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\renewcommand{\d}{{\,\text{d}}}         %% differenziale negli integrali
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\begin {document}



\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 

\centerline{V.M. Tortorelli}

\centerline{C.L.S. Informatica, A.A. 2003/04}


\centerline{Appunti della prima lezione: 18 febbraio 2004}


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Il sistema dei numeri reali $\R$: 
 corpo, ordinato, archimedeo (i numeri naturali non sono superiormente limitati)
 e completo (i maggioranti di un sottoinsieme non vuoto e 
limitato superiormente hanno un minimo), da un modello della retta orientata con 
un origine e un'unit\`a di misura.

\smallskip 

{\bf 1) $\R^n$:} Gli spazi delle coppie, triple, o in generale, dato un numero naturale $n$, 
di $n$-ple  ordinate di 
numeri reali (rispettivamente indicati con $\R^2, ~\R^3, \R^n$),  danno 
un modello del piano, dello spazio del ``continuo geometrico'' 
$n$-dimensionale, con un sistema di riferimento privilegiato, e
 una  struttura che permette di valutare gli angoli piani, la distanza tra due 
 punti, i ``volumi'' etc. con numeri reali. 
\smallskip

\noindent {\bf Struttura Lineare}: la scelta di un'origine 
evidenzia due trasformazioni geometriche base: 
dilatazioni (di centro l'originee) e traslazioni (identificate con i punti dello spazio) 
 che sono rese algebricamente in $\R^n$ 
dalle operazioni di prodotto delle componenti per un 
numero  e somma per componenti (distributiva, commutativa ed associativa)

$(x,y)+(a,b)=_{\rm def.} (x+a, y+b)~\in \R^2, 
 ~\lambda (a, b)=_{\rm def.} (\lambda a, \lambda b)\in\R^2$

$(x,y \dots z)+(a,b\dots c)=_{\rm def.} (x+a, y+b\dots z+c), 
 ~\lambda (a, b\dots c)=_{\rm def.} (\lambda a, \lambda b \dots \lambda c)
\in\R^n$

\noindent Per questo motivo gli elementi di $\R^n$ verranno chiamati 
sia {\it punti} che {\it vettori}. 
I vettori che individuano le ``direzioni coordinate''
 $(1, 0\dots ,~ 0)$, $\dots (0,\dots ,~1)$ 
sono rispettivamente denotati con $\e_1$, $\dots \e_n$. 

\smallskip
 
\noindent {\bf Coordinate lineari} 
La convenzione di disegnare gli assi coordinati del piano 
cartesiano tra loro perpendicolari non \`e 
rilevante  rispetto alla sola 
 struttura lineare.  Per esempio e si considerano 
 $P$ e $Q$ {\it non allineati} con l'origine 
 ogni punto del piano $(x,y)$ si potr\`a scrivere come $sP +tQ$ ({\it regola del parallelogramma})
 e $(s,t)$ 
danno le coordinate del punto rispetto al nuovo sistema di riferimento 
 dato da $P$ e $Q$ e si riottiene $\R^2$.


\noindent {\bf Struttura metrica}:  La sola struttura lineare  permette di formalizzare e quindi dimostrare 
il teorema di Talete. 
Ma non permette di confrontare distanze in direzioni diverse. Ispirandosi al ``teorema di Pitagora'' 
si definisce la {\it distanza euclidea}:

$d_n ((x,y\dots z), (a,b\dots c))=_{\rm d} \sqrt{ (x-a)^2 + (y-b)^2 \dots (z-c)^2}$

\noindent Propriet\`a astratta

\vbox{\centerline{
\begin{tabular}{| l |}
\hline
%%\[
%%\begin{array}{ll}
~\\
$d(P,Q)\geq 0,~d(P,Q)=0 \Leftrightarrow P=Q $  \\
~\\
$d(P,Q)= d(Q,P)$, simmetria\\
~\\
$d(P,Q)\le d(P,R)+ d(R,Q)$, diseguaglianza triangolare\\
~\\
%%\end{array}
%%\]
\hline
\end{tabular}
}}
\smallskip

\noindent {\pic NOTA: Tale nozione permette di definire a livello elementare 
 ed intuitivo la {\it lunghezza} di un cammino.}

\smallskip


\noindent {\bf Compatibilit\`a tra le due strutture}: {\it norma euclidea.}
Poich\`e questa distanza euclidea \`e ``invariante per translazioni  
 e per omotetie'' ovvero per le operazioni dela struttura lineare
\smallskip

\vbox{\centerline{
\begin{tabular}{| l |}
\hline
%%\[
%%\begin{array}{ll}
~\\
$d(P,Q)= d(P+R, Q+R) $  \\
~\\
$d( \lambda P, \lambda Q) =  \vert\lambda\vert  d( P, Q)$, \\
~\\
%%\end{array}
%%\]
\hline
\end{tabular}
}}

\smallskip

\noindent conviene mettere in evidenza la funzione che misura la distanza 
dall'origine $\vert (a,b \dots c)\vert_n =_{\rm d} \sqrt{ a^2 + b^2 \dots c^2} =
dist_n ((0,0\dots 0), (a,b\dots c)) $ che si chiamer\`a {\it norma euclidea}.
 Le propriet\`a che isolano il concetto astratto sono

\vbox{\centerline{
\begin{tabular}{| l |}
\hline
%%\[
%%\begin{array}{ll}
~\\
$\vert P\vert \geq 0,~\vert P\vert=0 \Leftrightarrow P=O $  \\
~\\
$\vert \lambda P\vert =  \vert \lambda\vert \vert P\vert$, \\
~\\
$\vert P+Q\vert \le \vert P\vert + \vert Q\vert$, diseguaglianza triangolare\\
~\\
%%\end{array}
%%\]
\hline
\end{tabular}
}}

\smallskip

\noindent Viceversa $d(P,Q)=\vert P-Q\vert$.

\noindent $\bullet$ {\pic NOTA: 
Tali nozioni permettono di definire in modo elementare 
la derivata di una funzione da $\R$ in $\R^n$ e quindi 
di formalizzare la nozione 
 di {\it approssimazione lineare} di una curva in un suo punto e valutare con gli strumenti 
del calcolo le lunghezze dei cammini.}
\smallskip




\break
\vfill
\eject


\noindent {\bf Area di figure piane secondo Peano-Jordan}

Le coordinate cartesiane e la completezza di $\R$  permetteno 
di dare una prima nozione di area di una figura piana. Come si vedr\`a tale nozione si riconduce agli strumenti 
del calcolo per funzioni di una variabile. Dato un rettangolo con i lati paralleli agli assi coordinati
 considerando lo con tutti i suoi lati 
$R= [a;\alpha]\times [b;\beta] = \{ (x,y)\in \R^2 : a\le x\le \alpha
 b\le y\le \beta \}$, o meno 
$[a;\alpha )\times [b;\beta], ~ [a;\alpha )\times [b;\beta ) \dots  
 (a;\alpha )\times (b;\beta )$ 
 si definisce la sua  misura elementare
 $me(R)= ( \alpha- a)(\beta -b)$.

\noindent {\bf Definizione} se $A\subset \R^2$ non vuoto e 
{\it limitato} la {\it misura} (bidimensionale)  {\it secondo Peano-Jordan}
 di $A$  \`e data dal comune valore dei seguenti numeri quando essi coincidano:
  
$\sup \sum_{R\in {\cal F}}  me(R):~~ \hbox{\rm al variare di }~{\cal F}~
\hbox{ famiglia {\it finita} di rettangoli disgiunti contenuti in }~ A$ 

(approssimazione interna)

$\inf \sum_{R\in {\cal G}} me(R):~~
\hbox{\rm al variare di }~{\cal G}~
\hbox{ famiglia {\it finita} di rettangoli disgiunti con unione contenente}~ A$ 

(approssimazione esterna)

\noindent Nel caso si denota  con $m(A)$. Si pone inoltre $m(\emptyset)=0$.
\smallskip

\noindent In modo del tutto analogo si definisce quando un sottoinsieme 
 non vuoto e {\it limitato} di $\R^n$ ha $n$-volume secondo Peano-Jordan,
 \`E immediato provare le seguenti propriet\`a se $A$ e $B$ hanno misura:


 \vbox{\center{
\begin{tabular}{| c |}
\hline
~\\
$m(R)=me(R)$ se $R$ \`e rettangolo cartesiano\\
~\\
$m(A\cup B)= m(A)+m(B)$ se $A\cap B=\emptyset\\
~\\
\hline
\end{tabular}
}}
\smallskip

{\noindent\pic NOTA: Questo procedimento \`e una minima generalizzazione dell'integrale
 di Riemann per funzioni di una variabile che modella la misura bidimensionale
 dei sottografici di funzioni non negative. 
  Se una funzione non negativa \`e Riemann integrabile \`e immediato dedurre 
(le somme superiori ed inferiori sono somme delle misure elementari di 
particolari famiglie di rettangoli)  che il suo sottografico ha misura 
di Peano-Jordan e che questa coincide conl'integrale della funzione.
 Da un minimo da pensare in pi\`u la dimostrazione del ``viceversa'': 
 se  il sottografico di una funzione non negativa
 ha misura di Peano-Jordan allora la funzione \`e Riemann integrabile e il suo 
integrale \`e proprio la misura in questione.}
\smallskip 

\noindent {\bf Struttura ``pre-Hilbertiana''}: {\it prodotto scalare} euclideo

$((x,y), (a,b))\in\R^2\times \R^2 
\mapsto  \langle(x,y), (a,b)\rangle_2=_{\rm d} xa +yb\in\R$

$\langle (x,y\dots z), (a,b\dots c)\rangle_n=_{\rm d} xa +yb\dots zc\in\R$



\smallskip 

\noindent Le propriet\`a astratte dal prodotto scalare euclideo sono
\vbox{
%\center{
\begin{tabular}{| c |}
\hline
~\\
$\langle P, Q\rangle = \langle Q, P\rangle $ Simmetria\\
~\\
$\langle \lambda P +R, Q\rangle  =\lambda\langle P,Q\rangle +\langle R,Q \rangle$ Bilinearit\`a\\
~\\
$\langle P, P\rangle\geq 0,~ \langle P, P\rangle =0 \Leftrightarrow P=O$ Positivit\`a \\
~\\
\hline
\end{tabular}
%}
}
\hfill
\smallskip

