%\documentclass[twoside,italian,a4paper]{article}
\message{esercizi di analisi II}
%\usepackage{babel}
%\usepackage{a4} 
%\usepackage{amssymb}
\documentstyle [12pt]{article}
\newcommand{\rem}[1]{}  %per commentare intere porzioni di testo
\def\text#1{{\mathrm{#1}}}              %% testo nelle formule
%\newcommand{\R}{{\mathbb R}} 
\newcommand{\R}{{\bf R}}            %% numeri reali
%\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} 
\newcommand{\Q}{{\bf Q}}            %% numeri razionali
%\newcommand{\N}{{\mathbb N}} 
\newcommand{\N}{{\bf N}}            %% naturali
%\newcommand{\C}{{\mathbb C}} 
\newcommand{\C}{{\bf C}}            %% complessi
\newcommand{\CC}{{\mathcal C}}           %% funzioni continue
\renewcommand{\H}{{\mathcal H}}         %% misura di Hausdorff
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}           %% frontiera ridotta
\newcommand{\Z}{{\mathbf Z}}            %% interi
\renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}}  %% epsilon
\renewcommand{\phi}{{\varphi}}          %% phi
\newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme
\renewcommand{\:}{{\!\,:\,}}            %% : delle funzioni o negli insiemi
\renewcommand{\d}{{\,\text{d}}}         %% differenziale negli integrali
\newcommand{\diffsim}{\Delta}           %% differenza simmetrica
\def\bea{\begin{eqnarray*}}
\def\eea{\end{eqnarray*}}
\newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]}
\newcommand{\sys}[1]{\left\{\begin{array}{l}#1\end{array}\right.}
\newcommand{\sysar}[1]{\left\{\begin{array}{lcl}#1\end{array}\right.}
\newcommand{\PreserveBackslash}[1]{\let\temp=\\#1\let\\=\temp}
\let\PBS=\PreserveBackslash
\font\pic=cmr7


%\documentstyle [12pt]{article}
%\pagestyle{empty}

\topmargin=-2cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\textwidth=16.6cm
\textheight=25cm


\begin{document}

\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 
\centerline{Anno Accademico 2003-2004} 
\centerline{Laurea specialistica in Informatica} 

\centerline{V.M. Tortorelli}

\bigskip

\centerline{VI foglio di esercizi} 

\centerline{dal 28 aprile 2004 al % maggio 2004}


\noindent------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



\noindent{\pic Nota: alcuni dei seguenti esecizi sono tratti da ``A problem book in
Mathematical Analysis'' di G.N.Berman, M.I.R. 1977. Altri testi da cui attingere 
esercizi sono per esempio:

\noindent  A.Faedo,
L.Modica, C.R.Grisanti: Analisi I Esercizi; J.P.Cecconi, L.C.Piccinini, G.Stampacchia:
Esercizi e problemi di Analisi matematica; F.Conti: Calcolo; F.Conti, P.Acquistapace,
A.Savojni: Analisi Matematica; R.Courant, F.John: Calculus and Analysis voll. 1-2; M.Giaquinta,
G.Modica Analisi Matematica voll.1-2-3 etc. etc. .}

\noindent------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\noindent ESERCIZIO n. 1 Trovare la soluzione generale delle seguenti equazioni:
\medskip


$\displaystyle{  u^\prime + 2u= 4x,~
u^\prime +u =\cos x ,~u^\prime +au= e^{mx},~ 
u^\prime -u\sin x=\sin 2x~,~~u^\prime +2xu= xe^{-x^2},~}$
\medskip

$\displaystyle{  u^\prime
+\frac{1-2x}{x^2} u=1 ~(x>0)~,~~u^\prime -u= \frac{(1+x^2)e^x}{x} ~(x<0)~,~~
u^\prime -\frac{2xu}{1+x^2}=1+x^2 ~,~~}$
\medskip

$\displaystyle{u^\prime + \frac 2x u=\frac{\sin x}{x}~(x\not= 0)~,~~ u^\prime +\frac {nu}{x+1}= e^x(x+1)^n ~(n\in{\bf N}),}$
\medskip

$\displaystyle{xu^\prime =1~,~~xu^\prime +2u =\sin x
~,~~x(u^\prime -u)=(1+x^2)e^x ~,~~(x+1) u^\prime -{nu}= e^x(x+1)^{n+1}.}$



\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
ESERCIZIO n. 2 L'equazione differenziale $u^\prime =f(x,u)$ \`e equivalente  
a dire che si cerca un cammino che sia un grafico $x\mapsto (x, u(x))$  lungo il quale si 
annulla la forma differenziale 
\smallskip

