Complementi di Analisi Matematica V.M. Tortorelli C.L.S. Informatica, A.A. 2003/04 Schema della seconda e terza lezione: 3-5 marzo 2004

————————————————————————————————————————– Convergenza di successioni. Si dice che una successione x : N → R^{N} converge a x ∈ R^{N}, e scriveremo

lim_{n→∞} x^{n} = x o x^{n} → x, n → ∞, se: ∀ε∃n_{ε}∀n ≥ n_{ε} d(x^{n}, x) ≤ ε , cioè se lim_{n→∞} d(x^{n}, x) = 0.

- Se y ∈ R^{N} si ha |y_{i}|_{1} ≤ |y|_{N} ≤ |y_{1}| + … |y_{N}|. Quindi una successione converge se e solo se le N successioni di numeri reali date dalle sue coordinate cartesiane convergono rispettivamente alle componenti omologhe del suo limite. Questo permette di estendere le proprietà dei limiti in R^{N}.

- La propietà di completezza di R viene estesa ad R^{N} grazie alla nozione di successione x : N → R^{N} di

Cauchy: ∀ε∃n′_{ε}∀m, n ≥ n′_{ε} d(x^{n}, x^{m}) ≤ ε .

TEOREMA Cauchy in R^{N} ⟺ convergente in R^{N} .

Aperti, chiusi, bordo, punti di accumulazione: cfr. Courant-John Vol.2 Cap. 1.1.

- Se C ⊆ D ⊆ R^{N} allora C si dice aperto (chiuso) relativamente a D se vi è A aperto (risp. chiuso) per cui C = D ∩ A. Limiti di funzioni. Se C ⊆ D ⊆ R^{N}, P ∈ R^{N} di accumulazione per C, f : D → R^{M} e L ∈ R^{M}, si dice che f

converge a L per x che tende a P su C se: ∀ε∃δ_{ε} > 0∀x x ∈ C, x ≠ P, 0 < d(x, P) ≤ δ_{ε} ⇒ d(f(x), L) ≤ ε ,

cioè lim_{x∈C, d(x,P)→0} d(f(x), L) = 0. Si scriverà lim_{x∈C, x→P} f(x) = L, o f → L se x → P, x ∈ C.

- f → L, x → P, x ∈ C se e solo se per ogni x^{n} → P, x^{n} ∈ C, x^{n} ≠ P si ha f(x^{n}) → L;

- se e solo se per ogni divisione di C in un numero finito di parti che abbiano P come punto di accumulazione f ha limite in ognuna di queste parti e tali limiti sono tutti eguali ad L. e.g. f(x, y) = \frac{y}{x}, D = \{(x, y) : x ≠ 0\}, C = \{(x, x) : x ≠ 0\}, P = (0, 0): f ha limite 1 in P su C, ma non ha limite in P su D. Limitati: C ⊆ R^{N} si dice (metricamente) limitato se è contenuto in una palla: ∃M ≥ 0∀x ∈ C|x| ≤ M.

- Una funzione si dice limitata su A ⊆ R^{N} se i valori di f su A formano un insieme limitato.

- Se C è un insieme non limitato ed f è definita su C si dice che f tende ad L all’infinito su C se

∀ε > 0∃r∀x ∈ C, |x| ≥ r ⇒ d(f(x), L) ≤ ε , cioè lim_{|x|→∞, x∈C} d(f(x), L) = 0.

- Se una funzione ha limite per x → P (o all’infinito), x ∈ C allora è limitata su C intersecato una palla di centro P (il complementare di una palla). In particolare se una successione ha limite allora è limitata. Funzioni continue C ⊆ D ⊆ R^{N}, P ∈ C f : D → R^{M}: si dice che f è continua in P su C, o che P è un

punto di continuità di f su C se P è di accumulazione per C e lim_{x∈C, x→P} f(x) = f(P), oppure P è un punto isolato per C

-f è continua in P su C se e solo se per ogni x^{n} → P, x^{n} ∈ C si ha f(x_{n}) → f(P).

- Definizione. f è continua su C se è continua in ogni punto su C.

