Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2003-2004 Laurea specialistica in Informatica R.Stasi, V.M. Tortorelli

II foglio di esercizi dal 3 marzo 2004 al 10 marzo

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ESERCIZIO n. 1 Si studi l’esistenza dei limiti nei domini delle seguenti funzioni, al variare di eventuali parametri, e quando possibile se ne calcoli il valore:

\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} ; \frac{sin(xy)}{x^{2}+y^{2}}; x^{2} log(x^{2} + y^{2}); \frac{x sin y}{y sin x}; \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{4}} ; \frac{sin(x|y|)}{x^{2}+|y|}; \frac{e^{x^{2}y}−x sin(xy)−1}{(x^{2}+y^{2})^{2}} : (x, y) → (0, 0);

\frac{x+y}{3x+2y}; \frac{x^{3}+y^{2}}{x^{2}y^{2}} ; \frac{x^{3}+y^{2}}{x^{3}+y^{3}} ; \frac{y^{2}+x+y}{x^{2}+x+y}; \frac{x^{2}y^{2}}{|x|^{α}+|y|^{α}}; \frac{P (x,y)}{Q(x,y)} : (x, y) → (0, 0), α > 0, P, Q polinomi nulli in (0,0);

\frac{y}{x^{2}−y} : (x, y) → (0, 0); \frac{y}{x^{2}−y} : (x, y) → (0, 0)_{|y|≤|x|};

x − y^{2} : x^{2} + y^{2} → ∞; x − y^{2} : x^{2} + y^{2} → ∞_{2y^{2}≤x}; \frac{x^{2}+y}{x^{2}+y^{2}+2xy} : x^{2} + y^{2} → ∞;

(∗)\frac{x^{α}y^{β}}{x^{2}+y^{4}} , \frac{x^{α}+y^{β}}{x^{2}+y^{4}} : (x, y) → (0, 0), α, β>0.

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ESERCIZIO n. 2 Tra le seguenti implicazioni si provino quelle valide e si trovi un controesempio per ognuna di quelle false:

1. ∃ lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y) ⟹ ∃ lim_{x→x0} lim_{y→y0} f(x,y).
2. ∃ lim_{x→x0} lim_{y→y0} f(x,y)=lim_{y→y0} lim_{x→x0} f(x,y) ⟹ ∃ lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y).

3. \{ \begin{matrix}∃ lim_{x→x0} lim_{y→y0} f(x, y) = λ_{1} \\ ∃ lim_{y→y0} lim_{x→x0} f(x, y) = λ_{2} \\ ∃ lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x, y) = λ_{3} \end{matrix}  ⟹  λ_{1}=λ_{2}=λ_{3}.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.4 a) Si studi la continuità delle seguenti funzioni:

\sqrt{|xy|};  \sqrt{|x|} cos y;  ∫\begin{matrix}y \\ 0 \end{matrix} f(t, x)dt, f ∈ C(R^{2}); f(x,y) = \{ \begin{matrix}xy \frac{x^{2}−y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & (x,y)≠(0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{matrix} ;

f(x,y) = \{ 0  (x,y)=(0,0)^{\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} (x,y)≠(0,0)} ; f(x,y) = \{ 0  (x,y)=(0,0)^{\frac{xy^{3}}{x^{2}+y^{6}} (x,y)≠(0,0)} ; f(x,y) = \{ \begin{matrix}xy \frac{x^{2}−y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & (x,y)≠(0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{matrix} ;

f(x,y) = \{ 0  (x,y)=(0,0)^{\frac{xy−sin xy}{x^{6}+y^{6}} (x,y)≠(0,0)} ; f(x,y) = \{ 0  (x,y)=(0,0)^{\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}} (x,y)≠(0,0)} ; f(x,y) = \{ \begin{matrix}\frac{y^{2}}{x^{3}} e^{− \frac{y^{2}}{x^{4}}} & x≠0 \\ 0 & x=0 \end{matrix} .

b) Se ne studi la derivabilità nelle diverse direzioni.

c) Se ne studi la differenziabilità.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 Se f(x, y) = x^{x^{x^{y}}} + log x(artan(artan(artan(sin(cos(xy) + log(x + y)))))), si calcoli la derivata rispetto a y nel punto (1, y) \frac{∂f}{∂y} (1, y).