Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2003-2004 Laurea specialistica in Informatica R.Stasi, V.M. Tortorelli II prova scritta finale, 25 giugno 2004

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I PARTE: si dia la risposta alle seguenti domande senza giustificazione:

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1- Si calcoli l’area del triangolo di vertici (0, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4).

R.: 2.a- Si calcoli il limite per (x, y) → (0, 0), |x| ≤ y di \frac{x^{2} − y}{x^{2} + (y − 1)^{2} − 1}.

R.:

2.b- Si trovi il valore di massimo assoluto di x^{2}e^{y} su x^{2} + y^{2} ≤ 1.

R.: 3- Si calcoli il piano tangente a sin xyz + zx = 1 nel punto (1, 0, 1).

R.: 4- Si dica se l’area della superficie ottenuta ruotando attorno all’asse della x il luogo di zeri e^{z} − e^{−x^{2}} = 1 è finita o meno.

R.: 5- Si calcoli il limite per n → +∞ di: n ∫_{R} e^{−x^{2}} cos nxdx.

R.: 6- Si trovino tutte le soluzioni dell’equazione: u′′ − u′ − 2u = 3e^{−t}.

R.:

Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2003-2004 Laurea specialistica in Informatica R.Stasi, V.M. Tortorelli

II prova scritta finale, 25 giugno 2004

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II PARTE: si risolvano i seguenti problemi dando in modo esauriente le opportune giustificazioni: ————————————————————————————————————————–

1- Al variare di α > 0 si calcoli l’integrale della forma differenziale −\frac{y}{x^{2}+y^{2}} dx + \frac{x}{x^{2}+y^{2}} dy lungo il cammino x ↦ (x, (1 + x^{2})^{α} − 2), − ∞ < x < +∞.

2- a: Si provi che le sole soluzioni con simmetria radiale dell’equazione differenziale

\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = 0

definite su tutto R^{2} sono le funzioni costanti. b: Si trovi la soluzione del tipo u(x, y) = φ(ρ)ψ(θ) (ove ρ, θ sono le coordinate polari) del problema:

\{ \begin{matrix}\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = 0, x^{2} + y^{2} < 1 \\ u(x, y) = 2xy, x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}

[Si osservi che dovendo essere u differenziabile con continuità in (0, 0) deve essere φ′(0) = 0.]