ f)_* =
\psi\circ\id_X:\pi_1(X,x_0)\to\pi_1\big(X,g(f(x_0))\big)$$ 
per un isomorfismo $\psi$. Poich\'e anche $\id_X$ \`e un isomorfismo,
segue che $(g\circ f)_*$ \`e un isomorfismo. Quindi $f_*$ \`e
iniettiva. Procedendo analogamente con $f\circ g$ troviamo che
$f_*$ \`e suriettiva.
\end{proof}
\begin{cor}
Due spazi connessi per archi omotopicamente equivalenti hanno lo
stesso gruppo fondamentale.
\end{cor}
\begin{cor}
Uno spazio contrattile \`e semplicemente connesso.
\end{cor}
\begin{cor}
Un convesso in $\matR^n$ \`e semplicemente connesso. Gli spazi $\matR^n$,
$B^n$ e $D^n$ sono semplicemente connessi, per ogni $n$.
\end{cor}

\subsection{Prodotti}
Concludiamo la sezione con il risultato seguente.
\begin{prop} Siano $X$ e $Y$ connessi per archi. Allora 
$$\pi_1(X\times Y)\cong \pi_1(X)\times\pi_1(Y).$$
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Fissiamo dei punti base $x_0\in X$ e $y_0\in Y$. Siano
$p^X: X\times Y\to X$ e $p^Y:X\times Y\to Y$ le
proiezioni. Definiamo quindi l'omomorfismo 
$$\psi:\pi_1\big(X\times Y, (x_0,y_0)\big) \to \pi_1(X,x_0)\times
\pi_1(Y,y_0)$$
come $\psi(\alpha) = \big(p_*^X(\alpha),p_*^Y(\alpha)\big)$. 
L'omomorfismo inverso $\phi$ si ottiene associando a due lacci $\alpha$ e
$\beta$ rispettivamente in $(X,x_0)$ e $(Y,y_0)$ il laccio
$$\phi(\alpha,\beta): t\mapsto (\alpha(t), \beta(t))$$
in $(X\times Y,(x_0,y_0))$.
\end{proof}

\section{Rivestimenti}
\subsection{Definizione}
Sia $p:\tilde X\to X$ una funzione continua fra spazi topologici. Un
aperto $U\subset X$ \`e \emph{uniformemente rivestito} se la
controimmagine $p^{-1}(U)$ \`e unione disgiunta\footnote{Intendiamo
  che $U_i\cap U_j = \emptyset$ per ogni $i,j\in I$} di aperti
$$p^{-1}(U) = \sqcup_{i\in I} U_i$$
tali che $p|_{U_i}:U_i\to U$ \`e un omeomorfismo per ogni $i\in
I$. 
L'insieme $I$ \`e un insieme qualunque di indici, e pu\`o avere
cardinalit\`a arbitraria.

\begin{defn} Una funzione $p:\tilde X\to X$ continua fra spazi di
  Hausdorff e connessi per archi \`e un
  \emph{rivestimento} se ogni $x \in X$ ha un intorno aperto $U(x)$
  uniformemente rivestito.
\end{defn}
\begin{ex} Sia $p:\tilde X\to X$ una funzione continua fra spazi di
  Hausdorff connessi per archi.
\begin{itemize}
\item $p$ \`e un rivestimento se e solo se esiste un ricoprimento di $X$
  fatto da aperti uniformemente rivestiti;
\item $p$ \`e un rivestimento se e solo se esiste una base di $X$
  fatta da aperti uniformemente rivestiti.
\end{itemize}
\end{ex}

\begin{ex} Le funzioni seguenti sono rivestimenti (dove $\matC^* =
  \matC\setminus\{0\}$ e $S^1$ \`e visto dentro $\matC$).
\begin{enumerate}
\item $p:\matR\to S^1, \quad p(x) = e^{ix}$;
\item $p:S^1\to S^1, \quad p(z) = z^n$, per ogni intero $n\geqslant 1$;
\item $p:\matC^* \to \matC^*, \quad p(z) = z^n$, per ogni intero $n\geqslant 1$.
\end{enumerate}
\end{ex}

\subsection{Propriet\`a}

\begin{prop}\label{omeom:locale:prop}
Sia $p:\tilde X\to X$ un rivestimento. Ogni $\tilde x\in\tilde X$ ha
un intorno aperto $U=U(\tilde x)$ tale che $p|_U:U\to p(U)$ \`e un omeomorfismo.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Abbiamo $p^{-1}(p(x)) = \sqcup_{i\in I} U_i$ con $p|_{U_i}:U_i\to
p(U_i)$ omeomorfismo per ogni $i$: basta prendere l'aperto $U_i$ che contiene $x$.
\end{proof}

\begin{prop}
Un rivestimento $p:\tilde X\to X$ \`e una mappa aperta.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Per la proposizione precedente, esiste una base di aperti in $\tilde X$ le cui immagini
tramite $p$ sono tutti aperti. Questo implica
facilmente che $p$ \`e aperta.
\end{proof}

Sia $p:\tilde X\to X$ un rivestimento. La \emph{fibra} di un punto
$x_0\in X$ \`e la sua controimmagine $p^{-1}(x_0)$.

\begin{prop}
Sia $p:\tilde X\to X$ un rivestimento. Le fibre di due punti $x,x'\in
X$ hanno la stessa cardinalit\`a.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Definiamo due punti di $X$ equivalenti se le loro fibre hanno la
stessa cardinalit\`a. Questa relazione induce una partizione di
$X$. Mostriamo che ogni insieme della partizione \`e aperto: dal fatto
che $X$ \`e connesso ne segue che la partizione \`e fatta di un
insieme solo.

Sia $x\in X$ un punto, e $U(x)$ un suo intorno uniformemente
rivestito. Abbiamo $p^{-1}(U(x)) = \sqcup_{i\in I}U_i$ e $p|_{U_i}$
omeomorfismo per ogni $i$. Segue che ogni punto di $U(x)$ ha fibra con
cardinalit\`a pari a quella di $I$. Quindi $U(x)$ \`e tutto contenuto
nell'insieme della partizione contenente $x$. Quindi questi insiemi
sono aperti.
\end{proof}
\begin{cor}
Un rivestimento $p:\tilde X\to X$ \`e suriettivo.
\end{cor}
In virt\`u di questo risultato, chiamiamo il \emph{numero di fogli} (o
\emph{grado}) di un rivestimento $p:\tilde X\to X$ la cardinalit\`a
della fibra di un qualsiasi punto di $X$.

\begin{prop} Sia $p:\tilde X\to X$ un rivestimento. La fibra di un
  punto \`e un sottoinsieme discreto di $\tilde X$.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Sia $p^{-1}(x_0)$ la fibra di un punto $x_0\in X$.
Dobbiamo mostrare che ogni $\tilde x\in \tilde X$ ha un intorno aperto
$U$ tale che $\big(U\setminus\{\tilde x\}\big)\cap
p^{-1}(x_0) = \emptyset$, cio\`e $x_0\not\in p\big(U\setminus\{\tilde
x\}\big)$. Questo fatto segue facilmente dalla Proposizione~\ref{omeom:locale:prop}.
\end{proof}

\begin{cor} \label{fogli:cor}
Sia $p:\tilde X\to X$ un rivestimento. Se $\tilde X$ \`e
  compatto, il numero dei fogli \`e finito.
\end{cor}
\begin{proof}[Dim.]
Un sottoinsieme discreto in un compatto \`e finito (Esercizio \ref{discreto:ex}).
\end{proof}

\subsection{Sollevamenti}
Dato un rivestimento $p:\tilde X\to X$ e due funzioni continue $f:Y\to
X$ e $\tilde f:Y\to\tilde X$ definite su uno spazio $Y$, diciamo che
$\tilde f$ \`e il \emph{sollevamento} di $f$ se $f = p\circ\tilde f$.

$$\xymatrix{
 & \tilde X \ar[d]^p \\
Y \ar@{.>}[ur]^{\tilde f} \ar[r]_f & X
}$$

\begin{lemma} \label{sollevamento:unico:lemma}
Sia $p:\tilde X\to X$ un rivestimento e $Y$ uno spazio connesso. Siano $\tilde f, \tilde
f':Y\to\tilde X$ due sollevamenti della stessa funzione $f:Y\to X$. Se
$\tilde f(y_0) = \tilde f'(y_0)$ per qualche $y_0$, allora $\tilde f =
\tilde f'$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Dim.]
Mostriamo che l'insieme $S=\{y\in Y\ |\ \tilde f(y) = \tilde f'(y)\}$
dei punti su
cui le due funzioni coincidono \`e aperto e chiuso. Dal fatto che
contiene $y_0$ e che $Y$ \`e connesso, ne seguir\`a che $S=Y$.

Chiusura: sia $y\not\in S$. Allora $\tilde f(y) \neq \tilde
f'(y)$. Poich\'e $\tilde X$ \`e di Hausdorff, ci sono due aperti
disgiunti $U$ e $U'$ contenenti rispettivamente $\tilde f(y)$ e
$\tilde f'(y)$. L'insieme $V(y)=\tilde f^{-1}(U)\cap\tilde f'^{-1}(U')$ \`e
un intorno aperto di $y$. Sui punti in $V(y)$ le funzioni $\tilde f$ e
$\tilde f'$ non coincidono
mai, e quindi $V(y)\cap
S = \emptyset$. Segue che $S$ \`e chiuso.

Apertura: sia $y\in S$. Sia $U\subset X$ un aperto uniformemente
rivestito contenente $f(y)$. Quindi $p^{-1}(U)=\sqcup_{i\in I} U_i$, e
sia $U_{i_0}$ l'aperto contenente il punto $\tilde f(y) = \tilde f'(y)$. 
Allora sull'aperto $f^{-1}(U)$ di $Y$ abbiamo $\tilde f = (p|_{U_{i_0}})^{-1}\circ f = \tilde f'$ e
quindi $f^{-1}(U)\subset S$.
\end{proof}

Un \emph{automorfismo} di un rivestimento $p:\tilde X\to X$ \`e un
omeomorfismo $f:\tilde X\to\tilde X$ tale che $p\circ f = p$.
Un \emph{punto fisso} per una funzione $f:Y\to Y$ \`e un punto $y$ per
cui $f(y)=y$.

\begin{cor}\label{punti:fissi:cor}
Un automorfismo diverso dall'identit\`a non ha punti fissi.
\end{cor}
\begin{proof}[Dim.]
Usiamo il lemma precedente con $Y=\tilde X$.
L'identit\`a $\id:\tilde X\to\tilde X$ e $f:\tilde X\to\tilde X$
sono entrambi sollevamenti di $p:\tilde X\to X$. Quindi se coincidono
in un punto coincidono ovunque.
\end{proof}

\begin{ex} \label{automorfismi:ex}
Gli automorfismi di un rivestimento $p:\tilde X\to X$ formano un gruppo.
\end{ex}

Il prossimo enunciato dice che tutti i cammini $\alpha$ e le omotopie
$F$ su $X$ possono
essere sollevate su $\tilde X$ all'``altezza desiderata'': si pu\`o
chiedere cio\`e che il sollevamento passi per un punto
a piacere nella fibra di $\alpha(0)$ o $F(0,0)$.

\begin{teo}[del sollevamento dei cammini e delle omotopie] \label{sollevamento:teo}
Sia $p:\tilde X\to X$ un rivestimento.
\begin{itemize}
\item
  Per ogni arco $\alpha:[0,1]\to X$ e ogni $\tilde x \in
  p^{-1}\big(\alpha(0)\big)$ esiste un sollevamento $\tilde \alpha:[0,1]\to
  \tilde X$ di $\alpha$ con $\tilde\alpha(0)=\tilde x$.
\item
  Per ogni mappa continua $F:[0,1]\times [0,1]\to X$ e ogni $\tilde x\in
  p^{-1}\big(F(0,0)\big)$ esiste un sollevamento $\tilde F:[0,1]\times
  [0,1]\to\tilde X$ di $F$ con $\tilde F(0,0)=\tilde x$.
\end{itemize}
\end{teo}
\begin{proof}[Dim.]
Sia $\alpha$ un arco in $X$. Dimostriamo che esistono
$0=t_0<t_1<\ldots<t_k=1$ tali che $\alpha\big([t_i,t_{i+1}]\big)$ sia contenuto
  in un aperto di $X$ uniformemente rivestito, per ogni $i$.

Gli aperti uniformemente rivestiti di $X$ formano un ricoprimento di
$X$. La controimmagine rispetto a $\alpha$ di ciascuno di questi
aperti \`e un aperto in $[0,1]$, unione di aperti
connessi in $[0,1]$ (le sue componenti connesse). Tutti gli aperti
connessi di $[0,1]$ che si ottengono in questo modo formano un ricoprimento per
$[0,1]$. Poich\'e $[0,1]$ \`e compatto, esiste un sottoricoprimento
finito. Possiamo supporre che questo sottoricoprimento sia minimale: cio\`e
che ogni sottofamiglia di questa famiglia finita di aperti non sia un
ricoprimento.

Un aperto connesso non vuoto in $[0,1]$ \`e un intervallo del tipo $[0,1]$, $[0,b)$,
  $(a,1]$ oppure $(a,b)$. Poich\'e il ricoprimento \`e minimale, gli
  aperti sono dei segmenti 
$$[0, b_0), (a_1,b_1),\ldots, (a_{k-2},b_{k-2}), (a_{k-1},1]$$ 
con $0<a_1<b_0<a_2<b_1<\ldots<b_{k-2}<1$. Prendendo
un $t_i\in(a_i,b_{i-1})$ qualsiasi per $i=1,\ldots,k-1$ otteniamo una successione $0=t_0<t_1<\ldots<t_k=1$ 
tale che $\alpha\big([t_i,t_{i+1}])$ sia contenuto
  in un aperto di $X$ uniformemente rivestito, per ogni $i$.

A questo punto definiamo $\tilde\alpha$ ricorsivamente su ogni segmento
chiuso $[t_j,t_{j+1}]$, partendo da $j=0$. Sia $U$ un intorno
uniformemente rivestito contenente $\alpha\big([t_j,t_{j+1}]\big)$. 
Quindi $p^{-1}(U) = \sqcup_{i\in I} U_i$.
Il punto $\tilde\alpha(t_j)$ \`e contenuto in un $U_{i_0}$. 
Definiamo quindi $\tilde\alpha$ su $[t_i,t_{i+1}]$ come
$(p|_{U_{i_0}})^{-1}\circ\alpha$.

Il sollevamento di una $F:[0,1]\times [0,1]$ si effettua in modo
analogo. Gli aperti uniformemente rivestiti sono un ricoprimento di
$X$. La controimmagine di ciascuno di questi \`e un aperto di
$[0,1]\times [0,1]$. Per definizione della topologia prodotto, 
un tale aperto \`e unione di rettangoli aperti in $[0,1]\times [0,1]$. 
La famiglia di tutti i rettangoli ottenuti in questo modo \`e
un ricoprimento di $[0,1]\times [0,1]$. Ne estraiamo un
sottoricoprimento finito. A questo punto \`e facile dimostrare che
esiste un $N>0$ tale che il quadratino 
$$Q_{k,h}= [k/N,(k+1)/N]\times [h/N,(h+1)N]$$ 
di area $1/N^2$ sia contenuto interamente in almeno uno di questi rettangoli, per ogni $k,h
= 0,\ldots, N-1$. Quindi l'immagine di ogni quadratino \`e contenuta
in un aperto uniformemente ricoperto, e la $\tilde F$ pu\`o essere
definita come sopra sui quadratini nell'ordine
$$Q_{0,0}, Q_{0,1}, \ldots, Q_{0,N-1},Q_{1,0},\ldots, Q_{N-1,N-1}.$$
\end{proof}

Tali sollevamenti sono unici per il Lemma~\ref{sollevamento:unico:lemma}.

\begin{cor}[Teorema di monodromia]\label{monodromia:cor} 
Sia $p:\tilde X\to X$ un rivestimento. Sia $x_0\in X$ un punto, e siano $\tilde\alpha$ e $\tilde\beta$ due
archi in $\tilde X$, le cui proiezioni $\alpha = p\circ\tilde\alpha$ e
$\beta = p\circ\tilde\beta$ sono 
lacci omotopi in $(X,x_0)$\footnote{cio\`e rappresentano lo stesso
  elemento in $\pi_1(X,x_0)$.}. Allora $\tilde\alpha(0)=\tilde\beta(0)$ se e solo se
$\tilde\alpha(1)=\tilde\beta(1)$.
\end{cor}
\begin{proof}[Dim.]
Supponiamo $\tilde\alpha(0) = \tilde\beta(0)$. Sia $F:[0,1]\times [0,1]\to X$
l'omotopia che collega $\alpha$ e $\beta$. Questa si
solleva ad una mappa $\tilde F:[0,1]\times [0,1]\to \tilde X$ tale che
$\tilde F(0,0) = \tilde\alpha(0) = \tilde\beta(0)$. 

Gli archi $s\mapsto \tilde F(0,s)$ e $s\mapsto \tilde F(1,s)$ hanno
valori nella fibra di $x_0$, che \`e discreta: quindi sono entrambe
costanti. Quindi $\tilde F(0,0) = \tilde F(1,0) = \tilde F(0,1) =
\tilde F(1,1)$.

Gli archi $t\mapsto \tilde F(0,t)$ e $t\mapsto \tilde F(1,t)$ in
$\tilde X$ sono sollevamenti rispettivamente di $\alpha$ e $\beta$, e
partono entrambi da $\tilde\alpha(0) = \tilde\beta(0)$: 
per l'unicit\`a del sollevamento deve essere
$\tilde\alpha(t) = \tilde F(0,t)$ e $\tilde\beta(t) = \tilde F(1,t)$
per ogni $t$. Abbiamo visto che $\tilde F(0,1) = \tilde F(1,1)$, e
quindi $\tilde\alpha(1) = \tilde\beta(1)$.

Invertendo $\tilde\alpha$ e $\tilde\beta$ si deduce quindi anche che
$\tilde\alpha(1)=\tilde\beta(1)$ implica $\tilde\alpha(0)=\tilde\beta(0)$.
\end{proof}


\subsection{Rivestimenti e gruppo fondamentale}
Un \emph{rivestimento} $p:(\tilde X,\tilde x_0)\to (X,x_0)$ fra spazi
puntati \`e semplicemente un rivestimento $p:\tilde X\to X$ tale che $p(\tilde x_0)=x_0$.
\begin{prop}
Sia $p:(\tilde X,\tilde x_0) \to (X,x_0)$ un rivestimento fra spazi
puntati. L'omomorfismo $p_*:\pi_1(\tilde X,\tilde
x_0)\to\pi_1(X,x_0)$ \`e iniettivo.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Siano $\tilde\alpha$ e $\tilde\beta$ due lacci in $(\tilde X,\tilde x_0)$ le cui
proiezioni $\alpha$ e $\beta$ sono omotope. Come nella dimostrazione
del Corollario \ref{monodromia:cor}, l'omotopia $F$ tra $\alpha$ e
$\beta$ si solleva ad una $\tilde F$ che risulta essere un'omotopia
tra $\tilde\alpha$ e $\tilde\beta$.
\end{proof}

\begin{prop}\label{indice:prop}
Il numero di fogli di un rivestimento $p:(\tilde X,\tilde x_0) \to
(X,x_0)$ \`e pari all'indice del sottogruppo $p_*\big(\pi_1(\tilde X,\tilde
x_0)\big)$ in $\pi_1(X,x_0)$.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Dato un laccio $\alpha$ in $(X,x_0)$, sia $\tilde\alpha$ il suo
sollevamento in $\tilde X$ che parte da $\tilde x_0$. Il sollevamento
non \`e necessariamente un laccio: il punto $\tilde\alpha(1)$ \`e
nella fibra di $x_0$, ma pu\`o essere diverso da $\tilde
x_0$. Abbiamo quindi una mappa
$$\phi:\Omega(X,x_0)\to p^{-1}(x_0).$$
data da $\phi(\alpha) = \tilde\alpha(1)$. Per il teorema di
monodromia, $\phi$ \`e ben definita sul quoziente $\pi_1(X,x_0)$.
Otteniamo quindi una funzione:
$$\phi:\pi_1(X,x_0)\to p^{-1}(x_0).$$
Consideriamo il sottogruppo $H = p_*\big(\pi_1(\tilde X,\tilde
x_0)\big)$ di $\pi_1(X,x_0)$. Ogni elemento di $H$ \`e rappresentato da un laccio
$\alpha = p\circ\tilde\alpha$, proiezione di un laccio $\tilde\alpha$
in $(\tilde X,\tilde x_0)$. Quindi il sollevamento del laccio $\alpha$
\`e ancora un laccio $\tilde\alpha$, e perci\`o
$\tilde\alpha(1)=\tilde x_0$. Segue che $\phi(H) = \{\tilde x_0\}$.

