Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2003-2004 Laurea specialistica in Informatica R.Stasi, V.M. Tortorelli II prova in itinere, 19 maggio 2004

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1.a- Fissato (x, y) ∈ R^{2} si calcoli il limite per n → +∞ di f_{n}(x, y) = \frac{n}{\sqrt{n+(x−n)^{2}+(y−n)^{2}}} .

R.: 1.b- Si calcoli sup_{R^{2}} f_{n}

R.: 1.c- Si dica se le successione di funzioni f_{n} converge uniformemente su la palla di centro l’origine e raggio R: {(x, y) : x^{2} + y^{2} = R^{2}}.

R.:

2. a- Si consideri, per y > 0 la funzione f(x, y) = \frac{1}{y} ∫_{0}^{y} e^{−(x−s)^{2}}ds: si provi che f(x, y) → 0 uniformemente in x ∈ R per y → +∞.

DIM.:

2. b- Si calcoli lim_{y→+∞} ∫_{R} f(x, y)dx.

R.: 3- Calcolare l’integrale di x + 2y nella regione compresa tra il segmento y = 0, 0 ≤ x ≤ 2π e l’immagine della curva (t − sin t, 1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π

R.:

4. Si calcoli l’integrale della forma ω = \frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} dx + \frac{y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} dy + \frac{z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} dz sul cammino (cos t, sin t, 10 − 6 cos t), 0 ≤ t ≤ 2π.

R.:

5. a- Si calcoli il rimontato ω̃ della forma ω = (1 − x^{2} + 2xy + 3y^{2})dx + (y^{2} − 1 − 3x^{2} − 2xy)dy tramite la funzione Φ(u, v) = (\frac{u+v}{2}, \frac{u−v}{2}).

R.:

5. b- Si trovi una funzione f della sola variabile u per cui f(u)ω̃(u, v) sia esatta R.:

5. c- Si trovi una primitiva di f(x + y)ω(x, y).

R.: 6- Si trovino tutte le soluzioni del problema y′′ − 2y′ + y = 0 y(0) = 1, y(1) = 0.

R.: