%\documentclass[twoside,italian,a4paper]{article}
\message{esercizi di analisi II}
%\usepackage{babel}
%\usepackage{a4} 
%\usepackage{amssymb}
\documentstyle [12pt]{article}
\newcommand{\rem}[1]{}  %per commentare intere porzioni di testo
\def\text#1{{\mathrm{#1}}}              %% testo nelle formule
%\newcommand{\R}{{\mathbb R}} 
\newcommand{\R}{{\bf R}}            %% numeri reali
%\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} 
\newcommand{\Q}{{\bf Q}}            %% numeri razionali
%\newcommand{\N}{{\mathbb N}} 
\newcommand{\N}{{\bf N}}            %% naturali
%\newcommand{\C}{{\mathbb C}} 
\newcommand{\C}{{\bf C}}            %% complessi
\newcommand{\CC}{{\mathcal C}}           %% funzioni continue
\renewcommand{\H}{{\mathcal H}}         %% misura di Hausdorff
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}           %% frontiera ridotta
\newcommand{\Z}{{\mathbf Z}}            %% interi
\renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}}  %% epsilon
\renewcommand{\phi}{{\varphi}}          %% phi
\newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme
\renewcommand{\:}{{\!\,:\,}}            %% : delle funzioni o negli insiemi
\renewcommand{\d}{{\,\text{d}}}         %% differenziale negli integrali
\newcommand{\diffsim}{\Delta}           %% differenza simmetrica
\def\bea{\begin{eqnarray*}}
\def\eea{\end{eqnarray*}}
\newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]}
\newcommand{\sys}[1]{\left\{\begin{array}{l}#1\end{array}\right.}
\newcommand{\sysar}[1]{\left\{\begin{array}{lcl}#1\end{array}\right.}
\newcommand{\PreserveBackslash}[1]{\let\temp=\\#1\let\\=\temp}
\let\PBS=\PreserveBackslash
\font\pic=cmr7


%\documentstyle [12pt]{article}
%\pagestyle{empty}

\topmargin=-2cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\textwidth=16.6cm
\textheight=25cm


\begin{document}

\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 
\centerline{Anno Accademico 2003-2004} 
\centerline{Laurea specialistica in Informatica} 

\centerline{R.Stasi, V.M. Tortorelli}

\bigskip

\centerline{IV foglio di esercizi} 

\centerline{dal 17 marzo 2004 al 24 marzo}

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 1  Trovare i punti di massimo o di minimo relativo e calcolare  
i valori di massimo relativo e minimo relativo, 
delle seguenti funzioni sui domini rispettivi: 
\[\begin{array}{ll}
&f(x,y)=\frac{x^4 +2x^3y}{x^4 +y^4}~, ~~y-x^2=0~
;~~f(x,y)= \sin((x-2)^2+y^2)~, ~~~ (1-x)^3 +y^2=0~;~\\
&\\
&f(x,y)={x^2 +6xy +3y^2}~,~~x^2+y^2 -2xy=\frac 1{(x+y-2)^2}~;~~\\
&\\
&f(x,y,z)= e^{-(x^2-y+z^2)}~,~~\frac {x^2}{4}+y^2+3z^2\le 1;\\
&\\
&f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2~,~~
\left\{\begin{array}{ll}(z+1)^2-y^2 -(x+3)^2=0&\\
z^2+y^2-(x+1)^2=0&\\
z>-3&\\
\end{array}\right. ~;\\
&\\
&f(x,y,z)= (x+1)^2 +(y-\varepsilon)^2 +z ~,~~
\left\{\begin{array}{ll}(1-x)z=(1+x)y&\\
z^2+y^2-(x+1)^2=0&\\
z>-3&\\
\end{array}\right. ~;\\
&\\
&f(x,y,z)= x^2+2y^2+z^2~, ~~\hbox{\rm tetraedro~di vertici}~ 
(-1,-1,-1),~(1,-1,-1),~ (0,1,-1 ),\\
& (0,0,1);~~\\
&\\
&f(x,y,z)= x^2+2y^2+z^2~, ~~\max\{|x+2|, |y+3|, |z+4|\}=1~;~~\\
&\\
&f(x,y,z,w)=x^2+\frac {y^2}2 + \frac {z^2}3+\frac {w^2}4,~
\left\{\begin{array}{ll}(x+y+z+w)^2 + (x-y+z-w)^2=1 &\\
(x-y-z+w)^2 + (x-y-z-w)^2=1&\\
\end{array}\right.\\
\end{array}\]

