Complementi di Analisi Matematica

V.M. Tortorelli

C.L.S. Informatica, A.A. 2003/04

Schema della seconda e terza lezione: 3-5 marzo 2004

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Convergenza di successioni. Si dice che una successione ${\bf x}:{\bf N}\rightarrow {\bf R}^N$ converge a $x\in{\bf R}^N$, e scriveremo $\lim_{n\to \infty} {\bf x}^{n} =x$ o ${\bf x}^n\to x$, $n\to \infty$, se:

$\forall \varepsilon \exists n_\varepsilon \forall n\geq n_\varepsilon d({\bf x}^n, x)\le \varepsilon$

, cioè se $\lim_{n\to \infty} d ({\bf x}^n , x) =0$.

- Se $y\in{\bf R}^N$ si ha $\vert y_i\vert_1 \le \vert y\vert_N \le \vert y_1\vert +\dots \vert y_N\vert$. Quindi una successione converge se e solo se le $N$ successioni di numeri reali date dalle sue coordinate cartesiane convergono rispettivamente alle componenti omologhe del suo limite. Questo permette di estendere le proprietà dei limiti in ${\bf R}^N$.

- La propietà di completezza di ${\bf R}$ viene estesa ad ${\bf R}^N$ grazie alla nozione di successione ${\bf x}:{\bf N}\rightarrow {\bf R}^N$ di Cauchy:

$\forall \varepsilon \exists n^\prime_\varepsilon \forall m, n\geq n^\prime_\varepsilon  d({\bf x}^n, {\bf x}^m)\le \varepsilon$

.

TEOREMA

Cauchy in ${\bf R}^N$ $\Longleftrightarrow$ convergente in ${\bf R}^N$

.

Aperti, chiusi, bordo, punti di accumulazione: cfr. Courant-John Vol.2 Cap. 1.1.

- Se $C\subseteq D\subseteq {\bf R}^N$ allora $C$ si dice aperto (chiuso) relativamente a $D$ se vi è $A$ aperto (risp. chiuso) per cui

  $C=D\cap A$.

Limiti di funzioni. Se $C\subseteq D\subseteq {\bf R}^N$, $P\in {\bf R}^N$ di accumulazione per $C$, $f: D\to {\bf R}^M$ e $L\in {\bf R}^M$, si dice che $f$ converge a $L$ per $x$ che tende a $P$ su $C$ se:

$\forall \varepsilon \exists \delta_\varepsilon >0 \forall x x\in C, x\not=P,  0 < d(x, P)\le \delta_\varepsilon \Rightarrow d(f(x) ,L)\le \varepsilon$

, cioè $\lim_{x\in C, d(x, P)\to 0} d(f(x), L) =0$. Si scriverà $\lim_{x\in C, x\to P} f(x)= L$, o $f\to L$ se $x\to P,  x\in C$.

- $f\to L$, $x\to P,  x\in C$ se e solo se per ogni ${\bf x}^n \to P,  ^n\in C, {\bf x}^n\not= P$

$\forall \varepsilon \exists n_\varepsilon \forall n\geq n_\varepsilon d({\bf x}^n, x)\le \varepsilon$

, cioè se $\lim_{n\to \infty} d ({\bf x}^n , x) =0$.

- Se $y\in{\bf R}^N$ si ha $\vert y_i\vert_1 \le \vert y\vert_N \le \vert y_1\vert +\dots \vert y_N\vert$. Quindi una successione converge se e solo se le $N$ successioni di numeri reali date dalle sue coordinate cartesiane convergono rispettivamente alle componenti omologhe del suo limite. Questo permette di estendere le proprietà dei limiti in ${\bf R}^N$.

- La propietà di completezza di ${\bf R}$ viene estesa ad ${\bf R}^N$ grazie alla nozione di successione ${\bf x}:{\bf N}\rightarrow {\bf R}^N$ di Cauchy:

$\forall \varepsilon \exists n^\prime_\varepsilon \forall m, n\geq n^\prime_\varepsilon  d({\bf x}^n, {\bf x}^m)\le \varepsilon$

.

