Complementi di Analisi Matematica V.M. Tortorelli C.L.S. Informatica, A.A. 2003/04 Note per le lezioni undicesima, dodicesima e tredicesima: 28-30 aprile e 5 maggio 2004

Equazioni di base

“Quadratura” semplice Se f : A → R è continua su A segmento in R, per il teorema fondamentale del

calcolo la t ↦ y_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} f(s)ds è l’unica soluzione del problema di Cauchy \{ \begin{matrix}y′(t) = f(t), & t ∈ A \\ y(t_{0}) = y_{0} \end{matrix}

Variabili separabili Se f : A → R, g : B → R sono funzioni continue su A e su B, segmenti in R, si tratta

di trovare le y ∈ C^{1}(I), I segmento incluso in A, per cui y′(t) = f(t)g(y(t)), t ∈ I

- Se per \overline{y} ∈ B si ha g(\overline{y}) = 0 allora la funzione costante y(t) = \overline{y}, t ∈ A è soluzione.

Procedimento euristico i- si cercano le soluzioni che non si annullano: dall’equazione deve essere \frac{y′(t)}{g(y(t))} = f(t) ii- si considera Γ primitiva di \frac{1}{g} su J ⊂ B iii- si considera F primitiva di f iv- si scelgono I ⊂ A e c ∈ R in modo che c + F (I) ⊂ Γ(J) l’eventuale soluzione deve verificare l’equazione Γ(y(t)) = F (t) + c, t ∈ I Il procedimento inverso Considerando quindi i- un generico ]α, β[= J ⊂ B in modo che g si annulli solo agli estremi diJ, ii-una generica Γ primitiva di \frac{1}{g} su J (essendo g continua non cambia segno e Γ sarà invertibile su J) iii-una generica primitiva F di f su A iv- e determinando di conseguenza I e c t.c. c + F (I) ⊆ Γ(J), l’intervallo di estremi Γ(α) e Γ(β), si trova che

y(t) = Γ^{−1}(F (t) + c), t ∈ I

è una soluzione e inoltre α < y(t) < β, t ∈ I. \underline{Problema di Cauchy 1}: Quindi se g(y_{0}) ≠ 0 per determinare una soluzione locale al problema di Cauchy

\{ \begin{matrix}y′(t) = f(t)g(y(t)), & t ∈ I \\ y(t_{0}) = y_{0} \end{matrix}

- si prende J in modo che y_{0} ∈ J e g non si annulli se non agli estremi di J, Γ(p) = ∫_{y_{0}}^{p} \frac{du}{g(u)}, p ∈ J

- F (t) = ∫_{t_{0}}^{t} f(s)ds, I per cui t_{0} ∈ I e F (I) ⊂ Γ(J)

La funzione y(t) = Γ^{−1}(F (t) + c) è ben definita ed è soluzione, e tale y è a valori in J: α < y(t) < β, per t ∈ I. Si ha l’esistenza locale per tale problema e il fatto che la soluzione è unica finchè non annulla g.

\underline{Problema di Cauchy 2}: Se ∫_{α}^{α+ε} \frac{dp}{|g(p)|} = ∫_{β−ε}^{β} \frac{dp}{|g(p)|} = +∞ si ottiene che la soluzione trovata è globale e non può annullare g se non agli estremi di A: infatti se fosse g(y(t_{1})) = 0 si avrebbe y(t_{1}) eguale ad α o a β da cui ∫_{t_{0}}^{t} f(s)ds = ∫_{y_{0}}^{y(t_{1})} \frac{du}{g(u)} = ±∞. Ma f ha integrale finito sugli intervalli limitati e chiusi contenuti in A essendo continua. \underline{Problema di Cauchy 3}: Analogamente se y_{0} è uno zero isolato di g e ∫_{y_{0}−ε}^{y_{0}} \frac{dp}{|g(p)|} = ∫_{y_{0}}^{y_{0}+ε} \frac{dp}{|g(p)|} = +∞ si ha che la funzione costantemente eguale a y_{0} è l’unica soluzione del problema di Cauchy.

