Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2003-2004 Laurea specialistica in Informatica R.Stasi, V.M. Tortorelli IV prova scritta finale, 17 settembre 2004

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I PARTE: si dia la risposta alle seguenti domande senza giustificazione:

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1- Si calcoli la dimensione del nucleo (x, y, z, w) ↦ (x + y + z, y + z + w, z + w + x, z + 2w).

R.: 2- Dire se esiste il limite di \frac{tan(x^{2} + y^{2}) + cos^{2} z − 1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} per (x, y, z) → (0, 0, 0).

R.: 3- Si calcoli il massimo della funzione x^{2}y^{2}z^{2} sull’insieme definito da \sqrt{|x|}+2\sqrt{|y|}+3\sqrt{|z|} ≤ 1.

R.: 4- Si calcoli l’area della superficie ottenuta tracciando i segmenti congiungenti l’origine (0, 0, 0) con i punti della curva (t cos t, t sin t, t), 0 ≤ t ≤ 1.

R.: 5- Dire se il seguente integrale generalizzato è finito: ∫_{x^{2}+y^{2}≤z^{4}} \frac{dxdydz}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2}} .

R.: 6- Si trovino le soluzioni di: u′′(x) + u′(x) + u(x) = e^{x}, u(0) = u(1) = 0

R.:

Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2003-2004 Laurea specialistica in Informatica R.Stasi, V.M. Tortorelli

IV prova scritta finale, 17 settembre 2004

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II PARTE: si risolvano i seguenti problemi dando in modo esauriente le opportune giustificazioni: ————————————————————————————————————————–

Siano I ⊆ R un intervallo, limitato o meno, f : (x, y) ∈ I × R ↦ f(x, y) una funzione per cui dato y ∈ R ∃ min_{x∈I} f(x, y) := g(y) e si ponga C(y) =: {x ∈ I : f(x, y) = g(y)}.

a: Per I = [0; 1] si mostri un esempio in cui g non risulta derivabile in qualche punto, pur essendo f differenziabile infinite volte.

[Si consideri il sopragrafico di g in termini di quello di f]

b: - Se y ↦ f(x, y) è continua si provi che: o(1) ≥ g(y + h) − g(y), per h → 0

- se poi esiste \frac{∂f}{∂y} si provi: h · \frac{∂f}{∂y} (x, y) + o(h) ≥ g(y + h) − g(y), per h → 0 e x ∈ C(y)

c: Se f è continua su I × R, (x_{n}, y_{n}) → (x, y) ∈ I × R e x_{n} ∈ C(y_{n}) si provi che x ∈ C(y).

d: Si assuma che I = [a; b] sia limitato e chiuso.

- Si provi che se f è continua su I × R anche g lo è su R;

[Si usi giustificatamente l’uniforme comtinuità di f sui sottoinsiemi limitati di I×R ]

- (*) se poi vi è \frac{∂f}{∂y} continua allora g ha derivata “in avanti” eguale al minimo di \frac{∂f}{∂y} su C(y):

∃(lim_{h→0^{+}} \frac{g(y+h)−g(y)}{h}:=) \frac{d^{+}}{dy} min_{x} f(x, y) = min_{x∈C(y)} \frac{∂f}{∂y} (x, y)

[Ci si riduca ad usare il teorema del valor medio, uniforme continuità, sottosuccessioni e il risultato del terzo punto]

e: Si mostri, anche con una semplice esemplificazione grafica, che vi sono f differenziabili infinite volte su R × R per cui g non è continua né a destra né a sinistra.

(*)La pur breve soluzione presenta difficoltà tecniche elevate rispetto a quanto svolto nel corso.