TEOREMA

Cauchy in ${\bf R}^N$ $\Longleftrightarrow$ convergente in ${\bf R}^N$

.

Aperti, chiusi, bordo, punti di accumulazione: cfr. Courant-John Vol.2 Cap. 1.1.

- Se $C\subseteq D\subseteq {\bf R}^N$ allora $C$ si dice aperto (chiuso) relativamente a $D$ se vi è $A$ aperto (risp. chiuso) per cui

  $C=D\cap A$.

Limiti di funzioni. Se $C\subseteq D\subseteq {\bf R}^N$, $P\in {\bf R}^N$ di accumulazione per $C$, $f: D\to {\bf R}^M$ e $L\in {\bf R}^M$, si dice che $f$ converge a $L$ per $x$ che tende a $P$ su $C$ se:

$\forall \varepsilon \exists \delta_\varepsilon >0 \forall x x\in C, x\not=P,  0 < d(x, P)\le \delta_\varepsilon \Rightarrow d(f(x) ,L)\le \varepsilon$

, cioè $\lim_{x\in C, d(x, P)\to 0} d(f(x), L) =0$. Si scriverà $\lim_{x\in C, x\to P} f(x)= L$, o $f\to L$ se $x\to P,  x\in C$.

- $f\to L$, $x\to P,  x\in C$ se e solo se per ogni ${\bf x}^n \to P,  ^n\in C, {\bf x}^n\not= P$ si ha $f({\bf x}^n )\to L$;

- se e solo se per ogni divisione di $C$ in un numero finito di parti che abbiano $P$ come punto di accumulazione $f$ ha limite in ognuna di queste parti e tali limiti sono tutti eguali ad $L$.

e.g. $f(x,y) = \frac yx$, $D= \{ (x,y):  x\not= 0\}$, $C=\{ (x,x): x\not= 0\}$, $P=(0,0)$: $f$ ha limite $1$ in $P$ su $C$, ma non ha limite in $P$ su $D$.

Limitati: $C\subseteq{\bf R}^N$ si dice (metricamente) limitato se è contenuto in una palla: $\exists M\geq 0 \forall x\in C \vert x\vert \le M$.

- Una funzione si dice limitata su $A\subseteq {\bf R}^N$ se i valori di $f$ su $A$ formano un insieme limitato.

- Se $C$ è un insieme non limitato ed $f$ è definita su $C$ si dice che $f$ tende ad $L$ all'infinito su $C$ se

$\forall \varepsilon >0 \exists r \forall x\in C ,  \vert x \vert \geq r \Rightarrow d(f(x), L)\le\varepsilon$

, cioè $\lim_{\vert x\vert\to \infty, x\in C} d(f(x), L)=0$.

- Se una funzione ha limite per $x\to P$ (o all'infinito), $x\in C$ allora è limitata su $C$ intersecato una palla di centro $P$ (il complementare di una palla). In particolare se una successione ha limite allora è limitata.

Funzioni continue $C\subseteq D\subseteq {\bf R}^N$, $P\in C$ $f: D\to {\bf R}^M$: si dice che $f$ è continua in $P$ su $C$, o che $P$ è un punto di continuità di $f$ su $C$ se

$P$ è di accumulazione per $C$ e $\lim_{x\in C, x\to P} f(x)= f(P)$,

oppure $P$ è un punto isolato per $C$

-$f$ è continua in $P$ su $C$ se e solo se per ogni ${\bf x}^n\to P$, ${\bf x}^n\in C$ si ha $f({\bf x}_n )\to f(P)$.

- Definizione. $f$ è continua su $C$ se è continua in ogni punto su $C$.

