Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2003-2004 Laurea specialistica in Informatica R.Stasi, V.M. Tortorelli

I foglio di esercizi dal 18 febbraio 2004 al 3 marzo

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Si disegnino in maniera approssimativa i sottoinsiemi dal piano definiti da {(x, y) ∈ R^{2} : f(x, y) = f(a, b) } al variare di f e di (a, b), nei casi seguenti:

x^{2} − y^{2}, (2, −1); y^{3} − x^{2}, (0, 0); (y − x^{2})^{2} − x^{5}, (0, 0); \frac{x−y}{x+y}, (1, 1); cos \frac{x}{y}, (π, 4);

e^{xy}, (2, 0); \frac{x}{x^{2}+y^{2}} , (1, 2); |x| + |y|, (1, 0); max\{|x|, |y|\}, (1, 0); |x|^{p} + |y|^{p}, p ∈ R^{+}, (1, 0);

x^{3} + y^{3} − 3axy , a > 0, (0, 0); \frac{2xy}{x^{2}+y^{2}} , (cos θ, sin θ), θ ∈ R; \sqrt{x^{2} + 2y^{2}} − 3x, (1, 2).

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ESERCIZIO n. 2 Si disegnino in modo approssimativo i sottoinsiemi di R^{3}:

{(x, y, z) : 2 = 3x + 5y + 7z};

\{(x, y, z) : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} + z^{2} = 121\}; \{(x, y, z) : (2x − 10)^{2} + 9y^{2} + z^{2} ≥ 111\};

{(x, y, z) : x = z^{2} + y^{2}}; {(x, y, z) : x + y + z = 2x^{2} + 2y^{2} + 4z^{2} − 4zx − 4zy}; {(x, y, z) : x^{2} − y^{2} = z}; {(x, y, z) : x^{2} + y^{2} − z^{2} ≤ 1}; {(x, y, z) : x^{2} + y^{2} − z^{2} ≤ −1}; {(x, y, z) : x^{2} − 4y^{2} = 9z^{2}}; {(x, y, z) : 2z^{2} = x^{2} + y^{2}}; \{(x, y, z) : x^{2} + y^{2} + z^{2} − 6\sqrt{x^{2} + y^{2}} + 5 = 0\}; {(x, y, z) : |x| + |y| + |z| = 1}; {(x, y, z) : max{|x|, |y|, |z|} ≤ 1 }; {(x, y, z) : z > −3, z^{2} + y^{2} − (x + 1)^{2} = 0, (z + 1)^{2} − y^{2} − (x + 3)^{2} = 0}; \{(x, y, z) : y tan z = x\}; \{(x, y, z) : e^{z} cos y = cos x\}; \{(x, y, z) : \sqrt{x^{2} + y^{2}} = coshz\}.

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ESERCIZIO n.3 Si studi l’immagine delle seguenti funzioni:

t ∈ R ↦ (sin 2t, cos 2t), t ∈ R ↦ (t^{2}, t^{3}), t ∈ R ↦ (t cos t, t sin t), t ∈ R ↦ (cos t, sin t, t), t ∈ [2; 3[↦ (t + 1, 2t + 3, 3t + 4), (s, t) ∈ R^{2} ↦ (s, t, s + t), (s, t) ∈ R^{2} ↦ (s, t, s^{2} + t^{2}).

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ESERCIZIO n.4 Si mostri che la funzione f(x, y) = (x+y, x^{2} +y^{2}) non è lineare. Che insieme è il suo luogo di zeri? ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 5 (a) La funzione f(x, y) = \binom{x−yx}{2xy} da R^{2} in se è iniettiva? È surgettiva?

(b) Sia f(x, y) = \binom{x^{2}+y^{2}}{2xy} = (u, v): si studi l’immagine di f, si studi al variare di (u, v) come sono fatte le fibre f^{−1}{(u, v)}. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n.6 Si determinino il seno e il coseno dell’angolo orientato determinato dal primo vettore (1, 2) e dal secondo vettore (2, 1).

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ESERCIZIO n.7 Si determini l’angolo tra i vettori (1, 1, 1, 1) e (0, 0, 0, 1). ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n.8 Si provi che i punti (1, 1, 1), (2, 3, 4), (5, 6, 7), (6, 8, 10) sono complanari. Si determini l’area elementare del parallelogramma che li ha come vertici. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 9 Si trovi l’area elementare del parallelogramma di vertici O = (0, 0, 0, 0), P = (1, 2, 3, 4), Q = (5, 6, 7, 8), P + Q. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 10 Si trovi il piano ortogonale al piano determinato dall’equazione x+y+z = 1 e passante per i punti (0, 0, 0) e (2, 3, 4). ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 11 Si determini come luogo di zeri in R^{3} l’insieme ottenuto dalle rotazioni attorno l’asse (0, 1, 0) dell’insieme {(x, y, z) : y = x^{2} + 1}. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n.12 Qual’è la massima distanza del punto (3, 5, 7) dai punti dell’insime {(x, y, z) : |x| + |y| + |z| ≤ 1}? E dall’insieme {(x, y, z) : (x − 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z − 1)^{2} = 1}?