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\def\text#1{{\mathrm{#1}}}              %% testo nelle formule
\newcommand{\e}{{\bf e}}             %% e grassetto
%\newcommand{\R}{{\mathbb R}} 
\newcommand{\R}{{\bf R}}            %% numeri reali
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\newcommand{\C}{{\bf C}}            %% complessi
\newcommand{\CC}{{\mathcal C}}           %% funzioni continue
\renewcommand{\H}{{\mathcal H}}         %% misura di Hausdorff
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}            %% frontiera ridotta
\newcommand{\Z}{{\mathbf Z}}            %% interi
\renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}}  %% epsilon
\renewcommand{\phi}{{\varphi}}          %% phi
\newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme
\renewcommand{\:}{{\!\,:\,}}            %% : delle funzioni o negli insiemi
\renewcommand{\d}{{\,\text{d}}}         %% differenziale negli integrali
\newcommand{\diffsim}{\Delta}           %% differenza simmetrica
\def\bea{\begin{eqnarray*}}
\def\eea{\end{eqnarray*}}
\newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]}
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\begin {document}



\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 

\centerline{V.M. Tortorelli}

\centerline{C.L.S. Informatica, A.A. 2003/04}


\centerline{Schema della seconda e terza lezione: 3-5 marzo 2004}


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\noindent {\bf Convergenza di successioni.} Si dice che una successione ${\bf x}:\N\rightarrow \R^N$ converge a 
$x\in\R^N$, e scriveremo $\lim_{n\to \infty} {\bf x}^{n} =x$ o ${\bf x}^n\to x$, 
$n\to \infty$, se: { 
\begin{tabular}{| l |}
\hline
%%\[
%%\begin{array}{ll}
~\\
$\forall \varepsilon \exists n_\varepsilon \forall n\geq n_\varepsilon ~d({\bf x}^n, x)\le 
\varepsilon $  \\
~\\
%%\end{array}
%%\]
\hline
\end{tabular}, cio\`e  se $\lim_{n\to \infty} d ({\bf x}^n , x) =0$.

\smallskip

\noindent - Se $y\in\R^N$ si ha $\vert y_i\vert_1 \le \vert y\vert_N \le
 \vert y_1\vert +\dots \vert y_N\vert $. Quindi una successione converge se e solo se le
 $N$ successioni di numeri reali date dalle sue coordinate cartesiane convergono 
 rispettivamente alle componenti omologhe del suo limite. Questo permette di estendere 
le propriet\`a dei limiti in $\R^N$.

\noindent - La propiet\`a di {\it completezza} di $\R$ viene estesa ad $\R^N$ 
 grazie alla nozione di successione ${\bf x}:\N\rightarrow \R^N$ di Cauchy: 
{ \begin{tabular}{| l |}
\hline
%%\[
%%\begin{array}{ll}
~\\
$\forall \varepsilon \exists n^\prime_\varepsilon \forall m, n\geq n^\prime_\varepsilon ~
d({\bf x}^n, {\bf x}^m)\le 
\varepsilon $  \\
~\\
%%\end{array}
%%\]
\hline
\end{tabular}.

\smallskip
 
\noindent TEOREMA { \begin{tabular}{| l |}
\hline
%%\[
%%\begin{array}{ll}
~\\
Cauchy in $\R^N$ $\Longleftrightarrow $ convergente in $\R^N$  \\
~\\
%%\end{array}
%%\]
\hline
\end{tabular}.
\smallskip

\noindent {\bf Aperti, chiusi, bordo, punti di accumulazione:} cfr. 
Courant-John Vol.2 Cap. 1.1.

\noindent - Se $C\subseteq D\subseteq \R^N$ allora $C$ si dice {\it aperto 
(chiuso) relativamente a} $D$ se  vi \`e $A$ aperto (risp. chiuso) 
per cui 

\noindent ~~$C=D\cap A$.


