%\documentclass[twoside,italian,a4paper]{article}
\message{esercizi di cam}
%\usepackage{babel}
%\usepackage{a4} 
%\usepackage{amssymb}
\documentstyle [12pt]{article}
\newcommand{\rem}[1]{}  %per commentare intere porzioni di testo
\def\text#1{{\mathrm{#1}}}              %% testo nelle formule
%\newcommand{\R}{{\mathbb R}} 
\newcommand{\R}{{\bf R}}            %% numeri reali
%\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} 
\newcommand{\Q}{{\bf Q}}            %% numeri razionali
%\newcommand{\N}{{\mathbb N}} 
\newcommand{\N}{{\bf N}}            %% naturali
%\newcommand{\C}{{\mathbb C}} 
\newcommand{\C}{{\bf C}}            %% complessi
\newcommand{\CC}{{\mathcal C}}           %% funzioni continue
\renewcommand{\H}{{\mathcal H}}         %% misura di Hausdorff
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}           %% frontiera ridotta
\newcommand{\Z}{{\mathbf Z}}            %% interi
\renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}}  %% epsilon
\renewcommand{\phi}{{\varphi}}          %% phi
\newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme
\renewcommand{\:}{{\!\,:\,}}            %% : delle funzioni o negli insiemi
\renewcommand{\d}{{\,\text{d}}}         %% differenziale negli integrali
\newcommand{\diffsim}{\Delta}           %% differenza simmetrica
\def\bea{\begin{eqnarray*}}
\def\eea{\end{eqnarray*}}
\newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]}
\newcommand{\sys}[1]{\left\{\begin{array}{l}#1\end{array}\right.}
\newcommand{\sysar}[1]{\left\{\begin{array}{lcl}#1\end{array}\right.}
\newcommand{\PreserveBackslash}[1]{\let\temp=\\#1\let\\=\temp}
\let\PBS=\PreserveBackslash
\font\pic=cmr7


%\documentstyle [12pt]{article}
\pagestyle{empty}

\topmargin=-2cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\textwidth=16.6cm
\textheight=25cm


\begin {document}

\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 
\centerline{Anno Accademico 2003-2004} 
\centerline{Laurea specialistica in Informatica} 
\centerline{R.Stasi, V.M. Tortorelli}
\medskip

\centerline{II prova in itinere, 19 maggio 2004} 


\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

%\centerline{ I PARTE: si dia la risposta alle seguenti domande senza giustificazione:}

%\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
%\medskip

%\noindent  1- Si calcoli l'area del parallelogramma di vertici $(1,1,1),~ (2,3,4),~(5,6,7),~
%(6,8,10)$.
%\medskip

%R.:


%\medskip

\noindent 1.a- Fissato $(x,y)\in \R^2$ si calcoli il limite per $n\to +\infty$ di 
 $f_n(x,y)=\frac {n}{\sqrt{n+ (x-n)^2 +(y-n)^2}}$.
\medskip

R.:


\medskip

\noindent 1.b- Si calcoli  $\sup_{\R^2}f_n$ 

\medskip

R.:



\medskip

\noindent 1.c- Si dica se le successione di funzioni $f_n$ converge uniformemente su la palla 
di centro l'origine e raggio $R$: $\{ (x,y): x^2+y^2= R^2\}$. 

\medskip

R.:

\medskip 


\noindent 2. a- Si consideri, per $y>0$ la funzione
 $f(x,y)=\displaystyle{\frac 1y\int_0^y e^{-(x-s)^2}} ds$: si provi che 
$f(x,y)\to 0$ uniformemente in $x\in\R$ per $y\to +\infty$.

\medskip

DIM.:

\medskip
\bigskip
\bigskip

\medskip

\noindent 2. b- Si calcoli $\lim_{y\to +\infty} \int_{\R} f(x,y) dx$.


\medskip 

R.:

%Si consideri lo successione di funzioni definita da:

% $f_1(x)= xe^{-x^2}$, 
%$f_{n+1} (x)= \frac{1}{n+1} (nf_{n}(x) + f_1 (x-n))=\frac{1}{n+1} ( f_1(x) +f_1 (x-1) +\dots f_1 (x-n))$


\medskip 

\noindent 3- Calcolare l'integrale di $x+2y$ nella regione compresa 
tra il segmento $y=0$, $0\le x\le 2\pi$ e l'immagine della curva 
$(t-\sin t, 1-\cos t )$, $0\le t \le 2\pi$
\medskip

%Il punto $(1,\sqrt{2},1)$ verifica la condizione, 
%%$f_x (x,y,z)= 2xe^{x^2-y^2+z^2}-z$, 
%%$f_y (x,y,z)= -2ye^{x^2-y^2+z^2}$, 
%$f_z (x,y,z)= 2ze^{x^2-y^2+z^2}-x$ non si annulla nel punto 
%$(1,\sqrt{2}, 1)$ ove $f$ 
% \`e nulla. Quindi $z=z(x,y)$ \`e ben definita e 
% $\frac{\partial z}{\partial x}(1\sqrt{2})= -\frac {f_x(1,\sqrt{2}, 1)}
%{f_z(1,\sqrt{2}, 1)}$


R.: 
%$-1$

\medskip 


\noindent 4. Si calcoli l'integrale della forma $\omega = \frac {x}{x^2 +y^2 +z^2}dx +\frac {y}{x^2 +y^2 +z^2}dy +\frac {z}{x^2 +y^2 +z^2} dz $ 
 sul cammino $(\cos t , \sin t, 10 - 6\cos t )$, $0\le t \le 2\pi$.



\medskip 

R.:


\medskip

\noindent 5. a-  Si calcoli il rimontato $\tilde\omega$  della forma 
$\omega = (1-x^2 +2xy +3y^2)dx + (y^2 -1-3x^2 -2xy)dy$  tramite la funzione 
$\Phi (u,v)=(\frac{u+v}2 ,\frac{u-v}2)$.

 \medskip

R.:



\noindent 5. b-  Si trovi una funzione $f$ della sola variabile $u$ per cui 
 $f(u)\tilde\omega (u,v)$ sia esatta


\medskip

R.:

\noindent 5. c-  Si trovi una primitiva di $f(x+y)\omega (x,y)$.



\medskip 
R.:

\medskip 


\noindent 6- Si trovino tutte le soluzioni 
del problema $y^{\prime\prime} -2y^\prime +y=0$
 $y(0)=1$, $y(1)=0$.

\medskip

R.:

\medskip

\end{document}