Siano $C= \left\{Ha\ |\ a\in \pi_1(X,x_0)\right\}$ le classi laterali
destre del sottogruppo $H = p_*\big(\pi_1(\tilde X,\tilde
x_0)\big)$. L'argomento appena usato mostra anche che $\phi$ \`e costante
su ciascuna classe laterale. Otteniamo quindi una funzione:
$$\phi:C \to  p^{-1}(x_0)$$
e ci rimane da mostrare che \`e biiettiva. La suriettivit\`a \`e
facile: dato $\tilde x_0'\in p^{-1}(x_0)$, esiste un arco $\lambda$ che
collega $\tilde x_0$ e $\tilde x_0'$. Allora $\alpha=p\circ\lambda$ \`e un
laccio in $(X,x_0)$ tale che $\phi(\alpha) = \tilde x_0'$. 

Mostriamo
che $\phi$ \`e iniettiva: siano $\alpha$ e $\alpha'$ lacci con
$\tilde\alpha(1) = \tilde\alpha'(1)$. Allora $\tilde\alpha *
\tilde\alpha'^{-1}$ \`e un laccio in $(\tilde X, \tilde x_0)$, e
quindi $\alpha*\alpha'^{-1} \in H$.
In altre parole, $\alpha$ e $\alpha'$ appartengono alla
stessa classe laterale destra.
\end{proof}

\subsection{Dipendenza dal punto base}
Come \`e nella filosofia del gruppo fondamentale, enunciamo dei
risultati che ci permettono di svincolarci il pi\`u possibile dai
punti base.
\begin{prop}\label{punto:base:rivestimento:prop}
Sia $p:\tilde X\to X$ un rivestimento. Siano $\tilde x_0, \tilde
x_1$ in $\tilde X$ e $x_0 = p(\tilde x_0), x_1 = p(\tilde x_1)$ in
$X$. Esistono due isomorfismi $\tilde\psi$ e $\psi$ che fanno
commutare il diagramma
$$\xymatrix{
 \pi_1(\tilde X,\tilde x_0) \ar[r]^{\tilde\psi} \ar[d]_p & \pi_1(\tilde X,\tilde x_1) \ar[d]^p  \\ 
 \pi_1(X,x_0) \ar[r]_\psi & \pi_1(X,x_1)}$$
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $\tilde\lambda$ un arco in $\tilde X$ che collega $\tilde x_0$ con
$\tilde x_1$. Siano $\tilde\psi$ e $\psi$ gli isomorfismi costruiti
nella dimostrazione della Proposizione \ref{punto:base:prop}) a partire
dagli archi $\tilde\lambda$ e $\lambda$. A questo punto \`e facile
verificare che il diagramma commuta.
\end{proof}

\subsection{Rivestimenti regolari}
Un rivestimento $p:\tilde X\to X$ \`e \emph{regolare} se il sottogruppo $p_*(\pi_1(\tilde
X,\tilde x_0))$ \`e normale in $\pi_1(X,x_0)$, per una qualche scelta di
$\tilde x_0\in\tilde X$, e con $x_0 = p(\tilde x_0)$. La
Proposizione~\ref{punto:base:rivestimento:prop} garantisce che la
definizione non dipende dalla scelta di $x_0$.

In un rivestimento, sappiamo che il sollevamento $\tilde\alpha$ di un laccio $\alpha$ non \`e
necessariamente un laccio (cio\`e i suoi punti di partenza e di arrivo
possono non coincidere). Pu\`o accadere addirittura che alcuni dei
sollevamenti dello stesso $\alpha$ (effettuati con punti di partenza diversi) 
sono lacci, mentre altri no. Il prossimo esercizio dice che questo non
accade se il rivestimento \`e regolare.

\begin{ex}\label{regolare:ex} ($\star$)
Sia $p:\tilde X\to X$ un rivestimento regolare. Sia $x_0\in X$, e
$\alpha$ un laccio in $(X,x_0)$. Siano $\tilde\alpha$ e
$\tilde\alpha'$ due sollevamenti di $\alpha$. Allora $\tilde\alpha$ \`e un
laccio se e solo se $\tilde\alpha'$ lo \`e.
\end{ex}

Uno spazio topologico $Y$ \`e \emph{localmente connesso per archi} se
esiste una base per $Y$ fatta di aperti connessi per
archi. Tutti gli spazi ``ragionevoli'' sono localmente connessi per archi.
\begin{teo}
Sia $p:\tilde X\to X$ un rivestimento regolare, con $\tilde X$
localmente connesso per archi. Allora il gruppo degli
automorfismi\footnote{Si veda l'Esercizio \ref{automorfismi:ex}} di
$p$ \`e isomorfo al quoziente 
$$\pi_1(X, x_0)/_{p_*(\pi_1(\tilde X,\tilde x_0))}$$
per ogni $\tilde x_0\in \tilde X$ e $x_0 = p(\tilde x_0)$.
\end{teo}
\begin{proof}[Dim.]
Sia $G$ il gruppo degli automorfismi. Definisco una funzione
$$\phi: G \to \pi_1(X, x_0)/_{p_*(\pi_1(\tilde X,\tilde x_0))}$$
nel modo seguente. Dato $g\in G$, prendo un arco $\tilde\lambda$
qualsiasi in $\tilde X$ che collega $\tilde x_0$ e $g(\tilde x_0)$. La
proiezione $\lambda = p\circ\tilde\lambda$ \`e un laccio in $(X,x_0)$,
poich\'e $p(g(\tilde x_0)) = p(\tilde x_0) = x_0$. Definisco $\phi(g)$
come la classe di $\lambda$ in $\pi_1(X, x_0)/_{p_*(\pi_1(\tilde X,\tilde x_0))}$.

La definizione non dipende dalla scelta di $\tilde\lambda$: se $\tilde\lambda'$
\`e un altro arco che collega $\tilde x_0$ a $g(\tilde x_0)$, 
allora il concatenamento $\tilde\lambda * (\tilde\lambda')^{-1}$
dei due \`e un laccio in $(\tilde X,\tilde x_0)$, e quindi la sua
proiezione $p\circ(\tilde\lambda * \tilde\lambda'^{-1}) = \lambda *
\lambda'^{-1}$ vive nel sottogruppo $p_*(\pi_1(\tilde X,\tilde
x_0))$. Quindi $\lambda$ e $\lambda'$ stanno nella stessa classe
laterale di  $p_*(\pi_1(\tilde X,\tilde x_0))$.

Mostriamo che $\phi$ \`e un omomorfismo. Siano $g$ e $g'$ due
automorfismi. Siano $\tilde\lambda$ e $\tilde\lambda'$ archi che collegano $\tilde
x_0$ rispettivamente a $g(\tilde x_0)$ e a $g'(\tilde x_0)$, e
$\lambda, \lambda'$ le loro proiezioni in $X$. Allora
l'arco $g\circ\tilde\lambda'$ collega $g(\tilde x_0)$ a $(g\circ g')(\tilde
x_0)$. Quindi l'arco concatenato $\tilde\lambda * (g\circ\tilde\lambda')$ collega
$x_0$ a  $(g\circ g')(\tilde x_0)$. La sua proiezione \`e $\lambda *
\lambda'$. Segue quindi che $\phi(g\circ g') = \phi(g) * \phi(g')$ e
quindi $\phi$ \`e un omomorfismo\footnote{Si mostra analogamente che
$\phi(g^{-1})=\phi^{-1}(g)$: si consiglia di farlo per esercizio.}.

Mostriamo che $\phi$ \`e iniettiva. Sia $g\in G$ con
$\phi(g)=0$. Sia $\tilde\lambda$ che collega $\tilde x_0$ a $g(\tilde
x_0)$. Per ipotesi, la proiezione $\lambda$ \`e un laccio omotopo all'immagine $\alpha$
di un laccio $\tilde\alpha$ in $(\tilde X, \tilde x_0)$. Il teorema di
monodromia implica che anche $\tilde\lambda$ \`e un laccio, cio\`e che
$g(\tilde x_0) = \tilde x_0$. Quindi $x_0$ \`e un punto fisso per
l'automorfismo $g$, e ne segue (per il Corollario~\ref{punti:fissi:cor}) che
\`e l'identit\`a.

Diamo infine un'idea su come dimostrare che $\phi$ \`e
suriettiva. Dato un laccio $\alpha$ in $(X,x_0)$, vogliamo costruire
un automorfismo $g$ tale che $\phi(g) = [\alpha]$. 
Dato un punto $\tilde x\in \tilde X$, l'immagine $g(\tilde x)$ \`e definita nel modo
seguente: sia $\tilde\lambda$ un arco che collega $\tilde x_0$ a
$\tilde x$ e $\lambda$ la sua proiezione in $X$. Definiamo come
$g(\tilde x)$ il punto di arrivo del sollevamento dell'arco $\alpha * \lambda$.

La funzione $g$ \`e ben definita: se $\tilde\lambda'$ \`e un
altro arco che collega $\tilde x_0$ a $\tilde x$, 
allora $\tilde\lambda'^{-1}*\tilde\lambda$ \`e un laccio in $(\tilde X, \tilde
x)$, e l'Esercizio~\ref{regolare:ex} implica che qualsiasi altro
sollevamento di $\lambda'^{-1}*\lambda$ \`e un laccio: 
quindi i punti di arrivo dei sollevamenti di $\alpha * \lambda'$ e
$\alpha * \lambda$ coincidono.

