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\def\text#1{{\mathrm{#1}}}              %% testo nelle formule
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\newcommand{\R}{{\bf R}}            %% numeri reali
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\newcommand{\Q}{{\bf Q}}            %% numeri razionali
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\newcommand{\N}{{\bf N}}            %% naturali
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\newcommand{\C}{{\bf C}}            %% complessi
\newcommand{\CC}{{\mathcal C}}           %% funzioni continue
\renewcommand{\H}{{\mathcal H}}         %% misura di Hausdorff
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}           %% frontiera ridotta
\newcommand{\Z}{{\mathbf Z}}            %% interi
\renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}}  %% epsilon
\renewcommand{\phi}{{\varphi}}          %% phi
\newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme
\renewcommand{\:}{{\!\,:\,}}            %% : delle funzioni o negli insiemi
\renewcommand{\d}{{\,\text{d}}}         %% differenziale negli integrali
\newcommand{\diffsim}{\Delta}           %% differenza simmetrica
\def\bea{\begin{eqnarray*}}
\def\eea{\end{eqnarray*}}
\newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]}
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\oddsidemargin=-0.5cm
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\begin {document}

\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 
\centerline{Anno Accademico 2003-2004} 
\centerline{Laurea specialistica in Informatica} \\

\centerline{R.Stasi, V.M. Tortorelli}

\bigskip

\centerline{I foglio di esercizi} 

\centerline{dal 18 febbraio 2004 al 3 marzo}

\medskip


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 1 Si disegnino in maniera approssimativa i sottoinsiemi dal 
piano definiti da ~$\left\{ (x,y)\in\R^2 ~:~ f(x,y)=f(a,b) ~\right\}$
 al variare di $f$ e di $(a,b)$, nei casi seguenti:

\medskip

\noindent $x^2-y^2$, $(2 ,-1 )$;~~$y^3 -x^2$, $(0,0)$;~~ $(y-x^2 )^2 -x^5$, $(0,0)$;~~ 
$\frac {x-y}{x+y}$, $ (1,1)$;~~ $\cos \frac xy $, $(\pi ,4)$;~~
 
\smallskip

\noindent $e^{xy}$, $(2,0)$;~~$\frac {x}{x^2 +y^2}$, $(1,2)$;~~ $|x|+|y|$, $(1,0)$;~~ $\max \{ |x|, |y|\}$, $(1,0)$; ~~$\vert x\vert^p
+\vert y\vert^p ,~
p\in\R^+$, $(1,0)$;~~

\smallskip

\noindent $x^3 +y^3-3a xy~,~~a>0$, $(0,0)$;
~~$\frac {2xy}{x^2 +y^2}$, 
$(\cos\theta ,\sin\theta ), ~\theta\in\R$; ~~
 $\sqrt{ x^2 +2y^2} - 3x ,~ (1,2)$.

\medskip




\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent ESERCIZIO n. 2 Si disegnino in modo approssimativo i sottoinsiemi di $\R^3$:

\medskip

${\{ (x,y, z):~ 2=3x +5y +7z \}}$; 

\smallskip

${\{  (x,y, z):~ \frac {x^2}9 +\frac {y^2}4 + {z^2} =121 \};~
\{ (x,y, z):~(2x-10)^2 +9y^2 +z^2 \geq 111 \}}$; 

\smallskip

${\{ (x,y, z):~ x=z^2 +y^2 \};~ 
\{  (x,y, z):~x+y+z = 2x^2 +2y ^2 +4z^2-4zx -4zy \}}$; 

\smallskip

${\{ (x,y,z): x^2 -y^2 =z \};~ 
~\{  (x,y, z): x^2 +y^2 -z^2 \le 1 \};~\{  (x,y, z): x^2 +y^2 -z^2 \le -1 \}}$; 

\smallskip

${\{ (x,y ,z):~  x^2 -4y^2 =9z^2 \};~\{ (x,y, z):~2z^2 =x^2 + y^2 \}}$; 

\smallskip

${\{  (x,y, z):~ x^2 +y^2 +z^2 -6\sqrt{x^2 +y^2} +5=0 \}}$;


\smallskip

${\{ (x,y, z):~ |x|+|y|+|z|=1\};~
\{ (x,y, z):~  \max \{ |x|, |y|, |z|\}\le 1~\}}$; 

\smallskip


${
\{(x,y, z):~ z>-3 ,~ z^2 +y^2 -(x+1)^2=0 ,~ (z+1)^2 -y^2 - (x+3)^2=0 \}}$;

\smallskip

${\{(x,y, z):y\tan z =x \}; ~\{(x,y, z):e^z\cos y = \cos x \}; 
~\{(x,y, z):\sqrt{ x^2 +y^2} = {\rm cosh} z \}}$.