- Definizione. $f$ è uniformemente continua su $C$ se

$\forall \varepsilon \exists \delta_\varepsilon >0 \forall x, y\in C, d(x, y)\le \delta_\varepsilon \Rightarrow d(f(x) ,f(y))\le \varepsilon$

ovvero $\lim_{\delta\to 0} \sup_{x, y\in C, d(x,y)\le \delta} d(f(x), f(y))=0$.

.

- le funzioni $(x, y)\in {\bf R}^N\times {\bf R}^N \mapsto x+y\in {\bf R}^N$ ( ${\vert (x+y)- (u+v)\vert \le \vert x-u\vert +\vert y-v\vert}$), $(\lambda ,x)\in {\bf R}\times {\bf R}^N\mapsto \lambda x \in{\bf R}^N$ () sono continue.

- composizione di funzioni continue è continua.

Se ne deduce che le funzioni continue su un insieme a valori in ${\bf R}^M$ ``ereditano'' la struttura lineare di ${\bf R}^M$. Essendo la dimensione di ${\bf R}^N$ finita se ne deduce che le funzioni lineari sono continue.

E.g. per composizione con la somma e il prodotto si ha che le funzioni le cui componenti sono funzioni razionali a denominatore non nullo sono continue.

- $f$ è continua su $C$ se e solo se

le preimmagini di aperti sono aperte relativamente a $C$

le preimmagini di chiusi sono chiuse relativamente a $C$

Nota: In particolare i luoghi di zeri di funzioni continue di ${\bf R}^N$ sono chiusi.

Compatti per successioni Un sottoinsieme $C$ di ${\bf R}^N$ si dice comaptto (per successioni) se da ogni successione a valori in $C$ si può estrarre una sottosuccessione che converge e il cui limite è un elemento di $C$.

- I sottoinsiemi compatti sono chiusi. I sottoinsiemi finiti sono compatti

TEOREMA

$C\subseteq{\bf R}^N$ è compatto se e solo se è limitato e chiuso.

TEOREMA

L'immagine di un compatto mediante una funzione continua è un compatto.

NOTA: non è vero in generale che l'immagine di aperti (chiusi) mediante funzioni continue sia aperta (chiusa).

TEOREMA

Se $C$ è compatto $f:C\to {\bf R}$ allora $f$ ha un punto di massimo e un punto di minimo su $C$

,

cioè $\exists a\in C  b\in C \forall x\in C f(a)\le f(x)\le f(b)$

TEOREMA

Se $f$ è continua su $C$ compatto allora è uniformemente continua su $C$.

Connessi. Un sottoinsieme $C$ di ${\bf R}^N$ si dice connesso se solo se non è unione di due aperti (chiusi) relativamente a $C$, non vuoti e disgiunti.

Cioè se $A, B$ sono entrambi aperti o chiusi di ${\bf R}^N$ per cui $A\cap C \not=\emptyset, B\cap C \not=\emptyset, C\subseteq A\cup B$ allora $A\cap B\cap C\not=\emptyset$.

In altri termini non vi è una $f: C\to \{ 0,1\}$ surgettiva e continua su $C$.

- Definizione: Un insieme $C$ si dice connesso per archi se ogni coppia di punti può essere congiunta da un cammino continuo interamente contenuto in $C$.

Cioè per $x,  y\in C$ vi è $\gamma_{xy} :t\in [0;1] \mapsto \gamma (t)\in C$ continuo per cui $\gamma (0)=x$ e $\gamma (1)=y$.

- Ogni connesso per archi è anche connesso in quanto gli intervalli in ${\bf R}$ sono connessi.

Il sottoinsieme di ${\bf R}^2$ dato dall'unione di $\{0\}\times [-1; 1]$ con grafico della funzione $\sin \frac 1x$ è connesso ma non connesso per archi.

PROPOSIZIONE Un sottoinsieme aperto e connesso è anche connesso per archi.

TEOREMA  

L'immagine di un connesso (connesso per archi) mediante una funzione continua

è ancora connessa (connessa per archi).

.

In particolare una funzione continua su un connesso a valori reali assume tutti i valoi compresi tra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiore.