Università di Firenze - Corso di laurea in Matematica
Analisi
Matematica – Secondo modulo - A.A. 2004-2005
Programma del secondo modulo del corso di Analisi
Matematica Uno
(Prof. Paolo Marcellini)
ULTERIORI APPLICAZIONI DELLE DERIVATE. STUDIO DI FUNZIONI. Funzioni convesse e concave; criterio di convessità. Flessi. Teorema di Cauchy. Il teorema di L'Hôpital nel caso generale (il caso infinito su infinito senza dimostrazione). Studio del grafico di una funzione. Funzioni convesse in un intervallo. (Paragrafi 63, 64, 65, 67, 69)
INTEGRALI DEFINITI SECONDO RIEMANN. Il metodo di esaustione. Partizioni. Somme integrali. Integrabilità secondo Riemann. Definizione e proprietà degli integrali definiti. Criterio di integrabilità. Continuità uniforme. Teorema di Cantor. Integrabilità delle funzioni continue. Il teorema della media. Funzioni Lipschtziane in un intervallo. Caratterizzazione delle funzioni derivabili e Lipschtziane. (Paragrafi 78, 79, 80, 81, 82, 83, 85)
INTEGRALI INDEFINITI E APPLICAZIONI. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive. Caratterizzazione dell'insieme delle primitive di una funzione continua in un intervallo. Formula fondamentale del calcolo integrale. Definizione e proprietà degli integrali indefiniti. Metodi di integrazione indefinita per decomposizione in somma, per parti, per sostituzione. Divisione tra polinomi. Integrazione delle funzioni razionali. Formula di integrazione per sostituzione per gli integrali definiti. Calcolo di aree di figure piane. Definizione delle funzioni logaritmo, esponenziale, potenza, mediante l’uso degli integrali. (Paragrafi 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 97)
FORMULA DI TAYLOR. La formula di Taylor con il resto di Peano, con il resto integrale e con il resto di Lagrange. La formula di Taylor delle funzioni elementari. Il simbolo "o piccolo". Uso della formula di Taylor nel calcolo di limiti. Tabulazione di funzioni. Rappresentazione numerica approssimata del numero e. Il binomio di Newton come conseguenza della formula di Taylor. (Paragrafi 66, 98, 99, 100, 101, 102, 103)
SERIE NUMERICHE. Serie numeriche convergenti, divergenti, indeterminate. Carattere delle serie a termini non negativi. La serie geometrica. La serie armonica e la serie armonica generalizzata. Criteri di convergenza per le serie a termini positivi: criterio del confronto, degli infinitesimi, del rapporto, della radice. Criterio di convergenza per le serie alternate. Convergenza assoluta. (Paragrafi 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110)
Si fa riferimento ai numeri dei paragrafi del libro:
P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.
Firenze, 18 maggio 2005