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\begin {document}



\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 

\centerline{V.M. Tortorelli}

\centerline{C.L.S. Informatica, A.A. 2003/04}




\centerline{Appunti della seconda parte della decima lezione: 7 aprile 2004}

\medskip

\noindent {\bf Lunghezza d'arco} Richiamando le nozioni della sesta lezione 
 si introduce per cammini $C^1$ a tratti, definiti su $[a;b]$,
 la nozione di parametro di {\it lunghezza d'arco} che parametrizza in modo non arbitrario 
 l'immagine in funzione della lunghezza del percorso che si fa ``allontanandosi'' 
 dal suo ``punto iniziale''

\centerline{$s(t)=\int_a^t \vert \gamma^\prime (x)\vert dx,$ si ha $0\le s\le {\cal L}(\gamma)$}


\noindent il cammino $\varphi :[0; {\cal L}(\gamma )]\mapsto\varphi  (s)$ per 
cui $\gamma (t)= \varphi (s(t))$ \`e equivalente a $\gamma$ e percorre la sua immagine
con ``velocit\`a '' in modulo unitaria:~~
$\frac{d\varphi}{ds} \frac{ds}{dt}= 
\gamma^\prime$ ma $\frac{ds}{dt}=\vert \gamma^\prime\vert$.

\noindent Ci\`o \`e particolarmente significativo per quelle che si sono 
chiamate curve orientate: $\frac{d\varphi}{ds}$ da il versore 
tangente.




\noindent {\bf Insiemi semplicemente connessi} Si ricorda la nozione introdotta 
nella sesta lezione che formalizza nel caso di sottoinsiemi del piano 
la nozione intuitiva di ``non aver buchi''. Un sottoinsieme $C$ 
di $\R^n$ si dice {\it semplicemente connesso} se \`e connesso (per archi) 
 e per ogni cammino 
chiuso a valori in $C$, $\gamma : t\in [a;b]\mapsto \gamma (t)\in C$ vi \`e 

$\psi\in C([a;b]_t\times [0;1]_\lambda)$, $\psi (t,\lambda)\in C$, 
 $\psi (t,0)=\gamma (t)$, $t\mapsto \psi (t,1)$ \`e costante, 

 $t\mapsto\psi (t, \lambda)$ \`e un cammino chiuso 
($\psi (a,\lambda)=\psi (b,\lambda)$)



\noindent intuitivamente: $\gamma$ si deforma con continuit\`a ad un punto 
{\it rimanendo in } $C$.  




\noindent {\bf Operazioni con cammini e curve} - Dati due cammini $\gamma$ 
su $[a;b]$ 
e $\varphi$ su $[\alpha ;\beta ]$ per cui $\gamma (b)=\varphi (\alpha )$ 
 si definisce il cammino {\it giustapposizione o somma} dei due 

$\gamma \oplus \varphi (t)= \gamma (t)$ per $t\in [a;b]$ 

$\gamma \oplus \varphi (t)= \varphi (t-b +\alpha )$ per $t\in [b; b+\beta -\alpha ]$


\noindent - In maniera simile dato un cammino su $[a;b]$ si definisce il 
cammino {\it opposto} $\ominus \gamma (t) = \gamma (b+a-t)$


\noindent Si ha $(\gamma \oplus\varphi)\oplus(\ominus \varphi)=\gamma$, per cui 
si scriver\`a $\gamma\ominus\psi$ intendendo $\gamma \oplus (\ominus\psi)$ qualora 
sia definita.

\noindent - Queste operazioni sono compatibili con la relazione di equivalenza 
 di cammini {\it orientati}: ovvero somme e opposti di cammini equivalenti sono 
equivalenti. Per questo motivo nella pratica spesso non conviene riparametrizzare 
il risultato su un unico intervallo ma mantenerlo definito a pezzi. Nella teoria 
 queste operazioni si estendono a tali classi di equivalenza.


\noindent In particolare le classe dei  
cammini orientati chiusi (che iniziano da un prefissato punto) a valori in un dato insieme
 connesso per archi, con 
queste operazoni
 formano  un {\it gruppo} (chiaramente non commutativo), che \`e indipendente dal punto di 
base prescelto (punti diversi sono collegati da un camino e dal suo opposto), chiamato gruppo 
dei lacci. 



\noindent {\bf Omotopia di cammini con estremi fissati} Due cammini 
$\gamma$ e $\varphi$
su $[a;b]$  a valori in $A$ (connesso per archi),  
 per cui $\gamma (a)=\varphi (a )$ e $\gamma (b) =\gamma (b )$, 
  ovvero hanno lo stesso punto iniziale e lo stesso punto finale, 
si dicono {\it omotopi in }  $A$  
 se esiste   
 


$\psi\in C([a;b]_t\times [0;1]_\lambda)$, $\psi (t,\lambda)\in A$, 
$\psi (t,0)=\gamma (t)$,  $\psi (t,1)=\varphi (t)$

$t\mapsto\psi (t, \lambda)$ \`e un cammino con i prefissati estremi 
($\psi (a,\lambda)=\gamma (a)= \varphi (a), 
~\psi (b,\lambda)=\gamma (b)= \varphi (b)$)


\noindent - Questa nozione si estende  di equivalenza di cammini
orientati in quanto:  cammini equivalenti a cammini omotopi sono omotopi, e 
inoltre due cammini possono essere riparametrizzati in modo lineare e crescente 
affinch\`e abbiano lo stesso dominio. 

\noindent Si osserva che due cammini sono omotopi in $A$ se e solo se 
 il cammino chiuso $\gamma\ominus\varphi$ 
 \`e omotopo in $A$ ad un cammino costante. 
In particolare un dominio $A$ \`e semplicemente connesso 
se e solo se cammini con gli stessi estremi sono omotopi in $A$. 

\noindent - L'omotopia in $A$ risulta a sua volta una relazione di equivalenza 
tra (classi di equivalenza di ) cammini orientati a valori in $A$.
Inoltre giustapposizione e opposto di cammini omotopi sono omotopi al risultato 
 rispettivo delle operazioni. 

\noindent - Ne segue che in un dominio $A$ connesso per archi 
 l'equivalenza data dall'omotopia  proietta il  gruppo dei lacci su un gruppo 
 relativamente pi\`u semplice daa studiare chiamato {\it primo gruppo di omotopia} 
dello spazio $A$ in questione ed \`e uno strumento algebrico per studiare propriet\`a 
 geometriche di $A$ (e.g. un dominio semplicemente connesso ha primo gruppo di omotopia
 di un solo elemento, se un dominio piano ha primo gruppo di omotopia isomorfo 
ai numeri interi ha esattamente un ``buco'' etc.).
\medskip

\noindent {\bf Integrazione orientata di campi ed $1$-forme: lavoro} Un concetto 
 fondamentale in fisica 
 \`e quello di lavoro di una forza lungo un cammino:
 l'idea intuitiva di ``somma infinita'' del prodotto tra  
 la componente tangenziale di una {\it forza applicata in un punto $p$} 
per lo spostamento ``infinitesimo'' lungo la traiettoria
 $d{\cal L}(p)$ nello stesso punto. 

Da un  punto di vista matematico avanzato lo studio di propriet\`a geometriche
tramite il gruppo dei lacci risultano spesso impegnative: 
estensioni del concetto di ``lavoro lungo una curva'' sono la base per studiare propriet\`a 
 geometriche meno impegnative ma decisamente pi\`u maneggevoli da analizzare.


\noindent - Su $\R^n$  in 
prima istanza un {\it campo vettoriale} (vettori applicati in punti) su 
$C\subseteq \R^n$ \`e  indotto 
 da una funzione $f:C\to \R^n$ continua.

% il campo indotto una tale $n$-pla di funzioni 
%delle $n$ variabili sar\`a: 

%\centerline{$p\in C\mapsto (p , f(p))\in C\times \R^n$}

\noindent - Un cammino $\gamma\in C^1$ in $\R^n $ definisce in ogni punto 
$\gamma (t)$ 
della sua immagine un vettore tangente $\gamma^\prime (t)$. Un cammino 
differenziabile con continut\`a individua un campo di vettori sulla sua 
immagine.

\noindent PROBLEMA: se in un aperto di $\R^n$ di $\R^n$ \`e definito un campo 
esiste una famiglia di curve che ricopre l'aperto e ognuna di esse 
ha come tangente il campo stesso?

\noindent 

\noindent - Se $v$ \`e un campo su $C$, $\gamma$ un cammino $C^1$ a tratti 
a valori in $C$ e definito su $[a;b]$, 
 si dice {\it lavoro di $v$ su $\gamma$}: 


\centerline{ $\displaystyle{\int_\gamma v=_{\rm def}\int_a^b \langle v(\gamma (t)) , \gamma^\prime (t)\rangle dt =
\int_a^b\sum_{i=1}^n  v_i (\gamma (t))\gamma^\prime_i (t) dt = \int_\gamma 
 \langle v(p), \tau (p)\rangle d{\cal L}(p)}$ }


\noindent NOTA:  a $v$ si 
 pu\`o  rimpiazzare il campo tangente a $\gamma$
 otteneuto dalla proiezione ortogonale di $v(p)$ su $\tau (p)$.


%\noindent  Pur non centrando il punto 
% vale la pena osservare che, pur essendo evidente che $\R^2\setminus \{ (0,0)\}$ 
% non \`e semplicemente connesso, una dimostrazione diretta dalla definizione
%per quanto elementare \`e piuttosto farraginosa: piuttosto  
% ci si osserva che circonferenze abbastanza piccole attorno a punti diversi da $(0,0)$
% non girano attorno a $(0,0)$ mentre 

\noindent - Tenendo presente che le coordinate cartesiane 
 permettono di identificare punti, vettori e funzionali lineari 
 concettualmente diversa \`e  la nozione di {\it $1$-forma differenziale} 
 su $C$ che in prima istanza viene individuta da una funzione continua $f$ da $C$ 
in $(\R^n)^*$:~~~{$p\mapsto  \sum f_i(p)\e^*_i $}. In tale contesto \`e comodo 
 denotare $f(p)$ con $f_p$.


\noindent  Analogamente si definisce l'integrale 
 (il lavoro) di una $1$-forma $\omega$ su $C$  lungo un a cammino in $C$ come l'integrale 
rispetto la lunghezza d'arco  della funzione ottenuta applicando la forma nel punto al vettore unitario
 tangente alla curva nel punto


\centerline{ $\displaystyle{\int_\gamma\omega =_{\rm def}\int_a^b  \omega_{\gamma (t)}( \gamma^\prime (t)) dt =
\int_a^b\sum_{i=1}^n \omega_i (\gamma (t))\gamma^\prime_i (t) dt = \int_\gamma 
  \omega_p( \tau (p)) d{\cal L}(p)}$ }


\noindent Se si vuole identificando i vettori con spostamenti o velocit\`a, in assenza di di sistemi di riferimento 
una forza non pu\`o che essere un funzionale lineare.



  
\noindent NOTA: l'integrazione di campi o forme lungo cammini si differenzia 
da quella di funzioni  in quanto non \`e invariante rispetto all'inversione 
del cammino:

\centerline{$\displaystyle{\int_{\ominus\gamma} \omega = -\int_\gamma \omega}$}

\noindent mentre, come per l'integrale di funzioni, per l'integrale di forme vale 
 $\displaystyle{\int_{\gamma\oplus\varphi} \omega = 
\int_\gamma \omega +\int_\varphi \omega}$


\noindent - Tipici esempi di campo vettoriale e di $1$- forma differenziale 
 sono il gradiente e la funzione differenziale di una funzione $C^1$ su un aperto
 ~~$\varphi :A\to \R :~ ~x\in A\mapsto \nabla \varphi (x)\in \R^n,~~ 
x\in A\mapsto d\varphi_x \in (\R^n )^*$


\noindent - La $1$-forma differenziale costantemente eguale alla $i^a$ 
proiezione coordinata $\omega_x =\e^*_i$, {\it i.e.} 
 $\omega_x (v_1 , \dots v_n)= v_i$, viene indicata con $dx_i$: 
e questo \`e coerente
 con il fatto che l'applicazione lineare  $x\mapsto x_i$ 
ha come differenziale in ogni punto se stessa.