Equazioni lineari del primo ordine y′(t) − a(t)y(t) = f(t) con f e a funzioni continue su un intervallo I. Omogenea u′(t) = a(t)u(t): se α′ = a lo spazio vettoriale delle soluzioni è dato da u(t) = ce^{α(t)}. Soluzioni Moltiplicando per e^{−α(t)} ci si riduce alla ricerca di primitive di e^{−α(t)}y(t) e le soluzioni sono date

y(t) = ce^{α(t)} + ∫ ^{t} e^{α(t)−α(s)}f(s)ds = y_{0}e^{∫_{t_{0}}^{t} a(s)ds} + ∫_{t_{0}}^{t} e^{− ∫_{t}^{s} a(x)dx}f(s)ds

si noti che tutte le soluzioni dell’equazione completa si ottengono da una particolare soluzione (il secondo addendo) sommando una soluzione dell’omogenea.

Sistemi lineari

Teorema 1 Siano t → a_{i,j}(t), f_{i}(t), 1 ≤ i, j ≤ n funzioni continue su un intervallo I, Y_{0} ∈ R^{n}, t_{0} ∈ I. Detta A(t) la matrice n × n con i dati coefficienti e F (t) l’n-pla con le date coordinate f_{i}: il problema di Cauchy

\{ \begin{matrix}Y′(t) = A(t)Y (t) + F (t), & t ∈ I \\ Y (t_{0}) = Y_{0} \end{matrix}  \{ y′_{1}(t) = a_{1,1}(t)y_{1}(t) + … a_{1,n}(t)y_{n}(t) + f_{1}(t), ; ⋮ ; y′_{n}(t) = a_{n,1}(t)y_{1}(t) + … a_{n,n}(t)y_{n}(t) + f_{n}(t), ; y_{1}(t_{0}) = Y_{0,1} ; ⋮ ; y_{n}(t_{0}) = Y_{0,n}

ha un’unica soluzione globale definita su l’intero I.

Teorema 2 Con le notazioni del precedente teorema i- Le soluzioni di U′(t) = A(t)U(t) sono uno spazio vettoriale.

ii- Se t_{0} ∈ I e U^{1}, … U^{n} sono n-soluzioni : det(U^{1}(t) … U^{n}(t)) = det(U^{1}(t_{0}) … U^{n}(t_{0}))e^{∫_{t_{0}}^{t} trA(s)ds}

- per cui lo spazio delle soluzioni ha dimensione n

- e tutte le sue basi sono del tipo U^{1}, … U^{n} con U^{i} soluzione di \{ \begin{matrix}U^{i}′(t) = A(t)U^{i}(t) \\ U^{i}(t_{0}) = V^{i} \end{matrix} e V = (V^{1} … V^{n})

base di R^{n}

-Il problema di Cauchy per equazioni lineari di ordine n \{ \begin{matrix}\frac{d^{n}u}{dt^{n}}(t) + a_{n−1} \frac{d^{n−1}u}{dt^{n−1}}(t) + … a_{1}(t)\frac{du}{dt}(t)_{a}_{0}(t)u(t) = f(t) \\ y(t_{0}) = y_{0}, y′(t_{0}) = y_{1} …, y^{(n−1)}(t_{0}) = y_{n−1} \end{matrix}

si riduce a un sistema lineare del primo orndine di dimensione n \{ \begin{matrix}Y′(t) = A(t)Y (t) + F (t) \\ Y (t_{0}) = Y_{0} \end{matrix}

considerando come incognita il vettore Y (t) dell’incognita e delle prime n − 1 derivate y^{1}(t) = y(t), y^{2}(t) = y′(t) … y^{n}(t) = y^{n_{1}}′(t) = y^{(n−1)}(t), come termine noto F (t) = (0, … 0, f(t)), come dato iniziale Y_{0} =(y_{0}, …, y_{n−1}) e come matrice

A(t) = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & 1 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & … & … & ⋮ \\ 0 & … & … & 0 & 1 \\ −a_{0}(t) & … & … & … & −a_{n−1}(t) \end{matrix} )

Approccio generale per risolvere il problema di Cauchy

1- si determina una base delle soluzioni dell’omogena (U^{1}(t) … U^{n}(t)) = M(t): (detM(t) = detM(t_{0})e^{∫_{t_{0}}^{t} A(s)ds}). 2- si trova una soluzione particolare \overline{U}′(t) = A(t)\overline{U}(t) + F (t) 3- si cerca c = (c_{1}, … c_{n}) ∈ R per cui la soluzione dell’equazione data da c_{1}U^{1}(t)+… c_{n}U^{n}(t)+\overline{U}(t) verifichi le condizioni iniziali del problema, cioè:

(U^{1}(t_{0}) … U^{n}(t_{0}))c = Y_{0} − \overline{U}(t_{0}), c = M(t_{0})^{−1}(Y_{0} − \overline{U}(t_{0}))

NOTA: si ricorda che e^{x+iy} = e^{x}(cos y + i sin y), i^{2} = −1.

