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\message{esercizi di analisi II}
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\newcommand{\R}{{\bf R}}            %% numeri reali
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\newcommand{\C}{{\bf C}}            %% complessi
\newcommand{\CC}{{\mathcal C}}           %% funzioni continue
\renewcommand{\H}{{\mathcal H}}         %% misura di Hausdorff
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}           %% frontiera ridotta
\newcommand{\Z}{{\mathbf Z}}            %% interi
\renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}}  %% epsilon
\renewcommand{\phi}{{\varphi}}          %% phi
\newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme
\renewcommand{\:}{{\!\,:\,}}            %% : delle funzioni o negli insiemi
\renewcommand{\d}{{\,\text{d}}}         %% differenziale negli integrali
\newcommand{\diffsim}{\Delta}           %% differenza simmetrica
\def\bea{\begin{eqnarray*}}
\def\eea{\end{eqnarray*}}
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\oddsidemargin=-0.5cm
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\begin{document}

\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 
\centerline{Anno Accademico 2003-2004} 
\centerline{Laurea specialistica in Informatica} 

\centerline{R.Stasi, V.M. Tortorelli}

\bigskip

\centerline{III foglio di esercizi} 

\centerline{dal 10 marzo 2004 al 16 marzo}

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 1 Si consideri un polinomio omogeneo 
di secondo grado nelle variabili $x$ ed 
$y$. Se ne calcoli il differenziale e il differenziale secondo. Si mostri 
 in generale che se $A$ \`e una matrice $n\times n$ la funzione
 $x\in\R^n\mapsto \langle Ax \cdot x\rangle$ ha differenziale secondo 
eguale a $^t\! A +A$.




\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 2  Sia 
$g=\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$. Dato il cambio di coordinate $(u,v)=(x,\frac{x}{\sqrt y})$, esprimere $g(x,y)$ in funzione di $u$ e $v$ .


\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 3 Sia $f:\R^2\mapsto \R$ 
differenziabile ovunque ed $F:\R^+\times\R\mapsto \R$ definita da:
  
\centerline{    $F(\rho,\theta)=f(\rho \cos\theta,\rho \sin\theta)$}
  
\noindent Verificare che:

\centerline{  $(F_\rho(\rho,\theta))^2+\frac{1}{\rho^2}(F_\theta(\rho,\theta))^2=
(f_x(x,y))^2+(f_y(x,y))^2$}

\noindent dove $x=\cos\theta$ e $y=\sin\theta$.




\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.4 Determinare i punti critici ($df_P={\rm O}$) 
 delle seguenti funzioni: $x^3+(x-y)^2$,
  $x^4+(x-y)^2$,  $x y+y^2-3 x$, $\sin(x+y)$, $x^2-\sin y$, 
$x^3+y^2-6 x y-39 x+18 y+20$.



%$\scriptstyle{
%f(x,y) ~=~
%\left\{ 
%{\begin{array}{ll}
%xy\frac {x^2 -y^2}{x^2 +y^2} &\scriptstyle{  (x,y)\not= (0,0)}\\
%& \\
%0 &\scriptstyle{  (x,y)= (0,0)}\\
%\end{array}}
%\right.}$;


\medskip 

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 5 
Si dica se $(0,0)$ \`e di massimo, di minimo  
o di sella per ciascuna delle seguenti funzioni:
 $x^4+y^4$,  $x^4-y^4$, $1-x^4-x^2y^2-y^4$.



%$f(x,y)= x^{x^{x^y}} +\log x({\rm artan} ({\rm artan} ({\rm artan} (\sin (\cos (xy)+
%\log (x+y))))))$, si calcoli la derivata rispetto a $y$ nel punto $(1,y)$ $\frac {\partial f}{\partial y} (1,y)$.