\noindent Le $n$-funzioni che identificano una froma differenziale 
 $(\omega_1 , \dots \omega_n )\sim \omega$ non sono altro che i coefficienti della forma 
  espressa come combinazione dei differenziali delle coordinate: 

\centerline{$\omega_x= \omega_1 (x) dx_1 +\dots + \omega_n (x) dx_n$}

\noindent -  D'altra parte fissato $x\in \R^n$ e un vettore $v_x$ 
(un campo su un punto)
 per ogni funzione regolare in un intorno di $x$ \`e definita
 $f\mapsto \frac{\partial f}{\partial v_x}(x) = v_{x, 1} \frac{\partial f}{\partial x_1}(x) +\dots 
 v_{x,n}\frac {\partial f}{\partial x_n}(x)$. Quindi (indicata con $\delta_x$ 
la funzione di valutazione in $x$ : $\delta_x f= f(x)$) un campo si identifica 
 con ``un'operatore di derivazione''  puntulale, e i campi che danno in ogni 
punto  i vettori coordinati con  i rispettivi operatori di derivazione parziale 
 nel punto:

\centerline{$\displaystyle{ v_x =
 v_{x, 1}\delta_x \frac{\partial }{\partial x_1} +\dots 
 v_{x,n}\delta_x\frac {\partial }{\partial x_n}}$}



\noindent {\bf Differenza tra funzioni e campi o forme.} \`E bene osservare 
che sebbene a livello introduttivo si siano presentati i campi e le forme 
 proprio come $n$-ple di funzioni i concetti sottointesi sono molto diversi:
 quando con le $n$-funzioni si intende un campo o una forma differenziale si considera
 una diversa legge di cambiamento di questa rapprasentazione quando cambino 
in maniera generale le coordinate del dominio.

\noindent La situazione \`e analoga a quella di un $n$-pla di numeri
che rappresenta sia un vettore che un funzionale lineare: la differente denotazione
 si caratterizza nel diverso modo in cui cambia la $n$-pla cambiando semplicemente 
in modo lineare le coordinate.
{\footnote{
\noindent PROMEMORIA {\pic Gli elementi di $\scriptstyle{\R^n}$ grazie alla sola struttura lineare 
rappresentano 
 sia punti dello spazio che vettori (traslazioni). Grazie  al prodotto scalare 
``cartesiano''  (ovvero l'aver fissato una base)
 le $\scr n$-ple inoltre rappresentano sia vettori che  funzionali lineari 
( $\scr 1$-forme): 
 $\scr{\omega (x_1 , \dots x_n) = \omega (\e_1 ) x_1 +\dots \omega (\e_n )x_n}$, e quindi 
 la $\scr n$-pla $\scr{(\omega(\e_1) , \dots \omega (\e_n))}$ identifica univocamente 
la forma $\scr\omega$: in effetti $\scr{\omega = \sum \omega(\e_i)\e_i^*}$.
 Tale differenza di ``denotazione'' 
viene caratterizzata gi\`a dai cambiamenti di funzioni coordinate 
 semplicemente lineari: ovvero se le nuove coordinate sono date da 
$\scr{x\mapsto y=Mx}$ (essendo le colonne di $\scr{M^{-1}}$ gli elementi di 
$\scr{\R^n}$ 
che danno il nuovo sistema di coordinate) 
%$\scr{\f_i=\sum_j m_{i,j} \e^*_j}$ 
la $\scr n$-pla $\scr{a=(a_1\dots a_n)}$ come vettore 
 ha appunto nuove coordinate $\scr{Ma}$ mentre 
   la $\scr 1$-forma da essa individuata 
$\scr{x\mapsto \omega (x) =\sum a_i x_i}$ come funzione delle nuove coordinate 
 individua la $\scr n$-pla $\scr{~^tM^{-1} a}$: $\scr{\omega (x)= \omega (M^{-1} Mx)}$.
%$\scr{a=(a_1 , \dots a_n) = \sum a_1 \e_i =\sum \alpha_i \f_i}$ 
% con  $\scr{\alpha = Ma}$ la forma individuata da $\scr a$ ($\scr{x\mapsto \sum a_i x_i}) $ 
% \`e rappresentata  
%se $\scriptstyle{\f_1\in\R^n  \dots \f_n\in \R^n}$ 
%genera 
%  un sistema di coordinate lineari diverso da quello 
%cartesiano di $\scriptstyle{\R^n}$, indicando con $\scriptstyle{M}$ 
%la matrice che ha per colonne 
% rispettivamente le coordinate cartesiane di $\scriptstyle{{\pib f}_1}$, 
%$\dots $ $\scriptstyle{{\pib f}_n}$, si ha che 
% la $\scriptstyle{n}$-pla $\scriptstyle{x=(x_1, \dots x_n)\in R^n}$ 
%se considerata come vettore si esprime come 
% $\scriptstyle{x= \sum x_i {\bf e}_i =\sum y_i {\pib f}_i}$ e le 
% coordinate, $\scriptstyle{y=(y_1 \dots y_n)}$, 
%nel nuovo sistema date dal prodotto 
%righe per colonne  $\scriptstyle{y=^{-1}x}$: in effetti 
%$\scriptstyle{x= \sum x_i {\bf e}_i =\sum y_i {\pib f}_i}$ 
\noindent (Si osserva che un cambiamento di coordinate da un sistema ortonormale ad un altro 
in $\scr{\R^n}$, a cui \`e associata una matrice ortonormale $\scr{M^{-1}= ~^t M}$, 
ha la stessa azione sulla
 $\scr n$-pla sia che venga intesa come vettore che come $\scr 1$-forma)}
}}