\smallskip


\noindent {\bf Limiti di funzioni.} Se $C\subseteq D\subseteq \R^N$, $P\in \R^N$ 
 di accumulazione per $C$, $f: D\to \R^M$ e $L\in \R^M$, si dice che $f$ 
converge a $L$ per $x$ che tende a $P$ su $C$ se:
 { \begin{tabular}{| l |}
\hline
%%\[
%%\begin{array}{ll}
~\\
$\forall \varepsilon \exists \delta_\varepsilon >0 \forall x ~x\in C, ~x\not=P,~ 0 <
d(x, P)\le \delta_\varepsilon \Rightarrow d(f(x) ,L)\le \varepsilon $  \\
~\\
%%\end{array}
%%\]
\hline
\end{tabular}, cio\`e $\lim_{x\in C, ~d(x, P)\to 0} d(f(x), L) =0$. Si scriver\`a 
 $\lim_{x\in C, ~x\to P} f(x)= L$, o $f\to L$ se $x\to P,~ x\in C$.
\smallskip

\noindent -  $f\to L$, $x\to P,~ x\in C$ se e solo se per ogni ${\bf x}^n \to P, ~
{\bf x}^n\in C, ~{\bf x}^n\not= P$ si ha $f({\bf x}^n )\to L$;  
\smallskip

\noindent - se e solo se per  ogni divisione di $C$ 
 in un numero finito di parti che abbiano $P$ come punto di accumulazione  $f$ ha 
 limite in ognuna di queste parti e tali limiti sono tutti eguali ad $L$. 


\noindent {\it e.g.} $f(x,y) = \frac yx$, $ D= \{ (x,y):~ x\not= 0\}$, $C=\{ (x,x):~x\not= 0\}$,
 $P=(0,0)$: $f$ ha limite $1$ in $P$ su $C$, ma non ha limite in $P$ su $D$.


\smallskip

\noindent {\bf Limitati:} $C\subseteq\R^N$ si dice (metricamente) 
{\it limitato} se \`e contenuto 
 in una palla: $\exists M\geq 0 \forall x\in C \vert x\vert \le M$.

\noindent - Una funzione si dice {\it limitata}
 su $A\subseteq \R^N$ se i valori di $f$ su $A$ formano 
 un insieme limitato.

\noindent - Se $C$ \`e un insieme non limitato ed $f$ \`e definita su $C$ si
 dice che $f$ tende ad $L$ {\it all'infinito} su $C$ se 


{ \begin{tabular}{| l |}
\hline
%%\[
%%\begin{array}{ll}
~\\
 $\forall \varepsilon >0 \exists r \forall x\in C ,~
 \vert x \vert \geq r \Rightarrow d(f(x), L)\le\varepsilon$\\
~\\
%%\end{array}
%%\]
\hline
\end{tabular},
 cio\`e 
$\lim_{\vert x\vert\to \infty, ~x\in C} d(f(x), L)=0$.

\noindent - Se una funzione ha limite per $x\to P$ (o all'infinito), $x\in C$ 
allora \`e {\it limitata} su $C$ intersecato una palla di centro $P$  (il complementare di una palla).
 In particolare se una successione ha limite allora \`e limitata.

\smallskip

\noindent {\bf Funzioni continue} $C\subseteq D\subseteq \R^N$, $P\in C$ 
  $f: D\to \R^M$: si dice che $f$ \`e continua in $P$ 
su $C$, o che $P$ \`e un punto di continuit\`a di $f$ su $C$
 se 
 { \begin{tabular}{| l |}
\hline
%%\[
%%\begin{array}{ll}
~\\
$P$ \`e di accumulazione per $C$ e 
$\lim_{x\in C, ~x\to P} f(x)= f(P)$,\\
oppure  $P$ \`e 
 un punto isolato per $C$\\
~\\
%%\end{array}
%%\]
\hline
\end{tabular}


%$P$ \`e di accumulazione per $C$ e 
%$\lim_{x\in C, ~x\to P} f(x)= f(P)$, oppure se $P$ \`e 
% un punto isolato per $C$.


\noindent -$f$ \`e continua in $P$ su $C$ se e solo se per ogni ${\bf x}^n\to P$, ${\bf x}^n\in C$
 si ha $f({\bf x}_n )\to f(P)$.


\noindent - {\bf Definizione.}
 $f$ \`e continua su $C$ se \`e continua in ogni punto su $C$.

