Complementi di Analisi Matematica V.M. Tortorelli C.L.S. Informatica, A.A. 2003/04 Appunti dell’ ottava lezione: 24 marzo 2004

Moltiplicatori di Lagrange e gradiente tangenziale Misurabilità alla Peano-Jordan

- Un n-rettangolo (cartesiano) in R^{n} è il prodotto cartesiano di n intervalli: R = I_{1} × … I_{n}, I_{i}, 1 ≤ i ≤ n intervalli limitati con o senza estremi inclusi in R.

- La misura elementare di un n rettangolo e il prodotto delle differnze degli estremi dei suoi lati. Definizione se A ⊂ R^{n} non vuoto e limitato si dice misurabile secondo Peano-Jordan se i seguenti numeri coincidono:

sup ∑_{R∈F} me(R) : al variare di F famiglia finita di rettangoli disgiunti contenuti in A

(approssimazione interna)

inf ∑_{R∈G} me(R) : al variare di G famiglia finita di rettangoli disgiunti con unione contenente A (approssimazione esterna)

Nel caso il comune valore se dice misura (n-dimensionale) di Peano-Jordan e si denota con m(A). m_{n}(A). Si pone inoltre m(∅) = 0.

m(R) = me(R) se R è rettangolo cartesiano

m(A ∪ B) = m(A) + m(B) se A ∩ B = ∅

Integrabilità alla Riemann Una funzione limitata f a valori in R si dice Riemann integrabile su un n-rettangolo Q (nulla fuori da Q) se i seguenti numeri coincidono:

sup ∑_{R∈F} inf_{R} fme(R) : al variare di F famiglia finita di rettangoli con parti interne disgiunte con unione Q (approssimazione inferiore) inf ∑_{R∈G} sup_{R} fme(R) : al variare di G famiglia finita di rettangoli con parti interne disgiunte con unione Q (approssimazione superiore)

In tal caso il comune valore si dice integrale di Riemann di f su Q e si indica con ∫_{Q} f(x)dx. i- A è P.-J. misurabile se e solo se δA lo è e m(δA) = 0 se e solo se χ_{A} è R.-integrabile. ii- se f ≥ 0 allora f è R.-integrabile su Q se e solo se il suo sottografico su Q ‘eP.J.-misurabile in R^{n+1}. Nel caso m_{n+1}({(x, y) : x ∈ Q, 0 ≤ y ≤ f(x)}) = ∫_{Q} f(x)dx. (DOMINI NORMALI). iii- una funzione continua f su un rettangolo R è R.-integrabile. Grazie al teorema degli zeri e al teorema di Weiestrass si ha che vi è ξ ∈ R per cui \frac{1}{m(R)} ∫_{R} fdx = f(ξ). iv- se f e g sono R.-integrabili tale è fg. Se g = χ_{A} l’integrale di questo prodotto si indica con ∫_{A} f(x)dx.

Sommabilità.

- Sia f una funzione a valori reali non negativa. Essa si dice sommabile in senso generalizzato se: - ∀m ∈ N f ∧ m è R.-integrabile su [−m; m]^{n},

- lim_{m→∞} ∫_{[−m;m]^{n}} f(x) ∧ mdx ∈ R. Tale limite si dirà integrale in senso generalizzato e si indicherà con ∫ fdx. Una funzione a valori reali si dice sommabile se lo sono la sua parte positiva e la sua parte negativa. Il suo integrale in senso genaralizzato sarà la differenza tra quelli delle sue parti.

Proprietà principali 1- le funzioni sommabili formano uno spazio vettoriale e l’integrale è un funzionale lineare; 2- il minimo e il massimo tra due funzioni sommabili sono anch’essi sommabili (reticolo),

- se f ≥ g allora ∫ f ≥ ∫ g (monotonia dell’integrale), 3- |∫ f| ≤ ∫ |f| (diseguaglianza triangolare), 4 - se A e B sono misurabili in senso generalizzato tali sono A ∪ B, A ∩ B, A \ B (proprietà di semialgebra),

- se f è sommabile sull’unione allora ∫_{A∪B} f = ∫_{A} f + ∫_{B} f − ∫_{A∩B} f (additività).

NOTA: se f e g sono sommabili non è detto che il loro prodotto lo sia: e.g. f=g= \frac{1}{\sqrt{x}}. Se una delle due è limitata si.

5- ∫ f(x + v)dx = ∫ f(x)dx (invarianza per traslazioni). 6- TEOREMA DI FUBINI-TONELLI Posto x = (x′, x′′) ∈ R^{n}, con x′ ∈ R^{k}, x′′ ∈ R^{n−k} se:

- x ↦ f(x) è sommabile in R^{n}

- e per ogni x′′ ∈ R^{n−k} la x′ ↦ f(x′, x′′) è sommabile in R^{k} allora

- x′′ ↦ ∫ f(x′, x′′)dx′ è sommabile in R^{n−k} e ∫_{R^{n}} f(x)dx = ∫_{R^{n−k}} (∫_{R^{k}} f(x′, x′′)dx′) dx′′.

NOTA: per avere un teorema più soddisfaciente è necessario estendere la nozione di sommabilità ad una classe più ampia di funzioni. In particolare con le nozioni qui date è falso che se

- per ogni x′′ ∈ R^{n−k} la x′ ↦ f(x′, x′′) è sommabile in R^{k}

- x′′ ↦ ∫ f(x′, x′′)dx′ è sommabile in R^{n−k} ne segua che x ↦ f(x) sia sommabile in R^{n}: si consideri una funzione non Riemann integrabile di una variabile x′′ ↦ φ(x′′) per esempio la funzione che vale 1 sui razionali in [0; 1] e 0 altrove, e la funzione x′χ_{[−2;2]}(x′). Si consideri f(x′, x′′) = χ_{[−2;2]}(x′ − φ(x′′)): la funzione non è R.-integrabile poichè in ogni rettangolo contenuto in [−2; 3] × [0; 1] ha estermo superiore 1 ed estremo inferiore 0. Ma la funzione x′ ↦ χ_{[−2;2]}(x′ − φ(x′′)) è R.-integrabile per ogni x′′ e il suo integrale non dipende da x′′ ∈ [0; 1] essendo sempre la lunghezza dell’intervallo [−2; 2] o del suo traslato [−1; 3], cioè 4. In particolare è una funzione costante di x′′ in [0; 1] e quindi R.-integrabile.

7- TEOREMA DI CAMBIAMENTO DI VARIABILE: Sia Φ : y ∈ A ↦ x = Φ(y) ∈ Φ(A) iniettiva, differenziabile con continuità, A e Φ(A) siano aperti misurabili di R^{n} e dΦ_{y} sia sempre invertibile. Allora se x ↦ f(x) è sommabile su Φ(A):

- y ↦ f(Φ(y))|det∇Φ(y)| è sommabile su A

- ∫_{Φ(A)} f(x)dx = ∫_{A} f(Φ(y))|det∇Φ(y)|dy. Si noti che per il teorema di invertibilità locale l’inversa di Φ è anch’essa differenziabile con continuità. Invadendo A con compatti misurabili ci si riduce al caso in cui ∞ > C ≥ |det∇Φ(y)| ≥ c > 0, e Φ è interscambiabile con Φ^{−1}.

Lunghezza di un cammino Definizione ed enunciato della dimostrazione del teorema di rettificabilità. Elemento di lunghezza ed integrali di funzioni su cammini. k-Volume di k-superficie parametrica regolare semplice Integrazione di funzioni su superficie parametrica. Indipendenza dalla parametrizzazione (esercizio). Formule di Guldino.