\noindent - Nel caso in questione, invece di semplici cambiamenti di 
coordinate lineari, si 
 considerano cambiamenti di coordinate $C^1$: si considera un $A$ aperto di $\R^n$
 e una sua ``riparametrizzazione''  $\Psi :y\in B\to \Psi (y)=x\in A$ una funzione $C^1$
bigettiva con inversa $C^1$, le nuove funzioni coordinate saranno appunto date 
$y=Y(x)=\Psi^{-1} (x)$.



\noindent Questo sistema di coordinate da in ogni punto di $x\in A$ una diversa 
base di vettori dello ``spazio tangente'' in $x$ che nel caso \`e $\R^n$.
Per maggior chiarezza si indichi la $n$-pla di $\R^n$  composta da zeri tranne che 
 un $1$ all'$i^o$ posto con $\e_i$ se si pensa come vettore applicato in un 
punto di $x\in A$ 
 e con $f_i$ se si pensa come vettore applicato in un punto $y\in B$.

\noindent Nelle coordinate rispetto $\e_1 \dots \e_n$ la nuova base \`e 
$\left(\frac{\partial \Psi}{\partial y_1} (y),\dots 
\frac{\partial \Psi}{\partial y_n} (y)\right) =( d\Psi_{y}\f_1 , \dots \Psi_{y}\f_n) $, 
che corrispondono alle ``velocit\`a '' delle curve immagine mediante $\Psi$ 
 delle direzioni coordinate cartesiane  in $B$ parametrizzate linearmente: 
$t\mapsto y +t\f_i$ .


\noindent - Una $n$-pla di funzioni $\omega$ definite in $A$ se considerata come
 funzione si trasforma semplicemente in   $y\mapsto \omega(\Psi (y))$.
 Quando si considera la
$n$-pla di funzioni come forma differenziale la trasformazione 
 {\it `` diretta''}  per la regola della catena sui differenziali
 $dx_i = d\Psi_i = \sum_j \frac{\partial \Psi_i}{\partial y_j} dy_j$ \`e 

\centerline{$\displaystyle{ \omega_{\Psi (y)} =
\sum_{i=1}^n \omega_i dx_i =\sum_j \left(\sum_i \omega_i 
\frac{\partial \Psi_i}{\partial y_j} \right)dy_j}$}

\noindent in effetti come funzione lineare che agisce sulle nuove coordinate
 $w$ si ottine semplicemente:

\centerline{$\displaystyle{\omega_{\Psi (y)} v= \omega_{\Psi (y)} 
\cdot d\Psi_y \cdot dY_{\Psi (y)} v = 
\omega_{\Psi (y)} \cdot d\Psi w }$ }


\noindent quindi alla $n$-pla $(\omega_1 (x), \dots \omega_n (x))$ corrisponde 
 la $n$-pla $\nabla\Psi_y \omega (\Psi (y))= ~^tdY^{-1} \omega$ 


\noindent - Nel caso in cui la forma \`e il differenziale di una funzione $\varphi$ 
 da $A$ in $\R$ si ha in effetti per l a regola della catena
 $d \varphi{\scr\circ}\Psi_y = d\varphi_{\Psi (y)} d\Psi_y$. Quindi il differenziale 
rispetto alle nuove variabili \`e proprio l'esperssione della forma nelle nuove
 variabili. 





