\documentclass[,italian,a4paper]{article}
\message{lezioni di cam}
%\usepackage{babel}
%\usepackage{a4}  
%\usepackage{amssymb}
%\documentstyle [12pt]{article}
\newcommand{\rem}[1]{}  %per commentare intere porzioni di testo
\def\text#1{{\mathrm{#1}}}              %% testo nelle formule
\newcommand{\e}{{\bf e}}             %% e grassetto
%\newcommand{\R}{{\mathbb R}} 
\newcommand{\R}{{\bf R}}            %% numeri reali
%\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} 
\newcommand{\Q}{{\bf Q}}            %% numeri razionali
%\newcommand{\N}{{\mathbb N}} 
\newcommand{\N}{{\bf N}}            %% naturali
%\newcommand{\C}{{\mathbb C}} 
\newcommand{\C}{{\bf C}}            %% complessi
\newcommand{\CC}{{\mathcal C}}           %% funzioni continue
\renewcommand{\H}{{\mathcal H}}         %% misura di Hausdorff
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}            %% frontiera ridotta
\newcommand{\Z}{{\mathbf Z}}            %% interi
\renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}}  %% epsilon
\renewcommand{\phi}{{\varphi}}          %% phi
\newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme
\renewcommand{\:}{{\!\,:\,}}            %% : delle funzioni o negli insiemi
\renewcommand{\d}{{\,\text{d}}}         %% differenziale negli integrali
\newcommand{\diffsim}{\Delta}           %% differenza simmetrica
\def\bea{\begin{eqnarray*}}
\def\eea{\end{eqnarray*}}
\newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]}
\newcommand{\sys}[1]{\left\{\begin{array}{l}#1\end{array}\right.}
\newcommand{\sysar}[1]{\left\{\begin{array}{lcl}#1\end{array}\right.}
\newcommand{\PreserveBackslash}[1]{\let\temp=\\#1\let\\=\temp}
\let\PBS=\PreserveBackslash
\font\pic=cmr7


%\documentstyle [12pt]{article}
%\pagestyle{empty}

%\topmargin=-2cm
%\oddsidemargin=-0.5cm
%\textwidth=16.6cm
%\textheight=25cm

\topmargin=-2cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\textwidth=16.6cm
\textheight=25cm

\begin {document}



\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 

\centerline{V.M. Tortorelli}

\centerline{C.L.S. Informatica, A.A. 2003/04}


\centerline{Appunti della nona lezione e di parte della decima: 2 aprile 2004}

\medskip

\noindent{\bf Concentrazione delle funzioni sommabili} Se $f$ \`e sommabile in senso generalizzato si ha:

$\displaystyle{\lim_{R\to +\infty}\int_{\vert x\vert \geq R} \vert f(x)\vert dx +\int (\vert f(x)\vert \vee R -R) dx=0}$.

\medskip

\noindent Per comodit\`a di scrittura si consideri $f\geq 0$. 
Per definizione $\int  f = \lim_{R\to +\infty}
\int_{\vert x \vert \le R} f\wedge  R$.

\noindent Se $k\geq R$ si ha  
$\int_{\vert x \vert \le R} f\wedge  R\le 
\int_{\vert x \vert \le k }(\chi_{\vert x\vert \le R} f)\wedge  k$ che per 
$k\to\infty$
tende a $\int \chi_{\vert x\vert \le R}f =\int_{\vert x\vert \le R} f$. 

\noindent Quindi $\int f\le \lim_{R\to \infty} 
\int_{\vert x\vert \le R} f \le \int f$. D'altronde  $f\vee R -R =f- f\wedge R$ il 
cu integrale per $R$ grande \`e minore di $\varepsilon +\int_{\vert x \vert \geq R} f$.



\smallskip
\noindent {\bf Convergenza uniforme} i- Limite uniforme di funzioni continue \`e continuo.

\noindent ii- Limite uniforme di funzioni Riemann integrabili su $A$ \`e Riemann integrabile su $A$.

\noindent iii- Se $\psi : \R^M\rightarrow \R^K$ \`e uniformemente continua e $f_n$, a valori in $\R^M$,
 converge uniformemente 
ad $f$ su $A\subseteq \R^N$ allora $\psi\circ f_n$ converge uniformemente a $\psi\circ f$.
 
\noindent In particolare la somma di due successioni uniformemente 
convergenti \`e uniformemente convergente 
alla somma dei limiti.

