Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2003-2004 Laurea specialistica in Informatica R.Stasi, V.M. Tortorelli III prova scritta finale, 16 luglio 2004

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I PARTE: si dia la risposta alle seguenti domande senza giustificazione:

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1- Si calcoli il volume elementare del parallelepipedo generato dall’origine di R^{5}, e dai vettori (1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 2, 1).

R.: 2- Si calcoli il polinomio di Taylor di quinto grado con centro (0, 0, 0) della funzione z^{2} tan xy.

R.: 3- Si calcoli il coseno dell’angolo tra le due superficie definite implicitamente da:

x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{24}{5}, z = x^{2} + 4y^{2} nel punto di intersezione (\sqrt{\frac{2}{5}}, −\sqrt{\frac{2}{5}}, 2).

R.:

4- Si calcoli ∫_{0<z=xy, x^{2}+y^{2}≤R^{2}} \frac{z}{x^{2} + y^{2}} dV ol_{2} .

R.:

5- Si calcoli lim_{n→∞} ∫_{R} \frac{dt}{1 + \frac{1}{n} + (t − n)^{2}}

R.: 6- Si trovi la soluzione del problema u′(x) = e^{u(x)+x}, u(0) = 0.

R.:

Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2003-2004 Laurea specialistica in Informatica R.Stasi, V.M. Tortorelli

III prova scritta finale, 16 luglio 2004

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II PARTE: si risolvano i seguenti problemi dando in modo esauriente le opportune giustificazioni: ————————————————————————————————————————–

1- Si trovi il valore massimo di xy + xz + yz su 0 ≤ z ≤ 1 − x^{2} − y^{2}.

2- Si consideri il problema di trovare un aperto connesso A e una u ∈ C^{1}(A):

\{ \begin{matrix}x\frac{∂u}{∂x} − y \frac{∂u}{∂y} = 0, (x, y) ∈ A \\ u(x, y) = g(x, y), x^{2} + y^{2} = 1, (x, y) ∈ A \end{matrix}

a: si provi che vi è un’unica soluzione del problema non estendibile per g(x, y) = (1−4x^{2}y^{2})^{\frac{1}{3}} .

b: si trovino due diverse soluzioni del problema (che non siano estendibili) per g(x, y) = (1 − 2xy)^{\frac{1}{3}} .