Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2003-2004 Laurea specialistica in Informatica R.Stasi, V.M. Tortorelli V prova scritta finale, 13 gennaio 2005

————————————————————————————————————————–

I PARTE: si dia la risposta alle seguenti domande senza giustificazione:

————————————————————————————————————————–

1. Si calcoli la dimensione dello spazio delle 3-forme lineari alternanti in R^{5} che si annullano sulla terna (1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1).

R.:

2. Si determini lo spazio tangente nel punto (1, 1, 1, 1) al sottoinsieme di R^{4} definito dall’equazione (xyzw − 1)^{2} + (xy − zw)^{2} = 0.

R.:

3. Si dica su quali intervalli di R^{2} la successione di funzioni cos \frac{x^{2}}{n} converge uniformemente. R.:

4- Si dica se la funzione \frac{1}{x^{4}+y^{4}+z} ha integrale (in senso generalizzato) finito sulla superficie x^{3} + y^{3} + 1 = z, x ≥ 0, y ≥ 0.

R.: 5- Si calcoli il lavoro della forma differenziale xdx+ydy −zdz sulla curva t ↦ (t^{2}, t^{3}, t), t ≥ 0.

R.: 6- Si calcolino tutte le soluzioni del sistema x′′ = x + y, y′′ = x′ + y′.

R.:

Complementi di Analisi Matematica Anno Accademico 2003-2004 Laurea specialistica in Informatica R.Stasi, V.M. Tortorelli

V prova scritta finale, 13 gennaio 2005

————————————————————————————————————————–

II PARTE: si risolvano i seguenti problemi dando in modo esauriente le opportune giustificazioni: ————————————————————————————————————————–

1- a: Si studi la convergenza della serie di funzioni ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{1 + |t^{2n} − n|} al variare di t in R. Si

provi che per ogni ε > 0 la convergenza è uniforme su |t| ≥ 1 + ε .

b: Si studi analogamente la serie di funzioni ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{1 + |x^{2n} + y^{2n} − n|} con (x, y) in R^{2}, trovando

l’unione delle regioni ove vi è convergenza uniforme.

2- a: Si trovino tutte le soluzioni di φ′(t) = sin φ(t)

b: Determinare quali rette vengono intersecate una solo volta da ognuna delle curve su cui la forma differenziale xdx + dy è identicamente nulla.

c: Si trovino tutte le soluzioni (x, y) ↦ u(x, y) della seguente equazione differenziale: \frac{∂u}{∂x} − x\frac{∂u}{∂y} = sin u