\noindent iv- Se $\psi : \R^M\rightarrow \R^K$ \`e solo continua e $f_n$ 
converge uniformemente ad $f$ limitata su $A\subseteq \R^N$ 
allora $\psi\circ f_n$ converge uniformemente a $\psi\circ f$.

\noindent In particolare il prodotto di di due successioni uniformemente convergenti 
 ed equilimitate \`e uniformemente convergente al prodotto dei limiti.



\medskip 

\noindent ii- Per il secondo asserto si tratta di provare che dato $\varepsilon$ 
 vi sono due suddivisoni per cui $\sum_{Q\in {\cal G}}\sup_Q f me(Q) -\sum_{Q\in {\cal F}}\inf_Q f me(Q)$ 
\`e  minore di $\varepsilon$.

\noindent Si osserva che per ogni $N$-rettangolo $Q$ contenuto in $A$ 
$\vert \sup_Q f_n - \sup_Q f\vert $ e $\vert \inf_Q f_n - \inf_Q f\vert $ sono minori di $\sup_A \vert f-f_n\vert$.
Quindi per due suddivisioni {\cal G} e {\cal F} si ha:

\noindent $\sum_{Q\in {\cal G}}\sup_Q f me(Q) -\sum_{Q\in {\cal F}} \inf_Q f me(Q)\le 
2\sup_A \vert f-f_n\vert +  \left(\sum_{Q\in {\cal G}}\sup_Q f_n me(Q) -\sum_{Q\in {\cal F}} \inf_Q f_n me(Q)\right)$

\noindent Fissato $\varepsilon$ si considera $n$ per cui il primo addendo \`e minore di $\varepsilon$.
Per  questo preciso $n$ vi sono due suddivisioni ${\cal G}$ e ${\cal F}$ per cui il secondo addendo 
  \`e anch'esso mionore di $\varepsilon$. Quindi fissato $\varepsilon$ per queste due suddivisioni 
si ha quanto voluto.


\medskip

\noindent iii- Per il terzo asserto fissato $\varepsilon$ 
si considera $\delta$ per cui $\psi (x)- \psi (y)\vert \le \varepsilon$ 
quando $\vert x-y\vert\le \delta$. Come secondo passo si considera 
$\overline n$ per cui se $n\geq \overline n$ \`e $\sup_A \vert f_n -f\vert\le \delta$.



\noindent iv- Il quarto asserto segue osservando che se $f$ \`e limitato tutte le $f_n$ sono limitate
da eguali costanti indipendenti da $n$. Ma allora le loro immagini son in un compatto e $\psi$ ristretta ad esso 
 \`e uniformemente continua.


\noindent NOTA: in effetti una successione di funzioni 
che converge uniformemente \`e equilimitata se e solo se la funzione limite 
\`e limitata. Se invece
 la funzione limite non \`e limitata 
le funzioni della successione da un  certo indice in poi non sono limitate.

\medskip

\noindent {\bf Limiti di integrali.} \`E immediato verificare che se 

1- $f_n$ converge uniformemente ad $f$ su $A$ 

2- non solo le $f_n$ ma anche $f$ \`e sommabile su $A$

3- $A$ ha misura finita


\noindent allora $\int_A f_n \to \int_A f$. Infatti:

$\vert \int_A f_n - \int_A f\vert = \vert \int_A (f_n -f)\vert\le \int_A
\vert f_n -f \vert \le
\int_A \sup_A \vert f_n -f\vert =\sup_A \vert f_n -f \vert m(A)$

\noindent {\bf Continuit\`a degli integrali dipendenti da parametro} 
Si consideri $f: (x,y)\in P\times A \mapsto f(x,y)$ per cui:

1- $\sup_{y\in A} \vert f(x,y) -f(x_0, y)\vert \to 0$ se $x\to x_0$, 
continuit\`a in $x_0$ uniforme rispetto a $y\in A$.

2- per ogni $x$ la funzione $y \mapsto f(x,y)$ \`e sommabile su $A$

3- $A$ ha misura finita

\noindent allora $F(x)=\int_A f(x,y) dy$ \`e continua in $x_0$.



\noindent Per estendere il risultato a domini di misura non finita, se pur 
 misurabili, si introduce la seguente nozione

\medskip

\noindent {\bf Definizione:} Una famiglia di funzioni sommabili 
 $x\mapsto f_\lambda (x)$
 si dice {\it sommabile uniformemente} (rispetto al parametro $\lambda$) se:


 $\sup_\lambda
\left\vert \int f_\lambda dx - 
\int_{\vert x\vert \le m }\vert f_\lambda\vert \wedge m dx \right\vert 
\rightarrow 0$.