\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 6 Sia $f:\R^n\mapsto \R$ differenziabile 
ovunque e sia $x_0$ tale che $df_{x_0}\neq {\rm O}$.  Dimostrare che la direzione $u$ rispetto a cui:

\centerline{$\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{x_0}=
 \max
\left\{\left.\frac{\partial f}{\partial v}\right|_{x_0}:\ v\in\R^n,
\|v\|=1\right\}$}

\noindent \`e data da $u=\frac{\nabla f(x_0)}{\|\nabla f(x_0)\|}$ (ovvero il gradiente di una funzione 
differenziabile da la direzione di massima crescita).





\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.7 Qual'\`e la massima distanza del pumto $(3,5,7)$
dai punti dell'insime

\noindent $\{ (x,y,z): ~ |x|+|y|+|z|\le 1\}$? E dall'insieme
$\{ (x,y,z):~ (x-1)^2+ (y+1)^2 + (z-1)^2 =1\}$?

\medskip


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 8  (a) Si trovi il piano tangente alla sfera di centro 
$(1,1,1)$ e raggio $1$ in $(1,\frac 12, 1+\frac{\sqrt{3}}{2})$.

\smallskip

\noindent (b) Si trovi la retta ortogonale alla regione 
$\{ (x,y,z):~ \log (x^2 +y^2+e)= e^z\}$ in $(0,0,1)$.







 

\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 9 Si calcoli l'angolo di incidenza che formano le seguenti
coppie di  regioni dello spazio incontrandosi nei punti rispettivamente indicati: 

\medskip

\noindent $\{ (x,y,z):~ 2x^4+3y^3 -4z^2=-4\}$, 
$\{ (x,y,z):~ 1+x^2+y^2=z^2\}$, $(0,0,1)$;
 
\noindent $\{ (x,y,z): x^2+y^2=e^z\}$,  $\{ (x,y,z): x^2+z^2=e^y\}$, $(1,0,0)$;

\noindent $\{ (x,y,z): ~ xy=z~\}$, $\{ (x,y,z):~ \cos (2\pi xy) =z\}$, $(1,1,1)$.


\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.10   Dato $C\subseteq \R^2$ si definisce la funzione 
distanza da $C$ come segue:

\[ d_C(x,y)~=~\inf_{(a,b)\in C} \sqrt{ |x-a|^2 +|y-b|^2}\]

\noindent Si descrivano, nei
seguenti casi, le regioni del piano ove $d_C$ \'e differenziabile:

\smallskip

\noindent (a)~ $C=\{(0,0)\}$;~~(b)~ $C=\{(-1,0), (0,1)\}$;~~(c)~ $C=\{(-1,0)\}\cup \{
(1,b): b\in \R\}$;~~(d)~ $C=\{(-1,0)\}\cup\{ (a,b):
(a+1)^2+b^2 = 1\}$. 


\medskip


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 11  (a) La funzione $f(x,y)={{x-yx}\choose{2xy}}$ da $\R^2$ in
se \`e iniettiva? \`E surgettiva? Si calcoli il suo differenziale e si studi dove \`e invertibile.

\medskip

\noindent (b) Sia $f(x,y)={{x^2+y^2}\choose{2xy}}=(u,v)$: 
si studi l'immagine di $f$, si studi al variare di $(u,v)$ come sono fatte le fibre
$f^{-1} \{ (u,v)\}$. Si calcoli il suo differenziale e si studi dove \`e invertibile. 


\medskip

 





\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.12 Determinare minimo e massimo delle seguenti funzioni nei rispettivi insiemi:

 $x y$ su $\{x^2+y^2\le 1\}$, ~~~$x^2+y^2-(x+y)$ su $\{|x|\le 1,|y|\le 1\}$

 $\displaystyle{\int_{\sqrt{\log(1+y^4)}}^{x^2}e^{t^2}dt~~~
{\rm su}~\{|x|\le 1,|y|\le 1\}}$,~~ 

