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\message{esercizi di cam}
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\def\text#1{{\mathrm{#1}}}              %% testo nelle formule
%\newcommand{\R}{{\mathbb R}} 
\newcommand{\R}{{\bf R}}            %% numeri reali
%\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} 
\newcommand{\Q}{{\bf Q}}            %% numeri razionali
%\newcommand{\N}{{\mathbb N}} 
\newcommand{\N}{{\bf N}}            %% naturali
%\newcommand{\C}{{\mathbb C}} 
\newcommand{\C}{{\bf C}}            %% complessi
\newcommand{\CC}{{\mathcal C}}           %% funzioni continue
\renewcommand{\H}{{\mathcal H}}         %% misura di Hausdorff
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}           %% frontiera ridotta
\newcommand{\Z}{{\mathbf Z}}            %% interi
\renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}}  %% epsilon
\renewcommand{\phi}{{\varphi}}          %% phi
\newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme
\renewcommand{\:}{{\!\,:\,}}            %% : delle funzioni o negli insiemi
\renewcommand{\d}{{\,\text{d}}}         %% differenziale negli integrali
\newcommand{\diffsim}{\Delta}           %% differenza simmetrica
\def\bea{\begin{eqnarray*}}
\def\eea{\end{eqnarray*}}
\newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]}
\newcommand{\sys}[1]{\left\{\begin{array}{l}#1\end{array}\right.}
\newcommand{\sysar}[1]{\left\{\begin{array}{lcl}#1\end{array}\right.}
\newcommand{\PreserveBackslash}[1]{\let\temp=\\#1\let\\=\temp}
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\pagestyle{empty}

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\oddsidemargin=-0.5cm
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\begin {document}

\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 
\centerline{Anno Accademico 2003-2004} 
\centerline{Laurea specialistica in Informatica} 
\centerline{R.Stasi, V.M. Tortorelli}
\medskip

\centerline{II prova scritta finale, 25 giugno 2004} 


\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\centerline{ I PARTE: si dia la risposta alle seguenti domande senza giustificazione:}

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\medskip

\noindent 1- Si calcoli l'area del triangolo di vertici $(0,0,0,0)$, $(1,1,1,1)$, 
$(1,2,3,4)$.

%.a
%- Si disegni approssimativamente, tenendo presente la simmetria centrale,  
% il sottoinsieme del piano definito 
% dalla condizione 

%$x\tan\frac{1}{x^2+y^2}=y$



R.:




\medskip


%\noindent 1.b- Si dica se la funzione $(x, y, z)\mapsto (xy, yz, xz)$ \`e iniettiva 
%e se \`e surgettiva.


%\medskip

%R.:

%\medskip 


\noindent 2.a- Si calcoli il limite per $(x,y)\to (0,0),~ 
\vert x\vert\le y$ di $\displaystyle{ 
 \frac{ x^2 -y}{x^2 +(y-1)^2 -1}}$.

\medskip

R.:

\medskip

%\noindent  2.b- Si calcoli il polinomio di Taylor di quinto grado con centro $(0,0,0)$ della funzione 
  
%$z^2\tan xy$.


\medskip 


%Si consideri lo successione di funzioni definita da:

% $f_1(x)= xe^{-x^2}$, 
%$f_{n+1} (x)= \frac{1}{n+1} (nf_{n}(x) + f_1 (x-n))=\frac{1}{n+1} ( f_1(x) +f_1 (x-1) +\dots f_1 (x-n))$


\medskip 

\noindent 2.b- Si trovi il valore di massimo assoluto di $x^2 e^y$
 su $x^2+y^2\le 1$.
% di $xy+ xz+yz$ su $ 0\le z\le 1-x^2- 4y^2$.

\medskip

%Il punto $(1,\sqrt{2},1)$ verifica la condizione, 
%%$f_x (x,y,z)= 2xe^{x^2-y^2+z^2}-z$, 
%%$f_y (x,y,z)= -2ye^{x^2-y^2+z^2}$, 
%$f_z (x,y,z)= 2ze^{x^2-y^2+z^2}-x$ non si annulla nel punto 
%$(1,\sqrt{2}, 1)$ ove $f$ 
% \`e nulla. Quindi $z=z(x,y)$ \`e ben definita e 
% $\frac{\partial z}{\partial x}(1\sqrt{2})= -\frac {f_x(1,\sqrt{2}, 1)}
%{f_z(1,\sqrt{2}, 1)}$


R.: 
%$-1$

\medskip 


\noindent 3- Si calcoli il piano tangente a $\sin xyz +zx=1$ nel punto 
$(1,0,1)$.



\medskip

R.:

\medskip

%\noindent 3.b - Si integri $\frac {1+x}{\sqrt{3x^2 +4x +2}}$ sulla regione bidimensionale definita da 

%$e^{x+y+z} =1+x,~y+z\geq \frac 12 +\log \frac 12 ,~x,~ y,~z\le 0$.

%% bidimensionale della frontiera della
%% regione definita dalle condizioni 
 
%%$z^2+y^2\le 1,~ z^2+x^2\le 1$


%\medskip 

%R.:


%\medskip

\noindent 4- Si dica se l'area della superficie ottenuta ruotando 
attorno all'asse della $x$ il luogo di zeri $e^z-e^{-x^2}=1$ \`e finita o meno.



\medskip 
R.:

\medskip 


\noindent 5- Si calcoli il limite per $n\to+\infty$ di:~~ 
$\displaystyle{n\int_{\R} e^{-x^2}\cos nx dx}$.
 


%Si calcoli il lavoro della forma 
%$-\frac{y}{x^2+y^2} dx + \frac{x}{x^2+y^2}dy$ lungo il cammino
%$y\mapsto (\sqrt{1+y^2}, y),~ -\infty <y<+\infty$.

  

\medskip

R.:

\medskip

\noindent 6- Si trovino tutte le soluzioni dell'equazione: 
$u^{\prime\prime} -u^\prime -2u=3e^{-t}$.



\medskip

R.:

\medskip

\vfill 
\eject


\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 
\centerline{Anno Accademico 2003-2004} 
\centerline{Laurea specialistica in Informatica} 
\centerline{R.Stasi, V.M. Tortorelli}
\medskip

\centerline{II prova scritta finale, 25 giugno 2004} 


\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\centerline{ II PARTE: si risolvano i seguenti problemi dando in modo esauriente 
le opportune giustificazioni:}

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\medskip


\noindent 1-  Al variare di $\alpha>0$ si calcoli l'integrale della 
forma differenziale  
$-\frac{y}{x^2+y^2} dx + \frac{x}{x^2+y^2}dy$ lungo il cammino
  $x\mapsto (x, ({1+x^2})^\alpha- 2),~ -\infty <x<+\infty$.






% la successione di funzioni definita da:
%$f_1(x)= xe^{-x^2}$, 
%$f_{n+1} (x)= \frac{1}{n+1} (nf_{n}(x) + f_1 (x-n))=\frac{1}{n+1} 
%( f_1(x) +f_1 (x-1) +\dots f_1 (x-n))$

\medskip


%\noindent {\bf a:} si calcoli il limite per $n\to\infty$ di tale successione
%




\noindent 2- {\bf a:} Si provi che le sole soluzioni con simmetria radiale dell'equazione
 differenziale 

\centerline{$\displaystyle{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0}$} 

\noindent definite su tutto $\R^2$ sono le funzioni costanti.

\noindent {\bf b:} Si trovi {\it la  soluzione} del tipo 
$u(x,y)=\varphi (\rho )\psi (\theta)$ (ove $\rho ,~\theta $ sono le coordinate polari)
 del problema: 


\centerline{$\displaystyle{
\left\{\begin{array}{lll}
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0, ~~x^2+y^2<1\\
~\\
u(x,y) = 2xy, ~~ x^2+y^2=1\\ 
 \end{array}\right.}$}

\noindent [Si osservi che dovendo essere $u$ differenziabile con continuit\`a 
in $(0,0)$ deve essere $\varphi^\prime (0)=0$.]


%Si calcolino le soluzioni 
%%$\gamma (t-\tau , x, y, z)$ 
%%$
%%e^{Mt}
%%\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)
%%$ 
 %del sistema: ~~ 
%$\displaystyle{
%\left\{\begin{array}{lll}
%x^\prime (t)=x(t) -y(t)\\
%y^\prime (t)=-x(t) + z(t)\\
%z^\prime (t)=y(t) +z(t)\\
%x(0)=x, ~y(0)=y, ~z(0 )=z\\ 
% \end{array}\right.}$
%\medskip

%\noindent {\bf b:} Si descrivano le traiettorie (immagini delle soluzioni)
% che giacciono su piani 
% determinando quali sono questi piani.
%%1,2,-1; (101), (1-1-1), (12-1)
%\medskip

%\noindent {\bf c:} Si studi l'esistenza e l'unicit\`a su tutto $\R^2$ della soluzione per:
%~~$\displaystyle{
%\left\{\begin{array}{lll}
%(x-y)\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) - 2x\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=0~
%%,~~{\bf R}^2
%\\
%%(x+z)\frac{\partial u}{\partial y} +
%%(y+z)\frac{\partial u}{\partial z}=0\\  
%\\
%%u(x,y, 2x) =x+y\\ 
%u(x,1-x)=(3x-1)^2\\ 
%\end{array}\right.
%}$

\end{document}