Esercitazioni di Matematica e Statistica, Anno Accademico 2008-2009,

Scienze Biologiche e Molecolari C V.M.Tortorelli

schema V esercitazione, 31 Ottobre 2008

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1- Soluzione esercizi lasciati

- tracciare il grafico di sin arsinx, arsin sin x, arsin cos x

Il primo grafico non è altro che il grafico di f(x) = x con −1 ≤ x ≤ 1, essendo il dominio di arsin x per definizione solo l’intervallo [−1, 1].

Per il secondo grafico si osserva:

i) se −\frac{π}{2} ≤ x ≤ \frac{π}{2} per definizione di arsinx si ha arsin sin x = x, e si ottiene la parte continua del grafico nella seconda figura tra −\frac{π}{2} e \frac{π}{2} .

ii) come si vede nella prima figura, il grafico di sin x è simmetrico rispetto alla retta verticale x = \frac{π}{2}, cioè sin(\frac{π}{2} + h) = sin(\frac{π}{2} − h).

Quindi dato x in [\frac{π}{2}, \frac{3}{2}π si ha arsin sin x = arsin sin(π − x)

osservando che nel caso −\frac{π}{2} ≤ π − x ≤ \frac{π}{2} si ottiene che per x in [\frac{π}{2}, \frac{3}{2}π

arsin sin x = π − x il cui grafico è tratteggiato nella seconda figura.

iii) poichè arsin sin(x + 2π) = arsin sin x, essendo l’intervallo [−\frac{π}{2}, \frac{3}{2}π] lungo 2π il grafico si ripete per traslazione con la linea punteggiata.

- posto arcosx = \frac{π}{2} − arsinx si verifichi graficamente che è l’inversa della funzione f(x) = cos x, 0 ≤ x ≤ π

- tracciare i grafici di arcos sin x, arcos cos x

Nella prima figura si mette in evidenza che \frac{π}{2} − arsinx è l’ inversa cos x, 0 ≤ x ≤ π. Quindi nella seconda figura il grafico (linea continua) tra 0 e π è dovuto al fatto sopra

mostrato.

Quindi la parte di grafico tratteggiato tra −π e0 è dovuto al fatto che cos x = cos(−x). Quindi essendo l’intervallo [−π, π] lungo 2π, ed essendo cos x = cos(x + 2π) il grafico si

ripete con la linea punteggiata.

Infine il grafico di arcos sin x si ottiene dal precedente spostandolo in direzione positiva orizzontale di \frac{π}{2} poichè sin x = cos(x − \frac{π}{2})

2- Si sono evidenziate graficamente le regioni di piano per cui: |x| ≤ 1 e |y| ≤ 1 |x| + |y| ≤ 1 |x| + y ≤ 1

usando le simmetrie particolari e riducendosi nei primi due casi al primo quadrante, nel terzo caso al semipiano delle ascisse non negative.

3- Risoluzioni sia algebrica che grafica delle diseguaglianze artan x^{2} ≤ \frac{π}{4}, artan \frac{x}{x+1} ≤ \frac{π}{4}. Conseguente osservazione astratta su diseguaglianze grafiche del tipo f(g(x)) ≤ k. ESERCIZI LASCIATI

- Se si approssimano a meno di 10^{−3} sia π che \sqrt{2} qual’è il valore significativo e con quale errore massimo si calcola l’area di un settore circolare di ampiezza \frac{π}{4} e raggio ^{4}\sqrt{2}?