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\message{esercizi di cam}
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\def\text#1{{\mathrm{#1}}}              %% testo nelle formule
%\newcommand{\R}{{\mathbb R}} 
\newcommand{\R}{{\bf R}}            %% numeri reali
%\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} 
\newcommand{\Q}{{\bf Q}}            %% numeri razionali
%\newcommand{\N}{{\mathbb N}} 
\newcommand{\N}{{\bf N}}            %% naturali
%\newcommand{\C}{{\mathbb C}} 
\newcommand{\C}{{\bf C}}            %% complessi
\newcommand{\CC}{{\mathcal C}}           %% funzioni continue
\renewcommand{\H}{{\mathcal H}}         %% misura di Hausdorff
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}           %% frontiera ridotta
\newcommand{\Z}{{\mathbf Z}}            %% interi
\renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}}  %% epsilon
\renewcommand{\phi}{{\varphi}}          %% phi
\newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme
\renewcommand{\:}{{\!\,:\,}}            %% : delle funzioni o negli insiemi
\renewcommand{\d}{{\,\text{d}}}         %% differenziale negli integrali
\newcommand{\diffsim}{\Delta}           %% differenza simmetrica
\def\bea{\begin{eqnarray*}}
\def\eea{\end{eqnarray*}}
\newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]}
\newcommand{\sys}[1]{\left\{\begin{array}{l}#1\end{array}\right.}
\newcommand{\sysar}[1]{\left\{\begin{array}{lcl}#1\end{array}\right.}
\newcommand{\PreserveBackslash}[1]{\let\temp=\\#1\let\\=\temp}
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\pagestyle{empty}

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\oddsidemargin=-0.5cm
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\begin {document}

\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 
\centerline{Anno Accademico 2003-2004} 
\centerline{Laurea specialistica in Informatica} 
\centerline{R.Stasi, V.M. Tortorelli}
\medskip

\centerline{I prova scritta finale, 4 giugno 2004} 


\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\centerline{ I PARTE: si dia la risposta alle seguenti domande senza giustificazione:}

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\medskip

\noindent  1.a- Si calcoli l'area del parallelogramma di 
 vertici $(1,1,1),~ (2,3,4),~(5,6,7),~
(6,8,10)$.
\medskip

R.:


\medskip

\noindent 1.b- Si disegni approssimativamente il sottoinsieme del piano definito dalla condizione

 $\vert x\vert^{\frac 13} + \vert y\vert^{\frac 13}\le 1$.
%dello spazio 
% $x^2+y^2+z^2 -\sqrt{x^2+y^2}+1=0$.


R.:


\medskip

\medskip

\medskip


\noindent 1.c- Si dica se la funzione $(s,t)\mapsto (s, s^2- t^2)$ \`e iniettiva e se \`e surgettiva.


\medskip

R.:

\medskip 


\noindent 2.a- Si dica se esiste il limite per $(x,y)\to (0,0)$ di $\displaystyle{ 
 \frac{ 1-\cos (xy)}{x^2+\vert y \vert}}$, e in caso affermativo lo si 

calcoli.

\medskip

R.:

\medskip

\noindent  2.b- Si calcoli il polinomio di Taylor di secondo grado con centro $(0,0)$ della funzione 
  
${\rm artan}(xy) - \sin^2 x$.


\medskip 

R.:

%Si consideri lo successione di funzioni definita da:

% $f_1(x)= xe^{-x^2}$, 
%$f_{n+1} (x)= \frac{1}{n+1} (nf_{n}(x) + f_1 (x-n))=\frac{1}{n+1} ( f_1(x) +f_1 (x-1) +\dots f_1 (x-n))$


\medskip 

\noindent 2.c- Si trovino i punti di massimo assoluto $xy$ su $x^2+4y^2\le 1$.
% di $xy+ xz+yz$ su $ 0\le z\le 1-x^2- 4y^2$.

\medskip

%Il punto $(1,\sqrt{2},1)$ verifica la condizione, 
%%$f_x (x,y,z)= 2xe^{x^2-y^2+z^2}-z$, 
%%$f_y (x,y,z)= -2ye^{x^2-y^2+z^2}$, 
%$f_z (x,y,z)= 2ze^{x^2-y^2+z^2}-x$ non si annulla nel punto 
%$(1,\sqrt{2}, 1)$ ove $f$ 
% \`e nulla. Quindi $z=z(x,y)$ \`e ben definita e 
% $\frac{\partial z}{\partial x}(1\sqrt{2})= -\frac {f_x(1,\sqrt{2}, 1)}
%{f_z(1,\sqrt{2}, 1)}$


R.: 
%$-1$

\medskip 


\noindent 3
%.a 
- Si scriva l'elemento d'area della superficie definita implicitamente da 
 $e^{x+y+z} =1+x$.


