Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2003-2004 Laurea specialistica in Informatica R.Stasi, V.M. Tortorelli I prova in itinere, 31 marzo 2004

————————————————————————————————————————–

1.a- Dire se esiste il limite (x, y) → (0, 0) di f(x, y) = \frac{tan(x^{2}+y^{2})}{\sqrt{x^{4}+y^{4}}}.

R.: 1.b- Si calcoli il differenziale della funzione (x, y) ↦ g(f(x, y)) in (1, 1),

ove f(x, y) = (xy, x^{2} − y^{2}), g(u, v) = (sin v, cos u). R.:

1.c- Si calcoli il polinomio di Taylor del terzo ordine in (0, 0, 0) della funzione (sin xyz, cos xyz).

R.: 2- Si calcolino i punti critici della funzione f(x, y) = 2x^{4} − x^{2}e^{y} + e^{4y} specificando se si tratta di punti di massimo o minimo relativo o meno.

R.: 3- Si calcoli \frac{∂z}{∂x}_{|_{x=1,y=\sqrt{2}}} per la funzione definita implicitamente in un intorno di (1, \sqrt{2}, 1) da

f(x, y, z) = e^{x^{2}−y^{2}+z^{2}} − xz = 0. R.:

4- Si calcoli il valore massimo e il valore minimo di f(x, y, z) = 2y + 3z, sull’insieme

\{ \begin{matrix}(x − 1)^{2} + (y − 1)^{2} = 1 \\ (x − 1)^{2} + (z − 1)^{2} = 1 \end{matrix}

R.: 5- Si calcoli l’integrale di f(x, y, z) = z sulla superficie definita da

x^{2} + y^{2} + 3z^{2} = 4 e z > 0. R.:

6- Per quali α il sottografico di (x^{2} + y^{2})^{α} su |x| + |y| ≤ 1 ha volume finito?

R.: