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\begin {document}



\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 

\centerline{V.M. Tortorelli}

\centerline{C.L.S. Informatica, A.A. 2003/04}


\centerline{Appunti dell' ottava lezione: 24 marzo 2004}

\medskip

\noindent{\bf Moltiplicatori di Lagrange e gradiente tangenziale}

\smallskip
\noindent {\bf Misurabilit\`a alla Peano-Jordan}

- Un $n$-rettangolo (cartesiano) in $\R^n$ \`e il prodotto cartesiano di $n$ intervalli:
$R= I_1 \times \dots I_n$, $I_i$, $1\le i\le n$ intervalli limitati con  o senza estremi
 inclusi in $\R$.

- La misura elementare di un $n$ rettangolo e il prodotto delle differnze degli estremi 
dei suoi lati.


\noindent {\bf Definizione} se $A\subset \R^n$ non vuoto e 
{\it limitato} si dice  {\it misurabile  secondo Peano-Jordan}
 se i seguenti numeri  coincidono:
  
$\sup \sum_{R\in {\cal F}}  me(R):~~ \hbox{\rm al variare di }~{\cal F}~
\hbox{ famiglia {\it finita} di rettangoli disgiunti contenuti in }~ A$ 

(approssimazione interna)

$\inf \sum_{R\in {\cal G}} me(R):~~
\hbox{\rm al variare di }~{\cal G}~
\hbox{ famiglia {\it finita} di rettangoli disgiunti con unione contenente}~ A$ 

(approssimazione esterna)

\noindent Nel caso il comune valore se dice misura 
 ($n$-dimensionale) di Peano-Jordan e 
si denota  con $m(A)$. $m_n (A)$. Si pone inoltre $m(\emptyset)=0$.


{ \centerline{
\begin{tabular}{| c |}
\hline
~\\
$m(R)=me(R)$ se $R$ \`e rettangolo cartesiano\\
~\\
$m(A\cup B)= m(A)+m(B)$ se $A\cap B=\emptyset$\\
~\\
\hline
\end{tabular}
}}

\medskip

\noindent {\bf Integrabilit\`a alla Riemann} Una funzione {\it limitata} 
$f$ a valori in $\R$  
si dice Riemann integrabile su un $n$-rettangolo $Q$ (nulla fuori da $Q$) se i seguenti numeri coincidono:

$\sup \sum_{R\in {\cal F}} \inf_R f me(R):~~ \hbox{\rm al variare di }~{\cal F}~
\hbox{ famiglia {\it finita} di rettangoli con parti interne disgiunte 
con unione  }~ Q$ 

(approssimazione inferiore)

$\inf \sum_{R\in {\cal G}}\sup_R f me(R):~~
\hbox{\rm al variare di }~{\cal G}~
\hbox{ famiglia {\it finita} di rettangoli con parti interne disgiunte 
con unione}~ Q$ 

(approssimazione superiore)



\medskip

\noindent In tal caso il comune valore si dice integrale di Riemann di $f$ su $Q$ 
e si indica con $\int_Q f(x) dx$.




\noindent {\bf i}- $A$ \`e P.-J. misurabile se e solo se $\delta A$ lo \`e e $m(\delta A )=0$ se e solo se 
 $\chi_A$ \`e R.-integrabile. 


\noindent {\bf ii}- se $f\geq 0$ allora $f$ \`e R.-integrabile su $Q$ 
se e solo se il suo sottografico su $Q$ `\e P.J.-misurabile in $\R^{n+1}$. Nel caso 
$m_{n+1} (\{ (x,y) : ~x\in Q, ~ 0\le y\le f(x)\})=\int_Q f(x)dx$. (DOMINI NORMALI).


\noindent {\bf iii}- una funzione continua $f$ su un rettangolo $R$ \`e  R.-integrabile. 

\noindent Grazie al teorema degli zeri e al teorema di Weiestrass si ha
 che vi \`e $\xi\in R$ per cui $\frac 1{m(R)}\int_R fdx = f(\xi )$.

\noindent {\bf iv}- se $f$ e $g$ sono R.-integrabili tale \`e $fg$. Se $g=\chi_A$ 
l'integrale di questo prodotto si indica con $\int_A f(x) dx$. 

\medskip

\noindent {\bf Sommabilit\`a.} 

\noindent - Sia $f$ una funzione a valori reali {\it non negativa}. 
Essa si dice {\it sommabile} 
in senso generalizzato se:

- $\forall m\in \N$ $f\wedge m$ \`e R.-integrabile su $[-m;m]^n$,

- $\lim_{m\to \infty} \int_{[-m;m]^n}f(x)\wedge m dx \in \R$.

\noindent Tale limite si dir\`a integrale in senso generalizzato e si indicher\`a 
con $\int fdx$.

\noindent Una funzione a valori reali si dice sommabile se lo sono la sua parte positiva e la sua parte negativa.
Il suo integrale in senso genaralizzato sar\`a la differenza tra quelli delle sue parti.
\medskip


\noindent {\bf Propriet\`a principali}


\noindent {\bf 1}- le funzioni sommabili formano uno spazio vettoriale e l'integrale \`e un funzionale 
lineare;

\noindent {\bf 2}- il minimo e il massimo tra due funzioni sommabili sono anch'essi sommabili (reticolo), 

\noindent - se $f\geq g$ allora $\int f\geq \int g$ (monotonia dell'integrale),

\noindent {\bf 3}- $\left\vert \int f\right\vert \le \int\vert f\vert $ (diseguaglianza triangolare),

\noindent {\bf 4} - se $A$ e $B$ sono misurabili in senso generalizzato tali sono $A\cup B$, $A\cap B$, 
$A\setminus B$ (propriet\`a di semialgebra),

\noindent -  se $f$ \`e sommabile sull'unione allora $\int_{A\cup B} f=\int_A f+ \int_B f -\int_{A\cap B} f$ (additivit\`a).