\noindent - 
Se si considera invece una $n$-pla come
  campo di vettori e si vogliono le sue coordinate 
rispetto alla base indicata si ottengo le $n$-funzioni
$\left(d\Psi_y \right)^{-1} f= (d (\Psi )^{-1}_x) f= d Y f $: ovvero le coordinate 
di $dY f_x$ rispetto al riferimento cartesiano $\f_1\dots \f_n$ di $B$: se 
$\sum f_i \e_i=\sum g_i d\Psi\f_i$ applicando $dY$ si ottiene 
$dY f= \sum g_i \f_i$ .


%il differnziale \`e il trasposto del gradiente e ... non viceversa
%se non c'e' il gradiente ci pu\`o essere il differenziale

\noindent - La nozione di campo come derivazione giustifica 
 la richiesta di questa trasformazione:
se  si considera la derivazone definita da $f$ rispetto 
alle variabili $x$ essa espressa come derivazione 
rispetto alle variabili $y$, avendo per la {\it regola della catena}  
 $\frac{\partial }{\partial x_i} =\frac{\partial Y_1 }{\partial x_i}
\frac{\partial }{\partial y_1} +\dots 
\frac{\partial Y_n }{\partial x_i}
\frac{\partial }{\partial y_n}$

\noindent da luogo ad una diversa $n$-pla di funzioni:
 $f_{\Psi (y)} \sim_x \sum_i f_i \frac{\partial }{\partial x_i}=
\sum_j\left(\sum_i \frac{\partial Y_j }{\partial x_i} f_i\right)
\frac{\partial }{\partial y_j} \sim_y d Yf_{\Psi(y )} $


\noindent - Ancor di pi\`u si apprezza questa differenza considerando il caso 
in cui $C$ \`e una $k$-superficie regolare parametrizzata da qualche 
$\Phi :A\subseteq \R^k \to \R^n$ 
  e la funzione $f$ dia un vettore 
tangente nel punto in cui la si calcola. In questo caso la base dello spazio 
tangente in $z=\Phi (x)$ disponibile \`e $\left(\frac{\partial \Psi}{\partial y_1} (Y(x)),\dots 
\frac{\partial \Psi}{\partial y_k} (Y(x))\right)$.  

\noindent Un cambiamento di coordinate su $A$: $Y :A\to B$ da 
una riparametrizzazione di $C$, $\Phi{\scr\circ} Y^{-1}$, e quindi 
una nuova base del tangente in ogni punto.
 

% $(\Phii (t), f(\Phi (t))$

%Cambiando parametrizzazione di $C$, ovvero cambiando sistema di coordinate 
%su $A$ con una $\Psi$ 

%******************************** 

% \noindent - Nel caso in cui il campo \`e $f=\nabla \varphi$, con $\varphi$ 
% funzione $C^1$ su $A$,
% tale trasformazione si
%ottiene direttamente dalla regola della catena: 
%$\nabla_y (\varphi{\scr\circ}\Psi)   =\nabla\Psi f$   


%\noindent Nel caso in cui il campo  \`e quello delle velocit\`a su
% un cammino $\gamma :t \mapsto \gamma (t)\in B$ 

%gradiente come trasposto del differenziale o tramite riesz ...:il secondo!

\noindent - Nel caso in cui il campo sia una gradiente $f=\nabla_x \varphi$ con $\varphi :
x\in A\mapsto \R$ la sua espressione nelle nuove coordinate $dY \nabla_x \varphi$ 
{\it non} \`e il gradiente rispetto 
ad esse della $\varphi{\scr{\circ}}\Psi :y\in B \mapsto \R$. 