\centerline{$ -f(x,p)dx +dp$.} 
\smallskip

\noindent La funzione inversa dovrebbe verificare l'equazione 
$x^\prime = \frac 1{f(x,u)}$. Tracciare  i grafici approssimativi 
delle soluzioni dei seguenti problemi 
riducendosi ad equazioni lineari: 
\medskip

$\displaystyle{~u^\prime=\frac 1{2x-
u}~,~~u(1)=1~;~~~u^\prime=\frac 1{2x-
u^2}~,~ u(1)=-1 ~;~~
u^\prime=\frac 1{x + e^u}~, ~~u(0)=3~;~~}$






\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent ESERCIZIO n. 3


\noindent a) Un massa puntiforme di grandezza $m$, in quiete all'istante iniziale $t_0$, 
si muove di moto rettilineo soggetta ad una forza proporzionale, 
per un fattore $\kappa$, all'incremento di tempo dall'istante iniziale, ed ad una forza
 di resistenza del mezzo porporzionale, per un fattore $\chi$, alla velocit\`a. 
Si espliciti la velocit\`a in funzione del tempo e dei parametri.


\noindent b) Un corpo ad un instante $t_0$ ha temperatura pari a quella dell'ambiente
circostante eguale a $\Theta_0$. Il corpo viene riscaldato a tasso
costante, pari a $\delta^2$, e disperde calore nell'ambiente in modo 
proporzionale, per un fattore $\gamma^2$, 
alla differenza tra la sua temperatura e quella dell'ambiente considerata costante. Si
espliciti la dipendenza dal tempo della temperatura del corpo. 


%\noindent c) Si trovi come varia la corrente in una bobina con resistenza eguale ad
%$R$, induttanza $L$ e forza elettromotrice $E(t)=\sin \omega t$.


\vfill
\vfill
\eject
%\centerline{$\scriptstyle
%\hbox{\rm Calcolo differenziale ed Integrazione, 
%II foglio dal 9 ottobre al  12 ottobre 2001}$ \hfill 2}

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent ESERCIZIO n. 4  Si risolvano le seguenti equazioni differenziali a variabili
separabili:



$\displaystyle{ u^\prime =\frac {1-2x}{y^2}~,~~xu^\prime +u=u^2 ~~(x>0)~,~~u^\prime
+\sqrt{\frac {1-u^2}{1-x^2}}=0~,~~u^\prime=\frac{1+y^2}{1+x^2}~,~~u^\prime
=100^{x+u}.}$



\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent ESERCIZIO n. 5 Si risolvano le seguenti equazioni differenziali per
{\it sostituzione}:


$\displaystyle{u^\prime =3+\cos (x-u)~,~~u^\prime=\frac{u+x-1}{(x+u)^2+1}~,~~
u^\prime= \frac {6x + \frac ux}{2 -\log x}~,~~u^\prime=-\frac{e^x \cos u
+3u}{3x-e^x\sin u}.}$



\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent ESERCIZIO n. 6  Si risolvano le seguenti equazioni differenziali
``omogenee'':



$\displaystyle{u^\prime=\frac{ux}{x^2+2u^2},~~  u^\prime= e^{\frac ux}+\frac ux ,~~
xu^\prime=u(\log  u-\log x) ,~~ (3y^2+3xy+x^2) dx= (x^2+2xy)dy~,}$



$\displaystyle{u^\prime=\frac{(1+u)^2}{xu +x -x^2}.}$



\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent ESERCIZIO n. 7  Si risolvano le seguenti equazioni differenziali di
Bernoulli:



$\displaystyle{u^\prime= 1+ 3u +u^2 ~,~~
u^\prime=xu +\sqrt{u}\cos x ~,~~u^\prime =u\tan x -u^2\cos x~,~~u^\prime=u-u^2\cos x ~,}$


$\displaystyle{
u^{n -1}(\alpha\cdot u^\prime +u)= x ~ (n\in{\bf N},~ \alpha\in {\bf R}).}$


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent ESERCIZIO n. 8  Si risolvano le seguenti equazioni differenziali riducendosi
ad un'equazione omogenea o lineare per sostituzione e cambiamento di variabili:



$\displaystyle{ u^\prime=2\frac {(u+2)^2}{(x+u-1)^2} ~,~~
u^\prime =\frac{2u-x-5}{2x-u+4}~,~~u^\prime=\frac{x+u-2}{u-x-4}~,~~
 u^\prime=\frac {u^2-x}{2u(x+1)} ~,}$



