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\message{esercizi di cam}
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\def\text#1{{\mathrm{#1}}}              %% testo nelle formule
%\newcommand{\R}{{\mathbb R}} 
\newcommand{\R}{{\bf R}}            %% numeri reali
%\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} 
\newcommand{\Q}{{\bf Q}}            %% numeri razionali
%\newcommand{\N}{{\mathbb N}} 
\newcommand{\N}{{\bf N}}            %% naturali
%\newcommand{\C}{{\mathbb C}} 
\newcommand{\C}{{\bf C}}            %% complessi
\newcommand{\CC}{{\mathcal C}}           %% funzioni continue
\renewcommand{\H}{{\mathcal H}}         %% misura di Hausdorff
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}           %% frontiera ridotta
\newcommand{\Z}{{\mathbf Z}}            %% interi
\renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}}  %% epsilon
\renewcommand{\phi}{{\varphi}}          %% phi
\newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme
\renewcommand{\:}{{\!\,:\,}}            %% : delle funzioni o negli insiemi
\renewcommand{\d}{{\,\text{d}}}         %% differenziale negli integrali
\newcommand{\diffsim}{\Delta}           %% differenza simmetrica
\def\bea{\begin{eqnarray*}}
\def\eea{\end{eqnarray*}}
\newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]}
\newcommand{\sys}[1]{\left\{\begin{array}{l}#1\end{array}\right.}
\newcommand{\sysar}[1]{\left\{\begin{array}{lcl}#1\end{array}\right.}
\newcommand{\PreserveBackslash}[1]{\let\temp=\\#1\let\\=\temp}
\let\PBS=\PreserveBackslash
\font\pic=cmr7


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\pagestyle{empty}

\topmargin=-2cm
\oddsidemargin=-0.5cm
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\begin {document}

\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 
\centerline{Anno Accademico 2003-2004} 
\centerline{Laurea specialistica in Informatica} 
\centerline{R.Stasi, V.M. Tortorelli}
\medskip

\centerline{V prova scritta finale, 13 gennaio 2005} 


\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\centerline{ I PARTE: si dia la risposta alle seguenti domande senza giustificazione:}

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\medskip

\noindent  1. Si calcoli la dimensione dello spazio delle 
$3$-forme lineari alternanti in $\R^5$ che si annullano sulla terna 
 $(1,0,0,0,0),~ (0,0,1,0,0),~ (0,0,0,0,1)$.
\medskip

R.:


\medskip




\medskip 


\noindent 2. Si determini lo spazio tangente nel punto $(1,1,1,1)$ al sottoinsieme di $\R^4$ 
 definito dall'equazione $ (xyzw-1)^2 + (xy -zw)^2 =0$.



\medskip

R.:

\medskip

\noindent 3. Si dica su quali intervalli di $\R^2$ la successione di funzioni 
 $\cos \frac {x^2}n$ converge uniformemente.


\medskip

R.:

\medskip

%\noindent 3.b - Si integri $\frac {1+x}{\sqrt{3x^2 +4x +2}}$ sulla regione bidimensionale definita da 

%$e^{x+y+z} =1+x,~y+z\geq \frac 12 +\log \frac 12 ,~x,~ y,~z\le 0$.

%% bidimensionale della frontiera della
%% regione definita dalle condizioni 
 
%%$z^2+y^2\le 1,~ z^2+x^2\le 1$


%\medskip 

%R.:


%\medskip

\noindent 4- Si dica se la funzione $\frac 1{x^4+y^4 +z}$ ha integrale (in senso generalizzato)  finito 
sulla superficie $x^3 +y^3 +1 =z, ~x\geq 0,~ y\geq 0$.

\medskip 
R.:

\medskip 


\noindent 5- Si calcoli il lavoro della forma differenziale 
$ xdx+y dy -z dz$ sulla curva $t\mapsto (t^2, t^3 ,t), ~t\geq 0$.
  

\medskip

R.:

\medskip

\noindent 6- Si calcolino tutte le soluzioni del sistema 
$x^{\prime\prime} =x+y,~ y^{\prime\prime} =x^\prime +y^\prime $.