Infine, \`e facile vedere che $g$ \`e biunivoca. Per dimostrare che \`e un
omeomorfismo, si deve usare la locale connessione per archi.
\end{proof}

\begin{cor}
Sia $p:\tilde X\to X$ rivestimento con $\tilde X$ semplicemente
connesso e localmente connesso per archi. Allora $\pi_1(X)$ \`e
isomorfo al gruppo degli automorfismi di $p$.
\end{cor}

\begin{prop} Gli automorfismi del rivestimento $p:\matR\to S^1$ dato da
  $p(x) = e^{ix}$ sono tutte e sole le traslazioni $\{x\mapsto x +
  2k\pi\ |\ k\in\matZ\}$.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Ogni traslazione di questo tipo \`e un automorfismo. D'altra parte, un
automorfismo $g$ manda $0$ in $2k\pi$ per qualche $k$, e quindi
coincide nel punto $0$ con la traslazione $t$ di $2k\pi$: per il
Corollario~\ref{punti:fissi:cor} l'automorfismo $g\circ t^{-1}$ \`e
l'identit\`a, e quindi $g=t$.
\end{proof}
\begin{cor}
Abbiamo $\pi_1(S^1)=\matZ$.
\end{cor}

\subsection{Sollevamenti di mappe}
Sia $p:\tilde X\to X$ un rivestimento. Il risultato seguente fornisce
una condizione necessaria e sufficiente perch\'e una mappa $f:Y\to
X$ abbia un sollevamento.
\begin{teo}\label{sollevamento:generale:teo}
Sia $p:(\tilde X,\tilde x_0)\to (X,x_0)$ un rivestimento. Sia $(Y,y_0)$ connesso per archi e
localmente connesso per archi. Una funzione $f:(Y,y_0)\to (X,x_0)$ ha un
sollevamento $\tilde f:(Y,y_0)\to(\tilde X,\tilde x_0)$ se e solo se
$\Img\,f_*\subset \Img\,p_*$. In altre parole:
$$\begin{array}{ccccc} \xymatrix{ & (\tilde X,\tilde x_0) \ar[d]^p \\
(Y,y_0) \ar[r]_f \ar@{.>}[ur]|-{\exists \tilde f} & (X,x_0)} 
&
\begin{array}{c} \phantom{\Big(} \\\phantom{\Big(} \\
\Longleftrightarrow \\ \end{array} 
&
\xymatrix{ & \pi_1(\tilde X,\tilde x_0) \ar[d]^{p_*} \\
\pi_1(Y,y_0) \ar[r]_{f_*} \ar@{.>}[ur]|-{\exists \tilde f_*} &
\pi_1(X,x_0)} 
&
\begin{array}{c} \phantom{\Big(} \\\phantom{\Big(} \\
\Longleftrightarrow \ \ \Img\,f_*\subset \Img\,p_*. \\ \end{array} 
\end{array}$$
\end{teo}
\begin{proof}[Dim.]
Notiamo subito che, poich\'e $p_*$ \`e iniettiva, le due ultime
condizioni sono effettivamente equivalenti (esiste $\tilde f_*$ che
solleva $f_*$ se e solo se $\Img\, f_* \subset \Img\, p_*$). Inoltre,
\`e chiaro che se esiste un sollevamento $\tilde f$, questo induce una
$\tilde f_*$ che solleva $f_*$ a livello di gruppi. Resta quindi da
mostrare solo che la condizione algebrica $\Img\,
f_*\subset\Img\, p_*$ implica l'esistenza del sollevamento topologico $\tilde f$.

Costruiamo quindi la mappa $\tilde f$ nel modo seguente: dato $y\in
Y$, prendiamo un arco $\lambda$ che collega $y_0$ a $y$. La
composizione $f\circ\lambda$ \`e un arco in $X$ che parte da $x_0$:
sia $\widetilde{f\circ\lambda}$ il sollevamento di $f\circ\lambda$ che
parte da $\tilde x_0$. Poniamo quindi $\tilde f(x) =
\widetilde{f\circ\lambda}(1)$. 

Mostriamo che $f$ \`e ben definita. Sia $\lambda'$ un altro arco da
$y_0$ in $y$. Quindi $\lambda * \lambda'^{-1}$ \`e un laccio in
$(Y,y_0)$. Per ipotesi, la sua immagine
$(f\circ\lambda)*(f\circ\lambda')^{-1}$ in $(X,x_0)$ \`e omotopa ad un
laccio $\alpha$ proiezione di un $\tilde\alpha$ in $(\tilde X,\tilde
x_0)$. Per il teorema di monodromia allora il sollevamento di
$(f\circ\lambda)*(f\circ\lambda')^{-1}$ in $(\tilde X, \tilde x_0)$ \`e un laccio.
Per l'unicit\`a dei sollevamenti, si vede facilmente che 
$\widetilde{f\circ\lambda}(1)= \widetilde{f\circ\lambda'}(1)$.

Per dimostrare che $f$ \`e continua, \`e necessaria l'ipotesi della
locale connessione per archi.
\end{proof}

\begin{cor}\label{sollevamento:cor}
Sia $p:(\tilde X,\tilde x_0)\to (X,x_0)$ un rivestimento e $Y$ spazio semplicemente connesso e
localmente connesso per archi. Ogni mappa
$f:(Y,y_0)\to (X,x_0)$ ammette un sollevamento $\tilde f:(Y,y_0)\to
(\tilde X,\tilde x_0)$.
\end{cor}
\begin{cor}
Sia $p:\tilde X\to X$ rivestimento con $X$ localmente connesso per archi. Ogni aperto $U\subset X$
semplicemente connesso \`e uniformemente rivestito.
\end{cor}
\begin{proof}[Dim.]
Il sottospazio $U$ \`e localmente connesso per archi, perch\'e \`e
aperto in uno spazio localmente connesso per archi\footnote{Si
  consiglia di dimostrare questo fatto generale per
  esercizio.}. Fissiamo un punto $x_0\in U$. La funzione inclusione 
$i:(U,x_0)\to (X,x_0)$ soddisfa le ipotesi del corollario precedente. 
Quindi per ogni $\tilde x\in p^{-1}(x_0)$, si solleva a $\tilde
i:(U,x_0)\to (\tilde X,\tilde x)$. Sia $U(\tilde x) = \tilde i (U)$.
Mostriamo che $p^{-1}(U) = \sqcup_{\tilde x\in p^{-1}(x_0)}U(\tilde x)$.
L'inclusione $\supset$ \`e chiara. D'altra parte, se $\tilde x\in
p^{-1}(U)$, sia $\lambda$ un arco che collega $p(\tilde x)$ a $x_0$: il
sollevamento $\tilde\lambda$ collega $\tilde x$ ad un punto $\tilde x_0$
della fibra di $x_0$ ed \`e necessariamente interamente contenuto in $U(\tilde x_0)$.

Infine, $p|_{U(\tilde x)}:U(\tilde x)\to U$ \`e biiettiva, continua e
aperta, quindi \`e un omeomorfismo per
ogni $\tilde x\in p^{-1}(x_0)$. Quindi $U$ \`e uniformemente rivestito.
\end{proof}

\begin{ex} Sia $p:\tilde X\to X$ rivestimento. Lo spazio $X$ \`e
  localmente connesso per archi se e solo se $\tilde X$ lo \`e.
\end{ex}

\subsection{Equivalenza ed esistenza di rivestimenti}
Due rivestimenti $p:\tilde X\to X$ e $p':\tilde X'\to X$ sono
\emph{equivalenti} se esiste un omeomorfismo $h:\tilde X\to \tilde X'$
tale che $p = p'\circ h$.
\begin{prop}
Sia $X$ spazio topologico. A meno di equivalenza, esiste al pi\`u un
solo rivestimento $p:\tilde X\to X$ con $\tilde X$ semplicemente
connesso.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Siano $p:\tilde X\to X$ e $p':\tilde X'\to X$ due rivestimenti con
$\tilde X$ e $\tilde X'$ semplicemente connessi. Prendiamo dei punti
base in modo da avere dei rivestimenti $p:(\tilde X,\tilde
x_0)\to (X,x_0)$ e $p':(\tilde X',\tilde x_0')\to (X,x_0)$.
La funzione $p'$ si solleva per il
Corollario~\ref{sollevamento:cor} ad una funzione $\tilde p':(\tilde
X',\tilde x_0')\to(\tilde X,\tilde x_0)$ tale che $p\circ \tilde p' = p'$. Analogamente,
$p$ si solleva ad una funzione $\tilde p:(\tilde X,\tilde
x_0)\to(\tilde X',\tilde x_0')$ tale che $p'\circ\tilde p = p$.

Quindi $\tilde p'\circ\tilde p:(\tilde X,\tilde x_0)\to (\tilde
X,\tilde x_0)$ \`e un automorfismo del rivestimento $p$ (infatti
$p\circ\tilde p'\circ\tilde p = p'\circ \tilde p = p$) che fissa il
punto $\tilde x_0$: per il Corollario~\ref{punti:fissi:cor} \`e
l'identit\`a. Lo stesso vale per $\tilde p\circ\tilde p'$, e quindi
$\tilde p$ e $\tilde p'$ sono omeomorfismi che rendono i rivestimenti equivalenti.
\end{proof}
\begin{cor}
Sia $X$ spazio topologico. Esiste al pi\`u uno spazio semplicemente
connesso $\tilde X$ che riveste $X$.
\end{cor}
Un rivestimento $p:\tilde X\to X$ con $\tilde X$ semplicemente
connesso \`e detto \emph{rivestimento universale} di $X$. Tale
rivestimento per $X$ \`e unico per quanto appena detto; l'esistenza \`e
garantita dal risultato seguente, se lo spazio $X$ ha una struttura locale ragionevole. Uno
spazio $X$ \`e \emph{localmente semplicemente connesso} se esiste una
base di aperti semplicemente connessi.

\begin{teo}
Uno spazio $X$ localmente semplicemente connesso e connesso per archi ha un rivestimento universale $p:\tilde X\to X$.
\end{teo}
\begin{proof}[Dim.] ($\star$)
Definiamo $\tilde X$ come 
$$\tilde X = \cup_{x\in X}\pi_1(X,x)$$
e la mappa $p:\tilde X\to X$ imponendo che $p\big(\pi_1(X,x)\big) =
x$. Definiamo quindi una topologia su $\tilde X$ nel modo seguente:
dato $x_0\in X$, sia $U(x_0)$ un intorno aperto semplicemente
connesso. Per ogni $\alpha\in\pi_1(X,x_0)$ nella fibra di $x_0$, definiamo un
aperto $U(\alpha)$ di $\tilde X$ che lo contiene nel modo seguente:
$$U(\alpha) = \cup_{x\in U(x_0)} \phi_x(\alpha)$$
dove $\phi_x:\pi_1(X,x_0)\to \pi_1(X,x)$ \`e l'isomorfismo costruito
come nella dimostrazione della Proposizione~\ref{punto:base:prop}
a partire da un qualsiasi arco in $U(x_0)$ che collega $x$ e $x_0$:
tale $\phi_x$ non dipende dalla scelta dell'arco perch\'e $U(x_0)$ \`e
semplicemente connesso.