$\displaystyle{u^\prime =\frac {u^3}{2(xu^2-x^2)}}$

\medskip
\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent (*) ESERCIZIO n.9 Trovare almeno un grafico per cui la distanza dall'origine
di ogni retta tangente ad un suo punto \`e uguale alla distanza dall'origine della
retta normale nello stesso punto. 
%y=ax+b ha distanza dall'origune |b|/\sqrt{1+a^2}




\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent ESERCIZIO n. 10 Si risolvano le seguenti equazioni differenziali del secondo
ordine:


$\displaystyle{ u^{\prime\prime}=x+\sin x,~ u^{\prime\prime}={\rm artan} x,~
u^{\prime\prime}=u^\prime +x,~u^{\prime\prime}=\frac {u^{\prime}}{x} +x,~
(u^{\prime\prime})^2= u^\prime,~2xu^\prime u^{\prime\prime}=(u^{\prime})^2+1,~
}$

$\displaystyle{u^{\prime\prime}= u,~
u^{\prime\prime}=u^{13},~u^{\prime\prime}=2uu^\prime,~u^{\prime\prime}u+ (u^\prime
)^2=x,~
u^{\prime\prime}+\frac{u^\prime}{x}  -\frac u{x^2}=0,~u^{\prime\prime}+u^\prime ,~
u^{\prime\prime}=\frac {u^\prime (e^u-1)}x,
}$



$\displaystyle{u^{\prime\prime}=\frac u{1+(u^\prime)^2}.}$

\medskip


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent ESERCIZIO n. 11 Si trovino le soluzioni dei seguenti problemi ai dati
iniziali:

$\displaystyle{u^{\prime\prime}=\frac{2xu^\prime}{1+x^2} ,~ u(0)=1,~ u^\prime (0)=3;~
u^{\prime\prime}=\frac {u^\prime}x +\frac{x}{u^\prime},~u(1)=1 ,~u^\prime (1)=1;~
}$

$\displaystyle{
u^{\prime\prime}= xu^\prime +u +1 ,~ u(0)=1~, u^\prime (0)=0.}$

\vfill
\vfill
\eject
%\centerline{$\scriptstyle
%\hbox{\rm Calcolo differenziale ed Integrazione, 
%II foglio dal 9 ottobre al  12 ottobre 2001}$\hfill 3}

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent ESERCIZIO n.12 Trovare tutte le soluzioni delle seguenti equazioni lineari a
cofficienti costanti o la soluzione dei problemi ai dati iniziali:

\noindent $\displaystyle{u^{\prime\prime} -2u^\prime +u=0 ,~u(1)=0,~
u^\prime (1)=e~;~~u^{\prime\prime}-3u^\prime +2u=0,~u(0)=1,~u^\prime(0)=0~; }$
(Faedo-Modica)

\noindent $\displaystyle{u^{\prime\prime}+u^\prime -2u=0~;~~
4u^{\prime\prime}-20u^\prime +25 u=0~;~~ u^{\prime\prime}-4u^\prime +3u=0
,~u(0)=6,~u^\prime(0)=10 ~.~~}$(Berman)

\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent ESERCIZIO n.13 Trovare tutte le soluzioni delle seguenti equazioni lineari a
cofficienti costanti o la soluzione dei problemi con dati iniziali o al bordo:

\noindent $\displaystyle{u^{\prime\prime}-3u^\prime +2u=x^2 ~;~~
u^{\prime\prime}+2u^\prime +10u=x^3 -1~;~~2u^{\prime\prime}+u^\prime -u=2e^x ~;~~
u^{\prime\prime}+2u^\prime +5u=\sin x~;~~
}$

\noindent $\displaystyle{u^{\prime\prime}-3u^\prime +2u=f(x)}$ nei seguenti
casi:

$\displaystyle{ 10e^{-x},~ 3e^{2x},~ 2\sin x,~ 2x^3 -30,~ 3x+5\sin 2x,~
2e^x -e^{-2x},~ {\rm sinh}~x ~;}$
\smallskip

\noindent $\displaystyle{u^{\prime\prime}+u=\frac 1{\cos x};
}$
\smallskip

\noindent $\displaystyle{u^{\prime\prime} +u = \sin 2x ,~ x\in [0;\pi] ,~u(0)=u(\pi
)=0. }$



\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent ESERCIZIO n.14  Se $y\not\equiv 0$  \`e soluzione
di:~~~$\displaystyle{u^{\prime\prime}(x) + u^\prime (x)f(x) +u(x) g(x) =0,~
}$ allora

$$z(x)~=c y(x)\int^x \frac {e^{-\int^t f(s)ds}}{y^2(t)} dt $$

\noindent \`e soluzione della stessa.