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\noindent ESERCIZIO n.3 Si studi l'immagine delle seguenti funzioni:

$t\in\R \mapsto (\sin 2t, \cos 2t),
t\in\R \mapsto (t^2 , t^3 ), t\in\R \mapsto (t\cos t , t\sin t) 
,  t\in\R \mapsto (\cos t , \sin t , t),$

$ t\in [2;3[ \mapsto (t+1, 2t +3 , 3t+4) ,~ (s,t)\in\R^2 \mapsto ( s,t, s+t)
,~ (s,t)\in\R^2 \mapsto ( s,t, s^2+t^2)$.

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\noindent ESERCIZIO n.4 Si mostri che la funzione $f(x,y)= (x+y , x^2 +y^2)$ 
 non \`e lineare. Che insieme \`e il suo luogo di zeri?

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


\noindent ESERCIZIO n. 5  (a) La funzione $f(x,y)={{x-yx}\choose{2xy}}$ da $\R^2$ in
se \`e iniettiva? \`E surgettiva?

\medskip

\noindent (b) Sia $f(x,y)={{x^2+y^2}\choose{2xy}}=(u,v)$: 
si studi l'immagine di $f$, si studi al variare di $(u,v)$ come sono fatte le fibre
$f^{-1} \{ (u,v)\}$. 


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\noindent ESERCIZIO n.6 Si determinino il seno e il coseno dell'angolo orientato
determinato dal primo vettore $(1,2)$ e dal secondo vettore  $(2,1)$.


\medskip

\vfill
\eject

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\noindent ESERCIZIO n.7  Si determini l'angolo tra i vettori  
$(1,1,1,1)$ e $(0,0,0,1)$.

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\noindent ESERCIZIO n.8  Si provi che i punti 
  $(1,1,1)$, $(2,3,4)$, $(5,6,7)$, $(6,8,10)$ sono complanari.
 Si determini l'area elementare del parallelogramma 
  che li ha come vertici.

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\noindent ESERCIZIO n. 9 Si trovi l'area elementare del parallelogramma 
 di vertici $O=(0,0,0,0)$, $P=(1,2,3,4)$, $Q=(5,6,7,8)$, $P+Q$.

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\noindent ESERCIZIO n. 10 Si trovi il piano ortogonale al piano 
determinato dall'equazione $x+y+z=1$  e passante per i punti 
$(0,0,0)$ e $(2,3,4)$.


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\noindent ESERCIZIO n. 11 Si determini come luogo di zeri in $\R^3$ 
 l'insieme ottenuto dalle rotazioni attorno l'asse $(0,1,0)$ dell'insieme 
 $\{ (x,y,z) :~ y= x^2 +1\}$.



%\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

%\noindent ESERCIZIO n. 11 Si  la matrice della trasformazione lineare 
% data dalla rotazione di angolo $\alpha$ in senso antiorario attorno all'asse
% per l'origine e il punto $(1,1,1)$.



\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


\noindent ESERCIZIO n.12 Qual'\`e la massima distanza del punto $(3,5,7)$
dai punti dell'insime

\noindent $\{ (x,y,z): ~ |x|+|y|+|z|\le 1\}$? E dall'insieme
$\{ (x,y,z):~ (x-1)^2+ (y+1)^2 + (z-1)^2 =1\}$?







\end{document}

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 3 Se 
$f(x,y)= x^{x^{x^y}} +\log x({\rm artan} ({\rm artan} ({\rm artan} (\sin (\cos (xy)+
\log (x+y))))))$, si calcoli $\frac {\partial f}{\partial y} (1,y)$.