\noindent Da queste \`e immediato provare la diseguaglianza di Cauchy-Schwartz:
\hbox{
%\center{
\begin{tabular}{| c |}
\hline
~\\
$\vert\langle P, Q\rangle\vert \le \vert  P\vert_n\vert Q\vert_n $ \\
~\\
\hline
\end{tabular}
%}
}
\smallskip

\noindent {\pic Il trinomio di secondo grado in ${\scriptstyle t}$: 
${\scriptstyle \langle tP+ Q, tP+Q\rangle}$, 
 essendo positivo, ha discriminante nonpositivo e si ottiene il quadrato della 
diseguaglianza in questione. La seguente relazione con il coseno 
permette di dedurre la diseguaglianza in modo ancor pi\`u immediato.}

\noindent Se $\theta$ \`e la misura in radianti dell'angolo convesso 
 formato dalle semirette  
$OP$, $OQ$ si ha \hbox{\center{
\begin{tabular}{| c |}
\hline
~\\
$\cos \theta =\frac{\langle P ,Q\rangle}{\vert P\vert \vert Q\vert}$\\
~\\
\hline
\end{tabular}
}}

\smallskip

\noindent {\pic La misura in radianti di un angolo viene definita come 
 il doppio dell'area del settore di cerchio unitario determinato 
 dall'angolo.}



\noindent Se la struttura lineare 
 permette solo di valutare 
 l'allineamento, la norma di avere un ``compasso'' con cui riportare 
un'unit\`a di misura nelle diverse direzioni rispettando la diseguaglianza 
triangolare, quella pre-hilbertiana corrisponde ad avere un ``goniometro''.

%\noindent La sola struttura lineare permette di definire la simmetria rispetto 
% ad una retta e quindi di definire 
%%In geometria piana elementare con la sola riga si pu\`o costruire 
%%il simmetrico di un punto rispetto ad una retta: si dir\`a 
%che una retta \`e
%`` perpendicolare'' ad un'altra quando viene trasformata in se  dalla simmetria 
%rispetto a quest'ultima.  


%a struttura lineare permette di definire quando due rette passanti per l'origine,
% viste come cammini,  $t\mapsto tv$ e $t\mapsto tw$, sono ``perpendicolari'' 


\smallskip

\noindent {\bf Coordinate cartesiane} Una $n$-pla  di elementi di $\R^n$ 
 con prodotto scalare nullo e lunghezza unitaria individua un sistema di 
coordinate che viene detto cartesiano o {\it ortonormale}  
(rispetto al prodotto scalare standard). 


\smallskip

\noindent {\bf Compatibilit\`a con la norma.} Vale l' {\it 
identit\`a del parallelogramma}: 
 \hbox{
%\center{
\begin{tabular}{| c |}
\hline
~\\
$4\langle P, Q\rangle = \vert  P +Q\vert^2 -\vert P-Q\vert^2 $ \\
~\\
\hline
\end{tabular}
%}
}

\break
\vfill
\eject

\noindent {\bf 2) Funzioni di pi\`u variabili e funzioni a valori ``vettoriali''.}
\smallskip

\noindent Una funzione $f: D\mapsto \R^n$ \`e identificata da $n$ funzioni
 ordinate $f_1: D\mapsto \R^n\dots f_n: D\mapsto \R^n$ che si chiameranno sue 
componenti (cartesiane): $f(d)= (f_1 (d), \dots ,f_n (d))$. 

%\noindent Per esempio la traslazione verso ``sinistra'' di un'unit\`a 
%in senso orizzontale nel piano 
% \`e data da $(x,y)\mapsto (x-1 ,y)$. La simmetria rispetto all'asse
% verticale da $(x,y)\mapsto (-x ,y)$. La proiezione ``radiale'' di un punto 
%sulla circonferenza unitaria di centro l'origine \`e data 
%$(x, y)\mapsto
%( \frac{x}{\sqrt{x^2 +y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2 +y^2}})$


\noindent {\bf Funzioni lineari} La struttura lineare permette 
di identificare 
 i punti con le ``traslazioni'' che agiscono sugli stessi, e le ``dilatazioni''
 di centro l'origine (chiamate omotetie) 
con la moltiplicazione per un numero reale.

\noindent {\bf Rette in forma ``parametrica'':} si da facilmente  un 
modello di retta nello spazio: dati $P$ e $Q$ si dir\`a 
{\it retta paralella a $P$ passante per $Q$} tutta l'immagine 
della funzione di una variabile reale $\lambda\in\R \mapsto Q+\lambda P$.

\smallskip

\noindent\begin{tabular}{|l |}
\hline
\noindent TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA LINEARE: ~  Le trasformazioni  
che commutano con le \\
\noindent omotetie e 
 distributive rispetto 
la somma 
$T(P+ \lambda Q) = T(P) +\lambda T(Q)$
 sono tutte e sole quelle che trasfor-\\ 
mano rette parallele in rette parallele e lasciano fissa l'origine.
~\\
\hline
\end{tabular}

\smallskip

\noindent {\bf Definizione} Tali funzioni si dicono {\it lineari}. Composte con traslazioni si 
dicono {\it affini}. 
%Una funzione si dir\`a {\it affine} se \`e la composizione di una lineare con 
% una traslazione.

%\noindent Quindi una volta considerato il piano conle coordinate ed 
%identificatolo con $\R^2$ una funzione di punti del piano diventa una funzione 
%delle due variabile date dalle coordinate.  
%Per esempio 
%  una funzione lineare $\omega :(x,y)\in\R^2\mapsto \omega(x,y)\in\R$ 
%ha la propriet\`a  $\omega(x+\lambda a, y+\lambda b)= 
%\omega(x,y) +\lambda \omega(a,b)$. Le omotetie sono lineari le traslazioni no. 
%La funzione che associa ad un punto la sua prima coordinata 
%$(x,y)\mapsto x$ \`e lineare. Le funzione $\lambda \mapsto (\lambda 3, \lambda 4)$ 
%che definisce la retta passante per l'origine  $(0,0)$ 
%e parallela a $(3,4)$ \`e lineare. La funzione 
%$(x,y)\mapsto \frac 1{\sqrt 2} (x+y , x-y)$ 
%che associa ad un punto il suo ruotato 
%intorno all'origine di un angolo di $\frac \pi 4$ in senso ``antiorario''  
%\`e lineare.

\noindent {\bf Forme lineari} Una lineare 
$\omega :\R^n\rightarrow \R$ 
si dice $1$-{\it forma}  $\omega(x+\lambda a,\dots y+\lambda b)= 
\omega(x,\dots y) +\lambda \omega(a,\dots b)$. La famiglia delle forme lineari ha
 la struttura lineare ``ereditata'' da quella 
di $\R$. \`E  detto spazio {\it duale}: $\R^n^*$. 

\noindent La scelta di un sistema di coordinate in $\R^n$: $v^1,\dots v^n$
 permette di scegliere una {\it base} nel duale $v^1^*,\dots v^n^*$:
 $v^i^* (v^j)= \delta_{ij}$. Se $\varphi\in \R^n^*$ si ha infatti 
 $\varphi = \sum_i \varphi (v^i) v^i^*$.  Rimane una forte differenza 
concettuale:
 {\it e.g.} in fisica intuitivamente uno spostamento, una velocit\`a saranno vettori. Una forza un impulso saranno forme.


\noindent In particolare {\it prodotto scalare} dato dal 
sistema di coordinate cartesiane su $\R^n$ permette di identificare 
 con $\R^n$ il suo duale. In $\R^2$ si ha:



\vbox{\center{
\begin{tabular}{| c |}
\hline
\\
$\omega\mapsto (\omega (1,0), \omega (0,1))=_{def} R(\omega) $\\
$ (x,y)=x(1,0)+y(0,1)$\\
$\omega (x,y)=\langle R(\omega),(x,y)\rangle = x\omega (1,0) +y\omega (0,1)$ \\
\\
\hline
\end{tabular}
}
}
\smallskip


\noindent  Quindi {\it ogni} funzione lineare 
di $n$ variabili reali a valori reali \`e del tipo 
%\vbox{\begin{tabular}{|l |}
%\hline
%~\\
$f(x, y \dots ,~z)= ax + by +\dots + cz$
%\\
%~\\
%\hline
%\end{tabular}
%}

%\noindent Se $L:\R^n\rightarrow \R^m$ \`e lineare e $\omega :\R^m \rightarrow \R$ 
%\`e  una forma, eseguendo prima $L$ e poi $\omega$ si ottiene una forma su $\R^n$:
% tale trasformazione tra forme si dice {\it trasposta} della trasformazione $L$.
% Previa identificazione tra spazi e loro duali la trasposta trasforma $\R^m$ in 
%$\R^n$ ed \`e lineare.



\noindent {\bf Trasposta.} Se $L:\R^n\rightarrow \R^m$ \`e lineare l'associazione
 $\varphi\mapsto \varphi{\scriptstytle{\circ}} L$ definisce una funzione lineare  
 $^t\! L:\R^m^*\rightarrow \R^n^*$ detta {\it trasposta}.
 

\noindent {\bf Matrici.} Considerando che una funzione lineare $L$ 
 da $\R^n$ in $\R^m$ \`e data da $m$ forme lineari $L_1, \dots L_m$,  si ha
\smallskip

\vbox{\centerline{\begin{tabular}{|c|}
\hline
~\\
 $a_{ij} =_{\rm d} L_i \e_j$,  
 $(x_1,x_2 \dots , ~x_n) = x_1\e_{1, \R^n} +\dots x_n\e_n$ \\
~\\
  $L(x_1,x_2 \dots , ~x_n)= L_1(x_1,x_2 \dots , ~x_n)\e_{1,\R^m} + 
\dots L_m (x_1,x_2 \dots , ~x_n)\e_m \\
~\\
$= x_1 L(\e_1 ) +\dots x_n L(\e_n ) =
(a_{11} x_1 + a_{12}x_2 +\dots + a_{1n} x_n, \dots ,~ 
a_{m1} x_1 + a_{m2}x_2 +\dots + a_{mn} x_n) $\\
~\\
\hline
\end{tabular}
}
}
\smallskip 

\noindent Conviene considerare le forme
 come $n$-ple disposte orizzontalmente (righe) 
 e i vettori come $n$-ple disposte verticalmente (colonne). Quindi la forma 
 $(x,y)\mapsto x+2y$, data 
dal prodotto scalare per  $(1,2)$, pu\`o essere
 denotata con$~^{\scriptstyle{(1,2)}}{x\choose y}$. Una trasformazione 
lineare  da $\R^n$ in $\R^m$ 
pu\`o essere considerata come una ``colonna '' di $m$ righe, ognuna con $n$ 
componenti, che trasforma colonne di $\R^n$ in colonne di $\R^m$. La tabella 
che si ottiene con $m$ righe ed $n$ colonne 
si dice matrice di dimensione $n\times m$. 
 Si indica per primo l'indice di riga. Se $v_c\in \R^n$ \`e inteso 
come colonna sar\`a bene denotare la sua $i$-esima componente con $v_{ic}$.
 Scambiando righe 
con colonne si ottiene la matrice {\it trasposta}. 
Essa corrisponde alla funzione lineare trasposta una volta che si siano
 identificati i duali con gli  spazi dei vettori.