\noindent Ovvero gli integrali delle troncate convergono agli integrali uniformemente rispetto a
 $\lambda$. 
\medskip

\noindent - {\it Famiglie ``equidominate''}. Se per ogni $x$ e $\lambda$ si ha 
$\vert f_\lambda (x) \vert \le g(x)$ per  una stessa funzione sommabile $g$  
(che non dipende da $\lambda$!) allora la famiglia \`e sommabile uniformemente. 
Tipiche funzioni di confronto sono le $g(x)=
\frac 1{x^\alpha}$. 
\medskip

\noindent {\bf Proposizione:} Se la successione $f_n$ \`e di funzioni sommabili uniformemente 
rispetto ad $n$ e   converge uniformemente ad $f$ {\it sui limitati} allora $f$ \`e sommabile e il suo integrale 
\`e il limite degli integrali.

\medskip


\noindent La sommabilit\`a di $f$ si deduce dalla R.-integrabilit\`a  delle 
sue troncate e dal passaggio al limite per gli integrali delle troncate.
Quindi 


$\vert \int f_n - \int f\vert \le ~~~\vert\int_{\vert x\vert \geq m} f\vert 
 +\vert \int_{\vert x\vert \le m} f_n -\int_{\vert x\vert \le m} f\vert 
+ \vert \int_{\vert x\vert \geq m} f_n\vert\le$

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$\vert \int_{\vert x\vert \geq m} f\vert 
 +\vert \int_{\vert x\vert \le m} f_n -\int_{\vert x\vert \le m} f\vert 
+ \sup_n\vert \int_{\vert x\vert \geq m} f_n\vert $


\noindent Fissato $\varepsilon$ per concentrazione e sommabilit\`a uniforme si trova $m$ per cui 
il primo e l'ultimo addendo siano minori di $\varepsilon$. Quindi per tale $m$ si trova $\overline n$ 
 per cui se $n \geq \overline n$ il secondo addendo \`e minore anch'esso di $\varepsilon$ (passaggio al limite su domini di misura finita).


\noindent In conclusione fissato  $\varepsilon$ si \`e  trovato $\overline n$  t.c. se $n \geq \overline n$ 
 $\vert \int f_n - \int f\vert \le 3\varepsilon$

\medskip

\noindent {\bf Corollario} Se  $f: (x,y)\in P\times A \mapsto f(x,y)$ \`e continua in $x_0$ uniformemente rispetto a $y\in A$,  per ogni 
$x$ le $y\mapsto f(x,y)$ sono sommabili,  
 e se $\vert f(x,y)\vert \le g(y)$ con $g$ sommabile su $A$ allora $F(x)$ \`e continua in $x_0$.
\medskip

\noindent Vi sono i seguenti criteri di convergenza meno impegnativi 
(e relativi corollari per la continuit\`a) :
\medskip

\noindent {\bf Convergenza monotona} se una successione {\it crescente} 
 di funzioni sommabili
 {\it non negative} converge semplicemente punto per punto ad una 
funzione {\it anch'essa sommabile} allora gli integrali convergono 
agli integrali del limite.
\smallskip

\noindent Questo criterio pu\`o essere dimostrato riducendosi a una successione crescente 
di funzioni, di una variabile, continue su un intervallo chiuso, 
 e convergente ad una costante e quindi usando il seguente:


\noindent {\bf Lemma del Dini} Se 

1- $x\in K\mapsto f_n(x)$ sono funzioni continue su $K$

2-$K$ compatto

3-  $f_{n+1}(x)\geq f_n (x)$ per ogni $x\in K$

4- $x\mapsto f(x)=_{\rm def}\lim_n f_n (x)$ \`e continua su $K$

\noindent allora la convergenza \`e uniforme.



\noindent {\bf Convergenza dominata} se una successione 
{\it equidominata} di funzioni sommabili 
converge semplicemente punto per punto ad una funzione {\it anch'essa sommabile} 
allora gli integrali convergono 
agli integrali del limite.

\medskip

\noindent La cornice teorica pi\`u adatta per provare tale teorema \`e quella dell'integrazione 
alla Lebesgue che estende la sommabilit\`a 
generalizzata alla Riemann. In tale ambito pi\`u generale 
le ipotesi di sommabilit\`a del limite risultano superflue.