\medskip
\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent  ESERCIZIO n.15  Si trovino le soluzioni delle seguenti equazioni:

\medskip

\centerline{ $\displaystyle{u^{\prime\prime} -\tan x \cdot u^\prime +2u =0,~
u^{\prime\prime} -u^\prime +\frac yx=0 .}$}

\medskip
\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent  ESERCIZIO n.16  Si trovi lo sviluppo di Taylor in $0$ della soluzione di
$u^{\prime\prime} = x^{101} u$.




\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent ESERCIZIO n.17 Si risolvano le seguenti equazioni di tipo Eulero:
\medskip

\noindent $\displaystyle{ 
x^2u^{\prime\prime}+xu^\prime -u=x ~(x>0),~ x^2 u^{\prime\prime} -9x u^\prime +21 u=0,~
u^{\prime\prime} -\frac {u^\prime}{x} + \frac u{x^2}=\frac 2x.}$



\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent ESERCIZIO n.18 Si studino le seguenti equazioni di tipo Riccati:
\medskip

\noindent $\displaystyle{ u^\prime =\frac 2{x^2} - u^2 ,~~u^\prime =u^2 -ux +1.
}$

\medskip
\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent (*) ESERCIZIO n.19 Si trovino tutte le soluzioni $(u;\lambda)$, ove le incognite
sono: $u$ funzione definita su $[0;\pi]$, e $\lambda$ numero reale, dei problemi:
\medskip

$\displaystyle{u^{\prime\prime}=\lambda\cdot u ,~ u(0)=u(\pi )=0;~~
u^{\prime\prime}=\lambda\cdot u ,~ u(0)=u(\pi );~~}$

$\displaystyle{
u^{\prime\prime}=\lambda\cdot u ,~ u(0)=u(\pi ),~u^\prime(0)=u^\prime (\pi );~
 u^{\prime\prime}=\lambda\cdot u ,~ u(0)=u(\pi )=u^\prime(0)=u^\prime (\pi )=0.}$
\medskip

\medskip
\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent  ESERCIZIO n.20 Si trovino tutte le soluzioni $(x,y)\mapsto u(x,y)$ 
delle seguenti equazioni differenziali alle derivate parziali:

\[y\frac{\partial u}{\partial x}-x\frac{\partial u}{\partial y}=0~,~~
e^{-x}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=0~,~~
e^{y}\frac{\partial u}{\partial x}+2x\frac{\partial u}{\partial y}=0~,~~
\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}=1\]


\medskip
\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent  ESERCIZIO n.21 Si risolva, al variare di $\alpha$, l'equazione:
$
(y+\alpha x)\frac{\partial u}{\partial x}-(x+\alpha y)\frac{\partial u}{\partial y}=0.
$


\medskip
\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent  ESERCIZIO n.22 Ci si riferisce agli esercizi numero 2, 3,  del quarto 
foglio di esercizi.


\medskip
\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent  ESERCIZIO n.23 a- Si trovino tutte le soluzioni 
dell'equazione  
$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} (t,x) -
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (t,x)=0$

\noindent per cui $u(0,x)=\varphi (x)$ e $\frac{\partial u}{\partial t} (0,x)=\psi (x)$.

\noindent (*) b- Si trovino tutte le soluzioni 
dell'equazione  
$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} (t,x) -
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (t,x)=f(t,x)$

\noindent per cui $u(0,x)=\varphi (x)$ e $\frac{\partial u}{\partial t} (0,x)=\psi (x)$.

\medskip
\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\noindent  ESERCIZIO n.24 a- Si  considera l'equazione: (*)~ 
$\displaystyle{\frac{\partial u}
{\partial t} (t,x) -\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (t,x)=0}$

\noindent b- Si verifichi che per $\lambda\in {\bf C}$ le funzioni 
$e^{\lambda x}e^{\lambda^2 t}$ sono soluzioni.


\noindent b- Per ogni $\lambda\in {\bf C}$ si trovino tutte le soluzioni
 $\left(\frac{d }{d t}  -\lambda^2\right)^{k+1} \varphi(t)=0$ e 
 $\left(\frac{d^2 }{dx^2} - \lambda^2 \right)^{k+1}w(x)=0 $


\noindent c- Si mostri quindi che 


$\displaystyle{ u_{\lambda ,k}(t,x)=\left[\sum_{h=0}^k 
\left(\frac{d }{d t} - \lambda^2\right)^{k-h}
\left(\frac{d^2 }{d x^2} - \lambda^2\right)^{h}\right] 
t^kx^k e^{\lambda^2 t + \lambda x}, ~~(\lambda \not=0)}$

\noindent sono soluzioni di $(*)$. Che succede per $\lambda =0$?


\end{document}