\noindent {\bf Prodotto righe per colonne} La composizione di funzioni lineari 
 si riduce quindi al calcolo del prodotto scalare ``righe per colonne''
 delle matrici corrispondenti. Si noti che $^t\! (AB)= ^t\! B ^t\! A$.

\smallskip

\noindent{\pic NOTA: ISOMETRIE  
 le trasformazioni che lasciano l'origine fissa e 
che conservano la distanza,
sono particolari trasformazioni lineari, e quindi per l'identit\`a 
del parallelogramma, conservano anche il prodotto scalare. Dunque 
 devono trasformare 
il sistema di coordinate canonico in un altro ortonormale, per cui le loro
 colonne saranno ortonormali: $A^{-1}=^t\! A$.}


%\noindent Sia $(a_{ij})$ la matrice di un cambiamento di variabili $L$ 
% rispetto a ${\bf v_1}\dots {\bf v_n}$ in modo che 
%$L({\bf v}_j)= \e_j =\sum_i a_{ij} {\bf v}_i $.
 
%\noindent   Se $\sum_i x^\prime_i {\bf v}_i = \sum_j x_j\e_j$ si esprimono le nuove 
%coordinate in funzione delle usuali 
% \vbox{\begin{tabular}{|c|}
%\hline
%~\\
%  $x^\prime_i =\sum_j a_{ij} x_j $ \\
%~\\
%\hline
%\end{tabular}
%}

%\noindent Piuttosto: se una $1$-forma $\omega$ in funzione delle nuove coordinate  
%\`e data da $a^\prime_1 x^\prime_1 +\dots a^\prime_n x^\prime_n$
% e questo valore \`e dato nelle coordinate usuali da 
%$a_1 x_1 +\dots a_n x_n$, ove  
%$a_j=\omega (\e_j ) = \sum_i a_{j i} \omega ({\bf v}_i)$,  si ha~ 
%\vbox{\begin{tabular}{|c|}
%\hline
%~\\
%  $a_j = \sum_i a_{ij} a^\prime_i $ \\
%~\\
%\hline
%\end{tabular}
%}

%\noindent Per questo le forme vengono anche chiamate {\it covettori}: 
% le coordinate a loro associate cambiano con la stessa legge con cui 
% sono in relazione gli elementi dei rispettivi sistemi di coordinate, 
%diversamente dalle coordinate dei  vettori. Se si considera  $(x_1 \dots x_n)\mapsto L(x_1\dots x_n)$ 
% come trasformazione la $a_j = \sum_i a_{ij} a^\prime_i $ d\`a 
% i coefficienti della forma lineare ottenuta prima operando con $L$ 
% e quindi calcolando quella di coefficienti $a^\prime_1 \dots a^\prime_n$.



% permette di sfruttare sia la semplificazione data dall'identificazione 
%di covettori  con vettori che sottolineare la differenza che li caratterizza 
% rispetto ai combiamenti di coordinate. Infatti se $\omega$ \`e una forma lineare in $n$ 
%variabili e $T$ un cambiamneto di coordinate, come funzione delle nuove coordinate 
%il valore $\omega (x_1, \dots \omega_n)$ 



\noindent {\bf Cambiamenti di coordinate lineari} Ogni cambiamento di 
coordinate lineari in $\R^n$ da origine a una funzione lineare invertibile 
da $\R^n$ in se.
A sua volta ogni trasformazione lineare $L$ da $\R^n$ in se biunivoca 
pu\`o essere interpretata 
 come cambiamento di coordinate lineare: l'$n$-pla $L(x,y\dots z)$ 
rappresenter\`a le coordinate del punto (individuato nel sistema di riferimento 
 cartesiano dalle coordinate $(x,y\dots z)$) nel sistema di coordinate 
 dato dagli $n$ vettori ${\bf v}\dots {\bf w}$ che vengono trasformati da 
$L$ rispettivamente in $\e_1$,
 $\e_2\dots$, $\e_n$.

\noindent {\pic Se $\scriptstyle{(x,\dots z)=
 x^\prime {\bf v} +\dots z^\prime {\bf w}}$ (ha coordinate $\scriptstyle{x^\prime \dots z^\prime}$ in 
a tale sistema) si ha  $
 \scriptstyle{ L(x, \dots z)=L(x^\prime {\bf v} + \dots z^\prime {\bf w} )=$ 
$\scriptstyle{ x^\prime L{\bf v} + \dots z^\prime L{\bf w}= 
x^\prime \e_1 +\dots
z^\prime \e_n =(x^\prime \dots z^\prime )} $ }
 
\smallskip


\noindent {\bf Cambiamenti di coordinate generali} 
Tipico esempio sono le {\it coordinate polari} in $\R^2\setminus \{(0,0)\}$
 date  dalle funzioni coordinate $\rho (x,y)=\sqrt{ x^2 +y^2}$, 
$\theta (x,y)\in [0; 2\pi[$
 che da ``l'angolo in senso antiorario'' 
della direzione di $(x,y)$ rispetto al semiasse orizzontale positivo.
In particolare $\theta (x,y) = {\rm artan} \frac xy$ se $x\geq 0$ e $y>0$. 
\smallskip

\break
 \vfill

\noindent {\bf 3) Sottoinsiemi.}

\noindent {\bf Forma parametrica:} Si descrive un sottinsieme di $\=R^n$ in forma parametrica 
quando lo si vede come immagine di una funzione $f:P\rightarrow \R^n$. Tale funzione 
si dice parametrizzazione dell'insieme. 


\noindent - Le funzioni 
$t\mapsto (t, t+1)$ e 
$t\mapsto (t^3\sin t ,t^3\sin t +2)$ hanno la stessa immagine: la retta passante per 
 $(0,1)$ e parallela a $(1,1)$. Ma la seconda parametrizzazione descrive anche che tale retta viene 
``percorsa'' andando vanti ed indietro con oscillazioni sempre maggiori e maggior velocit\`a.
 
\noindent - Analogamente $\theta\mapsto (\cos \theta , \sin \theta), ~ \theta \in [0, 2\pi ]$ e 
$\theta\mapsto (\cos 2\theta , \sin 2\theta), ~ \theta \in [0, 2\pi ]$ hanno come immagine 
 lo stesso sottoinsieme: la circonferenza di raggio unitario e centro l'origine. 
Ma la seconda funzione descrive che tale circonferenza \`e percorsa due volte.



\noindent - Come le rette cos\`\i \ si danno le nozioni di {\it piano},
 {\it sottospazio affine } $k$-dimensionale in $\R^n$ mediante funzioni affini
 da  $\R^k$ in $\R^n$ iniettive. Per esempio il piano in $\R^3$ passante per 
 $(1,2,3)$ e parallelo alle direzioni $(1,1,1)$, $(4,4,5)$ \`e descritto 
da $(s,t,)\mapsto s(1,1,1) + t(4,4,5) + (1,2,3)$.


\noindent -{\bf Segmenti e parallelepipedi.} La funzione $t\in [0;1]\mapsto t{\bf v} + (1-t){\bf w}$ descrive 
 in modo affine il {\it segmento} tra i punti {\bf v} e {\bf w} ``orientato'' da
 {\bf w} a {\bf v}. Similmente la funzione $(s.t)\in [0;1]\times [0;1]
 s {\bf v}  + t{\bf w} +P$ ha come immagine il ``parallelogramma'' di vertici 
 $Q$, $Q+ {\bf v}$, $Q+{\bf w}$, $Q+{\bf v} + {\bf w}$. In modo del tutto analogo 
 si descrive come immagine della restrizione di una funzione affine 
un parallelepipedo di dimensione $k$ in $\R^n$: $(t_1, \dots t_k )\mapsto
 t_1 {\bf v}_1 +\dots t_k {\bf v}_k + Q$, ovvero l'insieme 
$({\bf v}_1 \dots {\bf v}_k)[0;1]^k +Q$. 

\smallskip

\noindent {\bf Forma implicita.}  - Il luogo di zeri della funzione $x+y+1$ \`e una retta nel piano.
In pi\`u variabili il luogo di zeri di una forma su $\R^n$, 
$(x,y \dots z)\mapsto a x + by \dots cz$, 
\`e un sottospazio di dimensione  $n-1$: \`e il sottopsazio passante per l'origine ed ortogonale alla 
direzione $(a,b, \dots c)$. Un sottospazio di dimensione $n-1 $ in $\R^n$ sar\`a 
 descritto dal luogo di zeri di una funzione del tipo $a x + by \dots cz - d$
 e sar\`a l'iperpiano ortogonale alla direzione di $v=(a,b,\dots c)$ e passante per un 
qualsiasi vettore $w=(\alpha , \beta ,\dots \gamma )$ per cui $\langle v , w\rangle =d$.