- Definizione. f è uniformemente continua su C se ∀ε∃δ_{ε} > 0∀x, y ∈ C, d(x, y) ≤ δ_{ε} ⇒ d(f(x), f(y)) ≤ ε

ovvero lim_{δ→0} sup_{x, y∈C, d(x,y)≤δ} d(f(x), f(y)) = 0.

ESERCIZIO: f è uniformemente continua su C se e solo se date due successioni x^{n}∈C, y^{n}∈C per cui d(x_{n},y_{n})→0 si ha anche

d(f(x_{n}),f(y_{n}))→0.

- le funzioni (x, y) ∈ R^{N} × R^{N} ↦ x + y ∈ R^{N} (|(x+y)−(u+v)|≤|x−u|+|y−v|), (λ, x) ∈ R × R^{N} ↦ λx ∈ R^{N} (|λx−γy|≤|λ||x−y|+|λ−γ||y|) sono continue.

- composizione di funzioni continue è continua. Se ne deduce che le funzioni continue su un insieme a valori in R^{M} “ereditano” la struttura lineare di R^{M}. Essendo la dimensione di R^{N} finita se ne deduce che le funzioni lineari sono continue.

Un’altra dimostrazione è la seguente: x∈R^{n}↦Ax∈R^{M} è lineare con A matrice di componenti A_{ij}, 1≤i≤M, 1≤j≤N. Basta provare la continuità in O∈R^{N} poichè Ax−Ay=A(x−y). Quindi |Ax|_{M}^{2} =∑_{i}(∑_{j} A_{ij}x_{j})^{2}≤(Schwartz) ∑_{i} ∑_{j} A_{ij}^{2} ∑_{j} x_{j}^{2}=|x|_{N}^{2} ∑_{ij} A_{ij}^{2}

E.g. per composizione con la somma e il prodotto si ha che le funzioni le cui componenti sono funzioni razionali a denominatore non nullo sono continue.

- f è continua su C se e solo se le preimmagini di aperti sono aperte relativamente a C le preimmagini di chiusi sono chiuse relativamente a C

Nota: In particolare i luoghi di zeri di funzioni continue di R^{N} sono chiusi. Compatti per successioni Un sottoinsieme C di R^{N} si dice comaptto (per successioni) se da ogni successione a valori in C si può estrarre una sottosuccessione che converge e il cui limite è un elemento di C.

- I sottoinsiemi compatti sono chiusi. I sottoinsiemi finiti sono compatti

TEOREMA C ⊆ R^{N} è compatto se e solo se è limitato e chiuso.

ESERCIZIO un sottoinsieme compatto o ha un punto di accumulazione o è fatto da un insieme finito di punti.

TEOREMA L’immagine di un compatto mediante una funzione continua è un compatto.

NOTA: non è vero in generale che l’immagine di aperti (chiusi) mediante funzioni continue sia aperta (chiusa).

TEOREMA Se C è compatto f : C → R allora f ha un punto di massimo e un punto di minimo su C ,

cioè ∃a ∈ C b ∈ C ∀x ∈ C f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) Connessi. Un sottoinsieme C di R^{N} si dice connesso se solo se non è unione di due aperti (chiusi) relativamente a C, non vuoti e disgiunti. Cioè se A, B sono entrambi aperti o chiusi di R^{N} per cui A ∩ C ≠ ∅, B ∩ C ≠ ∅, C ⊆ A ∪ B allora A ∩ B ∩ C ≠ ∅. In altri termini non vi è una f : C → {0, 1} surgettiva e continua su C.

ESERCIZIO: i connessi di R sono ∅, R, intervalli e semirette.

- Definizione: Un insieme C si dice connesso per archi se ogni coppia di punti può essere congiunta da un cammino continuo interamente contenuto in C. Cioè per x, y ∈ C vi è γ_{xy} : t ∈ [0; 1] ↦ γ(t) ∈ C continuo per cui γ(0) = x e γ(1) = y.

- Ogni connesso per archi è anche connesso in quanto gli intervalli in R sono connessi. Il sottoinsieme di R^{2} dato dall’unione di \{0\} × [−1; 1] con grafico della funzione sin \frac{1}{x} è connesso ma non connesso per archi. PROPOSIZIONE Un sottoinsieme aperto e connesso è anche connesso per archi.

TEOREMA L’immagine di un connesso (connesso per archi) mediante una funzione continua è ancora connessa (connessa per archi). ,