\medskip


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 2

\noindent a) - Se $u\in C^2 (\R^n )$ e 
$\triangle u =\sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 u}{\partial x_i^2} >0$ allora $u$ non ha
punti di massimo locale. 

\smallskip 

\noindent - ($*$) Se $u\in C^2 (\Omega )\cap C(\overline{\Omega})$, $\Omega$ 
aperto limitato, 
se $\triangle u \geq 0$ allora $\max_{\overline{\Omega}} u=\max_{\partial\Omega}u$.

\noindent(Si consideri $x_0$ punto di massimo su $\bar \Omega$ 
di $u$, $\max_{{\Omega}} u -\delta \geq\max_{\partial\Omega}u$, $\varepsilon$ per cui 
 $\varepsilon dist (x_0, \partial\Omega)^2 =\varepsilon\min_{\partial\Omega}\vert x_0 -x\vert^2 \le \delta$ e quindi 
e $v(x)=u(x) +\varepsilon |x-x_0|^2$. Si applichi il
precedente punto a $v$.)

\smallskip

\noindent - Si deduca che se $\triangle u\geq 0$ allora $u$ non ha punti di massimo
locale stretto.

\medskip

\noindent b) - Si provi che se $\Omega$ \'e un aperto limitato, 
$f\in C(\R^n )$, $g\in C(\R^n )$ allora vi \'e {\it al pi\'u una} 
funzione $u$ definita su $\overline{\Omega }$ che risolve:

\[\left\{\begin{array}{ll}
\triangle u(x) ~=~f(x)& ~~x\in\Omega\\
& \\
u(x)~=~g(x) &~~x\in\partial\Omega\\
&\\
u\in C(\overline{\Omega })\cap C^2 (\Omega ) & ~~\\
\end{array}\right.\] 

\noindent - ($*$) Si provi che per l' eventuale soluzione si ha:
$ \max_{\overline{\Omega}} |u|~\le ~\max_{\partial{\Omega}} |g| ~+~\frac {({\rm
diam}\Omega )^2}{2n} \max_{\overline{\Omega}} |f|.$

\medskip

\noindent{\pic NOTA: Si pu\'o provare: - se $\scriptstyle{\Omega}$ \'e un connesso aperto, $\scriptstyle{
u\in C^2 (\Omega )\cap C(\overline{\Omega })}$,
 $\scriptstyle{\triangle u\geq 0}$,
allora se $\scriptstyle{u}$ assume massimo in $\scriptstyle{\overline{\Omega}}$ 
 lo assume  $\scriptstyle{solo}$ sul
 $\scriptstyle{\partial\Omega}$ o $\scriptstyle{u}$ \'e costante.

\noindent- se $\scriptstyle{\Omega}$ \'e un connesso aperto, 
$\scriptstyle{u\in C^2 (\Omega )}$ , $\scriptstyle{\triangle u=0}$,
 e $\scriptstyle{u}$ non \`e costante, allora  non 
assume ne massimi ne minimi locali interni in 
$\scriptstyle{\Omega}$.}



\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\noindent ESERCIZIO n. 3 Utilizzando l'unicit\`a della soluzione provata
 nel precedente esercizio si trovino  tutte le soluzioni delle equazioni:

\[\left\{\begin{array}{ll}
\triangle u(x,y) ~=~0& ~x^2 +y^2 <1\\
& \\
u(x,y)~=~\left(\frac {xy}{x^2 +y^2}\right)^2&~x^2+y^2 =1\\
&\\
u\in C(\overline{\Omega })\cap C^2 (\Omega ) & ~\Omega=\{ x^2+y^2<1\}\\
\end{array}\right.
\left\{
\begin{array}{ll}
\triangle u(x,y) ~=~0& ~\max\{|x|,|y|\} <\pi\\
& \\
u(x,y)~=~\sin x\cos y &~\max\{|x| ,|y|\} =\pi\\
&\\
u\in C(\overline{\Omega })\cap C^2 (\Omega ) & ~\Omega=\{ \max\{|x|,|y|\} <\pi\}\\
\end{array}\right.\]