\noindent - Se $L$ \`e lineare da $\R^n$ in $\R^m$ il suo luogo di zeri
 \`e un sottospazio lineare di $\R^n$, indicato da $Ker L$ e detto anche {\it nucleo}, 
e  la sua immagine 
un sottospazio lineare di $\R^m$. Vale la formula
\smallskip

\vbox{
\centerline{
\begin{tabular}{| l|}
\hline
~\\
${\rm dim} Ker L + {\rm dim} Im L = n$\\
~\\
\hline
\end{tabular}
}
}
\smallskip

\noindent Il traslato di un 
 sottospazio di dimensione $k$ in $\R^n$ pu\`o essere quindi descritto 
 dalle soluzioni di un sistema di equazioni del tipo $L( v)= w\in \R^m$.
 Quello che comunemente si dice risoluzione di un sistema di $m$ equazioni in 
$n$ incognite corrisponde a descrivere in modo parametrico (ovvero come immagine) 
un sottoinsieme che \`e dato come luogo di zeri.
Per esempio il sistema $x+y+z = 1$, $2x - y +z=2$, che descrive l'intresezioni di 
 due piani nello spazio, ha come soluzione la retta parametrica 
$x\mapsto x(1, \frac 12 ,-\frac 32 ) +   (0 , -\frac 12, \frac 32 )$.
 
\noindent - In $\R^3$ i principali luoghi di zeri di polinomi di secondo grado 
 nelle tre variabili $^{(x,y,z)}M ^t\!(x,y,z)=  ax^2 + by^2 + cz^2 +\dots =0$ sono 
riconducibili mediante un 
 cambiamento di coordinate affine ai seguenti: 
$x^2 +y^2+z^2=1,~$ la sfera di centro 
l'origine e di raggio unitario, $x^2 +y^2+z^2=0$ un punto, 
 $ x^2+y^2 -z^2 =0,~$  il doppio cono  
  di vertice l'origine e pendenza $\frac {\pi} 4$, 
$ x^2+y^2 -z^2 =1,~$ l'iperboloide ad una falda 
ottenuto ruotando  l'iperbole $x^2-z^2 =1$ ``attorno all'asse delle $z$'',   
$ x^2+y^2 -z^2 = -1, ~$ l'iperboloide a due falde ottenuto ruotando  
l'iperbole $x^2-z^2 =-1$ , 
$ x^2 +y^2 -z=0, ~$ il paraboloide 
 ottenuto dal grafico $z=x^2$ per rotazione `` attorno all'asse delle $z$'',
$ x^2 -y^2 -z=0, ~$ il paraboloide iperbolico  a ``sella'', 
  $x^2+y^2=1$ il cilindro a base la circonferenza, 
$x^2-y^2=1$ il cilindro a base l'iperbole, 
$y=x^2$ il cilindro a base la parabola, $x^2=1$ due piani paralleli, 
 $x^2+y^2=0$ una retta, $x^2-y^2=0$ due piani incidenti, 
$x^2=0$ un piano ``doppio''.


\noindent - La palla di raggio $r$ e centro $(a,b, c)$ nello spazio \`e 
data dall'equazione $d((x,y,z), (a,b,c))=r$ cio\`e 
$(x-a)^2 + (y-b)^2 +(z-c)^2 =r ^2$. 
Il quadrato di centro l'origine e lati paralleli agli assi 
 coordinati di lunghezza 2  nel piano \`e descritto dalla diseguaglianza
 ${\rm max}\{ \vert x\vert , \vert y\vert \}\le 1$. Nello spazio la 
diseguaglianza ${\rm max}\{ \vert x\vert , \vert y\vert , \vert z \vert\}\le 1$
 descrive un cubo con spigoli paralleli agli assi. La condizione 
$\vert x\vert + \vert y \vert \le 1$ descrive nel piano il quadrato con lati 
 paralleli alle bisettrici e lunghezza $\sqrt 2$.

\noindent Un ``semispazio'' \`e descritto dalle soluzioni di una diseguaglianza del tipo 
 $ax+by +\dots cz \le d$.

\noindent - L'insieme ottenuto ruotando attorno all'asse $z$ un 
 luogo di zeri del tipo $f(x,z)=0$ nel semipiano $y=0, ~ x\geq 0$   \`e 
 descritto dal luogo di zeri $f(\sqrt{ x^2 +y^2} , z) =0$. Per esempio 
 l'equazione $ (\sqrt {x^2 +y^2} -2)^2 +z^2 =1$ descrive la superficie di 
una ``ciambella'' ({\it toro}).




\smallskip

\noindent {\bf Convessi.} Un sottoinsieme $C$ di $\R^n$ si dice {\it convesso} 
se contiene tutti i segmenti con estremi suoi punti, cio\`e:

\smallskip
 
\vbox{
\centerline{
\begin{tabular}{| l|}
\hline
~\\
se $P,~ Q\in C $ e $t\in [0;1]$ allora $ tP+ (1-t)Q\in C$ \\
~\\
\hline
\end{tabular}
}
}

\smallskip

%\noindent Gli unici convessi di $\R$ sono il vuoto, i segmenti, le semirette,
%ed $\R$ stesso.  I sopragrafici di funzioni reali di una variabile reale
% convesse sono convessi nel piano. 

\noindent I sottospazi affini e i semispazi sono convessi. 
Le immagini di funzioni lineari ristrette a convessi sono a loro 
 volta insiemi convessi.  Intersezione di convessi \`e convessa. Lo sviluppo di tale concetto 
si basa sul seguente:


\noindent {TEOREMA:} Un sottoinsieme convesso \`e l'intersezione dei semispazi
 convessi che lo contengono 
{\pic (che contengano o meno l'iperpiano che li definisce)}.


\break
\vfill
\eject

\noindent{\bf 4) Determinante e minori} 

\noindent {\bf Orientazione.} A livello intuitivo due coppie ordinate di 
 vettori  nel piano si dicono avere la stessa orientazione 
 se i secondi spazzano l'angolo convesso verso i primi nello ``stesso senso''.
In $\R^2$ di dir\`a che una coppia ordinata di vettori $v$, $w$ (non nulli e non 
paralleli) ha orientazione positiva 
 se ha la stessa orientazione della coppia dei vettori coordinati ${\bf e}_1 ,~
 {\bf e}_2$, negativa altrimenti. Scriveremo $O(v,w)=1$ rispettivamente 
$O(v,w)=-1$. Se i due vettori sono paralleli o nulli si pone $O(v,w)=0$.
 Chiaramente $O(v,w)= - O(w,v)$.
 

\noindent {\bf Area orientata. } Data una coppia ordinata 
 di vettori nel piano $v$ e $w$  si considera il parallelogramma  $P=P(O,v,w)$  
di vertici $O$, $v$, $w$, $v+w$  da essi generato. Intuitivamente 
 si definisce la seguente funzione $d(v,w) = O(v,w) Area (P)$. Le propriet\`a 
che si deducono dalle definizioni e dalla geometria elementare sono
 
%\vbox{
\centerline{
%\begin{tabular}{| l|}
%\hline
%~\\
$d(v,w) =- d(w,v)$ (alternante),  %\\
%~\\
$d(v+tu,w)= d(v,w) + td(u, w)$ (bilineare)%\\  
%~\\
%\hline
%\end{tabular}
}
%}
\smallskip

\noindent {\pic La seconda propriet\`a si deduce da: 
$\scriptstyle{ d(tu, w)= td(u,w)}$ 
(variando una dimensione l'area  varia dello stesso fattore), 
  $\scriptstyle{ d(v+tw,w)= d(v,w)}$
  (parallegrammi con stessa base ed altezza hanno
 stessa area),  
 ogni $\scriptstyle{u}$ si scrive come $\scriptstyle{sv +\sigma w}$ 
(a parte i casi ``degeneri'').}

\noindent Analoghe considerazioni intuitive si fanno per $k$ vettori in $\R^n$. 
 L epropriet\`a astratte da tali osservazioni qualitative sono le seguenti:

\noindent {\bf Forme $k$-lineari alternanti.} Una funzione reale 
di $k$ vettori di $\R^n$,  $\Lambda : \R^n \times \dots\times \R^n\rightarrow \R$ 
 si dice:
\vbox{
\centerline{
\begin{tabular}{|l|}
\hline
~\\
alternante se $\Lambda ( \dots v , \dots  w \dots ) =- \Lambda (\dots w,\dots v\dots )$\\
~\\
$k$-lineare se ~~$\Lambda(\dots v+tu,\dots )= \Lambda(\dots v,\dots ) + t\Lambda (\dots u \dots)$ 
\\  
~\\
\hline
\end{tabular}
}
}
\smallskip

\noindent {\pic -  Direttamente dalla definizione segue che se
 uno degli argomenti sta nello spazio generato dai rimanenti $k-1$ 
allora $\Lambda$ si annulla. In particolare se
 $k>n$ l'unica $k$-forma alternante in $\R^n$ \`e quella nulla. 

\noindent - Le funzioni $k$-lineari su $\R$ sono solo un coefficiente  
 per il prodotto delle $k$ variabili: $(x_1 , \dots x_k)\mapsto \alpha x_1 
\dots x_k$.

\noindent - Gi\`a se $(v_1, \dots v_k)\mapsto \Lambda(v_1, \dots v_k)$ 
\`e solo $k$-lineare su $\R^n$ 
%% e per ogni vettore su cui agisce si lascia variare una componente e si 
%%tengono fisse 
%%le restanti $n-1$ si ottiene nelle componenti scelte una $k$-lineare su $\R$
%deve essere somma di funzioni 
%del tipo   $\varphi (v_1)\Gamma (v_2, \dots v_k )$ con $\varphi$ $1$-forma su 
% $\R^n$ e $\Gamma$ $(k-1)$-lineare su $\R^n$. Induttivamente si ottiene che $\Lamda$ 
% deve essere somma di funzioni del tipo $\varphi_1 (v_1)\dots \varphi_k (v_k)$
% ove $\varphi_1, ~ \dots \varphi_k$ sono $1$-forme su $\R^n$.
%Poich\`e una $1$-forma rispetto 
%alle coordinate \`e un polinomio omogeneo di primo grado in particolare 
% $\Gamma$ \`e somma di monomi di grado $k$ del tipo $\alpha v_{{i_1} 1} \dots 
%  v_{{i_k} k}$: $\sum_{f:k\to n} \alpha_f \prod_{1\le j\le k}  v_{{f(j)} j}$
poich\`e $v_j =\sum_{1\le i\le n} v_{ij} \e_i$ si ottiene un particolare tipo di 
polinomio omogeneo di grado $k$ nelle variabili date dalle componenti dei vettori:

  
 $\Lambda(v_1, \dots v_k) = \sum_{1\le i\le n} v_{i1} \Lambda(\e_i, v_2, 
 \dots v_k)= \dots = \sum_{1\le i_1\le n, \dots 1\le i_k\le n} v_{i_1 1} \dots v_{i_k k}
\Lambda (\e_{i_1}, \dots \e_{i_k})$