\medskip

\noindent {\bf Derivata di integrali.} Un criterio per derivare un integrale dipendente da parametro si deduce da quanto detto:
 sia  $f: (x,y)\in P\times A \mapsto f(x,y)$ per cui 
$\exists \frac {\partial f}{\partial x} (x,y)$:

1- $y\mapsto f(x,y), \frac {\partial f}{\partial x} (x,y)$ sono sommabile in $A$ per ogni $x$ 

2- $\frac {f(x+h,y)-f(x,y)}h \rightarrow \frac {\partial f}{\partial x} (x,y)$ uniformemente in $y\in A$

3- $\left\vert \frac {\partial f}{\partial x} (x^\prime,y)\right\vert \le  g(y)$ sommabile in $A$,

\noindent si ha che $F(x)=\int_A f(x,y)dy$ \`e derivabile e $F^\prime (x)=\int_A \frac {\partial f}{\partial x}(x,y) dy$.



\noindent Infatti si scrive il rapporto incrementale di $F(x)$ che \`e l'integrale del rapporto incrementale 
di $x\mapsto f(x,y)$ che converge uniformemente a $\frac{\partial f}{\partial x} (x,y)$. D'altra parte tale 
 rapporto incrementale 
 per il teorema di Lagrange \`e 
$\frac{\partial f}{\partial x} (\xi_{x,y,h} ,y)$. Ma indipendentemente da $\xi$ \`e dominato da una funzione sommabile. Si pu\`o quindi 
 passare al limite.



\noindent {\bf Corollario } In particolare ci\`o avviene se 
 se $f, ~\frac {\partial f}{\partial x}\in C\left([a,b]\times [\alpha ,\beta ]\right)$: la condizione 2- segue da Lagrange e 
dall'uniforme continuit\`a della derivata, la condizione 3- dalla limitatezza della derivata che \`e continua su un compatto.

\medskip


\noindent {\bf Criterio di derivabilit\`a conseguente al teorema di convergenza dominata} 

\noindent  Utilizzando il criterio di convergenza dominata la pesante condizione sul limite uniforme  
pu\`o essere omessa
 e per ``scambiare derivata con integrale'' bastano le seguenti ipotesi: 

\noindent  la funzione \`e sommabile rispetto alla seconda variabile, 
 la sua derivata   
rispetto alla prima variabile esiste sempre \`e non solo sommabile nella seconda variabile 
ma in modulo minore di una funzione sommabile ed indipendente dalla prima variabile.  
\smallskip

\noindent la dimostrazione \`e identica alla precedente: 
il rapporto incrementale  dell'integrale \`e l'integrale del rapporto 
incrementale rispetto alla prima variabile della funzione che tende alla derivata parziale. D'altra parte
 per Lagrange il rapporto  \`e uguale alla derivata rispetto 
alla prima variabile in un valore intermedio del primo argomento e quindi \`e dominato indipendentemente dalla prima variabile 
dalla funzione che maggiora la derivata. Per convergenza dominata si conclude.


\bigskip
\vfill
\eject

\noindent {\bf Continuit\`a globale  di } $F(\alpha ,\beta , x) =\int_\alpha^\beta f(x,y)dy$ con 
$f\in C([a,b]\times [A , B])$ 

\noindent {\bf Differenziabilit\`a di } $F(\alpha ,\beta , x)$ con 
 $f, ~\frac {\partial f}{\partial x}\in C\left([a,b]\times [A , B]\right)$.   


\noindent {\bf Derivata di} $G(x)=\int_{\alpha (x)}^{\beta (x)} f(x,y)dy$, con 
$f, ~\frac {\partial f}{\partial x}\in C([a,b]\times [A,B])$ e $\alpha,~ \beta \in C^1 ([a,b])$
 ( limitate tra $A$ e $B$): 

$G^\prime (x)=
\int_{\alpha (x)}^{\beta (x)}\frac {\partial f}{\partial x} (x,y) dy + f(x,\beta (x))\beta^\prime -
f(x, \alpha (x)) \alpha^\prime (x)$



\medskip

\noindent {\bf Formula elementare 
di Gauss-Green nel piano per integrali non orientati in termini del vettore normale.} 

%Si consideri una $2$-variet\`a $V$  con bordo nel piano chiusa. Si definisce normale esterna in un punto $P$ del suo bordo
%il vettore unitario $\nu (P)$ per cui se $X:U_P\cap V\to \R^2$ \`e un sistema di coordinate locali nell'intorno di $P$  
%con $X(U)$ nel semipiano delle ascisse non negative $dX_p \nu $ ha seconda componente negativa

\noindent Sia $D$ un dominio normale regolare rispetto ad una delle direzioni coordinate. Per esempio 
 $D=\{ (x,y): \alpha (x)\le y\le \beta (x)~, ~~ x\in [a;b]\}$
 con $\alpha ,~ \beta$ differenziabili con continuit\`a per cui il
 bordo di $D$ pu\`o essere parametrizzato come cammino regolare a tratti {\it semplice} e chiuso. 
Tranne che nei quattro vertici risulta  $\nu$ il vettore unitario  normale al bordo di $D$ ed {\it esterno} a 
$D$ (con seconda componente negativa sul grafico di $\alpha$ positiva su quello di $\beta$),  
che risulta una funzione continua a tratti. 