\noindent - {\bf Definizione.} $f$ \`e {\it uniformemente continua} su $C$ 
se  { \begin{tabular}{| l |}
\hline
%%\[
%%\begin{array}{ll}
~\\
$\forall \varepsilon \exists \delta_\varepsilon >0 \forall x, y\in C,  
d(x, y)\le \delta_\varepsilon \Rightarrow d(f(x) ,f(y))\le \varepsilon $  \\
~\\
%%\end{array}
%%\]
\hline
\end{tabular} ovvero $\lim_{\delta\to 0} \sup_{x,~y\in C,~d(x,y)\le \delta} d(f(x), f(y))=0$.

\noindent {\pic ESERCIZIO: $\scriptstyle{ f}$ \`e 
uniformemente continua su $\scriptstyle{C}$ se  e solo se date due successioni
$\scriptstyle{{\bf x}^n\in C, ~{\bf y}^n\in C}$ per cui  
$\scriptstyle{d({\bf x}_n,{\bf y}_n)\to 0}$ si ha anche 
$\scriptstyle{d(f({\bf x}_n),f({\bf y}_n))\to 0}$}.
\break
\smallskip
\vfill
\eject

\noindent - le funzioni $(x, y)\in \R^N\times \R^N \mapsto x+y\in \R^N$ 
($\scriptstyle{\vert (x+y)- (u+v)\vert \le \vert x-u\vert +\vert y-v\vert}$), 
 $(\lambda ,x)\in \R\times \R^N\mapsto \lambda x \in\R^N$ ({\pic $\scriptstyle{ \vert \lambda x-\gamma y\vert\le 
\vert\lambda\vert\vert x-y\vert + \vert \lambda -\gamma\vert \vert y\vert}$}) sono continue.



\noindent - composizione di funzioni continue \`e continua.


\noindent Se ne deduce che le funzioni continue su un insieme a valori in $\R^M$
 ``ereditano'' la struttura lineare di $\R^M$. Essendo la dimensione di $\R^N$ finita 
 se ne deduce che le funzioni lineari sono continue.

\noindent{\pic Un'altra dimostrazione \`e la seguente: 
$\scriptstyle{x\in\R^n\mapsto Ax\in\R^M}$
\`e lineare con $\scriptstyle{A}$ matrice di componenti $\scriptstyle{
A_{ij},~ 1\le i\le M, ~1\le j\le N}$. Basta 
provare la continuit\` a in $\scriptstyle{O\in\R^N}$ poich\`e $\scriptstyle{
Ax-Ay= A(x-y)}$. 
Quindi $\scriptstyle{\vert Ax\vert^2_M = \sum_i (\sum_j A_{ij} x_j)^2\le {\pic (Schwartz) } 
\sum_i\sum_j A_{ij}^2 \sum_j x_j^2 = \vert x\vert^2_N\sum_{ij} A_{ij}^2}$}

\noindent E.g. per composizione con la somma e il prodotto si ha che le funzioni le cui 
componenti sono funzioni razionali a denominatore non nullo sono continue.
\smallskip

\noindent - $f$ \`e continua su $C$ se e solo se 
%le preimmagini di aperti sono aperte {\it relativamente} a $C$
% se e solo se le preimmagini di chiusi sono chiuse {\it relativamente} a $C$
 { \begin{tabular}{| l |}
\hline
%%\[
%%\begin{array}{ll}
~\\
 le preimmagini di aperti sono aperte {\it relativamente} a $C$\\
le preimmagini di chiusi sono chiuse {\it relativamente} a $C$\\
~\\
%%\end{array}
%%\]
\hline
\end{tabular}


\noindent {\bf Nota:} In particolare {\it i luoghi di zeri} di funzioni continue 
 di $\R^N$ sono chiusi.

\smallskip


\noindent {\bf Compatti per successioni} Un sottoinsieme $C$ di $\R^N$ si dice {\it comaptto} (per successioni)
 se da ogni successione  a valori in $C$ si pu\`o estrarre una sottosuccessione 
 che converge e il cui limite \`e un elemento di $C$.