\noindent - Se $\Lambda$ \`e anche alternante gli indici $i_1, \dots i_k$ 
dovranno esser tutti diversi.  Nel caso $k=n$  ci si riduce a 

\centerline{$\sum_{\sigma : n\leftrightarrow n} v_{{\sigma_1} 1} \dots v_{{\sigma_n} n}
\Lambda (\e_{\sigma_1}, \dots \e_{\sigma_n} )$}

\noindent Se $n_\sigma$ \`e  
il numero di scambi per riordinare in modo crescente
 $(\sigma_1, \dots \sigma_n)$, 
 per cui $\varepsilon_\sigma = (-1)^{n_\sigma}$ \`e 
 il segno  di $\prod_{ a<b} (\sigma_b -\sigma_a )$
\vbox{
\centerline{
\begin{tabular}{| l|}
\hline
~\\ 
$\Lambda(v_1, \dots v_n) =\Lambda (\e_{1}, \dots \e_{n} )
\sum_{\sigma : n\leftrightarrow n} {\varepsilon_\sigma}
v_{{\sigma_1} 1} \dots v_{{\sigma_n} n}
 $\\
~\\
\hline
\end{tabular}
}
}
%$\sum_{1\le i_1< i_2 \dots < i_k\le n} \sum_{\sigma :k\leftrightarrow k}
%(-1)^{sign\sigma}v_{i_{\sigma_1} 1} \dots v_{i_{\sigma_k} k}
%\Lambda (\e_{i_1}, \dots \e_{i_k} )$
}

\smallskip

\noindent TEOREMA: Vi \`e un'unica forma $n$-lineare alternante in $\R^n$ per cui 
 $\Lambda ({\bf e}_1, \dots {\bf e}_n)=1$.

\smallskip 

\noindent {\bf Definizione.} Tale $n$-forma si dir\`a funzione {\it determinante}. 
Si dir\`a determinante $n\times n$ di una matrice il 
 determinante  degli $n$ vettori dati dalle sue colonne. 
 Nel caso di $\R^2$ si ha $det {a~ b\choose c~ d} =ad-bc$.

\smallskip

\noindent Dall'unicit\`a del segue direttamente che 

\noindent - il determinante di un prodotto di matrici quadrate \`e il 
prodotto dei determinanti;

\noindent - se il determinante \`e nullo le $n$ colonne non possono 
 generare tutto $\R^n$: altrimenti la matrice avrebbe un'inversa 
e il prodotto dei due determinanti dovrebbe essere $1$.

\noindent Dall'espressione del determinante ricavata si ha direttamente che 
il determinante di una matrice \`e eguale a quello
della sua trasposta.  Quindi che \`e lineare sia per colonne che per righe.

\noindent Dati  $P,~Q\in\R^2$ considerandoli 
scritti in colonna, se $\theta$ \`e la misura in radianti 
dell'angolo convesso {\it ``che va''} dalla semiretta  
$OP$ alla $OQ$ si ha dalla relazione tra coseno e prodotto scalare 
\begin{tabular}{| l|}
\hline
~\\
$\sin \theta =\frac{det( P ,Q)}{\vert P\vert \vert Q\vert}$\\
~\\
\hline
\end{tabular}

%\noindent {\pic Che una tale funzione ci sia si base sul fLa dimostrazione si basa sul cos\`\i \ detto ``sviluppo per colonne''  
% che permette anche un modo per calcolare il determinante  induttivamente
% in funzione delle coordinate dei suoi argmomenti.
%Presa una colonna $\scriptstyle{(a,b \dots c)}$ la si scrive come 
%$\scriptstyle{a{\bf e}_1 + \dots 
%c{\bf e}_n}$. Quindi per linearit\`a ci si riduce al calcolo del determinante di 
%una matrice con una colonna che ha solo una componente eguale ad uno e le 
%altre nulle. 
% Sempre per linearit\`a ed essendo il determinante alternante per 
% queste matrici il determinante \`e uguale a quello della matrice che 
%hanno nulle le altre componenti della riga della 
%componente unitaria della colonna prescelta. Si prosegue fino a ridursi ad  
%una matrice di colonne diverse con una sola componente unitaria e le altre nulle.
% Cambiando posto alle colonne e quindi segno ci si riduce alla matrice 
%dell'identit\`a. Il risultato \`e quindi determinato solo dalle propriet\`a 
%di multilinearit\`a per colonne e di alternanza.}
%%A questo punto 
%%si ha un vettore unitario ed altri $\scriptstyle{n-1}$ vettori ad esso ortogonali
%%intuitivamente il determinante dovr\`a essere il volume del 
%%parallelepipedo di base cos\`\i \ individuato per l'altezza unitaria

\smallskip 

\noindent La nozione algebrica di determinante rende preciso 
 il concetto di orientazione e 
si prova che la sua interpretazione intuitiva
 come volume di un parellelepipedo \`e consistente con la nozione di misura di Peano-Jordan:

\smallskip

\noindent {\bf Definizione:} Due $n$-vettori si dicono avere la stessa orientazione 
se il determinante del prodotto delle due matrici che ripsettivamente le hanno come colonne 
\`e positivo. 

\noindent TEOREMA:  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\begin{tabular}{| l|}
\hline
~\\
$m(M[0;1]^n) =\vert det M\vert$\\
~\\
\hline
\end{tabular}

%\noindent {\pic NOTA: la verifica, noiosa
% da formalizzare, si basa sulla decomposizione elementare del parallelepipedo in rettangoli  e 
%sull'invarianza per traslazioni della misura di Peano-Jordan.}




\smallskip 

\noindent {\pic NOTA: Considerando solo la struttura 
lineare ed ignorando le coordinate cartesiane 
\`e pi\`u corretto parlare di determinante di una 
trasformazione lineare dello spazio in se. Nel caso 
il determinante intuitivamente rappresenta il ``rapporto tra volumi orientati''
  dei due parallelepipedi genarati rispettivamente 
da  $\scripstyle{ n}$ vettori ordinati e dai loro trasformati: pur non non avendo la definizione
di volume del singolo parallelepipedo.}



\smallskip

\noindent {\bf Minori} La  struttura 
pre-hilbertiana permette di dare un'interpretazione geometrica
 elementare non solo del determinante ma dei determinanti dei minori di 
ordine massimo. 
\smallskip


\noindent - Da quanto osservato in margine alla definizione una  $k$-forma
in $\R^n$ \`e del tipo


\noindent  $\Lambda(v_1, \dots v_k) 
 = \displaystyle{\sum_{1\le i_1< i_2\dots < i_k\le n}}\Lambda (\e_{i_1}, \dots \e_{i_k})
\displaystyle{\sum_{\sigma : k\leftrightarrow k}} {\varepsilon_\sigma}
v_{i_{\sigma_1} 1} \dots v_{i_{\sigma_k} k} =
\displaystyle{\sum_{1\le i_1< i_2\dots < i_k\le n}} \Lambda (\e_{i_1}, \dots \e_{i_k}) 
det (v_{i_\mu \nu}  )_{{1\le \mu\le k\atop 1\le \nu\le k}}$


\smallskip

\noindent Cio\`e ogni $k$-forma in $\R^n$ \`e combinazione lineare 
dei determinanti delle sottomatrici $k\times k$.


\noindent Il determinante di una sottomatrice $k\timesk$ ottenuta scegliendo 
$k$ righe di indici $i_1 <\dots <i_k$,  rappresenta 
 il volume  orientato del $k$-parallelepipedo ottenuto proiettando il parallelepipedo generato 
 dai $v_1, \dots v_k$ sul 
$k$-spazio coordinato generato da $\e_{i_1} \dots \e_{i_k}$.


\noindent - Dati $k$ vettori in $\R^n$ se si considera un sistema di coordinate ortonormali 
nel $k$-spazio da essi generato 


\noindent Dati $2$ elmenti  $P,~Q\in \R^3$ vale la 
seguente identit\`a algebrica:
%il parallelepipedo
% $S$ da essi generato di vertici $O,~P,~ Q,~ P+Q$ ha proiezioni  
%``perpendicolari'' sui $3$ piani coordinati che sono altri tre parellelepipedi
% $S^1,~ S^2,~ S^3$.
%Considerando l'area bidimensionale nel piano che contiene ognuno di essi 
% si possono provare le eguaglianze: $m(S)=$

\vbox{\centerline{\begin{tabular}{|l|}
\hline
~\\
$
%\sqrt{m(S^1)^2+m(S^2)^2+m(S^3)^2}= 
%\sqrt{
\left(det {P_1 Q_1\choose P_2 Q_2}\right)^2+
\left(det {P_1 Q_1\choose P_3 Q_3}\right)^2+
\left(det {P_2 Q_2\choose P_3 Q_3}\right)^2
%}
=
%\sqrt{
det ^t\!(P,Q)(P,Q)
%}
$\\
~\\
\hline
\end{tabular}
}} 
\smallskip

\noindent Analogamente per $k\le n$ elementi di $\R^n$,   
considerando la matrice $M$ di dimensioni 
$n\times k$ che li ha come colonne:
\vbox{
\centerline{
\begin{tabular}{|c|}
\hline
~\\
 somma dei quadrati dei determinanti dei  minori di ordine $k$\\
$\Vert$\\
determinante  della matrice  $^t\! M M$ di dimensione $k\times k$\\
~\\
\hline
\end{tabular}
} 
}
\smallskip

\noindent{\pic In effetti $X\mapsto det( ^t\! M X)$ definita per le matrici 
$n\times k$, \`e $k$-lineare ed alternante. Quindi \`e 
$\sum det( ^t\! M( \e_{i_1}\dots \e_{i_k})) det (X_{i_\mu \nu})$ cio\`e
 $\sum det(M_{i_\mu \nu}) det (X_{i_\mu \nu})$. Sostituendo $M$ a $X$ si ottiene quanto 
desiderato.}

\smallskip

\noindent {\bf Interpretazione geometrica}

\noindent - Da una parte il determinante di una sottomatrice $k\timesk$ ottenuta scegliendo 
$k$ righe di indici $i_1 <\dots <i_k$,  rappresenta 
 il volume  orientato del $k$-parallelepipedo ottenuto proiettando il parallelepipedo generato 
 dai $v_1, \dots v_k$ sul 
$k$-spazio coordinato generato da $\e_{i_1} \dots \e_{i_k}$. 