\hfill {\pic NOTA: Si cerchi una funzione del tipo
 $\scriptstyle{\varphi(y)\sin x}$.}
%  \varphi^{\prime\prime} =\varphi, \varphi (\pi)=\varphi (-\pi )=-1$






\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 4

\noindent a) Sia  $f:\Omega\subset\R^n\to \R$
 una funzione strettamente convessa, ove $\Omega$ \`e un aperto convesso. 
Si dimostri che $f$ ha al pi\`u un estremale interno a $\Omega$. 
Nel caso si tratterebbe di un  massimo o di un minimo? 


\noindent b) Utilizzando il fatto che una funzione convessa a valori reali,
 definita su un chiuso $C$ limitato convesso \`e continua si provi che se
 $C=\bar\Omega$, con $\Omega$ aperto convesso, allora il massimo di $f$ \`e assunto su
$\partial\Omega$.

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 5 Si disegnino sommariamente e si
 descrivano come cammini parametrici 
gli insiemi definiti dalle seguenti condizioni:
 $x^2 -y=0$, $x^2 +y^2 -4=0$, $x^2 -y^3=0$, $dist((x,y),(1,0))dist((x,y)(-1,0))=1$ {\pic (elevare al quadrato,
 semplificare ed usare coordinate polari)}, 

\noindent $ (*)~x^3 +y^3 -3xy=0$. 

\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 6 Si descriva l'immagine dei seguenti cammini:
 $(t\cos t, t \sin t )$, $t\mapsto (t\cos\frac 1t , t\sin\frac 1t )$, 
$t\mapsto(\cos t, \sin t , t)$.

 


\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.7 Si esprimano come immagini di superficie parametriche i seguenti insiemi
 $\{ (x,y,z)\in \R^3:~ x^2+2y^2+3z^2 =1\}$, 
$\{ (x,y,z)\in \R^3:~ x^2+y^2-3z^2 =1\}$, 
$\{ (x,y,z,w)\in \R^4: ~ x^2 +y^2 =1,~ z^2+ w^2 =1\}$.

\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.8 Si descriva in forma parametrica la superficie di rivoluzione attorno all'asse
delle $z$ di una cmmino nel semipiano $y=0,~x>0$.



\medskip



\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.9  \noindent a) Trovare il massimo volume di un parallelepipedo rettangolo 
 inscritto nell'elissoide ${x^2}/{a^2}+{y^2}/{b^2}+{z^2}/{c^2}=1$.

\noindent b) Trovare l'elissoide ${x^2}/{a^2}+
{y^2}/{b^2}+{z^2}/{c^2}=1$ di volume massimo per cui $a+b+c=M$, $a,~b,~ c>0$.

\noindent c) Trovare la minima distanza tra gli insiemi 
$\{ x^2 +y^2 =1 \} \cap \{ y z=x z\}$ e 

\noindent $\{z- y=0\}\cap\{x+y+z=1  \}$. 

\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent (*) ESERCIZIO n. 10  \`E vero che il minimo valore di 
 $f(x,y)= (x^2+y^2)^2 -x^2+y^2$ su $(x-R)^2+(y-R)^2=2R^2$ \`e sempre $0$? Giustificare
la risposta.




\medskip


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.11 Dato un vettore 
$x=(x_1,\dots\,x_n)$, tale che $x_i>0$ 
per ogni $i$ e $\sum_{i=1}^nx_i=1$, si definisce $H(x)=-\sum_{i=1}^nx_i\log x_i$.
Determinare:
\medskip

\noindent a) Il vettore che massimizza $H$.

\noindent b) Il vettore che massimizza $H$ sotto il vincolo 
$\sum_{i=1}^n x_i y_i=c$, dove $y=(y_1,\dots\,y_n)$ \`e un vettore qualsiasi.

\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.12 In un mercato duopolistico ci 
sono $n$ aziende che producono lo stesso bene, 
ognuna in quantit\`a $y_i$. 
Il prezzo $p$ del bene dipende dalla quantit\`a totale 
prodotta $\sum_{i=1}^n y_i$. 
Ogni azienda decide di produrre 
la quantit\`a $y_i$ che massimizza il proprio profitto:
$$
f_i(y_i)=p\left(\sum_{i=1}^n y_i\right)y_i-c y
$$

\noindent dove $c$ \`e il costo unitario di produzione del bene.

\noindent Determinare in quali condizioni il mercato \`e in equilibrio 
(ogni azienda, cio\`e, non intende modificare la propria produzione $y_i$).

\noindent Dimostrare che 
per $n\rightarrow\infty$ il prezzo di equilibrio $p$ converge a $c$.

\medskip





\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.13 Sia $\bf O$ l'insieme delle matrici ortogonali $n\times n$, 
e sia $f:{\bf O}\mapsto \R$ definita da $f(A)=\textup{tr } A$. 
Si dimostri che esiste un solo punto di massimo e un solo punto di minimo
 e si calcolino il massimo e il minimo di $f$. 






\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.14 Si identifichi  
lo spazio $M$ delle matrici $n\times n$ con $\R^{n^2}$, 
ordinando in modo lessicografico gli elementi delle matrici.


\noindent a) Sia $t\mapsto A(t)$ una funzione regolare da $]-1;1[$ in $M$ tale che
$A(0)=A$ e $A^\prime (0)=I$, ove $I$ \`e la matrice dell'identit\`a. Si trovi lo
sviluppo di Taylor del primo ordine di $A(t)$ in $t=0$.

\noindent b) Se $\Sigma=\{ det A=1\}$ si provi che i vettori $X\in M$ 
tangenti ad $A\in \Sigma$ sono quelli per cui $\textup{tr }  A^{-1} X=0$.

\noindent c) Si consideri la funzione $f:\bf M\mapsto \R$ definita da $f(A)=\det A$. 
Si dimostri che il gradiente di $f$ in $A$, se $f(A)\not=0$, \`e dato da:

$$
\nabla f(A)=\det\! A \, (^tA)^{-1}, 
$$

\noindent dove $^tA$ indica la trasposta di $A$.
\medskip


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.15 

\noindent a) Si calcoli la derivata $\frac {dy}{dx}$ nei seguenti casi:

\[ x^3y-y^3x= a^2~,~~\sin xy - e^{xy}  -x^2y=0~,~~x^y=y^x~.\]

\noindent b) Si calcolino le derivate specificate per le seguenti relazioni:

\[\frac {x^2}{a^2} +{y^2}{b^2} +{z^2}{c^2}=1 :~\frac{\partial z}{\partial x}~;~~
 z^3+3xyz=a^3:~\frac{\partial z}{\partial x}~;~~e^z-xy^2 z=0 :
~\frac{\partial z}{\partial y}.\]

\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n.16 

\noindent a) Sia $f(x,y)={{x^2-y^2}\choose{2xy}}=(u,v)$: 
si studi l'immagine di $f$, si studi al variare di $(u,v)$ come sono fatte le fibre
$f^{-1} \{ (u,v)\}$. Si determini le regioni ove il differenziale \`e invertibile e
quindi le regioni ove la funzione \`e invertibile.



\noindent b) Identificando il piano complesso $\C$ con $\R^2$, $z=x+iy\sim (x,y)$,
 si considerino
$f(z)=z^n,~ n\in\N$ e $g(z)=e^z$ come funzioni di due variabili. Se ne studino 
le immagini e come sono fatte le fibre $f^{-1} \{ w\}$, 
$g^{-1} \{ w\}$. Si determini le regioni ove i differenziali sono invertibili e
quindi le regioni ove le funzioni sono invertibili.