Tutti questi aperti, costruiti al variare di $x_0\in X$, 
formano una base per una topologia su $\tilde X$, e
si vede facilmente che $p$ \`e un rivestimento. Si verifica inoltre
che $\tilde X$ \`e semplicemente connesso nel modo seguente: sia
$\alpha$ un laccio in $(X,x_0)$, dove $x_0$ \`e un punto base
qualsiasi. La fibra di $x_0$ contiene un elemento privilegiato:
l'elemento neutro $e$ di $\pi_1(X,x_0)$. Si dimostra che il
sollevamento $\tilde\alpha$ che parte da $e$ arriva su 
$[\alpha]\in\pi_1(X,x_0)$. Quindi il sollevamento di ogni laccio la
cui classe \`e non banale in $\pi_1(X,x_0)$ non \`e un laccio. Quindi
$\Img\, p_* $ \`e banale, e poich\'e $p_*$ \`e iniettiva anche $\pi_1(\tilde
X,e)$ lo \`e.
\end{proof}

Il risultato seguente (dato senza dimostrazione) generalizza il precedente e pu\`o essere utile
in qualche esercizio.

\begin{teo} Sia $X$ uno spazio topologico localmente semplicemente
  connesso e connesso per archi. Sia $x_0\in X$ un punto. Per ogni
  sottogruppo $H$ di $\pi_1(X,x_0)$ esiste un rivestimento $p:(\tilde
  X,\tilde x_0) \to (X,x_0)$ tale che $p_*(\pi_1(\tilde X,\tilde x_0))= H$.
\end{teo}

\subsection{Esercizio ricapitolativo}
L'esercizio seguente \`e utile perch\'e usa quasi tutti i fatti
discussi in questa sezione.
\begin{ex} Sia $X$ uno spazio topologico localmente connesso per archi
  con rivestimento universale
  compatto. Mostrare che ogni funzione continua $f:X\to S^1$ \`e
  omotopa ad una costante.
\end{ex}
\begin{proof}[Dim.]
Sia $p:\tilde X\to X$ il rivestimento universale. Poich\'e $\tilde X$
\`e compatto, $p$ ha un numero finito di fogli
(Corollario~\ref{fogli:cor}) e quindi $\pi_1(X)$ \`e finito
(Proposizione~\ref{indice:prop}). Fissiamo dei punti base, e scriviamo
$f:(X,x_0)\to (S^1, y_0)$. La mappa
$f_*:\pi_1(X,x_0)\to\pi_1(S^1,y_0)\cong \matZ$ \`e necessariamente
banale, perch\'e tutti gli elementi di $\pi_1(X,x_0)$ hanno torsione,
mentre l'unico elemento che ha torsione in $\matZ$ \`e lo zero. Quindi
esiste un sollevamento $\tilde f:X\to\matR$ al rivestimento universale
di $S^1$ (Teorema~\ref{sollevamento:generale:teo}). La mappa $\tilde f$ \`e
omotopa ad una mappa costante $c:X\to\matR$ (Proposizione
\ref{convessi:prop}), e quindi $p\circ f$ \`e omotopa a $p\circ c$
(Proposizione~\ref{omotopie:composte:prop}), che \`e costante.
\end{proof}

\subsection{Omeomorfismi locali}
Concludiamo introducendo una nozione simile a quella di rivestimento,
che \`e spesso pi\`u facile da verificare.

\begin{defn} Una funzione $f:X\to Y$ continua fra spazi topologici \`e
  un \emph{omeomorfismo locale} in $x\in X$ se esistono due 
  aperti $U\subset X$ e $V\subset Y$ contenenti rispettivamente $x$ e
  $f(x)$, tali che $f|_U:U\to V$ sia un omeomorfismo.

La funzione $f$ \`e un \emph{omeomorfismo locale} se \`e tale in ogni
punto $x\in X$.
\end{defn}

\begin{prop} Sia $f:X \to Y$ una funzione continua.
\begin{enumerate}
\item
Se $f$ \`e un rivestimento, allora \`e un omeomorfismo locale.
\item
Se $f$ \`e un omeomorfismo locale, e la fibra $f^{-1}(x)$ ha
cardinalit\`a finita e non dipendente da $x$, allora $f$ \`e un
rivestimento.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Il primo punto \`e facile: dato $x\in X$, l'immagine $f(x)\in Y$ \`e
contenuta in un aperto $V$ uniformemente rivestito: quindi esiste un
aperto $U$ contenente $x$ tale che $f|_U:U\to V$ \`e un omeomorfismo.

Mostriamo il secondo punto. Dato un punto $y\in Y$, costruiamo un
intorno di $y$ uniformemente rivestito. Sia $\{x_1,\ldots,x_k\}$ la
fibra di $y$. 
Per ipotesi, ogni $x_i$ \`e contenuto in un aperto $U_i$ tale che
$f(U_i)$ \`e aperto in $Y$ e $f|_{U_i}:U_i\to f(U_i)$ \`e un
omeomorfismo. L'intersezione $V = f(U_1)\cap\ldots\cap f(U_k)$ \`e un
aperto di $Y$ contenente $y$. Consideriamo l'aperto $U'_i = U_i\cap
f^{-1} (V)$ per ogni $i$. Mostriamo che $f^{-1}(V) = U'_1\cup\ldots
U'_k$: per ipotesi, ogni punto di $V$ ha $k$ punti nella sua
fibra, e ciascun $U'_i$ ne contiene esattamente uno: quindi i due
insiemi coincidono. Quindi $V$ \`e uniformemente rivestito.
\end{proof}

Ricordiamo quindi l'enunciato seguente.
\begin{teo}[invertibilit\`a locale] Sia $f:U\to V$ una funzione
  differenziabile tra due aperti $U$ e $V$ di $\matR^n$. Se il
  Jacobiano di $f$ \`e diverso da zero in un punto $x\in U$, allora
  $f$ \`e un omeomorfismo locale in $x$.
\end{teo}


\section{Prodotto libero}
\subsection{Parole}
Sia $S$ un insieme. Una \emph{parola} $p$ avente lettere in $S$ \`e una
successione finita (anche vuota) di elementi di $S$. Gli elementi di
$p$ sono \emph{lettere}. La sua
\emph{lunghezza} $l(p)$ \`e il numero di lettere. Il
\emph{prodotto} (o \emph{concatenamento}) di due parole $p =
s_1 \ldots s_n $ e $p' = s_1'\ldots s_m'$ \`e
la parola $p*p' = s_1\ldots s_ns_1'\ldots s_m'$. 
Scriveremo per semplicit\`a $pp'$ invece di $p* p'$.
Abbiamo ovviamente
$$l(p p') = l(p)+l(p').$$
Chiamiamo $\calP(S)$
l'insieme di tutte le parole aventi lettere in $S$. Esiste un'unica
parola di lunghezza zero (la successione vuota), e le parole di
lunghezza uno vengono identificate in modo naturale con gli elementi
di $S$.

\subsection{Prodotto libero}\label{prodotto:libero:subsection}
Il prodotto libero $G*H$ fra due gruppi $G$ e $H$ \`e l'insieme
$$G*H = \calP(G\cup H)/_\sim$$
dove $p\sim p'$ se e solo se $p'$ 
\`e ottenibile da $p$ tramite una sequenza finita di mosse di questo tipo: 
\begin{enumerate} 
\item
Sia $p = x_1\ldots x_n$. Siano $x_i$ e $x_{i+1}$ entrambi elementi di
$G$ (oppure $H$), per qualche $i$. Sia $x = x_i\cdot x_{i+1}$ il prodotto di
$x_i$ e $x_{i+1}$ in $G$ (o $H$). Trasformiamo $p$ nella parola:
$$x_1\ldots x_{i-1}xx_{i+2}\ldots x_n$$
che ha una lettera in meno di $p$.
\item
Sia $p = x_1\ldots x_n$. Se $x_i$ \`e l'elemento neutro di $G$ (o di
$H$) per qualche $i$, rimuoviamo la lettera $x_i$ da $p$, ottenendo:
$$x_1\ldots x_{i-1}x_{i+1}\ldots x_n.$$
\item L'inversa di una delle due mosse gi\`a descritte (quindi sostituire $x$ con $x_1x_2$
se $x = x_1\cdot x_2$, e aggiungere elementi neutri a piacimento).
\end{enumerate}
\begin{prop}
L'operazione di concatenamento su $\calP(G\cup H)$ resta ben definita in
$G*H$, e con questa $G*H$ \`e un gruppo.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Se $p_1\sim p_2$ e $p_1'\sim p_2'$ allora $p_2$ e $p_2'$ sono ottenuti con delle mosse
da $p_1$ e $p_1'$. Quindi $p_2p_2'$ \`e anch'egli ottenuto da $p_1p_1'$ tramite mosse.
Quindi l'operazione di concatenamento \`e ben definita al quoziente.