\noindent - Dall'altra: si considera un  
 sistema di coordinate cartesiano in $\R^n$,
 che dia una matrice $C$ per cui $C^{-1}=^t\!C$ e $det C=1$, 
con i primi $k$ elementi nel sottospazio 
generato dalle colonne di $M$ in modo che le 
 nuove coordinate di $M$ saranno $CM$ ed avranno le ultime 
$n-k$ componenti nulle. Quindi 
 $det ^t\! MM= det ^t\! M ^t\! C C M=det ^t\! (CM) CM$ 
e quest'ultimo non \`e che 
il quadrato del determinante  delle coordinate di $M$ nel suo sottospazio: quindi rappresenta 
 il quadrato della misura di Peano-Jordan in tale sottospazio.
 

\noindent - Le precedenti formule possono essere cos\`\i \ interpretate: 
dato un $k$-parellelepipedo $P$  in $\R^n$, e le sue proiezioni ortogonali 
$P_{i_1< \dots < i_k}$ sui $k$-spazi coordinati generati da 
$\e_{i_1} \dots \e_{i_k}$, si ha la seguente identit\`a che generalizza il teorema di Pitagora:

\vbox{
\centerline{
\begin{tabular}{|c|}
\hline
~\\
\sqrt{ \displaystyle{\sum_{i_1< \dots < i_k}} m(P_{i_1 \dots  i_k})^2} = m(P)
\\
~\\
\hline
\end{tabular}
}} 

\smallskip

%\noindent {\bf Orientazione.} L'orientazone (relativa) di $k$ elementi di $\R^n$
% \`e data dal vettore le cui componenti sono i segni dei 
%minori $k\times  k$ della matrice
% delle coordinate.

\bigskip
\bigskip

\noindent{\pic Courant-John Vol.2 Cap. 1.2, complementi e riassunto Cap. 2, Cap. 4.1, Cap. 4.App. 1}

\noindent{\pic Fusco-Marcellini-Sbordone Cap. 2.13-14-15-16-17.}



\end{document}

Funzioni 


Sottoinsiemi


Completezza
 


\begin{enumerate}

\begin{eqnarray*}       
        \bullet&& ~ \R,~ (x\cdot y)= x\cdot y,~ \vert x\vert 
	=\sqrt{ x\cdot x},~
        d(x,y)=\vert x-y\vert \smallskip 
	\\
        \bullet&& ~\R^2,~ ((a, b )\cdot 
	(\alpha, \beta))_{\R^2}= a\alpha + b\beta , {\rm prodotto ~scalare}
	\\ 
        &&\vert(a,b)\vert =\sqrt{ ((a,b))\cdot (a ,b))}=
        \sqrt{ a^2 +b^2},
	\\
        &&d_{\R^2}((a, b ), (\alpha , \beta))
	=\vert (a, b )- (\alpha, \beta)\vert 
	\\    
        \bullet&& ~\C,~~x=a+ib, ~y=\alpha+i\beta,~ 
	(x\cdot y)= x\cdot \bar y=
        (a\alpha +b\beta)+i(-a\beta +b\alpha )=
	\\ 
        &&=((a,b)\cdot (\alpha ,\beta))_{\R^2}-i 
	\ {\rm det} \left( {a\atop \alpha} {b\atop
        \beta}\right),~ 
        \vert x\vert =\sqrt{ x\cdot
        \bar x},
	\\
        &&d(x,y)=\vert x-y\vert =d_{\R^2}((a, b ), 
	(\alpha , \beta)) 
	\\
        \bullet&& ~\R^n,~ ({\bf x}\cdot{\bf y})
	=\sum_{j=1}^n x_j y_j,~\vert {\bf x}\vert=
        \sqrt{( {\bf x}\cdot {\bf x})},~d( {\bf x}, {\bf y})=
	\vert {\bf x}- {\bf y}\vert,
	\\            
        \bullet&& ~\C^n,~ ({\bf x}\cdot{\bf y})
	=\sum_{j=1}^n x_j \bar y_j,~
        \vert {\bf x}\vert=
        \sqrt{( {\bf x}\cdot {\bf x})},~d( {\bf x}, 
	{\bf y})=\vert {\bf x}- {\bf
        y}\vert,
	\\
        \bullet&& ~{ l}^2 (\N ,\R) ~
	=~\{ {\bf x}:\N\to\R ~: ~\sum_{n=0}^\infty
        \vert x_n\vert^2~< ~+\infty ~\},~ 
	({\bf x}\cdot {\bf y}) =
        \sum_{n=0}^\infty x_n y_n,
	\\
        &&\vert {\bf x}\vert =\sqrt{{\bf x}
	\cdot {\bf x}},~d({\bf x}, {\bf y})=
        \vert {\bf x}-{\bf y}\vert ,
	\\
        \bullet&& ~ \CC([a;b], \C) ,~ 
	(f\cdot g)_{L^2(a;b)}=\int_{[a;b]}
        f(t)\overline{ g(t)}\, dt 
	\\
        &&\vert f\vert_{L^2(a;b)}=\sqrt{(f\cdot f)},
        ~ d(f,g)=\vert f-g\vert=\sqrt{\int_{[a;b]}
	\vert f(t) -g(t)\vert^2\, dt},
        \\
        \bullet&& ~ \CC^k([a;b], \C) ,
	\\ 
        &&(f\cdot
        g)_{H^{k,2}(a;b)}=\sum_{h=0}^k 
	(\frac{d^h f}{dt^h}\cdot \frac{d^h g
        }{dt^h})_{L^2(a;b)}=\sum_{h=0}^k\int_{[a;b]}
        \frac{d^h f}{dt^h}{ \frac{d^h \bar g}{dt^h}}
	\, dt, 
	\\
        &&\vert f\vert_{H^{k,2}(a;b)}=\sqrt{(f\cdot f)},
        ~ d(f,g)=\vert f-g\vert
\end{eqnarray*}



Le c

Il calcolo differenziale ed integrale per funzioni numeriche di una variabile  
 mette in evidenza la nozione di tangenza e di misura di aree
  come processi limite, ne scopre la relazione fondamentale, e 
  sviluppa il formalismo algebrico di derivate ed integrali collegandolo 
al calcolo approssimato. Tale calcolo   
 progred\`\i \ dando risposte generali unificanti ed efficaci
  a problemi antichi  come quelli  che nascono 
 per la determinazione di velocit\`a istantanea 
 e tangenza ad una curva, per la misura di aree, per le somme infinite,  
   per lo studio delle  trasformazioni 
 del ``continuo unidimensionale'' e la determinazione di massimi e minimi, 
   fino ad diventare  
cornice teorica ove sviluppare la ``nuova scienza'' fisica.

 Tale processo raggiunse sua piena maturazione  e sviluppo indipendente 
da considerazione intuitive nel XVIII secolo. 
 

Il suo pi\`u fortunato fondamento teorico, isolato alla fine del XIX secolo, 
 \`e il sistema dei numeri reali $\R$: in temini moderni un
 corpo, ordinato, archimedeo (i numeri naturali non sono superiormente limitati)
 e completo (i maggioranti di un sottoinsieme non vuoto e 
limitato superiormente hanno un minimo).
 La nozione  
 principale 
 \`e quella della {\it completezza}, equivalente all'idea intuitiva che ogni 
processo di misura approssimata con precisione arbitraria ha un numero reale 
come limite (ogni successione di Cauchy \`e convergente), che permette di 
 usare il calcolo liberamente, prescindendo nei casi particolari da 
considerazioni . 

Sia il calcolo differenziale che il fondamento teorico della completezza  
 permisero seguendo l'intuizione geometrica  di individuare 
diversi ambiti astratti ove inquadrare moltissimi altri problemi.



%Questa nozione 
%permette l'uso efficace delle definizioni di derivata ed integrale che esprimono
%nella teoria le idee intuitive di tangenza ed di area.


% Queste definizioni, efficaci grazie alla comune radice della completezza,  
% si ricongiungono nel {\it terorema fondamentale del calcolo} 
% grazie alla formalizzazione dell'idea intuitiva che 
% ogni corda di una curva piana ha una retta parallela che \`e 
%tangente alla curva  ({\it teorema di Lagrange}).