\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.4 Si studino la continuit\`a, la derivabilit\`a 
nelle diverse direzioni, e la differenziabilit\`a delle seguenti funzioni:

\bigskip

$ \sqrt{|xy|}$; ~~~ $\sqrt{|x|}\cos y$; ~~~  
$\int_{_{_{\!\! 0}}}^{^{^{\!\!y}}} f(t,x)dt,~ f\in{\cal C}^1(\R^2 )$; 

\medskip

$\scriptstyle{f(x,y) ~=~\left\{ 
{\begin{array}{ll}
\frac {y^3}{x^2 +y^2} &  (x,y)\not= (0,0)\\
& \\
0 &  (x,y)= (0,0)\\
\end{array}}
\right.}$;    
$\scriptstyle{f(x,y) ~=~\left\{ 
{\begin{array}{ll}
xy\frac {x^2 -y^2}{x^2 +y^2} &  (x,y)\not= (0,0)\\
& \\
0 &  (x,y)= (0,0)\\
\end{array}}
\right.}$;

\medskip

%$\scriptstyle{f(x,y) ~=~\left\{ 
%{\begin{array}{ll}
%\frac {y^2}{x} e^{-\frac {y^2}{x^2}} &  x\not= 0\\
%& \\
%0 &  x= 0\\
%\end{array}}
%\right.}$; 
$\scriptstyle{f(x,y) ~=~\left\{ 
{\begin{array}{ll}
\frac {y^2}{x^3} e^{-\frac {y^2}{x^4}} &  x\not= 0\\
& \\
0 &  x= 0\\
\end{array}}
\right.}$. 




\medskip 
\break




\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 5 Si studi l'esistenza dei limiti nei domini delle seguenti funzioni,
 al variare di eventuali parametri, e quando possibile se ne calcoli il valore:

\medskip

${ \frac {xy}{x^2 +y^2};~
 \frac {\sin (xy)}{x^2 +y^2};~
x^2\log (x^2+y^2);~ \frac {x\sin y}{y\sin x}}$;
~ ${\frac {x^2 y^2}{x^2 +y^4};~
\frac {\sin (x |y|)}{x^2 +|y|}; ~ 
\frac {e^{x^2 y} -x\sin (xy) -1}{(x^2+y^2 )^2}:~(x,y)\to (0,0)}$;


\smallskip

${ \frac {x+y}{3x+2y};~ \frac {x^3 +y^2}{x^2 y^2};~\frac {x^3 +y^2}{x^3 +y^3};
~\frac {y^2 +x+y}{x^2+x+y}; ~ 
\frac {x^2 y^2}{ |x|^\alpha +|y|^\alpha};~ 
{\frac {P(x,y)}{Q(x,y)} }
:~(x,y)\to (0,0),~\alpha >0, }$~
$\scriptstyle{P,~ Q}$ {\pic polinomi nulli in} $\scriptstyle{ (0,0)};$ 


\smallskip

${
\frac y{x^2 -y}:~(x,y)\to (0,0);~
\frac y{x^2 -y}:~
{{(x,y)\to (0,0)}_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
|y|\le |x|}}}}~~~;}$


\smallskip


${x-y^2:~ x^2 +y^2\to \infty;~ x-y^2:~
{{x^2 +y^2\to \infty}_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
2y^2\le x}}}}~~;~\frac {x^2+y}{x^2 +y^2 +2xy}:~ x^2 +y^2\to \infty;~ }$


\smallskip

$(*) {\frac{x^\alpha y^\beta}{x^2 + y^4},~
\frac{x^\alpha + y^\beta}{x^2 + y^4}:~(x,y)\to (0,0) }$,~ 
$\scriptstyle{\alpha,~\beta >0}$.

\medskip



\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 6 Tra le seguenti implicazioni si provino quelle valide e si trovi un
controesempio per ognuna di quelle false:

\begin{enumerate}

\item 
$\scriptstyle{\exists~~~~ 
\lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! (x,y)\to (x_0,y_0)}}} f(x,y)
~\Longrightarrow ~~\exists ~~
\lim_{_{_{ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! x\to x_0}}}
\lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\! y\to y_0}}} f(x,y)}.$