$
f(x,y) ~=~
\left\{ 
{\begin{array}{ll}
\scriptstyle{\frac{x^2 y}{x^2+4 y^2}+x }&\scriptstyle{x y>0}\\
& \\
\scriptstyle{x y+x}&\scriptstyle{  x y\le 0}\\
\end{array}}
\right.$ ~~~{\rm su~} $\{0\le y\le 1, y^2-1\le x\le 1\}$


% $\begin{cases}
%      \frac{x^2 y}{x^2+4 y^2}+x & {\rm per~ }x y>0\\
%      x y+x & {\rm per ~}x y\le 0
%    \end{cases}



 



\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------




\noindent ESERCIZIO n.13  Sia $f(x,y)= 2x^4 -x^2 e^y +e^{4y}$. Si calcolino l'estremo superiore e
l'estremo inferiore di tale funzione e se ne calcoli il limite per $x^2+y^2\to
+\infty$. Si osservi che vi sono solo due punti di minimo
assoluto e nessun altro punto critico.
Si traccino approssimativamente le linee di livello $f=c$,
 al variare di $c$ in $\R$, mettendo in risalto quali sono connesse, quali sono
limitate.






\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.14   Sia data un insieme di coppie $(x_i,y_i)_{1\le i\le N}$. Determinare $a$ e $b$ in modo tale che la funzione:
  $\chi^2(a,b)=\sum_{i=1}^N(y_i-a x_i-b)^2$ sia minima. 
Il minimo \`e assoluto o relativo? 






\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent  ESERCIZIO n.15  
Sia $f$ differenziabile su $A$ aperto. Dimostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti:

- $f$ \'e positivamente omogenea di grado $\alpha$ 
(i.e. $f(t x)=t^\alpha f(x)$ per ogni $x\in A$).

- $\alpha f(x)= x\cdot\nabla f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i f_{x_i}(x)$ 
per ogni $x\in A$.




\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 16 
Sia $R:\R^2\mapsto\R^2$ una rotazione di centro l'origine, 
cio\`e una applicazione lineare del tipo $x\mapsto R x$, con $^t\! R R= Id$, 
ovvero
$R=\scriptstyle{\left(
  \begin{array}{cc}
\cos\theta & \sin\theta \\
-\sin\theta & \cos\theta \\
\end{array}
\right)}$.

\noindent Detto 
$\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$, dimostrare che:
 $\Delta (u{\scriptstyle{\circ}} R)=(\Delta u){\scriptstyle{\circ}} R$
 per ogni $u\in C^2$.


\end{document}

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.17 

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.18 

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.19 


\noindent------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


\noindent------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


\noindent------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



\end{document}



 


\item Studiare la continuit\'a  delle seguenti funzioni tra spazi
normati:
\begin{enumerate}
\item $Id: \left(\CC [0;1], \sup |f|\right)\to \left(\CC [0;1], \int|f|\right)$

\item  $Id: \left(\CC [0;1], \int |f|\right)\to \left(\CC [0;1], \sup |f|\right)$

\item $Id: \left(\CC [0;1], \int |f|\right)\to \left(\CC [0;1], \sqrt{\int|f|^2}\right)$


\item $\frac{d}{dx} :
\left(\CC^1 [0;1], \sup |f|\right)\to \left(\CC [0;1], \int|f|\right)$

\item $\frac{d}{dx} :
\left(\CC^1 [0;1], \int |f|+\int |f^\prime |\right)\to 
\left(\CC [0;1], \sup|f|\right)$


\end{enumerate}


\item Per $n\in\Z$ sia  $e_n (t)~=~\frac {1}{\sqrt 2\pi} e^{int}$,
 $t\in [0;2\pi ]$. Per $f\in\CC ([0;2\pi ],\C)$  si ponga 
$c_n =(f \cdot e_n)_{L^2[0;2\pi ]}$.

\begin{enumerate}
%\item Se $k\in\N$, $k\le 1$, e $f\in\CC^k([0;2\pi ],\C)$ 

\item Se $f(t) =t$ si studi la convergenza uniforme nei sottoinsiemi 
di $[0; 2\pi ]$ della
serie di funzioni $S_N =\sum_{n=-N}^N e_n c_n$.