\begin{tabular}{| l | l | l |}
\hline{\pic Nozione formale} & {\pic Base intuitiva} & {\pic Principale applicazione}\\
\hline {\pic $\R$, corpo ordinato archimedeo completo} & {\pic continuo unidimensionale} & {\pic
 fondamento di una teoria dei limiti} \\
\hline {\pic }
 &  {\pic RIGA E COMPASSO} & {\pic LINEARIZZAZIONE} \\
&{\pic  distanza invariante} & \\
&{\pic per translazioni e} & \\
&{\pic coerente con dilatazioni.} & \\ 
\hline
{\pic SPAZIO PREHILBERTIANO} & {\pic CONFRONTO DI ANGOLI} & 
{\pic VOLUMI E LUNGHEZZE}\\
&{\pic perpendicolarit\`a} &\\
&{\pic (punti di minima distanza)} &\\
&{\pic come ortogonalit\`a} &\\
%%{\pic (confronto di angoli).} & &\\
\hline
{\pic COMPLETEZZA} & {\pic CONTINUO GEOMETRICO} & {\pic TEOREMI DI ESISTENZA}\\
 &{\pic procedure di calcolo} & \\
$\phantom{\hbox{\pic  affidabili (successioni di Cauchy)}}$ 
&{\pic  affidabili (successioni di Cauchy)} & \\
  & {\pic convergono ad
elementi ideali.}& \\
\hline 
{\pic COMPATTEZZA} & {\pic INSIEMI FINITI} & {\pic TEOREMI DI ESISTENZA}\\
{\pic (TOTALE LIMITATEZZA}&{\pic propriet\`a locali}  & \\
{\pic PI\'U}&{\pic possono studiarsi} & \\
{\pic COMPLETEZZA)}&{\pic riconducendosi al finito} & \\
\hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{| l | l |}
\hline
 $\phantom{\hbox{\pic SPAZIO METRICO, DISTANZA}}$ 
& {\pic DEFINIZIONE}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~  \\
\hline
{\pic SPAZIO METRICO} & $\scriptstyle{ (M, d),~d:M\times M\to \R}$\\
{\pic (INSIEME CON DISTANZA)} & $\scriptstyle{ d(x,y)~\le~ d(x,z)+d(z,y)}$\\
~&  $\scriptstyle{ d(x,y)~=~d(y,x)}$\\
~&   $\scriptstyle{ d(x,y)=0~ \Leftrightarrow ~x=y}$
\\
\hline
{\pic SPAZIO NORMATO} & $\scriptstyle{ (V, \nu), ~V ~\hbox{\pic 
spazio vettoriale},~\nu : V\to \R} $\\
{\pic (SPAZIO VETTORIALE CON}~\, &  $\scriptstyle{ \nu (x+y)~\le ~\nu (x) +\nu (y)}$  \\
{\pic   NORMA)} &  $\scriptstyle{ \nu (\lambda \cdot x)~=~\vert \lambda\vert\nu (x)}$ 
\\
~& $\scriptstyle{ \nu (x)=0~ \Leftrightarrow ~x=0}$
  \\
\hline
{\pic SPAZIO PREHILBERTIANO} &  $\scriptstyle{ (V, {\cal B}),~
 V ~\hbox{\pic 
spazio vettoriale su}~ \C ~{\pic [~} \R~{\pic ]},~}$ \\
{\pic (SPAZIO VETTORIALE CON}& 
 $\scriptstyle{  {\cal B}:V\times V\to \C~{\pic [~} \R~{\pic ]},~}$ \\
{\pic  PRODOTTO SCALARE)}& $\scriptstyle{u\mapsto {\cal B}(u ,v_0) ~\hbox{\pic
lineare}}$ \\
%%~& $\scriptstyle{ v\mapsto {\cal B}(u_0 ,v) ~\hbox{\pic
%%antilineare [lineare]} }$  \\
~& $\scriptstyle{ {\cal B} (u,v) =\overline {{\cal B} (v,u)} }$ \\
~& $\scriptstyle{ {\cal B} (u,u)~\geq ~0}$ \\
~& $\scriptstyle{  {\cal B} (u,u)=0 ~\Leftrightarrow~ u=0}$ \\
\hline
{\pic SPAZIO COMPLETO}&  $\scriptstyle{ (M, d),~\hbox{\pic spazio~metrico}}$ \\
%%{\pic (sequenzialmente)}&  \\
{\pic successione di Cauchy} &$\scriptstyle{\forall\varepsilon >0\exists n_\varepsilon
:~\forall n,~m~\geq n_0~~d(x_n ,x_m )~\le ~\varepsilon}$\\
~~~~~~~~~~~$\scriptstyle{\Downarrow}$ &~~~~~~~~~~~~~~~ $\scriptstyle{\Downarrow}$\\
{\pic successione convergente} & 
$\scriptstyle{\exists x\in M~:~~ d(x_n ,x)\to 0,~ n\to\infty}$\\
\hline
{\pic SPAZIO TOTALMENTE}& $\scriptstyle{ (M, d),~\hbox{\pic spazio~metrico}}$ \\
{\pic  LIMITATO}&   \\
{\pic ricopribile con un  numero}&  $\scriptstyle{\forall\varepsilon >0~\exists
~n=n_\varepsilon~\exists ~x_1\dots x_n\in M}$\\
{\pic finito di palle di raggio}& 
$\displaystyle{\scriptstyle{\sup_{x\in M}\min_{1\le i\le n} ~d(x,
x_i)\le~\varepsilon}}$ \\
{\pic arbitrariamente piccolo}& \\
\hline
{\pic SPAZIO COMPATTO }& $\scriptstyle{ (M, d),~\hbox{\pic spazio~metrico}}$\\
{\pic (sequenzialmente) }&   
 \\
{\pic ogni successione}&
$\scriptstyle{\forall ~{\bf x}:\N\to M}$\\
{\pic ha una sottosuccessione}& 
$\scriptstyle{\exists~{\bf k}:\N\to\N~k_n\to +\infty,~
n\to +\infty}$\\
{\pic convergente nello spazio}& 
$\scriptstyle{\exists ~y\in M~~d(x_{k_n} , y)\to 0,~n\to +\infty}$\\
\hline
\end{tabular}


\noindent {\bf Proposizione 1:} 

\noindent Se $\varphi_n -\!\!\!\!\frac{\rm }{n\to \infty}\!\!\!\!\to \varphi$
uniformemente in un intorno di $x_0$, e per ogni $n\in {\bf N}$  
$\varphi_n (x) -\!\!\!\!\frac{\rm }{x\to x_0}\!\!\!\!\to l_n$ allora: 
\medskip

\centerline{$\displaystyle{\exists\lim_{x\to x_0} \varphi(x)= l
%\varphi(x) -\!\!\!\!\frac{\rm }{x\to x_0}\!\!\!\!\to l ~
\Longleftrightarrow ~
\exists\lim_{n\to\infty} l_n= l
%l_n -\!\!\!\!\frac{\rm }{n\to \infty}\!\!\!\!\to l
.}$}

\medskip
 

\noindent In particolare se $\varphi_n$ converge uniformemente ad 
$\varphi$ in un intorno di $x_0$
 ed esistono tutti i limiti:

\medskip

\centerline{$
\displaystyle{
\lim_{x\to x_0}\lim_{n\to \infty} \varphi_n(x)=\lim_{n\to \infty}\lim_{x\to x_0}
 \varphi_n(x).}$}


\medskip

\noindent{\bf DIM.:}  $\Rightarrow )$ 

\bigskip

\noindent $\displaystyle{\vert l_n -l\vert \le 
\vert l_n -\varphi_n (x)\vert + \vert \varphi_n (x) -\varphi(x)\vert +
\vert \varphi(x) - l\vert \le 
\vert l_n - \varphi_n (x) \vert + \sup\vert \varphi_n  -\varphi\vert +\vert 
\varphi(x) - l\vert
}$,~ 


\bigskip

\noindent {\bf i)} Si passa al limite per $x\to x_0$:
$\displaystyle{ \vert l_n -l\vert \le \sup\vert \varphi_n  -\varphi\vert}$; 

\medskip

\noindent {\bf ii)} si passa al limite per $n\to \infty$: 
$\displaystyle{0\le \limsup_{n\to\infty} \vert l_n -l\vert \le \lim_{n\to\infty}
\left(\sup\vert \varphi_n  -\varphi\vert \right)=0}$.


\bigskip

\noindent $\Leftarrow)$

\bigskip

\noindent $\displaystyle{\vert \varphi(x) -l\vert \le 
\vert \varphi(x) -\varphi_n (x)\vert + \vert \varphi_n (x) -l_n\vert +
\vert l_n - l\vert \le 
 \sup\vert \varphi_n  -\varphi\vert +\vert \varphi_n(x) -l_n\vert +  \vert l_n - l\vert
}$,~ 


\bigskip

\noindent {\bf i)} Si passa al limite per $x\to x_0$:
$\displaystyle{0\le\limsup_{x\to x_0}
\vert \varphi(x) -l\vert \le \sup\vert \varphi_n  -
\varphi\vert +\vert l_n
-l\vert}$; 

\medskip

\noindent {\bf ii)} si passa al limite per $n\to \infty$: 
$\displaystyle{0\le \limsup_{x\to x_0} \vert l_n -l\vert \le \lim_{n\to\infty}
\left(\sup\vert \varphi_n  -\varphi\vert +\vert l_n -l\vert\right) =0}$.$\bullet$
\bigskip

\noindent {\bf Definizione 1:} Le funzioni $\varphi_n$, 
soddisfano la {\it condizione di Cauchy uniforme su $D$} se 
\medskip

\centerline{$\displaystyle{ 
\forall \varepsilon>0~\exists \nu\in {\bf N}~\forall ~m, ~n\geq \nu ~
\sup_D \vert \varphi_n -\varphi_m\vert\le \varepsilon.}$}

\bigskip

\noindent {\bf Proposizione 2:} Una successione di funzioni $\varphi_n$ converge
uniformemente in $D$ se e solo se  
soddisfa la  condizione di Cauchy uniforme su $D$.

\medskip

\noindent {\bf DIM.:} $\Rightarrow)$ 
Si prova prima l'esistenza del limite puntuale e quindi si
prova che \`e uniforme.

\medskip

\noindent {\bf i)} Essendo $\varphi_n$ di Cauchy uniformemente su $D$, 
in particolare per ogni $x\in D$
le successioni di valori $\varphi_n(x)$ sono di Cauchy:
$\vert \varphi_n(x)-\varphi_m(x)\vert\le\sup\vert \varphi_n -\varphi_m\vert$. 
Per completezza del codominio

\bigskip

\centerline{$\displaystyle{ \forall x\in D~ \exists\lim_{n\to \infty} \varphi_n (x) =
: \varphi(x)\in{\bf R}}$.}

\bigskip

\noindent{\bf ii)}
Fissato $\varepsilon >0$ si consideri $\nu$ per cui: $\displaystyle{ 
\forall ~m,~n\geq \nu :~
\sup_D\vert \varphi_m -\varphi_n\vert\le \varepsilon}$. Si ha:

\bigskip