\item 
$\scriptstyle{\exists ~~
\lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!  x\to x_0}}}
\lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! y\to y_0}}} f(x,y)=
\lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! y\to y_0}}}
\lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! x\to x_0}}} f(x,y)
~\Longrightarrow ~~
\exists~~~~ 
\lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! (x,y)\to (x_0,y_0)}}} f(x,y)}.$


\item
$\scriptstyle{\left\{ 
{\begin{array}{ll}
 \exists ~~
\lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! x\to x_0}}}
\lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! y\to y_0}}} f(x,y)=\lambda_1 & \\
% ~& ~\\
\exists ~~
\lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! y\to y_0}}}
\lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! x\to x_0}}} f(x,y)=\lambda_2 & \\
% ~& ~\\
\exists~~~~ 
\lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! (x,y)\to (x_0,y_0)}}} f(x,y)
=\lambda_3 &
\\
\end{array}}
\right. ~~\Longrightarrow ~~~~~~~~~~~\lambda_1 =\lambda_2 =\lambda_3}.$

\end{enumerate}
 


\medskip


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 8  (a) Si trovi il piano tangente alla sfera di centro 
$(1,1,1)$ e raggio $1$ in $(1,\frac 12, 1+\frac{\sqrt{3}}{2})$.

\smallskip

\noindent (b) Si trovi la retta ortogonale alla regione 
$\{ (x,y,z):~ \log (x^2 +y^2+e)= e^z\}$ in $(0,0,1)$.







 

\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 9 Si calcoli l'angolo di incidenza che formano le seguenti
coppie di  regioni dello spazio incontrandosi nei punti rispettivamente indicati: 

\medskip

\noindent $\{ (x,y,z):~ 2x^4+3y^3 -4z^2=-4\}$, 
$\{ (x,y,z):~ 1+x^2+y^2=z^2\}$, $(0,0,1)$;
 
\noindent $\{ (x,y,z): x^2+y^2=e^z\}$,  $\{ (x,y,z): x^2+z^2=e^y\}$, $(1,0,0)$;

\noindent $\{ (x,y,z): ~ xy=z~\}$, $\{ (x,y,z):~ \cos (2\pi xy) =z\}$, $(1,1,1)$.


\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.10   Dato $C\subseteq \R^2$ si definisce la funzione 
distanza da $C$ come segue:

\[ d_C(x,y)~=~\inf_{(a,b)\in C} \sqrt{ |x-a|^2 +|y-b|^2}\]

\noindent Si descrivano, nei
seguenti casi, le regioni del piano ove $d_C$ \'e differenziabile:

\smallskip

\noindent (a)~ $C=\{(0,0)\}$;~~(b)~ $C=\{(-1,0), (0,1)\}$;~~(c)~ $C=\{(-1,0)\}\cup \{
(1,b): b\in \R\}$;~~(d)~ $C=\{(-1,0)\}\cup\{ (a,b):
(a+1)^2+b^2 = 1\}$. 


\medskip



\end{document}
\break



\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.12 

\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------




\noindent ESERCIZIO n.13 
\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.14  





\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent  ESERCIZIO n.15  

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 16



\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.17 

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.18 

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.19 


\noindent------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


\noindent------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


\noindent------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



\end{document}



 


\item Studiare la continuit\'a  delle seguenti funzioni tra spazi
normati:
\begin{enumerate}
\item $Id: \left(\CC [0;1], \sup |f|\right)\to \left(\CC [0;1], \int|f|\right)$

\item  $Id: \left(\CC [0;1], \int |f|\right)\to \left(\CC [0;1], \sup |f|\right)$

\item $Id: \left(\CC [0;1], \int |f|\right)\to \left(\CC [0;1], \sqrt{\int|f|^2}\right)$


\item $\frac{d}{dx} :
\left(\CC^1 [0;1], \sup |f|\right)\to \left(\CC [0;1], \int|f|\right)$

\item $\frac{d}{dx} :
\left(\CC^1 [0;1], \int |f|+\int |f^\prime |\right)\to 
\left(\CC [0;1], \sup|f|\right)$


\end{enumerate}


\item Per $n\in\Z$ sia  $e_n (t)~=~\frac {1}{\sqrt 2\pi} e^{int}$,
 $t\in [0;2\pi ]$. Per $f\in\CC ([0;2\pi ],\C)$  si ponga 
$c_n =(f \cdot e_n)_{L^2[0;2\pi ]}$.

\begin{enumerate}
%\item Se $k\in\N$, $k\le 1$, e $f\in\CC^k([0;2\pi ],\C)$ 

\item Se $f(t) =t$ si studi la convergenza uniforme nei sottoinsiemi 
di $[0; 2\pi ]$ della
serie di funzioni $S_N =\sum_{n=-N}^N e_n c_n$.