\noindent{\pic In effetti quest'ultima $\scr n$-pla 
rappresenta  il differenziale di $\scr{\varphi{\scr{\circ}}\Psi}$ 
rispetto al prodotto 
scalare canonico delle coordinate cartesiane in $\scr B$, relative 
agli usuali vettori del riferimento cartesiani
 $\scr{
\f_1 \dots \f_n}$:
 se $\scr{k= \sum_i k_i \f_i}$ allora $\scr{d\varphi{\scr{\circ}} \Psi (h)= 
\sum_i \frac{\partial \varphi{\scr{\circ}}\Psi}
{\partial y_i} k_i = \langle \nabla_y \varphi{\scr{\circ}}\Psi ,k\rangle_y}$. 
 Invece la prima rappresenta tale differenziale rispetto 
 ad un altro prodotto (forma bilineare) tra una coppia di $\scr n$-ple 
coordinate in $\scr B$  relative a  $\scr{
\f_1 \dots \f_n}$ che sia uguale al prodotto scalare ordinario delle coordinate 
 relative a $\scr{\e_1 \dots \e_n}$: 
se $\scr{a= dY u}$, $\scr{b=dYv}$ sono $\scr n$-ple coordinate rispetto 
 $\scr{\f_1 \dots \f_n}$ si ha $\scr{ \sum_i u_i v_i =\langle u, v\rangle_x =
\langle d\Psi a, d\Psi b\rangle_x =\sum_{i,j,m}\frac{\partial \Psi_i}{\partial y_j} 
\frac{\partial \Psi_i}{\partial y_m} a_m b_j}$. Quindi se $\scr{k= \sum_i k_i \f_i}$
 la $\scr n$-pla 
$\scr{w= dY\nabla_x \varphi}$  \`e tale che 
$\scr{d\varphi{\scr{\circ }}\Psi (k)= \sum_{i,j ,m} 
\frac{\partial \Psi_i}{\partial y_j} 
\frac{\partial \Psi_i}
{\partial y_m} w_m k_j = \langle d\Psi w ,d\Psi k\rangle_x}$.
}
 







\noindent {\bf Rimontato} (pull-back){\bf di una forma} 
Pi\`u in generale se $\Psi : B\subseteq 
\R^m\to A\subseteq \R^n$ \`e una mappa $C^1$ ed $\omega$ una forma differenziale su $A$
si definisce la forma differenziale {\it rimontata} (pull-back) 
di $\omega$ mediante
$\Psi$ su $B$ 
come $\omega{\scriptstyle\circ}\Psi\cdot \, d\Psi$. Essa viene denotata
 con $\Psi^\sharp \omega$.

\noindent - Se $\varphi$ \`e una funzione definita su $A$ si indicher\`a 
ancora con $\Psi^\sharp \varphi$ la funzione composta 
 $\varphi {\scr{\circ}}\Psi$. Chiaramente per la regola della catena:

\centerline{$ d\Psi^\sharp \varphi =\Psi^\sharp (d\varphi )$}




\noindent - Se $\gamma$ \`e una funzione a valori in $B$ si indicher\`a
 con $\Psi_\sharp\gamma $ la sua immagine $\Psi{\scr\circ}\gamma$.

\noindent - Infine tale trasformazione \`e esattamente quello che ci aspetta 
dall'
 ``azione'' delle funzioni vettoriali sui cammini: il lavoro non
 deve  cambiare cambiando sistema di coordinate 

\centerline{$\displaystyle{ \int_\gamma\Psi^\sharp \omega ~=~ 
\int_{\Psi_\sharp\gamma} \omega }$}

\noindent {\bf I principali teoremi:} caratterizzazione forme esatte e campi conservativi, 
forme chiuse e forme localmente esatte, Teorema di Poincar\`e , invarianza per omotopia regolare  
dell'integrale di una forma chiusa o localmente esatta, esattezza delle forme e integrabilit\`a
 di campi chiusi su domini semplicemente 
 connessi. Cfr. C.J e F.M.S.

\noindent 

\noindent {\bf Formula di Gauss-Green mediante integrazione orientata}

\noindent {\bf $1$-forma dell'area}


\end{document}
