Complementi di Analisi Matematica V.M. Tortorelli C.L.S. Informatica, A.A. 2003/04 Note per la lezione tredicesima: 5 maggio 2004

Principio di Duhamel Una “giustificazione” del metodo della variazione delle costanti per una soluzione di W′(t) = A(t)W (t) + F (t) è dato dal seguente principio dovuto alla linearità:

una soluzione del problema non omogeneo si ottiene per “sovrapposizione di infiniti impulsi istantanei”, eguali al termine forzante F, all’ “evoluzione omogenea”

- Formulato nel presente contesto il principio diventa:

\{ \begin{matrix}Y′_{s}(t) = A(t)Y_{s}(t), & t ∈ A \\ Y_{s}(s) = F (s) \end{matrix} , W (t) = ∫^{t} Y_{s}(t)ds

Derivando formalmente sotto il segno di integrale si ha che W è in effetti soluzione.

- Nel caso delle equazioni del primo ordine w′ = aw + f, tale formula da esattamente il secondo addendo

della soluzione generale: ∫^{t} e^{− ∫_{s}^{t} a(x)dx}f(s)ds. Se M(t) è la matrice data da una base dello spazio delle soluzioni dell’omeogenea sarà Y_{s}(t) = M(t)c(s), con c(s) = M^{−1}(s)F (s), e si ottiene

W (t) = M(t) ∫^{t} M^{−1}(s)F (s)ds

che giustifica completamente i passaggi fatti e mostra come tale soluzione sia quella ottenuta dal metodo della variazione delle costanti.

NOTA: nel caso di \underline{coefficienti costanti} W (t) viene espressa come ∫_{0}^{t} Z_{s}(t−s)ds e Z_{s}(0)=F (s).

Risolvente di un sistema Se si considera una base di soluzioni del sistema omogeneo Y′(t) = A(t)Y (t) che all’istante s dia la base cartesiana di R^{n} indicando con S_{s}(t) la matrice con colonne tali vettori si ha direttamente dalla definizione e dall’unicità delle soluzioni del problema di Cauchy:

\{ \begin{matrix}S′_{s}(t) = A(t)S_{s}(t), \\ S_{s}(s) = Id \end{matrix}  \begin{matrix}S_{σ}(t)S_{s}(σ) = S_{s}(t) \\ S_{s}(t)S_{t}(s) = Id \end{matrix}

tale matrice di funzioni si chiama risolvente del sistema.

- È interessante esprimere le soluzioni generali del sistema non omogeneo U′(t) = A(t)U(t)+F (t) considerando la soluzione particolare data dalla variazione delle costanti arbitrarie W (t) = S_{t_{0}}(t) ∫ S_{t_{0}}^{−1}(s)F (s)ds e le relazioni di invertibilità del risolvente:

U(t) = S_{t_{0}}(t)U_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} S_{s}(t)F (s)ds

ottenedo l’analogo della formula per le equazioni del primo ordine.

NOTA: per un’equazione di ordine n con termine noto f(t), se u_{1}, … u_{n} è una base dello spazio delle soluzioni e si cerca una soluzione particolare del tipo c_{1}(t)u_{1}(t)+… c_{n}(t)u_{n}(t), essendo una base del sistema del primo ordine associato data dai vettori delle prime n − 1 derivate di tali funzioni, ci si riduce a risolvere il sistema lineare numerico:

( \begin{matrix}u_{1}(t) & … & … & … & u_{n}(t) \\ u′_{1}(t) & … & … & … & u′_{n}(t) \\ ⋮ & ⋮ & … & … & ⋮ \\ u_{1}^{(n−1)}(t) & … & … & … & u_{n}^{(n−1)}(t) \end{matrix} ) ( c′_{1}(t) ; c′_{2}(t) ; ⋮ ; c′_{n}(t) ) = ( 0 ; 0 ; ⋮ ; f(t) )

Per equazioni del secondo ordine n = 2, si ha: \{ \begin{matrix}u_{1}c′_{1} + u_{2}c′_{2} & = & 0 \\ u′_{1}c′_{1} + u′_{2}c′_{2} & = & \frac{f}{a} \end{matrix}