Il passo 1 nel caso di coefficienti costanti Teorema 3 i- una base di soluzioni per un’equazione lineare omogena a coefficienti costanti

y^{(n)} + a_{n−1}y^{(n−1)} + … a_{1}y′ + a_{0}y = 0, a_{i} ∈ C

è data dalle funzioni t^{k}e^{tλ}, 0 ≤ k ≤ m_{1} ed m è la molteplicità di λ ∈ C come radice del polinomio z^{n} + a_{n−1}z^{n−1} + … a_{1}z + a_{0}. ii- se a_{n−1} … a_{0} ∈ R allora le radici non reali del polinomio sono coniugate α + iβ e α − iβ e una base è data dalle n funzioni t^{k}e^{αt} cos βt, t^{k}e^{αt} sin βt ed m è la comune molteplicità di α ± iβ come radice del polinomio. Nel caso n = 2 per l’equazione ay′′ + by′ + cy = 0, con coefficienti reali si ha che tutte e sole le soluzioni sono:

\{ \begin{matrix}c_{1}e^{tα} cos βt + c_{2}e^{tα} sin βt & b^{2} − 4ac < 0 \\ c_{1}e^{tα} + c_{2}te^{tα} & b^{2} − 4ac = 0 \\ c_{1}e^{tα_{1}} + c_{2}e^{tα_{2}} & b^{2} − 4ac > 0 \end{matrix}

al variare di c_{1} e c_{2} in R, con α ± iβ, ovvero α_{1}, α_{2} soluzioni di ax^{2} + bx + c = 0.

Il passo 2: principali metodi per la determinazione di una soluzione particolare Per tentativi Coefficienti indeterminati per equazioni a coefficienti costanti Se il termine noto è del tipo p(t)e^{λt} con p polinomio si cerca una soluzione del tipo:

t^{m}q̃(t)e^{λt}

nel caso reale dei coefficienti dell’equazione, con termine noto e^{αt}(p_{1}(t) cos βt+p_{2}(t) sin βt), soluzioni del tipo:

t^{m}e^{tα}(q_{1}(t) cos βt + q_{2}(t) sin βt)

ove q̃ polinomio con lo stesso grado di p, q_{1} e q_{2} polinomi con gradi minori del massimo di quelli di p_{1} e p_{2}, ed m molteplicità di λ, rispettivamente di α ± iβ, come radici del polinoomio associato all’equazione. \underline{Variazione delle costanti} Se M(t) = (U^{1} … U^{n}) è una base per lo spazio delle soiluzioni del sistema omogeneo si cerca una soluzione del tipo

W (t) = c_{1}(t)U^{1}(t) + … c_{n}(t)U^{n}(t) = M(t)c(t)

ovvero una combinazione delle soluzioni ma con coefficienti funzioni piuttosto che numeri. Imponendo che una siffatta funzione sia soluzione del sistema si ottiene

W′ = AW + F ⇔ M′c + Mc′ = AMc + F ⇔ Mc′ = F ⇔ c′ = M^{−1}F

ciò è possibile essendo M sempre invertibile. Quindi da c′ integrando si trova c.

- Nel caso di equazioni se u_{1}(t), … u_{n}(t) sono generatori dello spazio delle soluzioni dell’omogenea, si cercheranno soluzioni del tipo c_{1}(t)u_{1}(t) + … c_{n}(t)u_{n}(t)

- Per equazioni del secondo ordine n = 2, ci si riduce al sistema numerico

\{ \begin{matrix}u_{1}c′_{1} + u_{2}c′_{2} & = & 0 \\ u′_{1}c′_{1} + u′_{2}c′_{2} & = & \frac{f}{a} \end{matrix}