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\newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme
\renewcommand{\:}{{\!\,:\,}}            %% : delle funzioni o negli insiemi
\renewcommand{\d}{{\,\text{d}}}         %% differenziale negli integrali
\newcommand{\diffsim}{\Delta}           %% differenza simmetrica
\def\bea{\begin{eqnarray*}}
\def\eea{\end{eqnarray*}}
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%\left\{ \right.

\begin {document}



\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 

\centerline{V.M. Tortorelli}

\centerline{C.L.S. Informatica, A.A. 2003/04}




\centerline{Note per la lezione  tredicesima:  5 maggio 2004}

\medskip

%\centerline{\bf Principio di Duhamel} 


\noindent {\bf Principio di Duhamel}
 Una ``giustificazione'' del metodo della variazione delle costanti per una soluzione di $W^\prime (t)= A(t) W(t) +F(t)$ 
\`e dato dal 
seguente principio dovuto alla linearit\`a: 

{\it una soluzione 
 del problema non omogeneo si ottiene 
per ``sovrapposizione di infiniti impulsi istantanei'', 

eguali al termine forzante $F$,  
 all' ``evoluzione omogenea''}



\noindent - Formulato nel presente contesto il principio diventa:


\medskip
 
\centerline{
\begin{tabular}{| l |}
\hline
~\\
$\left\{
\begin{array}{lr} 
Y_s^\prime (t)= A(t)Y_s (t), & t\in A\\
~&~\\
Y_s(s)=F(s)& ~
\right. 
\end{array} ,~~~ W(t)=\int^t Y_s (t) ds$
~\\
~\\
\hline
\end{tabular}
}
\smallskip

\noindent Derivando formalmente sotto il segno di integrale si ha che $W$ \`e in effetti soluzione.

\medskip

\noindent - Nel caso delle equazioni del primo ordine $w^\prime =aw +f$, tale formula da esattamente il secondo addendo 
della soluzione generale: $\int^t e^{-\int_s^t a(x)dx} f(s) ds$.


\noindent Se $M(t)$ \`e la matrice data da 
una base dello spazio delle soluzioni dell'omeogenea 
 sar\`a  $Y_s(t) = M(t) c(s)$, con $c(s)=M^{-1}(s)F(s)$, e si ottiene 

\centerline{$W(t)=M(t)\int^t M^{-1} (s) F(s)ds$}


\noindent che giustifica completamente i passaggi fatti e mostra come tale soluzione 
sia quella ottenuta dal metodo della variazione delle costanti.

\noindent {\pic NOTA: nel caso di {\underline{coefficienti costanti}}
 $\scr{W(t)}$ viene  espressa come $\scr{\int_{0}^t Z_s(t-s)ds}$ e 
$\scr{Z_s(0)=F(s)}$.}

\medskip

\noindent {\bf Risolvente di un sistema} Se si considera una base di soluzioni del sistema omogeneo
$Y^\prime (t)= A(t) Y(t)$ che all'istante $s$ dia la base cartesiana di $\R^n$  
indicando con $S_s(t)$ la matrice con colonne tali vettori si ha direttamente dalla definizione e dall'unicit\`a
 delle soluzioni del problema di Cauchy:
\smallskip

\centerline{\hbox{
\begin{tabular}{| l |}
\hline
~\\
$\left\{
\begin{array}{lc} 
S_s^\prime (t)= A(t)S_s (t), &~~\\
~&~\\
S_s(s)=Id&
\right. \end{array}$
~\\
~\\
\hline
\end{tabular}}
~~~~
\begin{tabular}{| l |}
\hline
~\\
$S_{\sigma}(t)S_s (\sigma )= S_s (t) $\\
~\\
$S_s(t) S_t(s) =Id$~\\
~\\
\hline
\end{tabular}
}
}
\medskip

\noindent tale matrice di funzioni si chiama {\it risolvente} del sistema.
\medskip

\noindent - \`E interessante esprimere le soluzioni generali del sistema non 
omogeneo $U^\prime (t)=A(t)U(t) +F(t)$ considerando la soluzione particolare data
 dalla variazione delle costanti arbitrarie $W(t)= 
S_{t_0}(t)\int S_{t_0}^{-1} (s)F(s)ds$ e le relazioni di invertibilit\`a del risolvente:
\smallskip

\centerline{\hbox{
\begin{tabular}{| l |}
\hline
~\\
$U(t) = S_{t_0} (t) U_0 + \int_{t_0}^t S_s(t) F(s)ds $\\
~\\
\hline
\end{tabular}
}}

\smallskip

\noindent ottenedo l'analogo della formula per le equazioni del primo ordine.


\medskip 

\noindent NOTA: per un'equazione di ordine $n$ con termine noto $f(t)$, 
 se $u_1, \dots u_n$ \`e una base 
dello spazio delle soluzioni e si cerca una soluzione particolare del tipo 
$c_1(t) u_1(t) +\dots c_n (t) u_n(t)$, essendo una base del sistema del primo ordine associato data dai vettori delle prime $n-1$ derivate di tali funzioni, 
ci si riduce a risolvere il sistema lineare numerico:



\centerline{$\left(\begin{array}{ccccc}
u_1(t)& \dots & \dots &\dots & u_n(t)\\
u_1^\prime (t)& \dots & \dots&\dots &u_n^\prime (t)\\
\vdots&\vdots & \dots &\dots  &\vdots\\
u_1^{(n-1)}(t)&  \dots&\dots &\dots & u_n^{(n-1)}(t)\\
\end{array}\right) 
\left(\begin{array}{c}
c_1^\prime(t)\\
c_2^\prime(t)\\
\vdots\\
c_n^\prime (t)\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
\vdots\\
f (t)\end{array}\right)
 $}
\medskip



\noindent  Per equazioni del secondo ordine $n=2$, si ha: $\displaystyle\left\{\begin{array}{lcl}
u_1c^\prime_1 +u_2c^\prime_2 &=& 0\\
&&\\
u_1^\prime c^\prime_1 +u_2^\prime c^\prime_2& =& \frac fa\\
\end{array}\right.}$
\end{document}
