Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2003-2004 Laurea specialistica in Informatica R.Stasi, V.M. Tortorelli

III foglio di esercizi dal 10 marzo 2004 al 16 marzo

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Si consideri un polinomio omogeneo di secondo grado nelle variabili x ed y. Se ne calcoli il differenziale e il differenziale secondo. Si mostri in generale che se A è una matrice n × n la funzione x ∈ R^{n} ↦ ⟨Ax · x⟩ ha differenziale secondo eguale a ^{t}A + A. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Sia g = \frac{∂f}{∂y} − \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} . Dato il cambio di coordinate (u, v) = (x, \frac{x}{\sqrt{y}}), esprimere g(x, y) in funzione di u e v .

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 Sia f : R^{2} ↦ R differenziabile ovunque ed F : R^{+} × R ↦ R definita da:

F (ρ, θ) = f(ρ cos θ, ρ sin θ)

Verificare che:

(F_{ρ}(ρ, θ))^{2} + \frac{1}{ρ^{2}} (F_{θ}(ρ, θ))^{2} = (f_{x}(x, y))^{2} + (f_{y}(x, y))^{2}

dove x = cos θ e y = sin θ. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.4 Determinare i punti critici (df_{P} = O) delle seguenti funzioni: x^{3} + (x − y)^{2}, x^{4} + (x − y)^{2}, xy + y^{2} − 3x, sin(x + y), x^{2} − sin y, x^{3} + y^{2} − 6xy − 39x + 18y + 20.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5 Si dica se (0, 0) è di massimo, di minimo o di sella per ciascuna delle seguenti funzioni: x^{4} + y^{4}, x^{4} − y^{4}, 1 − x^{4} − x^{2}y^{2} − y^{4}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 Sia f : R^{n} ↦ R differenziabile ovunque e sia x_{0} tale che df_{x_{0}} ≠ O. Dimostrare che la direzione u rispetto a cui:

\frac{∂f}{∂u} |_{x_{0}} = max \{ \frac{∂f}{∂v} |_{x_{0}} : v ∈ R^{n}, ∥v∥ = 1\}

è data da u = \frac{∇f(x_{0})}{∥∇f(x_{0})∥} (ovvero il gradiente di una funzione differenziabile da la direzione di massima crescita).

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.7 Qual’è la massima distanza del pumto (3, 5, 7) dai punti dell’insime {(x, y, z) : |x| + |y| + |z| ≤ 1}? E dall’insieme {(x, y, z) : (x − 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z − 1)^{2} = 1}?

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8 (a) Si trovi il piano tangente alla sfera di centro (1, 1, 1) e raggio 1 in (1, \frac{1}{2}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}).

(b) Si trovi la retta ortogonale alla regione {(x, y, z) : log(x^{2} + y^{2} + e) = e^{z}} in (0, 0, 1).

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9 Si calcoli l’angolo di incidenza che formano le seguenti coppie di regioni dello spazio incontrandosi nei punti rispettivamente indicati:

{(x, y, z) : 2x^{4} + 3y^{3} − 4z^{2} = −4}, {(x, y, z) : 1 + x^{2} + y^{2} = z^{2}}, (0, 0, 1); {(x, y, z) : x^{2} + y^{2} = e^{z}}, {(x, y, z) : x^{2} + z^{2} = e^{y}}, (1, 0, 0); {(x, y, z) : xy = z }, {(x, y, z) : cos(2πxy) = z}, (1, 1, 1).

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.10 Dato C ⊆ R^{2} si definisce la funzione distanza da C come segue:

d_{C}(x, y) = inf_{(a,b)∈C} \sqrt{|x − a|^{2} + |y − b|^{2}}

Si descrivano, nei seguenti casi, le regioni del piano ove d_{C} é differenziabile:

(a) C = {(0, 0)}; (b) C = {(−1, 0), (0, 1)}; (c) C = {(−1, 0)} ∪ {(1, b) : b ∈ R}; (d) C = {(−1, 0)} ∪ {(a, b) : (a + 1)^{2} + b^{2} = 1}.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11 (a) La funzione f(x, y) = \binom{x−yx}{2xy} da R^{2} in se è iniettiva? È surgettiva? Si calcoli il suo differenziale e si studi dove è invertibile.

(b) Sia f(x, y) = \binom{x^{2}+y^{2}}{2xy} = (u, v): si studi l’immagine di f, si studi al variare di (u, v) come sono fatte le fibre f^{−1}{(u, v)}. Si calcoli il suo differenziale e si studi dove è invertibile.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.12 Determinare minimo e massimo delle seguenti funzioni nei rispettivi insiemi:

xy su {x^{2} + y^{2} ≤ 1}, x^{2} + y^{2} − (x + y) su {|x| ≤ 1, |y| ≤ 1}

∫_{√\overline{log(1+y^{4})}}^{x^{2}} e^{t^{2}}dt su \{|x| ≤ 1, |y| ≤ 1\},

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{2}y}{x^{2}+4y^{2}} +x & xy>0 \\ xy+x & xy≤0 \end{matrix} su \{0 ≤ y ≤ 1, y^{2} − 1 ≤ x ≤ 1\}

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ESERCIZIO n.13 Sia f(x, y) = 2x^{4} − x^{2}e^{y} + e^{4y}. Si calcolino l’estremo superiore e l’estremo inferiore di tale funzione e se ne calcoli il limite per x^{2} +y^{2} → +∞. Si osservi che vi sono solo due punti di minimo assoluto e nessun altro punto critico. Si traccino approssimativamente le linee di livello f = c, al variare di c in R, mettendo in risalto quali sono connesse, quali sono limitate.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.14 Sia data un insieme di coppie (x_{i}, y_{i})_{1≤i≤N}. Determinare a e b in modo tale che la funzione: χ^{2}(a, b) = ∑_{i=1}^{N}(y_{i} − ax_{i} − b)^{2} sia minima. Il minimo è assoluto o relativo? ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.15 Sia f differenziabile su A aperto. Dimostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti:

- f é positivamente omogenea di grado α (i.e. f(tx) = t^{α}f(x) per ogni x ∈ A).

- αf(x) = x · ∇f(x) = ∑_{i=1}^{n} x_{i}f_{x_{i}}(x) per ogni x ∈ A.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 16 Sia R : R^{2} ↦ R^{2} una rotazione di centro l’origine, cioè una applicazione

lineare del tipo x ↦ Rx, con ^{t}RR = Id, ovvero R =( \begin{matrix}cos θ & sin θ \\ − sin θ & cos θ \end{matrix} ).

Detto Δu = \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}}, dimostrare che: Δ(u∘R) = (Δu)∘R per ogni u ∈ C^{2}.