\noindent - I sottoinsiemi compatti sono chiusi. I sottoinsiemi finiti sono compatti

\noindent TEOREMA
 { \begin{tabular}{| l |}
\hline
%%\[
%%\begin{array}{ll}
~\\
 $C\subseteq \R^N$ \`e compatto se e 
solo se \`e limitato e chiuso.\\
~\\
%%\end{array}
%%\]
\hline
\end{tabular}


\noindent {\pic ESERCIZIO un sottoinsieme compatto o ha un punto di accumulazione 
 o \`e fatto da un insieme finito di punti.}

\noindent TEOREMA   { \begin{tabular}{| l |}
\hline
%%\[
%%\begin{array}{ll}
~\\
L'immagine di un compatto mediante una funzione continua \`e un 
compatto.\\
~\\
%%\end{array}
%%\]
\hline
\end{tabular}

\noindent {\bf NOTA:} non \`e vero in generale che l'immagine di aperti (chiusi) mediante funzioni
 continue sia aperta (chiusa). 

\noindent TEOREMA{ \begin{tabular}{| l |}
\hline
%%\[
%%\begin{array}{ll}
~\\
Se $C$ \`e compatto $f:C\to \R$ allora $f$ 
ha un punto di massimo e un punto di minimo su $C$\\
~\\
%%\end{array}
%%\]
\hline
\end{tabular}, 

\noindent cio\`e 
$\exists a\in C~ b\in C ~\forall x\in C ~f(a)\le f(x)\le f(b)$

\smallskip

\noindent TEOREMA { \begin{tabular}{| l |}
\hline
%%\[
%%\begin{array}{ll}
~\\
Se $f$ \`e continua su $C$ 
compatto allora \`e uniformemente continua su $C$.\\
~\\
%%\end{array}
%%\]
\hline
\end{tabular}

\smallskip

\noindent {\bf Connessi.} Un sottoinsieme $C$  
di $\R^N$ si dice {\it connesso}
 se  solo se {\it non} \`e unione di due 
aperti (chiusi) relativamente a $C$, non vuoti  e disgiunti. 

\noindent Cio\`e se $A, ~B$ sono entrambi aperti o chiusi di $\R^N$ per cui 
$A\cap C \not=\emptyset, ~B\cap C \not=\emptyset, ~C\subseteq A\cup B$ 
 allora $A\cap B\cap  C\not=\emptyset$.

\noindent In altri termini {\it non} vi \`e una $f: C\to \{ 0,1\}$ surgettiva 
e continua su $C$.

\noindent {\pic ESERCIZIO: i connessi di $\R$ sono 
$\emptyset$, $\R$, intervalli e semirette.}
\smallskip

\noindent - {\bf Definizione:} Un insieme $C$ si dice {\it connesso per archi} se ogni coppia 
di punti pu\`o essere congiunta da un cammino continuo interamente contenuto in $C$.

\noindent Cio\`e per $x,~ y\in C$ vi \`e $\gamma_{xy} :t\in [0;1] \mapsto \gamma (t)\in C$
 {\it continuo} per cui $\gamma (0)=x $ e $\gamma (1)=y$.

\noindent - Ogni connesso per archi \`e anche connesso in quanto gli intervalli in $\R$ sono 
connessi.


\noindent Il sottoinsieme di  $\R^2$ 
dato dall'unione di $\{0\}\times [-1; 1]$ con grafico della funzione $\sin \frac 1x$
 \`e connesso ma non connesso per archi.



\smallskip

\noindent PROPOSIZIONE Un sottoinsieme aperto e connesso \`e anche connesso per archi.

\noindent TEOREMA ~~{ \begin{tabular}{| l |}
\hline
%%\[
%%\begin{array}{ll}
~\\
L'immagine di un connesso (connesso per archi) mediante una funzione continua\\
\`e ancora  connessa (connessa per archi).\\
~\\
%%\end{array}
%%\]
\hline
\end{tabular}. 

\noindent In particolare una funzione continua su un connesso a valori reali 
assume tutti i valoi compresi tra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiore.

%\noindent{\pic Courant-John Vol.2 Cap. 1.2, complementi e riassunto Cap. 2, Cap. 4.1, Cap. 4.App. 1}

%\noindent{\pic Fusco-Marcellini-Sbordone Cap. 2.13-14-15-16-17.}



\end{document}