Dimostriamo ora che $G*H$ \`e un gruppo. La propriet\`a associativa \`e ovvia. 
L'elemento neutro \`e semplicemente la parola vuota.
Resta l'esistenza dell'inversa:
data una parola $p = a_1\cdots a_k$, dove ogni $a_i$ sta in $G$ o in $H$, la sua 
inversa \`e $p^{-1} = a_k^{-1}\cdots a_1^{-1}$. Infatti 
$$pp^{-1} = a_1\cdots a_k a_k^{-1}\cdots a_1^{-1} \sim a_1\cdots
a_{k-1} a_{k-1}^{-1}\cdots a_1^{-1}\sim \ldots \sim \emptyset$$
dove cancellando coppie adiacenti $k$ volte si ottiene la parola vuota
$\emptyset$.
\end{proof}

La proposizione seguente pu\`o essere utile in molti casi concreti.
\begin{prop}\label{ridotta:prop}
Ogni elemento di $G*H$ si scrive in modo unico come parola \emph{ridotta} 
$a_1\ldots a_k$, dove:
\begin{enumerate}
\item
$a_{2i-1}\in G$ e $a_{2i}\in H$ per ogni $i$ (oppure viceversa
$a_{2i-1}\in H$ e $a_{2i}\in G$ per ogni $i$), 
\item nessun $a_i$ \`e l'elemento neutro
(di $G$ o $H$).
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Se una parola $p$ non \`e ridotta, pu\`o
essere trasformata in una parola pi\`u corta tramite una delle due mosse.
Quindi dopo un numero finito di mosse si ottiene necessariamente una parola ridotta
(che pu\`o essere anche vuota). Non \`e difficile vedere che la parola ridotta
ottenuta dipende solo da $p$ (e non dalle mosse scelte). Inoltre 
se $p'$ \`e ottenuto da $p$ tramite
una qualche mossa, \`e facile vedere che le ridotte di $p'$ e $p$ coincidono:
quindi ogni classe di parole ha un solo rappresentante ridotto.
\end{proof}
Per il corollario seguente, i gruppi $G$ e $H$ possono essere visti
entrambi come sottogruppi di $G*H$.
\begin{cor} \label{inclusioni:cor}
Le mappe $i_G: G\hookrightarrow G*H$ e $i_H:H\hookrightarrow G*H$ che
associano ad un elemento $g$ in $G$ o $H$ la parola con una lettera
$g$ sono omomorfismi iniettivi.
\end{cor}

\begin{ex} \label{monoide:ex} $(\star)$
Il prodotto libero \`e una operazione commutativa ($G*H$ e $H*G$ sono isomorfi)
e associativa \big($(G*H)*L$ e $G*(H*L)$ sono isomorfi\big). Il gruppo banale \`e l'elemento neutro, 
cio\`e $G*\{e\} \cong \{e\}*G \cong G$. 
(Manca l'esistenza dell'inverso: i gruppi con l'operazione $*$ formano
un \emph{monoide}.)
\end{ex}

\subsection{Gruppo libero}
Il \emph{gruppo libero $F_n$ di rango $n$} \`e quindi definito 
come\footnote{Per l'Esercizio~\ref{monoide:ex}
  l'operazione ``$*$'' \`e associativa e quindi $F_n$ \`e ben definito.} 
$$F_n = \underbrace{\matZ*\ldots*\matZ}_{n}.$$
\begin{oss}
Consideriamo per semplicit\`a il caso $n=2$:
visto che $F_2$ non \`e abeliano (vedi Esercizio~\ref{abeliano:ex} sotto),
abbandoniamo la scrittura additiva per $\matZ$ e usiamo quella moltiplicativa.
Scriviamo quindi gli elementi del ``primo'' $\matZ$ come 
$\{\ldots, a^{-2}, a^{-1}, a^0, a^1, \ldots\}$ e gli elementi del ``secondo''
$\matZ$ come $\{\ldots, b^{-2}, b^{-1}, b^0, b^1, \ldots\}$, e scriviamo
le operazioni in entrambi i gruppi in modo moltiplicativo, cos\'\i\ ad esempio
abbiamo $a^3a^{-2}=a$ e $bb^2 = b^3$.

Grazie alla Proposizione~\ref{ridotta:prop}, 
ogni elemento di $F_2$ pu\`o essere scritto in modo unico
come una parola $p$  aventi lettere alternativamente del tipo $a^i$ e
$b^j$, con esponenti $i$ e $j$ sempre diversi da zero. Questi si moltiplicano
e quindi si scrivono in forma ridotta nel modo ovvio: ad esempio moltiplicando
$a^2b^{-1}$ e $b^1a^{-1}$ si ottiene $a^2b^{-1}b^1a^{-1} = a^2a^{-1} = a$.

Analogamente, ogni elemento di $F_n$ si scrive in modo unico come 
parola ridotta aventi lettere
in $\{a_1,\ldots,a_n\}$, ciascuna lettera con un esponente diverso da zero, e con
lettere adiacenti sempre distinte.
\end{oss}

\begin{ex} \label{abeliano:ex}
Se $G$ e $H$ sono entrambi non banali allora $G*H$ contiene infiniti elementi
e non \`e abeliano.
\end{ex}
\begin{ex} $(\star)$ Dimostrare che $\matZ/_{2\matZ} * \matZ/_{2\matZ}$ contiene un sottogruppo di indice $2$
isomorfo a $\matZ$.
\end{ex}

Concludiamo con una definizione algebrica che sar\`a utile in
seguito. Sia $G$ un gruppo e $S\subset G$ un sottoinsieme. Il
\emph{normalizzato} $N(S)$ di $S$ \`e il sottogruppo generato da $S$ e da
tutti i coniugati degli elementi di $S$. 
\begin{ex}
Il normalizzato $N(S)$ \`e il pi\`u piccolo sottogruppo normale fra
quelli di $G$ che contengono $S$.
\end{ex}

\section{Teorema di Van Kampen} \label{VK:section}
\subsection{Prodotto amalgamato}
Siano $\sigma_1: H\to K_1$ e $\sigma_2:H \to K_2$ due omomorfismi tra
gruppi. Il \emph{prodotto} di $K_1$ e $K_2$ \emph{amalgamato} su $H$
\`e il dato di un gruppo $K$ e di due omomorfismi $\alpha_1:K_1\to K$ e
$\alpha_2:K_2\to K$ tali che:
\begin{itemize}
\item $\alpha_1\circ\sigma_1 = \alpha_2\circ\sigma_2$;
\item (propriet\`a universale) per ogni gruppo $G$ ed ogni coppia di omomorfismi
  $\beta_1:K_1\to G$ e $\beta_2:K_2\to G$ verificanti
  $\beta_1\circ\sigma_1 = \beta_2\circ\sigma_2$, esiste un unico
  omomorfismo $\beta:K\to G$ tale che $\beta_1 = \beta\circ\alpha_1$ e
  $\beta_2 = \beta\circ\alpha_2$.
\end{itemize}
La definizione risulta pi\`u chiara osservando il diagramma seguente.
\begin{equation}
\xymatrix{
  & K_1 \ar[dr]^{\alpha_1} \ar@/^/[drr]^{\beta_1} & & \\
H \ar[ur]^{\sigma_1} \ar[dr]_{\sigma_2} & & K \ar@{.>}[r]|-{\beta} & G \\ 
  & K_2 \ar[ur]_{\alpha_2} \ar@/_/[urr]_{\beta_2} & &  }
\label{prodotto:amalgamato:eqn} 
\end{equation}
\begin{prop}
Il prodotto amalgamato esiste ed \`e unico a meno di
isomorfismi\footnote{Intendiamo che se $K'$ con $\alpha'_1:K_1\to K'$ e
  $\alpha'_2:K_2\to K'$ \`e un altro prodotto amalgamato, allora c'\`e
  un isomorfismo di gruppi $\phi:K\to K'$ tale che $\alpha'_1 =
  \phi\circ\alpha_1$ e $\alpha'_2 = \phi\circ\alpha_2$.}.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
\emph{Esistenza $(\star)$}\footnote{La dimostrazione dell'esistenza \`e scritta
  qui per completezza, ma non ne avremo effettivamente bisogno.}: definiamo $K$ come
$$K = (K_1*K_2)/_{N(S)}$$
dove $$S = \big\{\sigma_1(h)\big(\sigma_2(h)\big)^{-1}\ \big|\ h\in H\big\}$$
\`e un insieme di parole da due lettere\footnote{la prima lettera \`e
  $\sigma_1(h)\in K_1$, la seconda \`e $\big(\sigma_2(h)\big)^{-1}\in K_2$.},
e definiamo le mappe $\alpha_1$ e $\alpha_2$ come composizioni delle
inclusioni naturali (vedi Corollario~\ref{inclusioni:cor}) in $K_1*K_2$ con la
proiezione su $K$:
$$\xymatrix{
   K_1 \ar@{^{(}->}[d]^{i_1} \ar[dr]^{\alpha_1} & \\
   K_1*K_2 \ar[r]|-\pi & (K_1*K_2)/_{N(S)} = K \\ 
   K_2 \ar@{^{(}->}[u]_{i_2} \ar[ur]_{\alpha_2} & }$$
Abbiamo $\alpha_1\circ\sigma_1 = \alpha_2\circ\sigma_2$, infatti per
   ogni $h\in H$ abbiamo 
$$\big(\alpha_1\circ\sigma_1(h)\big)\cdot\big(\alpha_2\circ\sigma_2(h^{-1})\big)
   =
   \pi\big(\sigma_1(h)\big)\cdot\pi\Big(\big(\sigma_2(h)\big)^{-1}\Big) =
   \pi\Big(\sigma_1(h)\big(\sigma_2(h)\big)^{-1}\Big) = e.$$

Verifichiamo adesso che $K$ soddisfa le ipotesi. Siano dati $G,
\beta_1, \beta_2$ che rendono il diagramma
(\ref{prodotto:amalgamato:eqn}) commutativo: costruiamo una $\beta$
come richiesto, e mostriamo quindi che \`e unica.

Ogni elemento di $K_1*K_2$ \`e scrivibile come una parola $p = x_1\ldots
x_n$, dove $x_i\in K_{\nu(i)}$ con $\nu(i)\in\{1,2\}$ per ogni $i$.
Definiamo quindi 
\begin{equation} \label{definizione:eqn}
\beta(p) = \beta_{\nu(1)}(x_1)\cdots\beta_{\nu(n)}(x_n).
\end{equation}
Cambiando $p$ tramite le mosse descritte nella
Sezione~\ref{prodotto:libero:subsection}, l'immagine $\beta(p)$ non
cambia: quindi $\beta$ \`e ben definita su $K_1*K_2$.
Notiamo inoltre che se $p\in S$ allora
$$\beta(p) = \beta\big(\sigma_1(h)\sigma_2^{-1}(h)\big) = 
\beta_1\big(\sigma_1(h)\big)\cdot\beta_2\big(\sigma_2(h)\big)^{-1} =
\beta_2\big(\sigma_2(h)\big)\cdot\beta_2\big(\sigma_2(h)\big)^{-1} = e.$$ 
Quindi $\ker\beta \supset N(S)$ e $\beta$ \`e ben definita sul quoziente $K$.

Abbiamo finalmente costruito $\beta:K\to G$. D'altra parte, si vede
facilmente che per una
$\beta$ che fa commutare il diagramma (\ref{prodotto:amalgamato:eqn})
deve necessariamente valere (\ref{definizione:eqn}), e che quindi tale
$\beta$ \`e unica.