\medskip

R.:

\medskip

\vfill 
\eject


\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 
\centerline{Anno Accademico 2003-2004} 
\centerline{Laurea specialistica in Informatica} 
\centerline{R.Stasi, V.M. Tortorelli}
\medskip

\centerline{V prova scritta finale, 13 gennaio 2005} 


\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\centerline{ II PARTE: si risolvano i seguenti problemi dando in modo esauriente 
le opportune giustificazioni:}

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\medskip


\noindent 1- {\bf a:} Si studi la convergenza della serie di funzioni 
$\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{1+\vert t^{2n} -n\vert}}$ 
 al variare di $t$ in $\R$. Si provi che per ogni $\varepsilon >0$ la convergenza \`e 
 uniforme su $\vert t\vert \geq 1+\varepsilon$ .
\medskip

\noindent {\bf b:} Si studi analogamente la serie di funzioni
$\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{1+\vert x^{2n}+ y^{2n} -n\vert}}$
 con $(x,y)$ in $\R^2$, trovando l'unione delle regioni ove vi \`e convergenza  
uniforme.


% Si consideri la successione di funzioni di due variabili reali :
% $f_n (x,y) =\left( \frac{(x-n)^2 +(y-n)^2}{2n^2}\right)^n$.

%\noindent {\bf a:} si studi la convergenza puntuale della successione $f_n$ e si 
%calcoli il limite.

%\noindent {\bf b:} si provi che vi \`e convergenza uniforme 
%%studi la convergenza uniforme della successione $f_n$: 
%%su tutto il piano, 
%sulle regioni limitate.
%% $x+y\geq \varepsilon >0$ ,~ 
%%%$\vert x-y\vert \le k, 
%% sulle regioni $x+y\le -\varepsilon <0 ,~ \vert x-y\vert \le k$. 
 
%\noindent {\bf c:} si studi se vi sono regioni non limitate in cui vi \`e convergenza 
%uniforme.

%%si studi se vi \`e una regione $C$ contenuta nel semipiano 
%% $x+y>0$ asintotica alla retta $y=-x$ per cui $f_n$ converge uniformemente su 
%%$C$.
\medskip

\noindent 2- {\bf a:} Si trovino tutte le
 soluzioni di $\varphi^\prime (t)
=\sin \varphi (t)$


\medskip

\noindent {\bf b:} Determinare quali rette vengono intersecate una solo volta 
da ognuna delle curve su cui la forma differenziale  $xdx +dy$ \`e identicamente nulla.

\medskip

\noindent {\bf c:} Si trovino tutte le soluzioni $(x,y)\mapsto u(x,y)$
 della seguente equazione differenziale:



\centerline{ $\frac{\partial u}{\partial x} -x\frac{\partial u}{\partial y}=\sin u$}


%\noindent {\bf a:} Si calcolino le soluzioni 
%%$\gamma (t-\tau , x, y, z)$ 
%%$
%%e^{Mt}
%%\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)
%%$ 
% del sistema: ~~ 
%$\displaystyle{
%\left\{\begin{array}{lll}
%x^\prime (t)=x(t) -y(t)\\
%y^\prime (t)=-x(t) + z(t)\\
%z^\prime (t)=y(t) +z(t)\\
%%x(0)=x, ~y(0)=y, ~z(0 )=z\\ 
% \end{array}\right.}$
%\medskip

%\noindent {\bf b:} Si descrivano le traiettorie (immagini delle soluzioni)
% che giacciono su piani 
% determinando quali sono questi piani.
%1,2,-1; (101), (1-1-1), (12-1)
%\medskip

%\noindent {\bf c:} Si studi l'esistenza e l'unicit\`a su tutto $\R^2$ della soluzione per:
%~~$\displaystyle{
%\left\{\begin{array}{lll}
%(x-y)\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) - 2x\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=0~
%%,~~{\bf R}^2
%\\
%%(x+z)\frac{\partial u}{\partial y} +
%%(y+z)\frac{\partial u}{\partial z}=0\\  
%\\
%u(x,y, 2x) =x+y\\ 
%u(x,1-x)=(3x-1)^2\\ 
%\end{array}\right.
%}$

\end{document}