\medskip

R.:

\medskip

%\noindent 3.b - Si integri $\frac {1+x}{\sqrt{3x^2 +4x +2}}$ sulla regione bidimensionale definita da 

%$e^{x+y+z} =1+x,~y+z\geq \frac 12 +\log \frac 12 ,~x,~ y,~z\le 0$.

%% bidimensionale della frontiera della
%% regione definita dalle condizioni 
 
%%$z^2+y^2\le 1,~ z^2+x^2\le 1$


%\medskip 

%R.:


%\medskip

\noindent 4- Si dica se la funzione $\frac 1{x^4 +y^4}$ ha integrale finito 
su $y^2\le x^4\le 5$.

\medskip 
R.:

\medskip 


\noindent 5- Si calcoli il lavoro della forma differenziale 
$\frac {3x^2y}{y^2+x^6}dx-\frac {x^3}{y^2+x^6} dy$ sulla curva $t\mapsto (\cos t, \sin t)$.
  

\medskip

R.:

\medskip

\noindent 6- Si calcolino tutte le soluzioni del sistema 
$x^\prime =y,~ y^\prime =x-y +t$.

\medskip

R.:

\medskip

\vfill 
\eject


\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 
\centerline{Anno Accademico 2003-2004} 
\centerline{Laurea specialistica in Informatica} 
\centerline{R.Stasi, V.M. Tortorelli}
\medskip

\centerline{I prova scritta finale, 4 giugno 2004} 


\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\centerline{ II PARTE: si risolvano i seguenti problemi dando in modo esauriente 
le opportune giustificazioni:}

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\medskip


\noindent 1-  Si consideri la successione di funzioni di due variabili reali :
 $f_n (x,y) =\left( \frac{(x-n)^2 +(y-n)^2}{2n^2}\right)^n$.

\noindent {\bf a:} si studi la convergenza puntuale della successione $f_n$ e si 
calcoli il limite.

\noindent {\bf b:} si provi che vi \`e convergenza uniforme 
%studi la convergenza uniforme della successione $f_n$: 
%su tutto il piano, 
sulle regioni limitate.
% $x+y\geq \varepsilon >0$ ,~ 
%%$\vert x-y\vert \le k, 
% sulle regioni $x+y\le -\varepsilon <0 ,~ \vert x-y\vert \le k$. 
 
\noindent {\bf c:} si studi se vi sono regioni non limitate in cui vi \`e convergenza 
uniforme.

%si studi se vi \`e una regione $C$ contenuta nel semipiano 
% $x+y>0$ asintotica alla retta $y=-x$ per cui $f_n$ converge uniformemente su 
%$C$.
\medskip

\noindent 2- 

\noindent {\bf a:} Si calcolino le soluzioni 
%$\gamma (t-\tau , x, y, z)$ 
%$
%e^{Mt}
%\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)
%$ 
 del sistema: ~~ 
$\displaystyle{
\left\{\begin{array}{lll}
x^\prime (t)=x(t) -y(t)\\
y^\prime (t)=-x(t) + z(t)\\
z^\prime (t)=y(t) +z(t)\\
%x(0)=x, ~y(0)=y, ~z(0 )=z\\ 
 \end{array}\right.}$
\medskip

\noindent {\bf b:} Si descrivano le traiettorie (immagini delle soluzioni)
 che giacciono su piani 
 determinando quali sono questi piani.
%1,2,-1; (101), (1-1-1), (12-1)
\medskip

\noindent {\bf c:} Si studi l'esistenza e l'unicit\`a su tutto $\R^2$ della soluzione per:
~~$\displaystyle{
\left\{\begin{array}{lll}
(x-y)\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) - 2x\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=0~
%,~~{\bf R}^2
\\
%(x+z)\frac{\partial u}{\partial y} +
%(y+z)\frac{\partial u}{\partial z}=0\\  
\\
%u(x,y, 2x) =x+y\\ 
u(x,1-x)=(3x-1)^2\\ 
\end{array}\right.
}$

\end{document}