 Con questa convenzione se  $V=(f, g)$ sono funzioni differenziabili con continuit\`a su $D$ si ha 

$\displaystyle {\int_D (f_x (x,y) + g_y (x,y)) dx dy =\int_{\partial D} f\nu_1 dl +\int_{\partial D} g\nu_2 dl= 
\int_{\partial D}  \langle V, \nu\rangle d{\cal L}}$

\medskip

\noindent {\bf Estensione} La stessa formula vale per domini che sono unioni di domini normali regolari rispetto ad una delle 
direzioni coordinate con parti interne disgiunte. In effetti gli integrali sui bordi comuni ai vari pezzi 
si cancellano essendo le normali esterne con direzioni opposte.


\medskip

\noindent {\bf Derivabilit\`a del limite di una successione di funzioni.} Un criterio elementare \`e il seguente


\noindent {\bf I criterio} Sia $x\mapsto f_n (x)$
 una successione di funzioni differenziabili con continuit\`a su $[a;b]$ per cui:

1-  $f^\prime_n \to g$ uniformemente su $[a;b]$ 

2- per un certo $x_0\in [a;b]$ la successioni di numeri $f_n(x_0)$ convergea un certo $\lambda$  

\noindent allora

3- la successione di funzioni $f_n$ converge uniformemente du $[a;b]$

4- la funzione limite \`e derivabile e ha come limite $g$.


\noindent La dimostrazione: per il teorema fondamentale del calcolo passando al limite sotto segno di integrale per 
convergenza uniforme si ha la convergenza punto per punto delle $f_n$:

$\displaystyle{f_n (x)=f_n (x_0) +\int_{x_0}^x f^\prime_n (t)dt\to \lambda+\int_{x_0}^x g (t)dt}$

\noindent Tale convergenza \`e uniforme:


\noindent $\displaystyle{ \sup_{x\in [a;b]} \left\vert f_n (x) - \left(\lambda+\int_{x_0}^x g (t)dt\right)\right\vert=
\sup_{x\in [a;b]} \left\vert \int_{x_0}^x f^\prime_n (t)dt- \int_{x_0}^x g (t)dt\right\vert + o(1)=
\sup_{x\in [a;b]} \left\vert \int_{x_0}^x (f^\prime_n (t)-g (t))dt\right\vert +o(1)\le}$
 
\noindent $\displaystyle{ \sup_{x\in [a;b]} \left\vert \int_{x_0}^x \vert f^\prime_n (t)-g (t)\vert dt\right\vert+o(1)\le  
\sup_{x\in [a;b]}\vert x-x_0\vert \sup_{t {\rm tra} x ,~ x_0}\vert f^\prime_n (t)-g (t)\vert +o(1)\le
(b-a) \sup_{t\in [a;b]}\vert f^\prime_n (t)-g (t)\vert +o(1)} $


\noindent Sempre per il teorema fondamentale il limite essendo una funzione integrale di $g$, che \`e continua in quanto limite 
uniforme di funzioni continue (le $f^\prime_n$), ha come derivata l'integranda.



\medskip


\noindent Vale un enunciato pi\`u forte la cui dimostrazione richiede un minimo approfondimento delle propriet\`a della convergenza
 uniforme e si basa solo sul teorema di Lagrange (piuttosto che sul teorema fondamentale del calcolo e sulla continuit\`a delle 
derivate):


\noindent {\bf II criterio} Sia $x\mapsto f_n (x)$
 una successione di funzioni {\it semplicemente} differenziabili su $]a;b[$ per cui:

1-  $f^\prime_n \to g$ uniformemente sui sottointervalli chiusi di  $]a;b[$

2- per un certo $x_0\in ]a;b[$ la successioni di numeri $f_n(x_0)$ convergea un certo $\lambda$ 

\noindent allora

3- la successione di funzioni $f_n$ converge uniformemente sui sottointervallli chiusi di  $]a;b[$

4- la funzione limite \`e derivabile e ha come limite $g$.


\end{document}