\item Se $f(t)= t^2 -2\pi t$ si  studi la convergenza uniforme nei 
sottoinsiemi di $[0; 2\pi ]$ della
serie di funzioni $S_N =\sum_{n=-N}^N e_n c_n$.
\end{enumerate}

\item Si consideri la seguente trasformazione $T$ tra funzioni reali di variabile
reale:

\[(T(f))(x):= ~\frac {1}{2} f(2x)~+~\sin x.\]

\begin{enumerate}

\item  Si provi che $T$ \'e una contrazione sullo spazio metrico delle funzioni
continue e limitate:
 
\noindent $\left({\cal CB} (\R ) , \sup_{x\in\R }\vert f(x) -g (x)\vert\right)$.

\item Si provi che l'unico punto fisso $Tf=f$ in tale spazio \'e una funzione
$2\pi$-periodica e dispari.

\item Si provi che la serie $\sum_{m=0}^\infty  2^{-m}\sin (2^m x)$ converge
uniformemente ad $f$.

\item Si provi che la serie di funzioni 

$$S_N(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-N}^N e^{inx}\int_0^{2\pi} f(y)e^{-iyn} dy$$

\noindent   converge uniformemente ad $f$. 

\end{enumerate}


\end{enumerate}
\end{document}



\center{3-4 novembre 1999}}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Studiare la continuit\'a  delle seguenti funzioni tra spazi
normati:

\begin{enumerate}

\item $Id :
\left(\CC^1 [0;1], \int |f|+\int |f^\prime |\right)\to 
\left(\CC [0;1], \sup|f|\right)$

\item Data $f:\R^n\to \R$, se $h\in\R^n $, si definisce $\tau_h f$ la funzione 
 $x\mapsto f(x+h)$, e quindi si definisce l'operatore $\tau f$ da $\R^n$ a valori
funzioni dato dall'associazione $\tau f:h\mapsto \tau_h f$:

- data $f$ limitata  $\tau f :\R^n \to
\left({\cal B} (\R^n ), \sup|f|\right)$, ove  
${\cal B} (\R^n )$ sono le funzioni limitate.

- data $f$ limitata uniformemente continua e limitata

 $\tau f:\R^n\to
\left({\cal UCB} (\R^n ), \sup|f|\right)$, ove ${\cal UCB} (\R^n )$ sono le funzioni
uniformemente continue e limitate.


- data $f$ continua e con norma $L^p$ finita $\tau f:\R\to
\left({\cal C} (\R ), |f|_{L^p}\right)$.

\item $P:
\left(\CC [0;1], \int |f|\right)\to 
\left(\CC [0;1], \sup|f|\right)$,

 ove $Pf$ \'e la funzione 
$x\mapsto \int_0^x f^2(s)ds$.

\end{enumerate}



\item Si consideri la successione di numeri 
$\alpha_n = \frac12\left(1-\frac 1{(n+2)^2}\right)$,
$n\in\N$. Si definisca per ricorrenza la seguente successione di sottoinsiemi di 
 $[0;1]$:


\[
\left\{ 
{\begin{array}{ll}
C_{_0} ~=~[0;1]& \\
 ~& ~\\
C_{_{n+1}}~=~\alpha_n C_{_n }\cup \left( (1-\alpha_n )+\alpha_n C_{_n }\right) & \\
\end{array}}
\right. 
\]

\begin{enumerate}

\item Si provi che ogni $C_{_n}$ \'e unione disgiunta di un numero finito di intervalli
chiusi. Detta $\lambda_n$ la somma delle loro lunghezze si provi che converge ad un
numero strettamente compreso tra $0$ e $1$.

\item Provare che la successioni delle funzioni caratteristiche dei $C_{_n}$ \'e di
Cauchy rispetto alla seminorma $\int_0^1 |f(x)|dx$.









\end{enumerate}
\end{document}