\item Se $f(t)= t^2 -2\pi t$ si  studi la convergenza uniforme nei 
sottoinsiemi di $[0; 2\pi ]$ della
serie di funzioni $S_N =\sum_{n=-N}^N e_n c_n$.
\end{enumerate}

\item Si consideri la seguente trasformazione $T$ tra funzioni reali di variabile
reale:

\[(T(f))(x):= ~\frac {1}{2} f(2x)~+~\sin x.\]

\begin{enumerate}

\item  Si provi che $T$ \'e una contrazione sullo spazio metrico delle funzioni
continue e limitate:
 
\noindent $\left({\cal CB} (\R ) , \sup_{x\in\R }\vert f(x) -g (x)\vert\right)$.

\item Si provi che l'unico punto fisso $Tf=f$ in tale spazio \'e una funzione
$2\pi$-periodica e dispari.

\item Si provi che la serie $\sum_{m=0}^\infty  2^{-m}\sin (2^m x)$ converge
uniformemente ad $f$.

\item Si provi che la serie di funzioni 

$$S_N(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-N}^N e^{inx}\int_0^{2\pi} f(y)e^{-iyn} dy$$

\noindent   converge uniformemente ad $f$. 

\end{enumerate}


\end{enumerate}
\end{document}



\center{3-4 novembre 1999}}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Studiare la continuit\'a  delle seguenti funzioni tra spazi
normati:

\begin{enumerate}

\item $Id :
\left(\CC^1 [0;1], \int |f|+\int |f^\prime |\right)\to 
\left(\CC [0;1], \sup|f|\right)$

\item Data $f:\R^n\to \R$, se $h\in\R^n $, si definisce $\tau_h f$ la funzione 
 $x\mapsto f(x+h)$, e quindi si definisce l'operatore $\tau f$ da $\R^n$ a valori
funzioni dato dall'associazione $\tau f:h\mapsto \tau_h f$:

- data $f$ limitata  $\tau f :\R^n \to
\left({\cal B} (\R^n ), \sup|f|\right)$, ove  
${\cal B} (\R^n )$ sono le funzioni limitate.

- data $f$ limitata uniformemente continua e limitata

 $\tau f:\R^n\to
\left({\cal UCB} (\R^n ), \sup|f|\right)$, ove ${\cal UCB} (\R^n )$ sono le funzioni
uniformemente continue e limitate.


- data $f$ continua e con norma $L^p$ finita $\tau f:\R\to
\left({\cal C} (\R ), |f|_{L^p}\right)$.

\item $P:
\left(\CC [0;1], \int |f|\right)\to 
\left(\CC [0;1], \sup|f|\right)$,

 ove $Pf$ \'e la funzione 
$x\mapsto \int_0^x f^2(s)ds$.

\end{enumerate}



\item Si consideri la successione di numeri 
$\alpha_n = \frac12\left(1-\frac 1{(n+2)^2}\right)$,
$n\in\N$. Si definisca per ricorrenza la seguente successione di sottoinsiemi di 
 $[0;1]$:


\[
\left\{ 
{\begin{array}{ll}
C_{_0} ~=~[0;1]& \\
 ~& ~\\
C_{_{n+1}}~=~\alpha_n C_{_n }\cup \left( (1-\alpha_n )+\alpha_n C_{_n }\right) & \\
\end{array}}
\right. 
\]

\begin{enumerate}

\item Si provi che ogni $C_{_n}$ \'e unione disgiunta di un numero finito di intervalli
chiusi. Detta $\lambda_n$ la somma delle loro lunghezze si provi che converge ad un
numero strettamente compreso tra $0$ e $1$.

\item Provare che la successioni delle funzioni caratteristiche dei $C_{_n}$ \'e di
Cauchy rispetto alla seminorma $\int_0^1 |f(x)|dx$.









\end{enumerate}
\end{document}