\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\noindent ESERCIZIO n.17


\noindent a) Sia 
$f(x,y)= {{x^2}\choose{\! y}}$, $g(x,y)= {{x^3 +xy}\choose{y}}$: se ne studino 
le immagini.  Si studino  le immagini delle regioni ove i differenziali non sono
invertibili e come sono fatte le fibre $f^{-1} \{ (u,v)\}$, 
$g^{-1} \{ (u,v)\}$. 



\noindent b) Sia $f(x,y)={{e^{x+y} -e^{x-y} -k^2x}\choose{x+y}}=(u,v),~ k\in\R$: 
si studi l'immagine di $f$ e al variare di $(u,v)$ come sono fatte le fibre
$f^{-1} \{ (u,v)\}$. Si determini un intorno di $(x,y)=(0,0)$ in cui $f$ \'e iniettiva,
 ed quindi si calcolino
 (relativamente a tale intorno) $\frac {\partial x}{\partial u} (0,0)$ e 
$\frac{\partial^2 y}{\partial u\partial v} (0,0)$.



\noindent c) Sia $f:\R^5\to \R^2 ~~f(x_1 ,x_2,y_1,y_2,y_3)=
{{2e^{x_1} +x_2y_1 -4y_2 +3}\choose{x_2\cos x_1 -6x_1 +2y_1 -y_3}}$: si verifichi che
 in un intorno di $(0, 1,3,2,7)$ la regione determinata dalle equazioni $f=(0,0)$ \'e
un grafico rispetto alle variabili $(y_1 , y_2 ,y_3)$ e si calcoli 
$\frac {\partial x_1}{\partial y_2} (3,2,7)$. \'E possibile esplicitare $(x_1 ,x_2 )$
in funzione di $(y_1 , y_2 ,y_3)$ in ogni punto di $\{ f=(0,0)\}$?

\medskip


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


\noindent ESERCIZIO n.18

\noindent a) Sia 
$f(x,y)= {{x^2 -y^2}\choose{xy}}=(u,v)$: si trovi un intorno di
$P_0=(1,1)$ in cui $f$ \'e iniettiva.

\noindent b) Si determini lo sviluppo di Taylor al secondo ordine,
 centrato in $U_0= (0,1) =f(1,1)$, dell'inversa della funzione
 $f$ ristretta a
tale intorno.



\noindent  (*) c) Dato $U$ 
si consideri la successione di vettori $P_{n+1} =d f^{-1} (U_0)(U- f(P_n )) + P_n
=: G(P_n )$. Si trovino $\alpha$ e $\delta$ per cui se $|U-U_0|\le \alpha$ la funzione
$G$ risulti una contrazione della palla chiusa di centro $P_0$ e raggio $\delta$ in 
se stessa. Si calcoli per tali $U$ il limite di $f(P_n)$ per $n\to \infty$.  Si
calcoli $P_2$ nel caso in esame.

\medskip




\end{document}



 


\item Studiare la continuit\'a  delle seguenti funzioni tra spazi
normati:
\begin{enumerate}
\item $Id: \left(\CC [0;1], \sup |f|\right)\to \left(\CC [0;1], \int|f|\right)$

\item  $Id: \left(\CC [0;1], \int |f|\right)\to \left(\CC [0;1], \sup |f|\right)$

\item $Id: \left(\CC [0;1], \int |f|\right)\to \left(\CC [0;1], \sqrt{\int|f|^2}\right)$


\item $\frac{d}{dx} :
\left(\CC^1 [0;1], \sup |f|\right)\to \left(\CC [0;1], \int|f|\right)$

\item $\frac{d}{dx} :
\left(\CC^1 [0;1], \int |f|+\int |f^\prime |\right)\to 
\left(\CC [0;1], \sup|f|\right)$


\end{enumerate}


\item Per $n\in\Z$ sia  $e_n (t)~=~\frac {1}{\sqrt 2\pi} e^{int}$,
 $t\in [0;2\pi ]$. Per $f\in\CC ([0;2\pi ],\C)$  si ponga 
$c_n =(f \cdot e_n)_{L^2[0;2\pi ]}$.

\begin{enumerate}
%\item Se $k\in\N$, $k\le 1$, e $f\in\CC^k([0;2\pi ],\C)$ 

\item Se $f(t) =t$ si studi la convergenza uniforme nei sottoinsiemi 
di $[0; 2\pi ]$ della
serie di funzioni $S_N =\sum_{n=-N}^N e_n c_n$.