\noindent $\displaystyle{\sup_D\vert \varphi_n -\varphi\vert=
\sup_{x\in D}~\lim_{m\to \infty}\vert \varphi_n (x)-\varphi_m(x)\vert=
\sup_{x\in D}~\liminf_{m\to \infty}\vert \varphi_n (x)-f_m(x)\vert =
}$

\medskip

\noindent$\displaystyle{\phantom{\sup_D\vert \varphi_n -\varphi\vert=
\sup_{x\in D}~\lim_{m\to \infty}\vert \varphi_n (x)-\varphi_m(x)\vert}
=\sup_{x\in D}~\sup_{M\in{\bf N}}\inf_{m\geq M}\vert \varphi_n (x)-\varphi_m(x)\vert\le}$

\medskip

\noindent$\displaystyle{\phantom{\sup_D\vert \varphi_n -\varphi\vert=
\sup_{x\in D}~\lim_{m\to \infty}\vert \varphi_n (x)-\varphi_m(x)\vert} 
\le~\liminf_{m\to \infty}~\sup_{x\in D}~\vert \varphi_n (x)-\varphi_m(x)\vert~\le~ \varepsilon~,
~~\forall
n\geq \nu.}$

\noindent $\Leftarrow)$ Come per i numeri reali.$\bullet$
 


\bigskip 

%\noindent {\bf Proposizione 3:} Se $f_n -\!\!\!\!\frac{\rm punt.}{n\to \infty}\!\!\!\!\to f$ e
%$f_n^\prime$ convergono uniformemente su $[a;b]$ allora 
%$f_n -\!\!\!\!\frac{\rm unif.}{n\to \infty}\!\!\!\!\to f$ su $[a;b]$.

%\medskip



%\noindent {\bf DIM.:} 

%\noindent$\displaystyle{\sup_{[a;b]}\vert f_n -f_m\vert\le 
%\vert f_n (x_0)-f_m(x_0)\vert +
%\sup_{x\in D}\vert f_n(x) -f_m(x)-(f_n (x_0)-f_m(x_0)) \vert =
%}$

%\noindent$\displaystyle{\phantom{\sup_D\vert f_n -f_m\vert}= 
%\vert f_n (x_0)-f_m(x_0)\vert +\sup_{x\in [a;b]}\vert x-x_0\vert\left\vert
%\frac{f_n(x) -f_m(x)-(f_n (x_0)-f_m(x_0)) }{ x-x_0}\right\vert\le }$

%\noindent$\displaystyle{\phantom{\sup_D\vert f_n -f_m\vert}\le 
%\vert f_n (x_0)-f_m(x_0)\vert +~(b-a)\sup_{x\in [a;b]}\left\vert
%\frac{f_n(x) -f_m(x)-(f_n (x_0)-f_m(x_0)) }{ x-x_0}\right\vert=}$

%\smallskip

%\noindent applicando il teorema di Lagrange alla funzione $x\mapsto f_n(x)-f_m(x)$,
%vi \`e $\xi_{m,n,x}$ tra $x$ e $x_0$ :

%\smallskip

%\noindent$\displaystyle{\phantom{\sup_D\vert f_n -f_m\vert}= 
%\vert f_n (x_0)-f_m(x_0)\vert +(b-a)\sup_{x\in [a;b]}\left\vert
%f_n^\prime(\xi_{m,n,x}) -f_m^\prime(\xi_{m,n,x})\right\vert\le}$

%\smallskip

%\noindent poich\`e l'immagine di $(m,n,x)\mapsto \xi_{m,n,x}$ \`e contenuta in $D$:

%\smallskip


%\noindent$\displaystyle{\phantom{\sup_D\vert f_n -f_m\vert}\le 
%\vert f_n (x_0)-f_m(x_0)\vert +(b-a)\sup_{x\in [a;b]}\left\vert
%f_n^\prime(x) -f_m^\prime(x)\right\vert}$.

%\smallskip 

%\noindent Si ottiene in particolare che $f_n$ \`e di Cauchy uniformemente e quindi per
%la proposizione 2 e per l'ipotesi di convergenze puntuale ad $f$ converge
%uniformemente ad $f$. $\bullet$



%\bigskip

\vfill
\eject


\noindent{\bf Calcolo Differenziale e Integrazione, Anno Accademico 2001-2002, 
Matematica}

\centerline{I foglio di compendio alla teoria, dal 22 ottobre 2001 al   26 ottobre}

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\

\noindent{\bf Proposizione 3:} Se $f_n -\!\!\!\!\frac{\rm punt.}{n\to \infty}
\!\!\!\!\to f$ e $f_n^\prime-\!\!\!\!\frac{\rm unif.}{n\to \infty}\!\!\!\!\to g$ 
 su $]a;b[$ allora anche $f$ \`e derivabile in $]a;b[$ e $f^\prime =g$. 
 In altri termini:

\medskip

\centerline{$\displaystyle{\exists ~
\left(\frac{d}{dx} \lim_{n\to\infty} f_n(x)\right)_{x=x_0}~=~
\lim_{n\to\infty}~\frac{df_n}{dx}(x_0)~,~~\forall ~x_0\in ]a;b[}$}

\bigskip

\noindent{\bf DIM.:} Fissato  $x_0\in ]a;b[$ si vuole provare che 
$ \displaystyle{\frac {f(x_0 +h) - f(x_0)}{h} -g(x_0)
-\!\!\!\!\frac{}{h\to 0}\!\!\!\!\to~~0}$. 

%\noindent Per provarlo si mostrer\`a che \`e limite uniforme
%rispetto ad $h$ di grandezze infinitesime:  
%gli errori nello sviluppo di Taylor al primo ordine di centro $x_0$ ed incremento $h$
% delle funzioni $f_n$.

\medskip

\noindent Sia $\delta >0 $ per cui $a< x_0 -\delta <x_0+\delta <b$. 

\medskip

\noindent {\bf i)} Per convergenza puntuale di $f_n$ ad $f$ e di $f_n^\prime$ a $g$,
si ha per ogni $\vert h\vert\le \delta$:

\bigskip

\centerline{
$\displaystyle{
R_n(h) -f^\prime_n (x_0)=
\frac {f_n(x_0 +h) - f_n(x_0)}{h} -f^\prime_n (x_0)
-\!\!\!\!\frac{}{n\to \infty}\!\!\!\!\to ~~
\frac {f(x_0 +h) - f(x_0)}{h} -g(x_0)
.}$}


\bigskip

\noindent {\bf ii)} D'altronde per definizione di derivata si ha:~~ 
 $R_n(h) -f^\prime_n (x_0)\to 0,~~ h\to 0.$ 


\bigskip

\noindent {\bf iii)} Se la convergenza, per $n\to \infty$, di $R_n(h)$ a 
$\frac {f(x_0 +h) - f(x_0)}{h}$ fosse uniforme rispetto a $\vert h\vert\le \delta$, la
proposizione 1 garantirebbe la tesi desiderata. Infatti con $\varphi_n
(h)=R_n(h)-f_n^\prime (x_0)$,
$l_n =0=l$:

\bigskip

$\displaystyle{\exists\lim_{h\to 0} \frac {f(x_0 +h) - f(x_0)}{h} -g(x_0)=
\lim_{h\to 0}\lim_{n\to\infty} \frac {f_n(x_0 +h) - f_n(x_0)}{h}-f^\prime_n (x_0)=}$

\medskip

$\displaystyle{\phantom{\lim_{h\to 0} \frac {f(x_0 +h) - f(x_0)}{h} -g(x_0)}=
\lim_{n\to\infty}\lim_{h\to 0} \frac {f(x_0 +h) - f(x_0)}{h}-f^\prime_n (x_0)=
\lim_{n\to\infty}0~=~0}.$

\bigskip

\noindent Nei prossimi due punti si prova la convergenza uniforme
in $\vert h\vert \le\delta$, per $n\to \infty$, delle $R_n (h)$.

\medskip

\noindent {\bf iv)} Si ha
la seguente valutazione dell'errore dei rapporti incrementali:

\medskip

\noindent $\displaystyle{
\sup_{\vert h\vert\le\delta}\left\vert\frac {f_n(x_0 +h) - f_n(x_0)}{h} -
\frac {f_m(x_0 +h) -
f_m(x_0)}{h}\right\vert=
}$

\medskip

\noindent $\displaystyle{
\sup_{\vert h\vert\le\delta}
\left\vert\frac {f_n(x_0 +h) -f_m(x_0 +h) - (f_n(x_0)- f_m(x_0))}{h} \right\vert=}$

\medskip

\noindent (per il teorema di Lagrange alla funzione $x\mapsto f_n(x)-f_m(x)$,
vi \`e $\xi_{m,n,h}$ tra $x_0$ e $x_0 +h$)


\medskip

\noindent $\displaystyle{
=\sup_{\vert h\vert\le\delta}\left\vert f_n^\prime(\xi_{m,n,h}) -
f_m^\prime(\xi_{m,n,h})\right\vert 
\le}$
~~(l'immagine di $h\mapsto \xi_{m,n,h}$ \`e contenuta in $]a;b[$)

\medskip

\noindent$\displaystyle{\le \sup_{x\in ]a;b[}\left\vert f_n^\prime(x) -
f_m^\prime(x)\right\vert.
}$

\medskip

\noindent {\bf v)} Poich\`e $f^\prime_n$ converge uniformemente, per la proposizione 2
\`e di Cauchy uniformemente e quindi per la diseguaglianza appena provata anche
 la successione di funzioni $R_n (h)=
\left\vert\frac {f_n(x_0 +h) - f_n(x_0)}{h}\right\vert$ \`e di
Cauchy uniformemente in $\vert h\vert \le \delta$. 

\medskip


\noindent {\bf vi)} Ancora per la proposizione 2 si ha quindi che $R_n (h)$ converge 
uniformemente.$\bullet$


%\noindent {\bf iii)} Per convergenza puntuale di $f_n$ ad $f$ e di $f_n^\prime$ a $g$,
%ancora per la proposizione 2 si ha, uniformemente in $\vert h\vert\le \delta$:

%\medskip

%$$\displaystyle{R_n(h) -f^\prime_n (x_0)=
%\frac {f_n(x_0 +h) - f_n(x_0)}{h} -f^\prime_n (x_0)
%-\!\!\!\!\frac{{\rm unif.~ in~}h}{n\to \infty}\!\!\!\!\to ~~
%\frac {f(x_0 +h) - f(x_0)}{h} -g(x_0)
%.}$$

%\medskip

%\noindent {\bf iv)} D'altronde per definizione di derivata si ha 
%$R_n(h) -f^\prime_n (x_0)\to 0$, $h\to 0$. Per la proposizione 1 si ha quindi:

%$$ \frac {f(x_0 +h) - f(x_0)}{h} -g(x_0)
%-\!\!\!\!\frac{}{h\to 0}\!\!\!\!\to~~0 ~~\bullet$$

\bigskip
\bigskip

\noindent {\bf ESERCIZIO:} Sulla falsariga del precedente argomento si provi la
seguente:

\bigskip

\noindent {\bf Proposizione 4:} 
Se $f_n -\!\!\!\!\frac{\rm punt.}{n\to \infty}\!\!\!\!\to f$ e
$f_n^\prime$ convergono uniformemente allora 
$f_n -\!\!\!\!\frac{\rm unif.}{n\to \infty}\!\!\!\!\to f$.







\end{document}






