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\message{esercizi di cam}
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\def\text#1{{\mathrm{#1}}}              %% testo nelle formule
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\newcommand{\R}{{\bf R}}            %% numeri reali
%\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} 
\newcommand{\Q}{{\bf Q}}            %% numeri razionali
%\newcommand{\N}{{\mathbb N}} 
\newcommand{\N}{{\bf N}}            %% naturali
%\newcommand{\C}{{\mathbb C}} 
\newcommand{\C}{{\bf C}}            %% complessi
\newcommand{\CC}{{\mathcal C}}           %% funzioni continue
\renewcommand{\H}{{\mathcal H}}         %% misura di Hausdorff
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}           %% frontiera ridotta
\newcommand{\Z}{{\mathbf Z}}            %% interi
\renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}}  %% epsilon
\renewcommand{\phi}{{\varphi}}          %% phi
\newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme
\renewcommand{\:}{{\!\,:\,}}            %% : delle funzioni o negli insiemi
\renewcommand{\d}{{\,\text{d}}}         %% differenziale negli integrali
\newcommand{\diffsim}{\Delta}           %% differenza simmetrica
\def\bea{\begin{eqnarray*}}
\def\eea{\end{eqnarray*}}
\newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]}
\newcommand{\sys}[1]{\left\{\begin{array}{l}#1\end{array}\right.}
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\pagestyle{empty}

\topmargin=-2cm
\oddsidemargin=-0.5cm
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\begin {document}

\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 
\centerline{Anno Accademico 2003-2004} 
\centerline{Laurea specialistica in Informatica} 
\centerline{R.Stasi, V.M. Tortorelli}
\medskip

\centerline{III prova scritta finale, 16 luglio 2004} 


\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\centerline{ I PARTE: si dia la risposta alle seguenti domande senza giustificazione:}

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\medskip

\noindent 1- Si calcoli il volume elementare del parallelepipedo generato 
dall'origine di $\R^5$, e dai vettori $(1,1,1,1,1)$, $(1,2,1,1,1)$, $(1,1,1,2,1)$.

%.a
%- Si disegni approssimativamente, tenendo presente la simmetria centrale,  
% il sottoinsieme del piano definito 
% dalla condizione 

%$x\tan\frac{1}{x^2+y^2}=y$

\medskip

R.:


\medskip


%\noindent 1.b- Si dica se la funzione $(x, y, z)\mapsto (xy, yz, xz)$ \`e iniettiva 
%e se \`e surgettiva.


%\medskip

%R.:

%\medskip 




\noindent  2- Si calcoli il polinomio di Taylor di quinto grado con centro $(0,0,0)$ 
della funzione $z^2\tan xy$.


\medskip

R.:

\medskip 


%Si consideri lo successione di funzioni definita da:

% $f_1(x)= xe^{-x^2}$, 
%$f_{n+1} (x)= \frac{1}{n+1} (nf_{n}(x) + f_1 (x-n))=\frac{1}{n+1} ( f_1(x) +f_1 (x-1) +\dots f_1 (x-n))$


\medskip 

\noindent 3- Si calcoli il coseno dell'angolo tra le due superficie 
 definite implicitamente da:

 $x^2+y^2 +z^2=\frac {24}5$, $z=x^2+4y^2$ nel punto di intersezione 
 $(\sqrt{\frac 25}, -\sqrt{\frac 25},2)$.


\medskip

R.:

\medskip

%\noindent 3.b - Si integri $\frac {1+x}{\sqrt{3x^2 +4x +2}}$ sulla regione bidimensionale definita da 

%$e^{x+y+z} =1+x,~y+z\geq \frac 12 +\log \frac 12 ,~x,~ y,~z\le 0$.

%% bidimensionale della frontiera della
%% regione definita dalle condizioni 
 
%%$z^2+y^2\le 1,~ z^2+x^2\le 1$


%\medskip 

%R.:


%\medskip

\noindent 4- Si calcoli 
$\displaystyle\int_{0<z=xy,~ x^2+y^2\le R^2} 
\frac{z}{{x^2+y^2}} dVol_2$ .




\medskip 
R.:

\medskip 


\noindent 5- Si calcoli $\displaystyle{\lim_{n\to \infty}
\int_{\R} \frac {dt}{1+ \frac 1n + (t-n)^2} }$
 

  

\medskip

R.:

\medskip

\noindent 6- Si trovi la soluzione del problema  $u^\prime(x) =e^{u(x)+x},~ u(0)=0$.



\medskip

R.:

\medskip

\vfill 
\eject


\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 
\centerline{Anno Accademico 2003-2004} 
\centerline{Laurea specialistica in Informatica} 
\centerline{R.Stasi, V.M. Tortorelli}
\medskip

\centerline{III prova scritta finale, 16 luglio 2004} 


\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\centerline{ II PARTE: si risolvano i seguenti problemi dando in modo esauriente 
le opportune giustificazioni:}

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\medskip


\noindent 1-   Si trovi il valore massimo 
 di $xy+ xz+yz$ su $ 0\le z\le 1-x^2- y^2$.

\medskip

%Il punto $(1,\sqrt{2},1)$ verifica la condizione, 
%%$f_x (x,y,z)= 2xe^{x^2-y^2+z^2}-z$, 
%%$f_y (x,y,z)= -2ye^{x^2-y^2+z^2}$, 
%$f_z (x,y,z)= 2ze^{x^2-y^2+z^2}-x$ non si annulla nel punto 
%$(1,\sqrt{2}, 1)$ ove $f$ 
% \`e nulla. Quindi $z=z(x,y)$ \`e ben definita e 
% $\frac{\partial z}{\partial x}(1\sqrt{2})= -\frac {f_x(1,\sqrt{2}, 1)}
%{f_z(1,\sqrt{2}, 1)}$

 

\medskip 





% la successione di funzioni definita da:
%$f_1(x)= xe^{-x^2}$, 
%$f_{n+1} (x)= \frac{1}{n+1} (nf_{n}(x) + f_1 (x-n))=\frac{1}{n+1} 
%( f_1(x) +f_1 (x-1) +\dots f_1 (x-n))$

\medskip


%\noindent {\bf a:} si calcoli il limite per $n\to\infty$ di tale successione
%




\noindent 2- Si consideri il problema di trovare un aperto connesso $A$ e una $u\in C^1 (A)$:


\centerline{$\displaystyle{
\left\{\begin{array}{lll}
x\frac{\partial u}{\partial x} - y\frac{\partial u}{\partial y }=0, ~~(x,y)\in A\\
~\\
u(x,y) = g(x,y), ~~ x^2+y^2=1,~~ (x,y)\in A\\ 
 \end{array}\right.}$}


\noindent {\bf a:} si provi che vi \`e un'unica soluzione del problema non  estendibile
 per $g(x,y)=( 1-4x^2y^2)^{\frac 13}$. 

\medskip

\noindent {\bf b:} si trovino due diverse soluzioni del problema (che non siano 
estendibili) per  $g(x,y)=( 1-2xy)^{\frac 13}$. 






\medskip



\end{document}