\item Se $f(t)= t^2 -2\pi t$ si  studi la convergenza uniforme nei 
sottoinsiemi di $[0; 2\pi ]$ della
serie di funzioni $S_N =\sum_{n=-N}^N e_n c_n$.
\end{enumerate}

\item Si consideri la seguente trasformazione $T$ tra funzioni reali di variabile
reale:

\[(T(f))(x):= ~\frac {1}{2} f(2x)~+~\sin x.\]

\begin{enumerate}

\item  Si provi che $T$ \'e una contrazione sullo spazio metrico delle funzioni
continue e limitate:
 
\noindent $\left({\cal CB} (\R ) , \sup_{x\in\R }\vert f(x) -g (x)\vert\right)$.

\item Si provi che l'unico punto fisso $Tf=f$ in tale spazio \'e una funzione
$2\pi$-periodica e dispari.

\item Si provi che la serie $\sum_{m=0}^\infty  2^{-m}\sin (2^m x)$ converge
uniformemente ad $f$.

\item Si provi che la serie di funzioni 

$$S_N(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-N}^N e^{inx}\int_0^{2\pi} f(y)e^{-iyn} dy$$

\noindent   converge uniformemente ad $f$. 

\end{enumerate}


\end{enumerate}
\end{document}



\center{3-4 novembre 1999}}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Studiare la continuit\'a  delle seguenti funzioni tra spazi
normati:

\begin{enumerate}

\item $Id :
\left(\CC^1 [0;1], \int |f|+\int |f^\prime |\right)\to 
\left(\CC [0;1], \sup|f|\right)$

\item Data $f:\R^n\to \R$, se $h\in\R^n $, si definisce $\tau_h f$ la funzione 
 $x\mapsto f(x+h)$, e quindi si definisce l'operatore $\tau f$ da $\R^n$ a valori
funzioni dato dall'associazione $\tau f:h\mapsto \tau_h f$:

- data $f$ limitata  $\tau f :\R^n \to
\left({\cal B} (\R^n ), \sup|f|\right)$, ove  
${\cal B} (\R^n )$ sono le funzioni limitate.

- data $f$ limitata uniformemente continua e limitata

 $\tau f:\R^n\to
\left({\cal UCB} (\R^n ), \sup|f|\right)$, ove ${\cal UCB} (\R^n )$ sono le funzioni
uniformemente continue e limitate.


- data $f$ continua e con norma $L^p$ finita $\tau f:\R\to
\left({\cal C} (\R ), |f|_{L^p}\right)$.

\item $P:
\left(\CC [0;1], \int |f|\right)\to 
\left(\CC [0;1], \sup|f|\right)$,

 ove $Pf$ \'e la funzione 
$x\mapsto \int_0^x f^2(s)ds$.

\end{enumerate}



\item Si consideri la successione di numeri 
$\alpha_n = \frac12\left(1-\frac 1{(n+2)^2}\right)$,
$n\in\N$. Si definisca per ricorrenza la seguente successione di sottoinsiemi di 
 $[0;1]$:


\[
\left\{ 
{\begin{array}{ll}
C_{_0} ~=~[0;1]& \\
 ~& ~\\
C_{_{n+1}}~=~\alpha_n C_{_n }\cup \left( (1-\alpha_n )+\alpha_n C_{_n }\right) & \\
\end{array}}
\right. 
\]

\begin{enumerate}

\item Si provi che ogni $C_{_n}$ \'e unione disgiunta di un numero finito di intervalli
chiusi. Detta $\lambda_n$ la somma delle loro lunghezze si provi che converge ad un
numero strettamente compreso tra $0$ e $1$.

\item Provare che la successioni delle funzioni caratteristiche dei $C_{_n}$ \'e di
Cauchy rispetto alla seminorma $\int_0^1 |f(x)|dx$.









\end{enumerate}
\end{document}






