Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2003-2004 Laurea specialistica in Informatica R.Stasi, V.M. Tortorelli I prova scritta finale, 4 giugno 2004

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I PARTE: si dia la risposta alle seguenti domande senza giustificazione:

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1.a- Si calcoli l’area del parallelogramma di vertici (1, 1, 1), (2, 3, 4), (5, 6, 7), (6, 8, 10).

R.: 1.b- Si disegni approssimativamente il sottoinsieme del piano definito dalla condizione

|x|^{\frac{1}{3}} + |y|^{\frac{1}{3}} ≤ 1. R.:

1.c- Si dica se la funzione (s, t) ↦ (s, s^{2} − t^{2}) è iniettiva e se è surgettiva.

R.: 2.a- Si dica se esiste il limite per (x, y) → (0, 0) di \frac{1 − cos(xy)}{x^{2} + |y|}, e in caso affermativo lo si

calcoli. R.:

2.b- Si calcoli il polinomio di Taylor di secondo grado con centro (0, 0) della funzione artan(xy) − sin^{2} x. R.:

2.c- Si trovino i punti di massimo assoluto xy su x^{2} + 4y^{2} ≤ 1.

R.: 3 - Si scriva l’elemento d’area della superficie definita implicitamente da e^{x+y+z} = 1 + x.

R.: 4- Si dica se la funzione \frac{1}{x^{4}+y^{4}} ha integrale finito su y^{2} ≤ x^{4} ≤ 5.

R.: 5- Si calcoli il lavoro della forma differenziale \frac{3x^{2}y}{y^{2}+x^{6}} dx − \frac{x^{3}}{y^{2}+x^{6}} dy sulla curva t ↦ (cos t, sin t).

R.: 6- Si calcolino tutte le soluzioni del sistema x′ = y, y′ = x − y + t.

R.:

Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2003-2004 Laurea specialistica in Informatica R.Stasi, V.M. Tortorelli

I prova scritta finale, 4 giugno 2004

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II PARTE: si risolvano i seguenti problemi dando in modo esauriente le opportune giustificazioni: ————————————————————————————————————————–

1- Si consideri la successione di funzioni di due variabili reali : f_{n}(x, y) = (\frac{(x−n)^{2}+(y−n)^{2}}{2n^{2}} )^{n}. a: si studi la convergenza puntuale della successione f_{n} e si calcoli il limite. b: si provi che vi è convergenza uniforme sulle regioni limitate. c: si studi se vi sono regioni non limitate in cui vi è convergenza uniforme.

2-

a: Si calcolino le soluzioni del sistema: \{ \begin{matrix}x′(t) = x(t) − y(t) \\ y′(t) = −x(t) + z(t) \\ z′(t) = y(t) + z(t) \end{matrix}

b: Si descrivano le traiettorie (immagini delle soluzioni) che giacciono su piani determinando quali sono questi piani.

c: Si studi l’esistenza e l’unicità su tutto R^{2} della soluzione per: \{ \begin{matrix}(x − y)\frac{∂u}{∂x}(x, y) − 2x\frac{∂u}{∂y}(x, y) = 0 \\ u(x, 1 − x) = (3x − 1)^{2} \end{matrix}