\noindent {\pic NOTA: se $\scriptstyle{f}$ e $\scriptstyle{g}$ sono sommabili non \`e detto che il 
 loro prodotto lo sia:  e.g. $\scriptstyle{f=g= \frac 1 {\sqrt{x}}}$.
Se una delle due \`e limitata si.}

\noindent {\bf 5}- $\int f(x+v) dx = \int f(x) dx$ (invarianza per traslazioni).


\noindent {\bf 6}- TEOREMA DI FUBINI-TONELLI Posto $x= (x^\prime , x^{\prime\prime}) \in \R^n$, 
 con $x^\prime \in \R^k$, $ x^{\prime\prime}\in\R^{n-k}$ se:

- $x\mapsto f(x)$ \`e sommabile in $\R^n$ 
 
- e per ogni $x^{\prime\prime}\in\R^{n-k}$ la $x^\prime\mapsto f(x^\prime, x^{\prime\prime})$ \`e sommabile in 
$\R^{k}$

\noindent allora

- $x^{\prime\prime}\mapsto \int f(x^\prime, x^{\prime\prime}) dx^\prime$ \`e sommabile in $\R^{n-k}$ 
 e $\int_{\R^n} f(x) dx = \int_{\R^{n-k}}\left(\int_{\R^k} f(x^\prime, x^{\prime\prime} )d x^\prime\right) dx^{\prime\prime}$.


\medskip

\noindent NOTA: per avere un teorema pi\`u soddisfaciente \`e necessario estendere la nozione di sommabilit\`a ad una 
classe pi\`u ampia di funzioni. In particolare 
con le nozioni qui date \`e {\it falso} che se


-  per ogni $x^{\prime\prime}\in\R^{n-k}$ la $x^\prime\mapsto f(x^\prime, x^{\prime\prime})$ \`e sommabile in 
$\R^{k}$

- $x^{\prime\prime}\mapsto \int f(x^\prime, x^{\prime\prime}) dx^\prime$ \`e sommabile in $\R^{n-k}$ 

\noindent  ne segua che $x\mapsto f(x)$ sia sommabile in $\R^n$:


\noindent si consideri una funzione {\it non Riemann integrabile}  di una variabile $x^{\prime\prime}\mapsto 
\varphi (x^{\prime\prime} )$ per esempio la funzione che vale $1$ sui razionali in $[0;1]$ e $0$ altrove,  e 
la funzione   $x^\prime \chi_{[-2; 2]} (x^\prime )$.
Si consideri $f(x^\prime , x^{\prime\prime} )=  \chi_{[-2; 2]} ( x^\prime - \varphi (x^{\prime\prime}))$: la funzione 
non \`e R.-integrabile poich\`e in ogni rettangolo 
contenuto in $[-2; 3]\times [0; 1]$ ha estermo superiore $1$ ed estremo inferiore $0$.
Ma la funzione $x^\prime\mapsto \chi_{[-2; 2]} ( x^\prime - \varphi (x^{\prime\prime}))$ \`e R.-integrabile per ogni  
$x^{\prime\prime}$ e il suo integrale non dipende da $x^{\prime\prime}\in [0;1]$ essendo sempre la lunghezza dell'intervallo 
$[-2;2]$ o del suo traslato $[-1;3]$, cio\`e $4$. In particolare \`e una funzione costante di $x^{\prime\prime}$ in $[0;1]$ 
e quindi  R.-integrabile.

\medskip

\noindent {\bf 7}- TEOREMA DI CAMBIAMENTO DI VARIABILE: Sia $\Phi :y\in A\mapsto x=\Phi (y)\in \Phi (A)$
 {\it iniettiva}, 
differenziabile con continuit\`a,   $A$ e $\Phi (A)$ siano aperti misurabili di $\R^n$ e $d\Phi_y$ sia sempre 
invertibile. Allora se $x\mapsto f(x)$ \`e sommabile su $\Phi (A)$:

- $y\mapsto f(\Phi (y)) \vert det \nabla\Phi(y)\vert$ \`e sommabile su $A$

- $\int_{\Phi (A)} f(x) dx =\int_A f(\Phi (y)) \vert det \nabla\Phi(y)\vert dy $.

\noindent Si noti che per il teorema di invertibilit\`a locale l'inversa di $\Phi$ \`e anch'essa differenziabile 
con continuit\`a. Invadendo $A$ con compatti misurabili ci si riduce al caso in cui 
$\infty>C\geq \vert det \nabla\Phi(y)\vert\geq c>0$, e $\Phi$ \`e interscambiabile con $\Phi^{-1}$.

\medskip

\noindent {\bf Lunghezza di un cammino} Definizione ed enunciato della dimostrazione del
 teorema di rettificabilit\`a. Elemento di lunghezza ed integrali di funzioni su cammini.

\noindent {\bf $k$-Volume di $k$-superficie parametrica regolare semplice} Integrazione di funzioni
 su superficie parametrica. Indipendenza dalla parametrizzazione (esercizio). Formule di Guldino.




\end{document}