\emph{Unicit\`a:} Supponiamo di avere due prodotti amalgamati $(K,\alpha_1,\alpha_2)$ e
$(K',\alpha_1',\alpha_2')$. Usando la definizione di $K$ con $G=K'$ e viceversa
troviamo che esistono e sono uniche due
$\alpha: K\to K'$ e $\alpha':K'\to K$ che fanno commutare tutto il
diagramma seguente:
$$\xymatrix{
  & K_1 \ar[dr]^{\alpha_1} \ar@/^/[drr]_{\alpha'_1} \ar@/^/[drrr]^{\alpha_1}
  & & & \\
H \ar[ur]^{\sigma_1} \ar[dr]_{\sigma_2} & & K \ar@{.>}[r]|-{\alpha} & K'
  \ar@{.>}[r]|-{\alpha'} & K \\ 
  & K_2 \ar[ur]_{\alpha_2} \ar@/_/[urr]^{\alpha'_2} \ar@/_/[urrr]_{\alpha_2} & & &  }$$
Inoltre, usando la definizione di $K$ con $G=K$, vediamo che
  $\alpha'\circ\alpha:K\to K$ deve essere l'identit\`a, e analogamente
  $\alpha\circ\alpha' = \id_{K'}$. Quindi $\alpha$ \`e un isomorfismo tra i
  prodotti amalgamati $K$ e $K'$.
\end{proof}
Il gruppo $K$ ottenuto con il prodotto amalgamato viene indicato come 
$$K = K_1 *_H K_2.$$
\`E importante ricordare che il gruppo $K$ dipende anche dagli omomorfismi
$\sigma_1$ e $\sigma_2$.

\begin{prop} \label{amalgamato:prop} Sia $K = K_1*_H K_2$.
\begin{enumerate}
\item Se $K_1$ e $K_2$ sono banali, anche $K$ \`e banale.
\item Se $K_1$ \`e banale, $K \cong K_2/_{N(\Img\,\sigma_2)}$.
\item Se $H$ \`e banale, $K \cong K_1 * K_2$.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Mostriamo il secondo punto, che implica anche il primo. Verifichiamo
che $K= K_2/_{N(\Img\,\sigma_2)}$ e la proiezione
$\alpha_2:K_2\to K$ soddisfano la propriet\`a universale. Siano $G,
\beta_1$ e $\beta_2$ come nel diagramma (\ref{prodotto:amalgamato:eqn}). Definiamo
$\beta:K\to G$ nel modo seguente: $\beta(k)=\beta_2(k_2)$ dove $k_2$ \`e un qualsiasi
elemento di $K_2$ che si proietta su $k$. Mostriamo che la mappa \`e ben definita.
Ogni altro elemento che si proietta su $k$ \`e del tipo $k_2l$ con
$l\in N(\Img\,\sigma_2)$. D'altra parte $\beta_2\circ\sigma_2 =
\beta_1\circ\sigma_1$ \`e necessariamente la mappa nulla (perch\'e
$K_1$ \`e banale), e quindi $\Ker\,\sigma_2$ contiene
$N(\Img\,\beta_2)$. Segue che $\beta_2(l) = e$ e quindi
$\beta_2(k_2l) = \beta_2(k_2)$.
Infine, tale $\beta$ \`e unica perch\'e $\alpha_2$ \`e suriettiva.

Mostriamo il terzo punto allo stesso modo. Le mappe $\alpha_1$ e
$\alpha_2$ sono le inclusioni naturali (vedi
Corollario~\ref{inclusioni:cor}). Definiamo $\beta:K_1 * K_2\to G$ nel modo seguente: se
$p\in K_1 * K_2$ \`e una parola $x_1\ldots x_n$, dove la lettera $x_i$
sta nel gruppo $K_{\nu(i)}$, poniamo $\beta(p) =
\beta_{\nu(1)}(x_1)\cdots\beta_{\nu(n)}(x_n)$. Si vede facilmente che
$\beta(p)$ non cambia se modifichiamo $p$ con delle mosse, quindi
$\beta$ \`e ben definita. Si verifica che fa commutare il
diagramma, e che la condizione usata nella definizione \`e in realt\`a
necessaria.
\end{proof}

\subsection{Teorema di Van Kampen}
Il teorema seguente \`e uno strumento molto potente per
calcolare il gruppo fondamentale di molti spazi topologici.
\begin{teo}
Sia $X$ uno spazio topologico.
Siano $X_1$ e $X_2$ aperti connessi per archi di $X$, tali che
$X=X_1\cup X_2$ e $X_1\cap X_2$ sia connesso per archi. Sia $x_0\in
X_1\cap X_2$. Allora $\pi_1(X,x_0)$ \`e il prodotto amalgamato di
$\pi_1(X_1,x_0)$ e $\pi_1(X_2,x_0)$ su $\pi_1(X_1\cap X_2,x_0)$
tramite i morfismi associati alle inclusioni.
\end{teo}
\begin{equation}
\xymatrix{
  & \pi_1(X_1,x_0) \ar[dr]^{i_*} & \\
\pi_1(X_1\cap X_2, x_0) \ar[ur]^{i_*} \ar[dr]_{i_*} & & \pi_1(X, x_0) \\ 
  & \pi_1(X_2,x_0) \ar[ur]_{i_*} &  }
\label{VK:eqn} 
\end{equation}
\begin{proof}[Dim.]
Sia $G$ un gruppo e $\beta_1, \beta_2$ dei morfismi che fanno
commutare il diagramma
$$\xymatrix{
  & \pi_1(X_1,x_0) \ar[dr]^{i_*} \ar@/^/[drr]^{\beta_1} & & \\
\pi_1(X_1\cap X_2,x_0) \ar[ur]^{i_*} \ar[dr]_{i_*} & & \pi_1(X,x_0)
  \ar@{.>}[r]|-{\beta} & G \\ 
  & \pi_1(X_2,x_0) \ar[ur]_{i_*} \ar@/_/[urr]_{\beta_2} & &  }
$$
Mostriamo che esiste ed \`e unico un morfismo $\beta$. 
\begin{figure}
\begin{center}
\mettifig{VK.eps, width = 10cm} 
\caption{Ogni laccio $\alpha$ \`e omotopo ad un laccio
  $\alpha_1*\ldots*\alpha_k$ dove ogni $\alpha_i$ sta in $U$ o in $V$,
  costruito in questo modo.}
\label{VK:fig}
\end{center}
\end{figure}
Sia $\alpha$ un laccio in $(X,x_0)$. Come nella dimostrazione del
  primo punto del Teorema~\ref{sollevamento:teo}, si trovano $0=t_1 <t_2<\ldots<t_k<t_{k+1}=1$
tali che $\alpha(t_i)\in X_1\cap X_2$ e $\alpha([t_i,t_{i+1}])$ 
sia contenuto interamente in $X_{\nu(i)}$ per qualche
$\nu(i)\in\{1,2\}$, per ogni $i$. Poich\'e $X_1$ e $X_2$ sono connessi
  per archi, esiste per ogni $i$ un arco $\lambda_i$ che collega $x_0$
  a $\alpha(t_i)$, interamente contenuto in $X_{\nu(i)}$ (come in
  Fig.~\ref{VK:fig}). Consideriamo il laccio in $(X_{\nu(i)},x_0)$ dato
  da
$$\alpha_i = \lambda_i * \alpha|_{[t_i,t_{i+1}]} *
  \lambda_{i+1}^{-1}.$$ 
Si vede facilmente che 
$$\alpha \sim \alpha_1 *\ldots* \alpha_k$$
Ogni $\alpha_i$ rappresenta un elemento di $\pi_1(X_{\nu(i)},x_0)$. La commutativit\`a del diagramma impone che
\begin{equation} \label{spezzamento:eqn} 
  \beta(\alpha) = \beta_{\nu(1)}(\alpha_1)\cdots\beta_{\nu(k)}(\alpha_k) \end{equation}
e quindi $\beta$ \`e certamente unica. Per dimostrarne l'esistenza,
definiamo $\beta$ tramite (\ref{spezzamento:eqn}): resta da verificare
che non dipende dalle scelte fatte, che sono molte:
\begin{itemize}
\item scelta dei $\lambda_i$;
\item scelta di $\nu(i)\in\{1,2\}$ nel caso in cui $\alpha_i$ sia
  contenuto in entrambi $X_1$ e $X_2$;
\item scelta della partizione $0=t_1<t_2<\ldots<t_k<t_{k+1}=1$ del
  segmento;
\item scelta di $\alpha$ nella sua classe di omotopia.
\end{itemize}
Iniziamo con la scelta dei $\lambda_i$. Se prendiamo $\lambda_i'$
invece di $\lambda_i$ per qualche $i$, otteniamo $\alpha_i'$ e
$\alpha_{i+1}'$ al posto di $\alpha_i$ e $\alpha_{i+1}$. Sia $\gamma$
il laccio $\lambda_i * \lambda_i'^{-1}$ in $(X_1\cap X_2,x_0)$. Si
vede facilmente che 
$$\alpha_i'\sim \alpha_i * \gamma\ {\rm in }\ (X_{\nu(i)},x_0), \quad 
\alpha'_{i+1}\sim \gamma^{-1} * \alpha_{i+1}\ {\rm in }\ (X_{\nu(i+1)},x_0).$$
Quindi 
\begin{eqnarray*}
\beta_{\nu(i)}(\alpha'_i) \cdot \beta_{\nu(i+1)}(\alpha'_{i+1}) & = &
\beta_{\nu(i)}(\alpha_i)\cdot\beta_{\nu(i)}(\gamma) \cdot
\beta_{\nu(i+1)}(\gamma^{-1})\cdot\beta_{\nu(i+1)}(\alpha_{i+1}) \\
& = & \beta_{\nu(i)}(\alpha_i) \cdot \beta_{\nu(i+1)}(\alpha_{i+1}).
\end{eqnarray*}
Nell'ultima uguaglianza, usiamo che $\gamma$ \`e un laccio in $(X_1\cap X_2,x_0)$, e quindi $\beta_1(\gamma) = \beta_2(\gamma)$.

Consideriamo la scelta di $\nu(i)$. Se $\alpha_i$ \`e contenuto sia in $X_1$ che in $X_2$, \`e un laccio
in $(X_1\cap X_2,x_0)$ e quindi $\beta_1(\alpha_i) =
\beta_2(\alpha_i)$ per ipotesi. 

Consideriamo ora la scelta della partizione
$0=t_1<\ldots<t_{k+1}=1$. Mostriamo che la funzione $\beta$
non cambia se aggiungiamo alla partizione un valore $\bar t$ tra $t_i$
e $t_{i+1}$ con $\alpha(\bar t)= X_1\cap X_2$, per qualche $i$. Questo
\`e sufficiente, perch\'e date due partizioni qualsiasi, l'unione di
queste \`e ottenuta da ciascuna aggiungendo un numero finito di
singoli elementi. 

Abbiamo quindi $0=t_1<\ldots<t_i<\bar
t<t_{i+1}<\ldots<t_{k+1}=1$. Prendiamo quindi un arco $\lambda$ in $X_1\cap X_2$
che collega $x_0$ a $\alpha(\bar t)$, ed i lacci 
$$\alpha_i' = \lambda_i * \alpha|_{[t_i,\bar t]} * \lambda^{-1},
\qquad \alpha_i'' = \lambda * \alpha|_{[\bar t, t_{i+1}]} * \lambda_{i+1}^{-1}$$
in $(X_{\nu(i)},x_0)$. Poich\'e $\alpha_i' * \alpha_i'' \sim
\alpha_i$, otteniamo 
$$\beta_{\nu(i)}(\alpha_i')\beta_{\nu(i)}(\alpha_i'') =
\beta_{\nu(i)}(\alpha_i)$$
e quindi $\beta$ non cambia.

Resta da vedere cosa succede se prendiamo un laccio
$\alpha'\sim\alpha$. Sia $F:[0,1]\times [0,1]\to X$ l'omotopia che
lega i due lacci. Come nella dimostrazione del secondo punto del
Teorema~\ref{sollevamento:teo}, si mostra che esiste $N>0$ tale che il
quadratino 
$$[k/N,(k+1)/N]\times [h/N,(h+1)N]$$ 
di area $1/N^2$ sia contenuto interamente in $X_1$ oppure $X_2$, per ogni $k,h
= 0,\ldots, N-1$. 

Usiamo la partizione $0, 1/N, 2/N,\ldots,
(N-1)/N, 1$ per entrambi i lacci $\alpha$ e $\alpha'$ per definire $\beta$. Mostriamo che le due definizioni
coincidono trasformando $\alpha$ in $\alpha'$ un passo alla volta,
come suggerito in Fig.~\ref{VK2:fig}. Nel passo mostrato in figura, vengono modificati
due lacci $\alpha_i, \alpha_{i+1}$ della suddivisione in due altri
lacci $\alpha_i', \alpha_{i+1}'$. Tutti e quattro i lacci sono
contenuti nello stesso aperto $X_1$ o $X_2$, e componendo $F$ con
l'omotopia data dal quadratino che li contiene otteniamo facilmente
che $\alpha_i * \alpha_{i+1} \sim \alpha_i'*\alpha'_{i+1}$.

\begin{figure}
\begin{center}
\mettifig{VK2.eps, width = 8cm} 
\caption{Scomponiamo l'omotopia tra $\alpha$ e $\alpha'$ in $N^2$
  mosse di questo tipo.}
\label{VK2:fig}
\end{center}
\end{figure}
\end{proof}

\subsection{Applicazioni}

\begin{cor}\label{semplicemente:connesso:cor}
Sia $X = U\cup V$ unione di due aperti $U$ e $V$ semplicemente
connessi con intersezione $U\cap V$ connessa per archi. Lo spazio $X$ \`e
semplicemente connesso.
\end{cor}
\begin{proof}
Segue dalla Proposizione~\ref{amalgamato:prop}-(1).
\end{proof}

\begin{cor} La sfera $S^n$ \`e semplicemente connessa per ogni
  $n\geqslant 2$.
\end{cor}
\begin{proof}[Dim.]
Consideriamo i punti $N = (1,0,\ldots,0)$ e $S = (-1,0,\ldots,0)$ di $S^n$.
La sfera \`e unione degli aperti $U = S^n\setminus \{N\}$ e $V =
S^n\setminus \{S\}$. La \emph{proiezione stereografica}
\begin{eqnarray*}p: U & \to & \matR^n \\
(x_1,\ldots,x_{n+1}) & \mapsto &
  \left(\frac{x_2}{1-x_1},\ldots,\frac{x_{n+1}}{1-x_1}\right)
\end{eqnarray*}
\`e un omeomorfismo da $U$ su $\matR^n$. Quindi $U$ e $V$ sono
semplicemente connessi.
L'intersezione $U\cap V$ \`e connessa per archi se $n\geqslant 2$.
Il Corollario~\ref{semplicemente:connesso:cor} implica che $S^n$ \`e
semplicemente connesso per ogni $n\geqslant 2$.
\end{proof}

\begin{defn} Sia $X$ uno spazio topologico e $A\subset X$ un
  sottoinsieme. Lo spazio topologico $X/_A$ ottenuto
  \emph{collassando} $A$ \`e il quoziente $X/_A = X/_\sim$, dove $x\sim
  x'$ se e solo se $x=x'$ oppure $x,x'\in A$.
\end{defn}

\begin{defn}
Il \emph{bouquet di $n$ circonferenze} \`e lo spazio topologico
$(X_1\sqcup\ldots\sqcup X_n)/\{x_1,\ldots,x_n\}$ dove $X_i\cong S^1$ e
$x_i$ \`e un punto qualsiasi di $X_i$, per ogni $i=1,\ldots,n$. Il
bouquet di $3$ circonferenze \`e mostrato in Fig.~\ref{bouquet:fig}.
\end{defn}

\begin{figure}
\begin{center}
\mettifig{bouquet.eps} 
\caption{Il bouquet di $3$ circonferenze.}
\label{bouquet:fig}
\end{center}
\end{figure}


\begin{prop}
Il gruppo fondamentale del bouquet di $n$ circonferenze \`e il gruppo
libero $F_n$ con $n$ elementi.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Dimostriamo il fatto per induzione su $n$. Per $n=1$ lo spazio \`e
omeomorfo a $S^1$, che ha gruppo fondamentale $F_1\cong\matZ$. Il
bouquet di $n$ circonferenze \`e unione di due sottoinsiemi $X =
X_1\cup X_2$, dove $X_1$ \`e omeomorfo al bouquet con $n-1$ circonferenze,
$X_2\cong S^1$, e l'intersezione $X_1\cap X_2$ \`e un punto. Se
potessimo usare Van Kampen con questi insiemi, otterremmo dalla 
Proposizione~\ref{amalgamato:prop}-(3) che $\pi_1(X)\cong F_{n-1} *
\matZ \cong F_n$. Purtroppo questi insiemi non sono aperti: scegliamo
quindi degli aperti $U_1\supset X_1$ e $U_2\supset X_2$ tali che
$U_1$, $U_2$ e $U_1\cap U_2$ abbiano gli stessi $\pi_1$ di $X_1$,
$X_2$ e $X_1\cap X_2$. La costruzione di questi aperti \`e lasciata
per esercizio.
\end{proof}

\begin{ex} Sia $X$ il bouquet di $n>1$ circonferenze. Ogni mappa $f:X
  \to S^1$ \`e omotopa ad una mappa costante.
\end{ex}

Ricordiamo che uno spazio topologico $X$ \`e una \emph{variet\`a
  topologica} di dimensione $n$ se ogni punto $x$ ha un intorno
  omeomorfo a $B^n$.
\begin{prop} Sia $M$ una variet\`a di dimensione $n\geqslant 3$, di
  Hausdorff e connessa per archi. Per
  ogni punto $x\in M$ abbiamo $\pi_1(M) = \pi_1(M\setminus\{x\})$.
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Il punto $x$ ha un intorno $U$ omeomorfo a $B^n$. Prendiamo $X = U\cup
V$ con $V = X\setminus \{x\}$ aperto (perch\'e $X$ \`e di
Hausdorff). Quindi $U\cap V$ \`e omeomorfo a $B^{n}\setminus\{0\}$,
che \`e a sua volta omeomorfo a $S^{n-1}\times (0,1)$. Poich\'e
$n\geqslant 3$, gli aperti $U$ e $U\cap V$ sono semplicemente
connessi. La tesi segue dal Teorema di Van Kampen e dalla
Proposizione~\ref{amalgamato:prop}.
\end{proof}
\begin{prop}
Abbiamo:
$$\pi_1(\matRP^n) = \left\{\begin{array}{cl} \matZ & {\rm \ se\ } n =1, \\
\matZ/_{2\matZ} & {\rm \ altrimenti;\ }\end{array}\right.
\qquad \pi_1(\matCP^n) = \{e\}. $$
\end{prop}
\begin{proof}[Dim.]
Sappiamo che $\matRP^1\cong S^1$, e quindi
$\pi_1(\matRP^1)=\matZ$. Per $n\geqslant 2$,
la mappa $S^n\to\matRP^n$ che manda $(x_1,\ldots, x_n)$ in
$[x_1,\ldots,x_n]$ \`e un rivestimento a due fogli. Quindi
$\pi_1(\matRP^n)$ ha due elementi, e l'unico gruppo con due elementi
\`e $\matZ/_{2\matZ}$.

Sappiamo che $\matCP^1\cong S^2$, e quindi $\pi_1(\matCP^1)
=\{e\}$. Mostriamo quindi che $\matCP^n$ \`e semplicemente connesso
per induzione su $n$, supponendo $n>1$. Poniamo $X=\matCP^n\setminus
\{[1,0,\ldots,0]\}$. Lo spazio $\matCP^n$ \`e
una variet\`a di dimensione $2n\geqslant 4$, e per la proposizione
precedente abbiamo $\pi_1(\matCP^n) = \pi_1(X)$. 
Sia $P\subset \matCP^n$ l'iperpiano 
$$P = \left\{[z_0,\ldots,z_n]\ |\ z_0 = 0\right\}.$$ 
Consideriamo
la funzione $f:X\to P$ data da
$f([z_0,\ldots,z_n]) = [0,z_1,\ldots,z_n]$. La funzioni $f$ e
l'inclusione $i:P\to X$ definiscono una
equivalenza omotopica tra $X$ e $P$. Infatti
$f\circ i = \id_P$ e $i\circ f \sim \id_X$
tramite l'omotopia 
\begin{eqnarray*}
F:X\times [0,1] & \to & X \\ 
\big([z_0,\ldots,z_n],t\big) & \mapsto & [tz_0,z_1,\ldots,z_n]
\end{eqnarray*}
Quindi $\pi_1(X)\cong \pi_1(P)$, ma $P$ \`e omeomorfo a $\matCP^{n-1}$
e quindi abbiamo concluso.
\end{proof}

\end{document}